2.2.3 直线的一般式方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2．2.3　直线的一般式方程 知识点　直线的一般式方程 第一课时 第一部分 2 #复习回顾 截距式方程： 斜截式： 直线 l 经过点P0(0,b)，斜率为k y=kx+b 点斜式： 直线 l 经过点P0(x0,y0)，斜率为k 两点式方程： 探究新知 斜截式： 直线 l 经过点P0(0,b)，斜率为k y=kx+b 点斜式： 直线 l 经过点P0(x0,y0)，斜率为k 化简整理 化简整理 探究新知 截距式方程：直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b 两点式方程：直线经过两点 化简整理 化简整理 1．定义 由上述的化简整理运算我们发现，不管是利用直线的何种形式求得的直线方程，我们都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示(其中A，B不同时为0)． 我们把关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 返回首页 2．直线方程的一般式与其他形式的互化 返回首页 一、直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式。 斜率： 例题讲解 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为，求直线的点斜式方程和一般式方程. 化为一般式，得 4x+3y-12=0 书65 例2把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形. y O -6 2 l 书66 二、平行与垂直 直线l1的方程为：Ax+By+C=0 (A,B不同时为0） 若l2 // l1，,则直线l2斜率 若l2 ⊥ l1，则直线l2的斜率 斜率 练习巩固 例1(书67页第8题) 求满足下列条件的直线的方程： (1) 经过点A(3,2)，且与直线4x+y-2=0平行； 解:(1)由于直线4x+y-2=0的斜率为-4， 则由平行的条件可得，所求直线得斜率为-4， 则所求直线得方程为y-2=-4(x-3)，即4x+y-14=0 练习巩固 例1 (书67页第8题)求满足下列条件的直线的方程： (2) 经过点M(2,-3)，且平行于过M(1,2)和N(-1,-5)两点的直线； 练习巩固 例1(书67页第8题) 求满足下列条件的直线的方程： (3) 经过点B(3,0)，且与直线2x+y-5=0垂直. 探究 在方程Ax+By+C=0中，A,B,C为何值时，方程表示的直线： ①平行于x轴？ ②平行于y轴？ ③与x轴重合？ ④与y轴重合？ A=0,B≠0,C=0 直线方程：y=0 A≠0,B=0,C=0 直线方程：x=0 书65 应用点一　利用一般式方程研究平行、垂直问题 角度1　由平行、垂直求直线的方程 例2　求满足下列条件的直线l的方程： (1)直线l过点(－2，1)，且与直线x＋y－3＝0平行； 【解】　方法一：由直线l与直线x＋y－3＝0平行，可得直线l的斜率k＝－1. 又直线l过点(－2，1)，由点斜式可得直线l：y－1＝－(x＋2)，即直线l：x＋y＋1＝0. 方法二：由直线l与直线x＋y－3＝0平行，可设直线l的方程为x＋y＋m＝0(m≠－3)， 将点(－2，1)代入上式得m＝1，所以直线l的方程为x＋y＋1＝0. 返回首页 (2)直线l过点(－1，2)，且与直线x＋3y＋1＝0垂直． 方法二：由直线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为3x－y＋n＝0，将点(－1，2)代入上式得n＝5，所以所求直线的方程为3x－y＋5＝0. 返回首页 【感悟提升】　与已知直线平行、垂直的直线方程的求法 (1)先求出已知直线的斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式求出直线的方程． (2)利用待定系数法(直线系)求直线的方程． 常用结论　(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C). (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 返回首页 角度2　由直线的平行、垂直求参数值 例3　已知直线l1：x＋y＋2＝0；直线l2：mx＋2y＋n＝0. (1)若l1⊥l2，求实数m的值； 【解】　由直线l1：x＋y＋2＝0，l2：mx＋2y＋n＝0，因为l1⊥l2，可得1×m＋1×2＝0，解得m＝－2. 返回首页 (2)若l1∥l2，且直线l2在y轴上的截距与直线l1在y轴上的截距互为相反数，求直线l2的斜截式方程． 返回首页 　　　1.(2026·中卫月考)直线l与直线x＋y－2＝0垂直，且它在y轴上的截距为4，则直线l的一般式方程为____________． 解析：直线x＋y－2＝0的斜率为－1，因为直线l与直线x＋y－2＝0垂直，所以直线l的斜率为1， 又因为直线l在y轴上的截距为4，所以直线l的方程为y＝x＋4，即x－y＋4＝0. 训练 x－y＋4＝0 返回首页 2．若直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行，则a＝________． 解析：因为直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋ay－1＝0平行， 所以(a－1)a＝2×3，解得a＝3或a＝－2. 当a＝3时，直线l1：2x＋2y＋1＝0与直线l2：3x＋3y－1＝0平行，符合题意； 当a＝－2时，直线l1：3x－2y－1＝0与直线l2：3x－2y－1＝0重合，不符合题意． 综上可得a＝3. 3 返回首页 应用点二　含参一般式方程的应用 例4　(2026·驻马店月考)已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R. (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； 返回首页 (2)在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线l′的方程． 返回首页 返回首页 　　　设直线l的方程为(a＋1)x＋y－5－2a＝0(a∈R)，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A(xA，0)，B(0，yB). (1)当xA·yB最小时，求直线l的方程； 训练 返回首页 返回首页 (2)当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时,求直线l的方程． 返回首页 $