2.1.1 倾斜角与斜率（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 　 直线的倾斜角与斜率 1.下列说法正确的是（　　） A.斜率随倾斜角的增大而增大 B.斜率随倾斜角的增大而减小 C.直线x＝0的倾斜角不存在 D.直线x＝0的斜率不存在 解析：D　由斜率与倾斜角的关系知k＝tan α，因为y＝tan α在区间，上单调递增，但它不是定义域内的单调函数，故A、B错误；直线x＝0的倾斜角为90°，斜率不存在，故C错误，D正确. 2.如图，直线l的斜率为（　　） 　 A.1 B. C.－1 D.－ 解析：C　由题意可知，直线l的倾斜角为，所以直线l的斜率为tan ＝－1.故选C. 3.如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　） A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2 C.k3＜k2＜k1 D.k1＜k3＜k2 解析：D　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图知，直线l1的倾斜角α1为钝角，∴k1＜0.直线l2，l3的倾斜角α2，α3均为锐角，且α2＞α3，∴0＜k3＜k2，∴k1＜k3＜k2.故选D. 4.（2026·浙江宁波五校联考）已知直线l的倾斜角α∈，则直线l的斜率的取值范围是　　　　. 答案： 解析：因为k＝tan α，α∈，所以k∈. 过两点的直线斜率 5.（多选）（2026·山东德州期中）已知直线l经过点A（－2，0），B（－5，3），则（　　） A.直线l的斜率为1 B.直线l的倾斜角为 C.（1，1）是直线l的一个方向向量 D.（1，－1）是直线l的一个方向向量 解析：BD　由斜率公式得kAB＝＝－1，所以直线l的倾斜角为，所以（1，－1）是直线l的一个方向向量. 6.（2026·江苏连云港期中）若经过A（－m，3），B（5，－m）两点的直线的倾斜角为45°，则m＝（　　） A.－2 B.2 C.－4 D.4 解析：C　由题意，k＝＝tan 45°＝1⇒3＋m＝－m－5⇒m＝－4. 7.[模块融合]若直线l的倾斜角是过点（1，6），（－1，2）的直线的倾斜角的2倍，则直线l的斜率为　　　　. 答案：－ 解析：设过点（1，6），（－1，2）的直线的倾斜角为θ， 则tan θ＝＝2. 又直线l的倾斜角是2θ， ∴直线l的斜率k＝tan 2θ＝＝＝－. 斜率公式的应用 8.已知两点M（2，－1），N（5，6），直线l过点P（1，3）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　. 答案： 解析：由点P（1，3），N（5，6），则直线PN的斜率kPN＝＝. 由点P（1，3），M（2，－1），则直线PM的斜率kPM＝＝－4. 由图可知，kPM≤k≤kPN， 即－4≤k≤. 9.（2026·广东广州月考）已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点. （1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值； （2）若过B，C两点的直线的方向向量为（1，－2），求m的值； （3）若A，B，C三点共线，求m的值. 解：（1）由题意，kAC＝2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1. （2）由题意，kBC＝＝，解得m＝5. （3）kAB＝＝－1. 因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC， 即2－m＝－1，解得m＝3. 　 1.（2026·浙江衢州五校联考）已知直线l的倾斜角为α，则“sin α＝”是“直线l的斜率为”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　直线l的倾斜角为α，可得α∈[0，π），由sin α＝，可得α＝或α＝， 则直线l的斜率为k＝tan＝或k＝tan＝－，所以充分性不成立； 反之，若直线l的斜率为，可得α＝，所以sin α＝，所以必要性成立. 所以直线l的倾斜角为α，则“sin α＝”是“直线l的斜率为”的必要不充分条件. 2.过点P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（，2）两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角θ的取值范围是（　　） A. B. C. D.∪ 解析：D　由题意得kPA＝＝－1，kPB＝＝. ∵l与线段AB相交，设直线l的斜率为k， ∴kPA≤k≤kPB，∴－1≤k≤， ∴0≤tan θ≤或－1≤tan θ＜0. 由于y＝tan θ在和上均单调递增， ∴直线l的倾斜角θ的取值范围为∪. 3.（2026·河北邢台月考）已知A（m＋2，m），B（1，2），C（m2，32）三点共线，则m＝（　　） A.－1 B.－4或7 C.－1或－4或7 D.1或－4或7 解析：C　当这三点所在的直线斜率不存在时，m＋2＝m2＝1，解得m＝－1，满足条件. 当这三点所在的直线斜率存在时，kAB＝kBC，即＝，解得m＝－4或m＝7. 综上，若A，B，C三点共线，则m＝－1或m＝－4或m＝7. 4.（多选）已知直线l1经过A（－1，0），B（2，6）两点，C（a，b）是线段AB上一点，下列命题正确的是（　　） A.直线l1的斜率为2 B.将l1绕其与x轴的交点逆时针旋转得到的直线的斜率为3 C.＝2 D.的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞） 解析：AC　设直线l1的倾斜角为α，则直线l1的斜率k＝tan α＝＝2，故A正确； 将l1绕其与x轴的交点逆时针旋转后，所得直线的倾斜角为α＋， 斜率k'＝tan＝＝＝－3，B错误； 表示点C与点A连线的斜率，因为C是线段AB上一点，所以kAC＝kAB＝2，C正确； 表示点（a，b）与点D（1，2）连线的斜率，如图， 由kBD＝＝4，kAD＝＝1，所以的取值范围为[－∞，1]∪[4，＋∞），D错误. 5.（2026·辽宁大连期中）已知θ为直线l的倾斜角，若直线l的方向向量为n＝（2a，a2＋1），a∈R，那么当实数a变化时，θ的取值范围是　　　　　. 答案： 解析：当a＝0时，n＝（0，1），此时直线l垂直于x轴，θ＝. 当a≠0时，直线l的斜率k＝tan θ＝＝，θ∈∪， 当a＞0时，由基本不等式可得k≥，当且仅当a＝1时等号成立，此时θ∈； 当a＜0时，由基本不等式可得k＝tan θ＝＝－≤－，当且仅当a＝－1时等号成立，此时θ∈. 综上，θ∈. 6.[真实情境]斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图是一座斜拉桥，共有10对斜拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距｜Pi｜（i＝1，2，3，…，9）约为4.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜Ai｜（i＝1，2，3，…，9）均为16 m.最短拉索的锚P1，A1满足｜OP1｜＝57 m，｜OA1｜＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为　　　　　. 答案：±0.42 解析：如图，以O为原点建系，根据题意，最短拉索的锚P1，A1满足｜OP1｜＝57 m，｜OA1｜＝86 m， 且｜Pi｜（i＝1，2，3，…，9）均为4.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距｜Ai｜（i＝1，2，3，…，9）均为16 m，则｜OA10｜＝｜OA1｜＋｜A1A10｜＝86＋9×16＝230 m，即点A10（230，0）， 同理B10（－230，0）. 又｜OP10｜＝｜OP1｜＋｜P1P10｜＝57＋9×4.4＝96.6，即点P10（0，96.6）， 所以＝＝－0.42，＝＝0.42， 即最长拉索所在直线的斜率为±0.42. 7.（2026·江苏盐城联考）已知坐标平面内两点M（2m＋3，3m＋4），N（3m－1，m－1）. （1）当直线MN的斜率不存在时，求m的值； （2）当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围. 解：（1）直线MN的斜率不存在时，点M（2m＋3，3m＋4），N（3m－1，m－1）的横坐标相等， 即2m＋3＝3m－1，解得m＝4. （2）当直线MN的倾斜角为锐角时，斜率k＝＝＞0， 即（2m＋5）（m－4）＜0，解得－＜m＜4； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率k＝＝＜0， 即（2m＋5）（m－4）＞0，解得m＜－或m＞4. 综上，当直线MN的倾斜角为锐角时，m的取值范围为； 当直线MN的倾斜角为钝角时，m的取值范围为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $