微专题2 用向量方法解决立体几何中的探索性问题（PPT版）-【满分思维·一本通】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

微专题2 用向量方法解决立体几何中的探索性问题 角度一　存在性问题 [例1]　如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD，点E在线段PC上（不含端点）. （1）是否存在点E，使PC⊥平面BDE？ [解]　∵底面ABCD为正方形， ∴AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD， ∴以点A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝a，AP＝c，a＞0，c＞0， 则A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0）， P（0，0，c）.设＝λ，0＜λ＜1，＝（－a，a，0）， ＝（a，a，－c），＝（a，0，－c）， ＝－＝λ－＝（λa－a，λa，c－λc）. 设n＝（x，y，z）是平面BDE的法向量， 得 令x＝1，则y＝1，z＝， ∴＝是平面BDE的一个法向量. 若PC⊥平面BDE，则∥，得＝，解得λ＝， 此时0＜λ＜1，即存在点E，使PC⊥平面BDE，此时PE＝PC. （2）是否存在点E，使平面PCD⊥平面AED？ [解]　＝（a，a，－c），＝（a，0，0），＝（0，0，－c）， 设 1＝（x1，y1，z1）是平面PCD的法向量， 则令y1＝c，则x1＝0，z1＝a， ∴1＝（0，c，a）是平面PCD的一个法向量. 设＝μ，0＜μ＜1， 则＝－＝μ－＝（μa，μa，c－μc），＝（0，a，0）. 设2＝（x2，y2，z2）是平面AED的法向量， 则 令x2＝－c，则y2＝0，z2＝， ∴2＝是平面AED的一个法向量. ∵平面AED⊥平面PCD， ∴1·2＝0，即＝0，此方程无解， ∴不存在点E，使n1⊥n2， 即不存在点E，使平面PCD⊥平面AED. 角度二　折叠问题 [例2]　如图，△ABC是边长为6的正三角形，点E，F，N分别在边AB， AC，BC上，且AE＝AF＝BN＝4，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将 三角形AEF折到DEF的位置，使DM＝. （1）证明：平面DEF⊥平面BEFC； [证明]　因为AE＝AF＝4，AB＝AC＝6，所以EF∥BC， 又M为BC中点，所以AM⊥BC，所以DO⊥EF. 在△DOM中，易得DO＝2，OM＝，又DM＝， 所以DM2＝DO2＋OM2，所以DO⊥OM. 因为EF∩OM＝O，EF，OM⊂平面BEFC， 所以DO⊥平面BEFC，又DO⊂平面DEF， 所以平面DEF⊥平面BEFC. （2）试探究在线段DM上是否存在点P，使二面角P-EN-B的大小为60°？若存 在，求出的值；若不存在，请说明理由. [解]　由（1）知 DO⊥平面BEFC，以O为原点， 分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向 建立空间直角坐标系Oxyz， 则D（0，0，2），M（0，，0），E（2，0，0），N（－1，，0）所以＝（0，，－2），＝（－2，0，2），＝（－3，，0）， 令＝λ（0≤λ≤1），则＝（0，λ，－2λ）， 所以＝＋＝（－2，λ，2－2λ）. 易得平面ENB的法向量为n＝（0，0，1）， 设平面ENP的法向量为＝（x，y，z）， 所以 令x＝1，所以＝. 因为二面角P-EN-B的大小为60°， 所以＝，解得λ＝2（舍去）或λ＝. 此时＝，所以＝6. $