1.3 空间向量及其运算的坐标表示（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教版·新教材）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 　 空间直角坐标系 1.（2026·浙江杭州期中）已知M（1，3，2）是空间直角坐标系Oxyz中一点，则与点M关于Ozx平面对称的点的坐标是（　　） A.（－1，3，2） B.（1，－3，2） C.（－1，3，－2） D.（1，－3，－2） 2.在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，1）关于x轴的对称点为点B，点B在坐标平面Oyz内的射影为点C，则点C的坐标为（　　） A.（－1，－2，0） B.（0，－2，－1） C.（0，－2，1） D.（1，－2，1） 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若向量的坐标为（－4，3，2），则线段AC1的中点坐标为　　　　，向量的坐标为　　　　　. 空间向量运算的坐标表示 4.已知空间中三点A（0，0，0），B（－1，－2，2），C（0，3，2），则·（－2）＝（　　） A.7 B.－7 C.9 D.－9 5.已知点A（3，2，－1），B（4，1，－2），C（－5，4，3），且四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（　　） A.（－6，5，4） B.（3，－2，7） C.（－1，2，6） D.（－6，1，－3） 6.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝　　　　，（a－b）·（2a－3b）＝　　　　. 平行、垂直、夹角与模的坐标表示 7.已知向量a＝（－1，2，－1），b＝（3，x，1），且a⊥b，那么｜b｜＝（　　） A. B.2 C. D.5 8.已知向量a＝（2，1，1），b＝（0，－1，－1），若（a＋λb）∥（a－b），则λ＝　　　　. 9.已知向量m＝（1，3，－2），n＝（－1，1，2）. （1）求｜m－n｜的值； （2）若（m－kn）⊥（m＋n），求实数k的值； （3）求向量2m＋n与m－n夹角的余弦值. 　 1.在空间直角坐标系中，点A（2，3，－1），B（1，－1，2），若点A关于x轴的对称点为C，点B关于坐标平面Oxy的对称点为D，则·＝（　　） A.3 B.2 C.1 D.－3 2.设x，y∈R，向量a＝（x，1，1），b＝（1，y，1），c＝（2，－4，2），且a⊥c，b∥c，则｜a＋b｜＝（　　） A.2 B. C.3 D.4 3.（2026·湖北黄冈月考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD，则EF与C1G所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 4.（多选）（2026·浙江宁波五校联考）已知向量e1＝（t，2t，2），e2＝（2t－2，－t，－1），则下列结论正确的是（　　） A.若e1⊥e2，则t＝－1 B.若e1∥e2，则t＝ C.｜e1｜的最大值2 D.＜e1，e2＞为钝角，则t＞－1 5.已知a＝（2，1，－3），b＝（－1，2，3），c＝（7，6，λ），a，b，c共面，则λ＝　　　　，向量b在c上的投影向量的坐标为　　　　　　　. 6.[教材习题变式]若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得a＝xe1＋ye2＋ze3，我们把有序实数组（x，y，z）叫做基底{e1，e2，e3}下向量a的斜坐标.设向量p在基底{a，b，c}下的斜坐标为{－1，2，3}，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的斜坐标为　　　　　　. 7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. （1）求证：EF⊥CF； （2）求cos＜，＞； （3）求CE的长. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 1.3空间向量及其运算的坐标表示 [教材知识一一遍过] 1.B2.B 32多1 (4,3,-2) 4.B5.A 6.-25解析：a:（-2b)=-2ab=-2(0+1十0)=-2，a b=(1,0,-1),2a-3b=2(1,1,0)-3(0,1,1)=(2, -1,-3). .(a-b)·(2a-3b)=(1,0,-1)·(2,-1,-3)=2-0十 3=5. 7.C由向量a=(-1,2,-1),b=(3,x,1),且a⊥b,得 -1×3+2x-1×1=0,则x=2, 则1b1=32+22+12=V14 8.-1解析：因为a=2,1,1),b=(0,-1,-1), 所以a+b=(2,1-入，1-)，a-b=(2,2,2), 由(a+b)月(a-b)得号=122-12，解得入=-1. 9.解：(1)由题可得m-n=(2,2,-4),则|m-n|= V22+22+(-4)2=26. (2)m-n=(1+k,3-k,-2-2k),m+n=(0,4,0), .·(m-n)⊥(m+n),.(m-n)·(m+n)=0, 即(1+k)×0+(3-)×4+(-2-2k)×0=0,则k=3. ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (3)2m十n=(1,7,-2),|2m十n|=36,m-n=(2, 2,-4),|m-n|=2V6, (2m+n)·m-n) 24 2 .∴，cos<2m+n,m-n>=2m+nlm-nT = 36×26=3, “向量2m十n与m一n夹角的余弦值为号 [综合素养—全提升] 1.A由已知得点A关于x轴的对称点为C(2,-3,1), 点B关于坐标平面Oxy的对称点为D(1,一1，一2)， ∴.00=(2，-3,1)，0D=(1,-1,-2),∴.00.0D=2十3- 2=3. 2.C因为向量a=(,1,1),b=(1,y,1),c=（2,-4, 2), 若a⊥c,则2x-4+2=0,解得x=1,所以a=(1,1,1). 又b/c,则2=4=克，解得y=-2,所以b=(1,-2,1), 所以a+b=(2,-1,2),所以1a+b1=4+1+4=3. 3.B设正方体ABCD-ABCD1的棱长为6，以点A为坐标原点，AB, AD,AA1的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空 间直角坐标系. A B A B ·独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2ZXXk.c0m● 您身边的互联网+教辅专家 则B(6,0,0),D(0,6,0),C1(6,6,6),D1(0,6, 6), E,F分别为DD1,BD的中点，CG=3CD, .E(0,6,3),F(3,3,0),G(4,6,0), .EF=(3,-3,-3),CG=(-2,0,-6). EF.C G -6+18 V30 ∴cos<成，CG>=1CG=33×2而=5， 30 EF与CG所成角的余弦值为5： 4.AB对于A,若e1⊥e2,则t(2t-2)-2fP-2=0,解得t= 1,故A正确； 对于B,当t=0或t=1时，e1,e不平行， 所以e时，有2亡2=2兰马，部得一，故B正确 对于C,|e11=+(2t)2+2=5+4,无最大值，故C错误； 对于D,若<e1,e2>为钝角，则t(2t-2)一2-2<0，且e1,e2 不反向共线， 解得>-1且≠号，故D错误.故选A、B. 4 5-9 77 66 99 83 83’ 83 解析：因为a,b,c共面，设c=ma十 nb, 又a=（2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,入)，得到 (7,6,λ)=(2m-n,m+2n,-3m+3n), 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxK.c0m●】 您身边的互联网+教辅专家 2m-n=7, m=4, 所以 m+2n=6, 解得 n=1, 3m+3n=入， 1=-9, 所以c=(7,6,-9). b·C 所以向量b在c上的投影向量的坐标为cc =-(7,6=9) 11 77 66 99 83 83’ 83· 6-是3 解析：由题意可得p=-a+2b+3c,设p=m(a十 b)+n (a-b)+tc, 即有-a+2b+3c=m(a+b)+n(a-b)+tc=(m+n)a+(m -n)b+tc, m+n=-1, m1 则有 m-n=2, t=3, 架得0=是邱p=号a+b-是(u-十 1 t=3, 3c, 即向量p在茶底a十b,a一b,c下的解坐标刘行-3 7.解：(I)证明：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dyz, D E 则E0,0,,C(0,1,0),F 独家授权侵权必究 学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以=32-，本=3-20 西为=×+×-+X0=0,所以1正，即 EF⊥CF (2)G1,1,,由1)知元=1,0，，廊元=2×1+2×0 +-x2-, 1际1=+-盟，1远1-4-要， 1 E亦.C 所以cos<亚，C花>= V15 EcG1=3x5=15, 2 2 (3)由1)知C峦=0，-1,2， 故8=11-0+-1周 2 ·独家授权侵权必究·