3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　 椭圆的简单几何性质 　 　 由椭圆方程研究性质 1.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为（　　） A.12　　　　B.10 C.8　　　　D.6 解析：B　易知圆心为（3，0），即椭圆＋＝1的右焦点为（3，0）. 而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长a＝＝5，所以该椭圆的长轴长为10. 2.（2026·浙北G2联考）椭圆9x2＋25y2＝225和椭圆＋＝1（0＜m＜9）有相同的（　　） A.长轴长　 B.短轴长 C.离心率　 D.焦距 解析：D　椭圆9x2＋25y2＝225，即＋＝1，则a1＝5，b1＝3，c1＝4. 对于椭圆＋＝1（0＜m＜9）， 因为（25－m）－（9－m）＝16＞0，则a2＝，b2＝，c2＝4， 即a1≠a2，b1≠b2，c1＝c2，可知长轴长、短轴长和离心率不相等，焦距相等. 3.[一题多解]（多选）已知椭圆C：＋＝1，P是C上的动点，则（　　） A.C的长轴长为8 B.C的焦点坐标为（±3，0） C.点P到焦点的最小距离为2 D.不存在点P，使得PF1⊥PF2 解析：CD　椭圆C：＋＝1，则a＝5，b＝4，c＝3， C的长轴长为2a＝10，A错误； C的焦点坐标为（0，±3），B错误； 点P到焦点的最小距离为a－c＝5－3＝2，C正确； 对于D选项，方法一：当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2最大，｜PF1｜＝｜PF2｜＝a＝5，此时 cos∠F1PF2＝＝＝＞0，即∠F1PF2为锐角， 故不存在点P，使得PF1⊥PF2，D正确. 方法二：以原点为圆心，半焦距为半径画圆（图略），因为c＜b，所以所画圆与椭圆无交点，即不存在点P，使得PF1⊥PF2，D正确. 由椭圆性质求标准方程 4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.x2＋＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：B　椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为（0，±），故可设所求椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），则c＝.又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.故选B. 5.（2026·湖北武汉期中）以椭圆＋＝1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆方程是（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：A　椭圆＋＝1的焦点为（3，0）和（－3，0）， 短轴的两个端点为（0，4）和（0，－4）. 由题意知所求椭圆的四个顶点为（3，0），（－3，0），（0，4），（0，－4）， 因此所求椭圆方程为＋＝1. 6.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在x轴上，长轴长、短轴长分别为8和6； （2）中心在原点，一个焦点坐标为（0，5），短轴长为4； （3）对称轴都在坐标轴上，长半轴长为10，离心率是0.6； （4）中心在原点，焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 解：（1）由题意得2a＝8，2b＝6，所以a＝4，b＝3，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为＋＝1. （2）由题意得c＝5，2b＝4，故a2＝b2＋c2＝4＋25＝29.因为焦点在y轴上，故椭圆方程为＋＝1. （3）由题意得a＝10，e＝＝0.6，所以c＝6，b2＝a2－c2＝100－36＝64，当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1. （4）由题意得a＝2，a－c＝1，所以c＝1，b2＝a2－c2＝4－1＝3，结合焦点在x轴上，故椭圆方程为＋＝1. 椭圆的离心率 7.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（　　） A.9x2＋y2＝36 B.3x2＋4y2＝48 C.x2＋9y2＝36 D.5x2＋3y2＝30 解析：B　由9x2＋y2＝36，得＋＝1，a2＝36，b2＝4，c2＝32，离心率为e＝＝＝；由3x2＋4y2＝48，得＋＝1，a2＝16，b2＝12，c2＝4，离心率为e＝＝＝；由 x2＋9y2＝36，得＋＝1，a2＝36，b2＝4，c2＝32，离心率为e＝＝＝；由 5x2＋3y2＝30，得＋＝1，a2＝10，b2＝6，c2＝4，离心率为e＝＝＝.因为＝＞＝＞＝，所以3x2＋4y2＝48更接近于圆.故选B. ｜方法技巧｜ 离心率与椭圆形状的关系，可以按如下方法记忆：离心率越接近0，椭圆越圆；离心率越接近1，椭圆越扁. 8.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋3ab＝0相切，则椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋3ab＝0相切， 则原点到直线bx－ay＋3ab＝0的距离＝a，得a2＝8b2， 则离心率e＝＝＝. 9.（1）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则C的离心率为　　； （2）已知F1，F2为椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，若满足∠F1PF2＝120°的点P恰好有4个，则此椭圆的离心率的取值范围是　　　　　　. 答案：（1）　（2） 解析：（1）设椭圆C：＋＝1的半焦距为c，由题意可得＝2c，整理得2a2－c2＝8c2，因此e2＝＝，所以C的离心率为e＝. （2）记短轴的一个端点为B，由椭圆性质可知，当点P在短轴端点时∠F1PF2最大，所以，要使满足∠F1PF2＝120°的点P恰好有4个，则∠F1BF2＞120°， 即∠F1BO＞60°，所以e＝＝＝sin∠F1BO＞sin 60°＝. 又e∈（0，1），所以e∈. 　 1.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3，P4中恰有三个点在椭圆C上，则这三个点是（　　） A.P1，P2，P3 B.P1，P2，P4 C.P1，P3，P4 D.P2，P3，P4 解析：D　因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆经过P3，P4两点. 又因为＋＞＋＝1，所以椭圆不经过点P1，故椭圆经过点P2，P3，P4.故选D. 2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在点P，使得｜PF1｜＝3｜PF2｜，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 解析：D　由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a， 又∵｜PF1｜＝3｜PF2｜，∴｜PF1｜＝a，｜PF2｜＝a， 而｜PF1｜－｜PF2｜≤｜F1F2｜＝2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立， 即a－a≤2c，即a≤2c， 则e＝≥，即≤e＜1.故选D. 3.（多选）已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1的左焦点为F1，右焦点为F2，P为椭圆上且不在x轴上的一点，则下列说法正确的是（　　） A.m的取值范围是（0，4） B.当焦距为4时，离心率为 C.当离心率为时，△PF1F2的周长为4＋4 D.当长轴长为4时，△PF1F2面积的最大值为4 解析：CD　因为椭圆＋＝1的焦点在x轴上，所以m＞4，A错误； 焦距为4，即c＝2，所以m－4＝22，可得m＝8，所以a＝2， 因此离心率为e＝＝＝，B错误； 因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，2c＝4，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋4，C正确； 当长轴长为4时，可得a＝2，又b＝2，所以c＝2， △PF1F2面积的最大值为b×2c＝bc＝4，D正确. 4.[学科融合]开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为ρ，最小距离μ，太阳半径为r，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　设椭圆的焦距为2c，长轴长为2a，则由已知可得ρ＝a＋c－r，μ＝a－c－r， 两式相加可得ρ＋μ＝2a－2r，两式相减可得ρ－μ＝2c， 则a＝，c＝，所以离心率e＝＝.故选A. 5.已知椭圆C：＋＝1（a＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，P为C在第一象限内一点，若△PF1F2的内切圆半径为，则点P的纵坐标为　　　　. 答案：1 解析：由题知，b＝，＝＝＝，解得a＝3，c＝2. 所以｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜＝2a＋2c＝6＋4＝10. 因为（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）× ＝｜F1F2｜yp， 所以×10×＝×4yp，得yp＝1. 6.嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜劈，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中AC，BD分别为两个截面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴截面上，AD是圆柱底面圆的一条直径.设上、下两个截面椭圆的离心率分别为e1，e2，若∠CAD＝，∠ADB＝，则的值是　　　　. 答案： 解析：由题意可知AC＝CD＝AD，AD＝AB. 设AB＝1，则AD＝CD＝，AC＝，BD＝2， 所以上、下截面椭圆的离心率分别为e1＝＝，e2＝＝， 所以＝. 7.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°. （1）求椭圆离心率的取值范围； （2）求证：△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关. 解：（1）设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，则m＋n＝2a. 在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝（m＋n）2－3mn＝4a2－3mn≥4a2－3·＝4a2－3a2＝a2（当且仅当m＝n时取等号）. 所以≥，即e≥.又0＜e＜1，所以椭圆的离心率e的取值范围是. （2）证明：由（1）知mn＝b2，所以＝mnsin 60°＝b2，即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关. ｜方法技巧｜ 设F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P为椭圆上的一点，且∠F1PF2＝θ，则椭圆焦点三角形的面积＝b2tan . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $