2.2.1 直线的点斜式方程（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

2.2　直线的方程 2.2.1　直线的点斜式方程 　 直线的点斜式方程 1.已知直线l的倾斜角为，且过点（－2，0），则直线l的方程为（　　） A.x－y－2＝0 B.x＋y－2＝0 C.x＋y＋2＝0 D.x－y＋2＝0 解析：D　因为直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率k＝tan＝. 又因为直线l过点（－2，0），所以直线l的点斜式方程为y－0＝[x－（－2）]，即x－y＋2＝0. 2.已知直线l的一个方向向量n＝（－1，2），且过点（－1，2），则直线l的方程为（　　） A.2x＋y＝0 B.x－2y＋5＝0 C.x＋2y－3＝0 D.2x－y＋4＝0 解析：A　因为直线l的一个方向向量n＝（－1，2），所以直线l的斜率为－2. 又直线l经过点（－1，2），所以直线l的方程为y－2＝－2（x＋1），即2x＋y＝0.故选A. 3.已知点A（0，2），B（－2，4）. （1）过点A与x轴垂直的直线的方程为　　　　　； （2）过点B与x轴平行的直线的方程为　　　　　； （3）直线AB的方程为　　　　　； （4）线段AB的垂直平分线的方程为　　　　　. 答案：（1）x＝0　（2）y＝4　（3）x＋y－2＝0　（4）x－y＋4＝0 解析：（1）过点A与x轴垂直的直线的方程为x＝0. （2）过点B与x轴平行的直线的方程为y＝4. （3）易知kAB＝＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－x，即x＋y－2＝0. （4）线段AB的中点坐标为（－1，3），线段AB的垂直平分线的斜率为1， 所以线段AB的垂直平分线的方程为y－3＝x＋1，即x－y＋4＝0. 直线的斜截式方程 4.（多选）关于直线l：y＝x＋1，下列结论正确的是（　　） A.l的倾斜角为 B.l的斜率为1 C.l过点P（1，－1） D.l与两条坐标轴围成的三角形的面积为1 解析：AB　由题可知，l的斜率为1，故直线l的倾斜角为，A、B均正确. 点P的坐标不满足方程y＝x＋1，故点（1，－1）不在l上，C不正确. 令y＝0，得x＝－1，令x＝0，得y＝1，所以l与两条坐标轴围成的三角形的面积为，D不正确. 5.（2026·浙江金华期中）如图，直线l1：y＝ax－b与l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）的图象可能是（　　） 解析：D　对于A，由l1：y＝ax－b可得a＞0，b＜0，由l2：y＝bx＋a可得b＞0，a＞0，矛盾，不合题意； 对于B，由l1：y＝ax－b可得a＞0，b＞0，由l2：y＝bx＋a可得b＞0，a＜0，矛盾，不合题意； 对于C，由l1：y＝ax－b可得a＜0，b＜0，由l2：y＝bx＋a可得b＞0，a＜0，矛盾，不合题意； 对于D，由l1：y＝ax－b，l2：y＝bx＋a均可得b＞0，a＞0，符合题意. 6.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3，3），则直线l的方程为　　　　. 答案：x＝3 解析：直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P（3，3），所以直线l的方程为x＝3. 点斜式下的平行与垂直 7.已知直线l过点（－3，0），且与直线y＋1＝2x垂直，则直线l的方程为（　　） A.y＝－（x－3） B.y＝－（x＋3） C.y＝（x－3） D.y＝（x＋3） 解析：B　因为直线y＋1＝2x的斜率为2，所以直线l的斜率为－.又直线l过点（－3，0），故直线l的方程为y＝－（x＋3）.故选B. 8.已知直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1），则a＝　　　　，b＝　　　　. 答案：－　2 解析：由直线l：y＝－x＋与直线l'：y＝x－平行，且直线l与y轴的交点为（0，1）， 得　解得 9.已知直线l的倾斜角为，过点（2，0）. （1）求l的斜截式方程； （2）若直线l1经过点P（2，－），Q（3，0），判断l1与l是否平行； （3）若直线l2的方程为x＋y＋2＝0，求l2在y轴上的截距，并判断l2与l是否垂直. 解：（1）直线l的斜率k＝tan＝，所以直线l的点斜式方程为y＝（x－2）， 故直线l的斜截式方程为y＝x－2. （2）直线l1的斜率k1＝＝，k1＝k， 显然点Q不在直线l上，故l1∥l. （3）对于直线l2：x＋y＋2＝0，令x＝0，得y＝－，故直线l2在y轴上的截距为－； 又x＋y＋2＝0可化为y＝－x－，其斜率为k2＝－. 因为k·k2＝×＝－1，所以l2⊥l. 　 1.若过点（－1，1）的直线l的倾斜角为α，且cos α＝，则l的方程为（　　） A.x－2y＋3＝0 B.x－2y－3＝0 C.2x－y＋3＝0 D.2x－y－3＝0 解析：C　由α∈[0，π）及cos α＝，可得sin α＝＝， 所以l的斜率k＝tan α＝2， 所以由点斜式方程得l的方程为y－1＝2（x＋1），即2x－y＋3＝0.故选C. 2.已知直线l1：y＝x－1绕点（0，－1）逆时针旋转π，得到直线l2，则l2不过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：A　直线l1：y＝x－1，其斜率k1＝1，设其倾斜角为α1，可得tan α1＝1，又因为倾斜角的取值范围为[0，π），所以α1＝. 直线l1绕点（0，－1）逆时针旋转π，则直线l2的倾斜角α2＝＋π＝. 直线l2的斜率k2＝tan α2＝tan ＝－. 因为直线l2过点（0，－1），根据直线的点斜式方程可得直线l2的方程为y＋1＝－x，即y＝－x－1. 直线l2的斜率为负，在y轴上的截距为负，所以直线l2不过第一象限.故选A. 3.已知定点M（5，0），若直线l1过定点M且方向向量是n1＝（－5，5），直线l2过定点M且方向向量是n2＝（5，－3），直线l1在y轴上的截距是a，直线l2在y轴上的截距是b，则a－b＝（　　） A.2 B.－2 C.1 D.－1 解析：A　因为l1：y＝（x－5），即l1：y＝－x＋5，所以a＝5. 因为l2：y＝（x－5），即l2：y＝－x＋3，所以b＝3，所以a－b＝5－3＝2.故选A. 4.（多选）已知两条不同的直线l1：y＝ax－a与l2：y＝x＋a，则l1与l2的位置关系可以是（　　） 解析：AC　对于A，由l1，l2图象判断a＝1，符合，则A正确； 对于B，l1：y＝ax－a在x轴上的截距为1，图象不符合，则B错误； 对于C，由于l1：y＝ax－a在x轴上的截距为1，l2：y＝x＋a在x轴上的截距为－a，结合图象可得a＝－1，图象符合，则C正确； 对于D，由于l1：y＝ax－a在x轴上的截距为1，l2：y＝x＋a在x轴上的截距为－a， 结合图象可知－a＞1，即a＜－1，此时与l1：y＝ax－a的图象矛盾，则D错误.故选A、C. 5.已知点P（2，－3），Q（－3，－2），直线l：y＝kx－k＋1与线段PQ相交. （1）直线l过定点M，则M的坐标为　　　　　； （2）实数k的取值范围是　　　　　. 答案：（1）（1，1）　（2）（－∞，－4]∪ 解析：（1）直线y＝kx－k＋1即y－1＝k（x－1），经过定点M（1，1）. （2）如图，kMP＝＝－4，kMQ＝＝. 因为直线y＝kx－k＋1与线段PQ相交，所以由图可知k∈（－∞，－4]∪. 6.（2026·辽宁沈阳期末）将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合，若此时y轴与直线y＝kx＋b也正好重合，则k＋b＝　　　　　　. 答案：－ 解析：因为折叠后y轴与直线y＝kx＋b正好重合，得点B（4，0）在直线y＝kx＋b上，即4k＋b＝0. 易得线段AB垂直平分线的方程为y＝2x－3，其与y轴的交点C（0，－3）在直线y＝kx＋b上，则b＝－3，从而k＝， 所以k＋b＝－3＝－. 7.已知直线l1的方程为y＝－x－2，直线l2过点（，1）. （1）若直线l1与直线l2平行，求出直线l2的斜截式方程，并求出直线l2的倾斜角α的值； （2）若直线l1与直线l2垂直，求出直线l2的斜截式方程，并写出直线l2在y轴上的截距. 解：（1）设直线l1的斜率为k1，所以k1＝－. 若直线l1与直线l2平行，设直线l2的斜率为k2，则k2＝－，所以tan α＝－.又α∈[0，π）， 所以α＝. 由直线l2过点（，1），得直线l2的方程为y－1＝－（x－）， 即y＝－x＋2. 所以直线l2的斜截式方程为y＝－x＋2，其倾斜角为. （2）因为直线l1与直线l2垂直，所以k1k2＝－1，所以k2＝. 所以直线l2的方程为y－1＝（x－）， 化为斜截式可得y＝x－2， 所以直线l2的斜截式方程为y＝x－2，在y轴上的截距为－2. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $