3.3 抛物线（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

3.3 抛物线 知识点一　抛物线的定义 　　我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点 的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 　　[提示]　定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l的一条直线. 知识点二　抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 焦点 顶点 （0，0） 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 离心率 e＝1 知识点三　焦点弦 1. 焦半径 （1）焦半径的概念：若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），F为其焦点，P （x0，y0）是抛物线上任意一点，则线段PF叫抛物线的一条焦半径； （2）焦半径的长：设抛物线的焦点为F，点P（x0，y0）为抛物线上任意一 点，则 抛物线的 标准方程 y2＝2px（p＞ 0） y2＝－2px（p＞ 0） x2＝2py（p＞ 0） x2＝－2py（p＞ 0） 焦半径 ｜PF｜＝x0＋ ｜PF｜＝－x0 ＋ ｜PF｜＝y0＋ ｜PF｜＝－y0＋ 　　2. 焦点弦 （1）焦点弦的概念：过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段，称为抛 物线的焦点弦； （2）焦点弦长：设过抛物线的焦点F的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B （x2，y2），则 抛物线的标准方程 焦点弦长 y2＝2px（p＞0） ｜AB｜＝x1＋x2＋p y2＝－2px（p＞0） ｜AB｜＝－（x1＋x2）＋p x2＝2py（p＞0） ｜AB｜＝y1＋y2＋p x2＝－2py（p＞0） ｜AB｜＝－（y1＋y2）＋p 　　3. 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，抛物线的通径长为2p.通径 是焦点弦中最短的弦. 角度一　抛物线标准方程的求解方法 求抛物线的标准方程的主要步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的 焦点位置；后定量，即求出方程中的p值，从而求出方程. [例1]　已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且抛物线上一点 A（m，－3）到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程. [解]　∵抛物线过点A（m，－3），∴抛物线的开口可以向下、向右 或向左. ①当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），准线方程 为y＝.由抛物线的定义得－（－3）＝5，解得p＝4，∴抛物线的方程为x2＝ －8y. ∵点A（m，－3）在抛物线上，∴代入得m2＝24，即m＝±2. ②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y2＝2ax（a≠0），准线 方程可统一为x＝－. 由题意可得解得或或或 ∴当m＝时，抛物线的方程为y2＝2x； 当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－2x； 当m＝时，抛物线的方程为y2＝18x； 当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－18x. 综上所述，当m＝±2时，抛物线的方程为x2＝－8y；当m＝时，抛物线 的方程为y2＝2x；当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－2x；当m＝时，抛物线 的方程为y2＝18x；当m＝－时，抛物线的方程为y2＝－18x. 角度二　抛物线的焦点弦问题 焦点弦的几个常用结论 如图，设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的弦，若A（x1，y1），B （x2，y2），则 （1）x1x2＝，y1y2＝－p2； （2）｜AF｜＝x1＋，｜BF｜＝x2＋，｜AB｜＝x1＋x2＋p； （3）＋＝； （4）以弦AB为直径的圆与准线相切； （5）以AF或BF为直径的圆与y轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； （7）S△AOB＝（α为弦AB所在直线的倾斜角）； （8）A，O，B'共线，A'，O，B共线； （9）∠A'FB'＝90°. [例2-1]　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，点O是 坐标原点.若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D. 2 √ [解析]　方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0）， 如图所示，｜AF｜＝x1＋1＝3，所以x1＝2，y1＝2. 　　设直线AB的方程为x－1＝ty， 由消去x，得y2－4ty－4＝0， 所以y1y2＝－4，所以y2＝－，x2＝， 所以S△AOB＝×1×｜y1－y2｜＝. 方法二：设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0）. 由｜AF｜＝3，可知x1＝2，y1＝2. 所以sin∠AFx＝. 所以S△AOB＝＝. [例2-2]　过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于点A（x1，y1），B （x2，y2），若｜AB｜＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为 ⁠. [解析]　抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1.由抛物线定义， 知｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于 是弦AB的中点M的横坐标为.又准线方程为x＝－1，因此，点M到抛物线准线 的距离为＋1＝. ​ [例2-3]　已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物 线于P，Q两点，且＋＝4，所以抛物线的焦点坐标 为 ⁠. [解析]　由焦点弦的性质，可知＋＝，所以＝4，即p＝， 所以抛物线的焦点坐标为. ​ 角度三　直线与抛物线的位置关系 判断直线与抛物线的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）与抛物线f（x，y）＝0，由 消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（也可以消去x得到 关于y的方程），通过方程解的情况判断直线与抛物线的位置关系，见表所示： 方程ax2＋bx＋c＝0的解 直线l与抛物线的位置关系 a＝0 b＝0，c≠0 无实数解 相离（无交点） b≠0 有一解（直线l与抛 物线的对称轴平行） 相交（一个交点） a≠0 Δ＞0 两个不相等的解 相交（两个交点） Δ＝0 两个相等的解 相切（一个交点） Δ＜0 无实数解 相离（无交点） [例3]　直线y＝kx＋b与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，则k，b满足的 条件是（　　） A. kb＝1 B. k＝0，b∈R C. b≠0，k＝0 D. kb＝1或k＝0 √ [解析]　当k＝0时，直线y＝b与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点，符合 题意； 当k≠0时，由可得k2x2＋（2kb－4）x＋b2＝0， 若直线y＝kx＋b与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点， 则Δ＝（2kb－4）2－4k2b2＝0，整理可得16－16kb＝0，所以kb＝1. 综上所述，kb＝1或k＝0. [反思]　（1）直线与椭圆只有一个交点时，二者一定相切；（2）直线与 双曲线只有一个交点时，它们既可以是相切关系，也可能是直线与双曲线的一 支相交且与渐近线平行；（3）直线与抛物线只有一个公共点时，直线既可以与 抛物线相切，也可以与对称轴平行. 角度四　抛物线中的最值问题 [例4-1]　已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线 上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为 （　　） A. ＋2 B. ＋1 C. －2 D. －1 √ [解析]　设抛物线的焦点为F，如图， 过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B， PB的延长线交准线x＝－1于点C，连接PF. 根据抛物线的定义， 得｜PA｜＋｜PC｜＝｜PA｜＋｜PF｜. ∵点P到y轴的距离为d1，点P到直线l的距离为d2， ∴d1＋d2＝｜PA｜＋｜PB｜＝（｜PA｜＋｜PC｜）－1 ＝（｜PA｜＋｜PF｜）－1. 根据平面几何知识可得， 当P，A，F三点共线时，｜PA｜＋｜PF｜有最小值. ∵点F（1，0）到直线l：x－y＋4＝0的距离为＝， ∴｜PA｜＋｜PF｜的最小值是，即d1＋d2的最小值为－1.故选D. [例4-2]　已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若·＝0， 则｜AB｜的最小值为（　　） A. 4 B. 4 C. 8 D. 16 √ [解析]　方法一：由题意可知，直线l不过原点也不与x轴平行， 设直线l的方程为x＝my＋n（n≠0）， 由消去x，得y2－4my－4n＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， 所以x1x2＝（my1＋n）（my2＋n）＝m2×（－4n）＋mn×4m＋n2＝n2. 因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝n2－4n＝0，解得n＝4或n＝0（舍去）， ｜AB｜＝ ＝ ＝ ＝4＝4≥8， 当且仅当m2＝0即m＝0时，｜AB｜取得最小值，所以｜AB｜的最小值为8. 方法二：由·＝0可得直线AB过定点（2p，0），即过点（4，0）， 显然当过点（4，0）且与x轴垂直时，｜AB｜最小. 将x＝4代入抛物线解析式，可得y＝±4， 所以弦长｜AB｜的最小值为8. [反思]　对于抛物线y2＝2px，A，B是抛物线上两点，若OA⊥OB，则直线 AB过定点（2p，0）. $