1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试教师用书（人教A版）

第2课时　 用空间向量研究夹角问题 　 异面直线所成角的计算 1.[教材例题变式]如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD＝1，AB＝，△PAB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与PD所成角的余弦值是（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为AB，AD，AP两两垂直， 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 又因为PA＝AB＝，AD＝1， 所以B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，）. 因为点E是棱PB的中点，所以E， 所以＝，＝（0，1，－）， 可得cos＜，＞＝＝， 所以异面直线EC与PD所成角的余弦值是.故选B. 2.（2026·浙江金华十校联考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，N在线段CC1上，且C1N＝2NC，则DB1与MN所成角的余弦值为（　　） A.1 B.0 C. D. 解析：D　建立空间直角坐标系，如图.不妨设AB＝6，则D（0，0，0），B1（6，6，6），M（6，3，0），N（0，6，2）， 所以＝（6，6，6），＝（－6，3，2）. 设直线DB1与MN所成角为θ， 则cos θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝. 3.[一题多解]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则直线A1B与B1C所成角的余弦值为（　　） A.　　　B. C.0　　　D. 解析：B　方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），B1（0，0，2），A1（1，，2），C（2，0，0）， 所以＝（－1，－，－2），＝（2，0，－2）. 所以直线A1B与B1C所成角的余弦值为｜cos＜，＞｜＝＝. 方法二：由题意A1B＝＝2，同理可得B1C＝2. 因为A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC，即·＝0，同理，·＝0. 所以·＝（＋）·（＋）＝·＋·＋·＋· ＝｜｜｜｜＋｜｜｜｜cos（π－∠ABC）＝2×2＋2×2×＝2， 所以cos＜，＞＝＝＝， 故直线A1B与B1C所成角的余弦值为. 方法三：如图，分别取A1B1，BC，BB1的中点G，F，E，连接GE，EF，GF. 易知∠GEF是直线A1B与B1C所成角或其补角. 过点G作GH⊥AB于点H，则H为AB的中点，连接HF，可求得GF＝＝＝. 又GE＝EF＝＝， 所以cos∠GEF＝＝＝－. 所以直线A1B与B1C所成角的余弦值为. 线面角的计算 4.（2026·江苏南通月考）若直线l的一个方向向量为e＝（1，1，0），平面α的一个法向量为n＝（0，－，），则直线l与平面α所成角的大小为（　　） A. B. C.或 D.或 解析：A　设直线l与平面α所成角为θ，则θ∈， 由sin θ＝｜cos＜e，n＞｜＝＝＝＝，解得θ＝. 5.如图，圆锥PO的底面圆周上有A，B，C三点，AB为底面圆O的直径，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若AB＝PO＝2，则直线CD和平面PBC所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　建立空间直角坐标系如图所示， 则O（0，0，0），P（0，0，2），A（0，－1，0），B（0，1，0），C（1，0，0），D， 可得＝（0，1，－2），＝（1，0，－2），＝. 设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），则 令z＝1，则x＝y＝2，可得n＝（2，2，1）. 设直线CD和平面PBC所成角为θ， 可得sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.故选B. 6.（2026·浙江台州期中）如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，直线CC1与平面ACD1所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系，如图所示. 设DD1＝a，则A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），C1（0，2，a）. 故＝（－2，2，0），＝（－2，0，a），＝（0，0，a）. 设平面ACD1的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则可取n＝， 故cos＜n，＞＝＝＝. 又直线CC1与平面ACD1所成角的正弦值为，所以＝，解得a＝4. 两平面夹角的计算 7.在空间直角坐标系中，平面α的一个法向量为m＝（0，1，0），平面β的一个法向量为n＝（0，－1，－1），则平面α与平面β的夹角为（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意得平面α与平面β夹角的余弦值为｜cos＜m，n＞｜＝＝， 所以平面α与平面β的夹角为. ｜易错提醒｜ 　　两个平面夹角的范围为，二面角的平面角的范围为[0，π].注意平面PAB与平面QAB的夹角和二面角P-AB-Q两者表述上的差异，前者是锐角或直角，后者可能为钝角. 8.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，A1C1＝1，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC中点，则平面MAC1与平面AC1C所成角的余弦值为　　　　. 答案： 解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 可得A（0，0，0），M（1，1，0），C1（0，1，2），＝（1，1，0），＝（0，1，2）. 设平面MAC1的法向量为n＝（x，y，z），则 取x＝2，可得y＝－2，z＝1，所以n＝（2，－2，1）. 易知平面AC1C的一个法向量为m＝（1，0，0）. 所以平面MAC1与平面AC1C所成角的余弦值为｜cos＜m，n＞｜＝＝＝. 9.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝3，AA1＝4，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为　　　；二面角D1-AB-C的正弦值为　　　. 答案：　 解析：如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B（3，3，0），A（3，0，0），C（0，3，0），B1（3，3，4），D1（0，0，4），＝（－3，0，4），＝（－3，0，－4），＝（0，3，0）， 所以｜cos＜，＞｜＝＝＝. 所以异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为. 设平面D1AB的一个法向量为n1＝（x，y，z）， 由得令x＝4，z＝3，y＝0， 则n1＝（4，0，3）. 设平面ABC的一个法向量为n2＝（0，0，1）， 所以cos＜n1，n2＞＝＝， 所以二面角D1-AB-C的正弦值为＝. 　 1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝BC，E，F分别为CD，PC的中点，则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　建立如图所示空间直角坐标系，设AB＝2， 则P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0）， 由F，E分别为PC，CD的中点，则F（1，1，1），E（1，2，0）， 则＝（－1，1，1），＝（2，0，0），＝（1，2，－2）， 设平面ABF的法向量为n＝（x，y，z）， 则设y＝1，则z＝－1，x＝0， 所以平面ABF的法向量为n＝（0，1，－1）. 设直线PE与平面ABF所成角为θ， sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝＝.故选C. 2.（2026·浙江“9＋1”高中联盟联考）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C上的动点，则异面直线BP与AD1所成角的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析：B　设正方体的棱长为1，异面直线BP与AD1所成角为θ，建立空间直角坐标系，如图. 所以A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）， 所以＝（1，－1，1），＝（－1，0，0），＝（－1，0，1）. 设＝λ＝（λ，－λ，λ）（0≤λ≤1）， 所以＝＋＝（λ－1，－λ，λ）. 所以·＝1，｜｜＝，｜｜＝＝， 所以cos θ＝＝. 因为3λ2－2λ＋1＝3＋，0≤λ≤1， 所以当λ＝时，3λ2－2λ＋1取最小值，此时cos θ取最大值. 因为θ∈，所以θ的最小值为， 所以异面直线BP与AD1所成角的最小值为. 3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝，则平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 解析：D　在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系， A1（2，0，0），B1（2，2，0），B（2，2，2），由＝，得P， 则＝（0，2，0），＝（0，2，2），＝. 设平面A1BP的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得n＝（2，1，－1）. 设平面A1B1P的法向量为m＝（a，b，c），则令a＝1，得m＝（1，0，1）. 所以平面A1BP与平面A1B1P夹角的余弦值为｜cos＜m，n＞｜＝＝＝.故选D. 4.（多选）（2026·河北石家庄七校联考）如图，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为CC1的中点，则（　　） A.A1B与B1C所成的角为 B.DB1⊥A1B C.AE＝ D.DB1与平面ABCD所成的角为 解析：AB　以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）， 所以＝（0，2，－2），＝（－2，0，－2），＝（2，2，2），＝（－2，2，1）， 所以cos ＜，＞＝＝＝，·＝0， 所以A1B与B1C所成的角为，DB1⊥A1B，｜｜＝3. 易知平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，2），设DB1与平面ABCD所成的角为θ， 所以sin θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝≠，所以A、B正确，C、D错误. 5.如图所示，空间直角坐标系Axyz中，P（x，y，z）是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，A1A＝AB＝2，直线PA和底面ABC所成的角为，则x2＋y2的值为　　　　. 答案： 解析：在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A＝AB＝2，可得A（0，0，0），A1（0，0，2），又P（x，y，z）是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1内一动点，则z＝2，所以＝（－x，－y，－2），又AA1⊥平面ABC，所以＝（0，0，2）是平面ABC的一个法向量.因为直线PA和底面ABC所成的角为， 所以｜cos＜，＞｜＝＝＝＝，整理得4＝3x2＋3y2，所以x2＋y2＝. 6.[一题多解]如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2CD＝4，AD＝2. （1）求证：CD1∥平面ABB1A1； （2）若CD1与平面ABCD所成的角为60°，求平面ACD1与平面ABCD夹角的余弦值. 解：（1）证明：方法一 （几何法）：取AB的中点E，连接A1E，CE. 在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AB＝2CD＝4，AD＝2， 所以AE∥CD且AE＝CD，AB⊥AD，所以四边形ADCE为正方形， 所以CE＝AD＝A1D1且CE∥AD∥A1D1， 所以四边形A1D1CE为平行四边形，所以CD1∥A1E. 因为CD1⊄平面ABB1A1，A1E⊂平面ABB1A1， 所以CD1∥平面ABB1A1. 方法二 （向量法）：分别以AD，AB，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（2，2，0），D（2，0，0），则＝（2，0，0）. 因为AD⊥平面ABB1A1，所以＝（2，0，0）为平面ABB1A1的法向量. 设D1（2，0，m），则＝（0，－2，m）. 因为·＝0，所以⊥，且CD1⊄平面ABB1A1，所以CD1∥平面ABB1A1. （2）方法一 （几何法）：连接DE交AC于O，连接D1O，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 因为D1D⊥平面ABCD，所以CD为CD1在平面ABCD内的射影， 所以∠D1CD为CD1与平面ABCD所成的角，即∠D1CD＝60°. 在Rt△D1CD中，CD＝2，所以D1D＝2. 因为AD＝DC，O为AC的中点，所以DO⊥AC. 因为D1A＝，D1C＝，所以D1A＝D1C. 因为O为AC的中点，所以D1O⊥AC， 所以∠D1OD为平面ACD1与平面ABCD的夹角. 在Rt△D1OD中，因为OD＝，D1D＝2，所以OD1＝， 所以cos∠D1OD＝＝＝， 即平面ACD1与平面ABCD夹角的余弦值为. 方法二（向量法）：设D1（2，0，m）（m＞0），因为C（2，2，0）， 所以＝（0，－2，m），＝（0，0，m）为平面ABCD的法向量， 所以sin 60°＝｜cos＜，＞｜＝＝， 所以m2＝12，所以m＝2. 所以平面ABCD的法向量为＝（0，0，2）. 因为A（0，0，0），C（2，2，0），D1（2，0，2），所以＝（2，2，0），＝（2，0，2）， 设m＝（x，y，z）为平面ACD1的法向量，则 可取m＝. 设平面ACD1与平面ABCD的夹角为θ， 所以cos θ＝｜cos＜m，＞｜＝＝， 即平面ACD1与平面ABCD夹角的余弦值为. ｜知识总结｜ 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线 所成的角 设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝｜cos＜u，v＞｜＝ 直线与平面所 成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝｜cos＜u，n＞｜＝ 平面与平面的 夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝ 7.（2026·湖北黄冈期中）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面A1B1BA是边长为2的菱形，且与底面ABC的夹角为60°，∠A1AB＝60°，点O为AB中点. （1）求证：平面ABC⊥平面A1OC； （2）求平面A1OB与平面A1OC1夹角的余弦值. 解：（1）证明：在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，由O为等边△ABC边AB的中点，得CO⊥AB. 在菱形A1B1BA中，由∠A1AB＝60°，得△AA1B为正三角形，A1O⊥AB， 而A1O∩CO＝O，A1O，CO⊂平面A1OC，则AB⊥平面A1OC. 又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面A1OC. （2）由（1）知∠A1OC为侧面A1B1BA与底面ABC所成的角，则∠A1OC＝60°. 由AA1＝AB＝AC＝BC＝2，得A1O＝CO＝，则△A1OC为正三角形. 在平面A1OC内过点A1作A1D⊥OC于D.由平面ABC⊥平面A1OC， 平面ABC∩平面A1OC＝OC，则A1D⊥平面ABC，过O作Oz∥A1D， 则直线OB，OC，Oz两两垂直，以O为原点，直线OB，OC，Oz分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则O（0，0，0），A（－1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），A1， ＝，＝（1，0，0，），＝＝（1，，0）. 设平面A1OC1的一个法向量为m＝（x，y，z），则 取z＝1，得m＝（3，－，1）. 设平面A1OB的一个法向量为n＝（a，b，c），则取c＝1，得n＝（0，－，1）， 所以平面A1OB与平面A1OC1夹角的余弦值为｜cos＜m，n＞｜＝＝＝. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $