精品解析：湖南长沙市湖南师范大学附属中学2026-2027学年高三上学期月考（二）数学试题

高三数学二 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3. 若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为15尺，则春分时节的日影长为（ ） A. 6尺 B. 6.5尺 C. 7尺 D. 7.5尺 4. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 135 C. D. 28 6. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 函数在上单调，当且仅当 C. 若函数在上存在单调递减区间，则 D. 若不等式的解集为且，则函数的单调递减区间为 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，且，则________． 13. 若关于的方程在区间上有2个不同的解，，则________． 14. 已知函数，且恒成立，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 教育部《关于实施学生体质强健计划的意见》提出要保障中学生每日综合体育活动时间，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长．某中学对本校学生体育锻炼情况开展调研：有的学生每日综合体育活动时间不足1小时，这部分学生体质健康测试不达标的概率为；每日综合体育活动时间不少于1小时的学生，体质健康测试不达标的概率为． （1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该学生体质健康测试不达标的概率； （2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中体质健康测试不达标的人数，求的分布列和数学期望． 16. 如图，是半径为2的圆的一条直径，为半圆弧上的一个三等分点（），平面，，为的中点，于点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的最大值． 18. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在两个不同的零点，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，求证：． 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，其中，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为． （1）求双曲线的离心率； （2）求数列的通项公式； （3）定义：无穷递减等比数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且．设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的共轭复数，得到其在复平面内对应点的坐标，再判断点所在的象限. 【详解】根据共轭复数的定义：的共轭复数为， 复平面内对应的点坐标为， 因此位于第三象限. 2. 已知集合，则集合的真子集个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，共3个元素， 所以集合的真子集个数是. 3. 若冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为15尺，则春分时节的日影长为（ ） A. 6尺 B. 6.5尺 C. 7尺 D. 7.5尺 【答案】C 【解析】 【分析】用数列来表示题目中的等差数列，由题意列出前三项与末三项的和，由等差中项求得，由等差数列的定义求得数列公差，再由等差数列项与项之间的关系通过求得. 【详解】设这十二个节气日影长为数列，则， 由等差中项可知，即. ，由等差中项可知，即， 所以公差， 春分时节的日影长为. 4. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆锥的底面半径和高，可求出圆柱的高和底面半径，再结合圆锥的表面积与圆柱的侧面积可求得剩下几何体的表面积. 【详解】设圆柱的高为，底面半径为，可知， 则圆锥的母线长为， 所以剩下几何体的表面积为. 故选：B. 5. 已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中的系数为（ ） A. B. 135 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以，解得， 又二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 所以的展开式中，第五项含，其系数为. 6. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角的配凑将转化为，结合正切差角公式和已知条件将表示为关于的函数，利用基本不等式求最大值. 【详解】因为， 所以 ， 令，，所以， 要求的最大值，必有， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对与取自然对数，构造函数，利用导数证明，进而比较与的大小，构造函数利用导数证明不等式，进而比较与的大小，最终确定三者大小关系. 【详解】，，，， 令，则，， 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 所以，即，所以，即， 所以， 又在上单调递增，所以； 令，，则， 令，所以， 所以函数在上单调递增，故，即， 所以函数在上单调递增，故，即， 所以，即； 综上，. 8. 已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，不妨设，，可知，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，，， 因为，即， 可得，即， 又因为，，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆. 又因为，且，不妨设， 则， 设，则，，可得， 可得，即， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，函数在上单调递增 B. 函数在上单调，当且仅当 C. 若函数在上存在单调递减区间，则 D. 若不等式的解集为且，则函数的单调递减区间为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据选项中的条件判断导数的判别式的正负，从而可判断ABC的正误，根据不等式的解集可求参数的值，从而根据导数为负可求函数的单调减区间，从而判断D. 【详解】对于A，当时，，， ，故恒成立，故函数在上单调递增，故A正确； 对于B，， 因为在上单调递增，故恒成立， 故即，故B错误. 对于C，因为函数在上存在单调递减区间，故有解， 故，故，故C成立； 对于D，因为不等式的解集为且， 故，而，故， 所以，故， 令，则，故函数的单调递减区间为，故D成立. 10. 已知，分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，为上异于左、右顶点的一点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. 内切圆半径的最大值为 D. 外接圆半径的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义结合中位线的性质可得A正确；由椭圆的性质令点在第二三象限时可得B错误；由焦点三角形的面积公式结合内切圆的性质和椭圆的性质可得C正确；由正弦定理可得D正确. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，由三角形中位线得，因为当点在第二三象限时，，此时，故B错误； 对于C，因为，， 当点在上顶点时，最大，所以，所以， 所以，所以由三角形相似可得， 设内切圆半径为，又， 所以内切圆半径的最大值为，故C正确； 对于D，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，故D正确. 故选：ACD 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D. 【详解】对A、B：令，则，设， 则，故当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，，时，， 且，故，且，故A、B正确； 对C、D：由题意可得，所以， 由于成等差数列，则，故， 则，所以，故成等比数列，故C正确； 则，化简有，则， 解得或， 又，则，故，则， 又，故舍去， 故，又， 所以，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由等式构造等比数列，然后通过等比数列的通项公式求得数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由，可得， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. . 13. 若关于的方程在区间上有2个不同的解，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】构造函数，画出函数的图象，根据三角恒等变换、三角函数图象的对称性等知识求得结论. 【详解】设，， 所以是方程在内的一个解，不妨设， 又，其中. 画出的图象以及的图象如下图所示， 结合图象，令，解得， 则，所以， 所以. 14. 已知函数，且恒成立，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，据此可得，然后通过研究最值可得答案. 【详解】由题设可得的定义域为，， 当时，时，不满足题意； 当时，，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， 则，从而. 令，，则. ，. 从而在上单调递增，在上单调递减. 则，从而的最大值为. 【点睛】对于函数恒成立，能成立问题，常转化为求解相关函数的最值问题；对于出现多个参数的问题，核心思想为消元，将多个参数转化为单一参数. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 教育部《关于实施学生体质强健计划的意见》提出要保障中学生每日综合体育活动时间，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长．某中学对本校学生体育锻炼情况开展调研：有的学生每日综合体育活动时间不足1小时，这部分学生体质健康测试不达标的概率为；每日综合体育活动时间不少于1小时的学生，体质健康测试不达标的概率为． （1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该学生体质健康测试不达标的概率； （2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中体质健康测试不达标的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式结合两类学生的占比和对应不达标概率计算总不达标概率； （2）先判定随机变量X服从二项分布，再计算其分布列与数学期望。 【小问1详解】 设事件为“抽取的学生每日综合体育活动时间不足1小时”， 事件为“抽取的学生每日综合体育活动时间不少于1小时”，事件为“抽取的学生体质健康测试不达标”， 由题意得：，，，， 根据全概率公式： . 【小问2详解】 从该校任意抽取3名学生，相当于进行3次独立重复试验，每次试验中学生体质不达标的概率均为， 故，的所有可能取值为0,1,2,3， ， ， ， , 所以的分布列为： 0 1 2 3 由二项分布期望公式得：. 16. 如图，是半径为2的圆的一条直径，为半圆弧上的一个三等分点（），平面，，为的中点，于点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为是圆的直径，所以，即， 因为平面，平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 已知，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，平面，平面，所以， 又，所以是等腰直角三角形， 因为为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知，结合线面垂直的性质及判定定理证明，，最后应用线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，进而求出对应平面的法向量，最后应用向量法求面面角的余弦值，进而求其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，为半圆弧上的一个三等分点（），且， 所以，在中，， 因此，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过平行于的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 因为平面且，所以， ，， 设，则， 取，则，则， ，， 设，则， 取，则，则， 设平面与平面所成角为，则， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，若． （1）求角的大小； （2）若，的平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数平方关系化简已知等式，结合正弦定理、余弦定理求出的值，结合角的范围得结果； （2）先由余弦定理结合基本不等式求的最大值，再通过三角形面积拆分推导的表达式，结合基本不等式求最大值. 【小问1详解】 由，得,整理得, 由正弦定理可得,由余弦定理, 又，故. 【小问2详解】 已知，，由余弦定理，得, 由基本不等式（当且仅当时等号成立），得，即，当且仅当时等号成立, 因为的平分线，故, 由，得 , 约去公共项后整理得, 由基本不等式（当且仅当时等号成立），得 ，当且仅当时等号成立， 因为两次取等条件同为，故，所以 线段长度的最大值为. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数在区间上存在两个不同的零点，． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若，求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：要证，即证， 由（ⅰ）可得，则，所以， 由（ⅰ）可得在单调递增，所以等价于证明， 即，化简得 令，， 令，， 所以在单调递增，且， 所以，所以在单调递增，且， 故成立，所以. 【解析】 【分析】（1）把代入并求导，分别求出和的值，代入即可得出答案； （2）（ⅰ）根据函数在区间上存在两个不同的零点，得到有两个不同的解，转化为求有两个不同的解，求导，判断的取值范围即可得出答案； （ⅱ）将证明转化为证明，根据的单调性转化为证明，化简得到，求导，并求出函数的值域即可证明. 【小问1详解】 把代入得，则 求导得，则， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为函数在区间上存在两个不同的零点，， 即有两个不同的解， 又因为， 令，则， 令，， 所以在区间上单调递增，又， 所以有两个不同的解，即有两个不同的解， 令，， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 故， 且当时，，当时，， 故若有两个不同的解，则，故实数的取值范围为. （ⅱ）略. 19. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，其中，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为． （1）求双曲线的离心率； （2）求数列的通项公式； （3）定义：无穷递减等比数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且．设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据渐近线的几何性质及已知列方程求其中一条渐近线的倾斜角，进而得到斜率，再由渐近线斜率与双曲线参数关系及离心率公式求离心率； （2）设过的直线方程为， ， ，联立直线与双曲线，应用韦达定理并写出直线的方程，进而确定的横坐标关于的表达式，最后由等比数列的定义写出通项公式； （3）应用弦长公式、点线距离公式、三角形面积公式得，结合（2）得数列是首项为，公比为的无穷等比数列，由无穷等比数列的性质得，最后应用导数求其最小值. 【小问1详解】 双曲线的渐近线方程为， 由于两条渐近线关于轴对称，设其中一条的倾斜角为，则另一条的倾斜角为， 根据题意，一条渐近线的倾斜角是另一条的2倍，所以 ，解得， 因此，渐近线的斜率为​，即， 双曲线的离心率； 【小问2详解】 由（1）知，所以右焦点为， 设过的直线方程为​，交双曲线右支于 ， ， 将直线方程代入双曲线方程中，得， 整理得，则，， 由题意，，且直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令，得的横坐标， 代入韦达公式，可得，故， 所以， 已知点 ，所以，即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为； 【小问3详解】 由（2）知，对于直线，弦长 ， ， 点（即）到直线的距离， 所以的面积， 因为，所以数列是首项为，公比为的无穷等比数列， 所有项和， 令，则， 当时，，则 ，所以在 上单调递增， 当时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $