专题1 空间直角坐标系的建立技巧（PPT版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试配套课件（人教A版）

专题1 空间直角坐标系的建立技巧 [编者按]　空间中的向量运算的结果可以翻译成空间几何关系，是解决立体几 何问题的基本方法，例如向量垂直可以推导线线垂直，向量夹角可以表示异面 直线夹角，以及后续要涉及的两个平面的夹角、点面距离等，解决这些问题的 一个基本前提是建立合适的坐标系，求出点和向量的坐标，进行坐标运算.建立 空间直角坐标系的关键是找到或构造出三条共点且两两垂直的直线，并将几何 体中尽可能多的顶点放到坐标轴上.需要注意的是，不同的建系方法，点的坐标 可能不同，但向量的坐标、所求角的大小，位置关系是确定的. 　 　　几何体自带三条相交于同一点且两两垂直的棱，直接建系.常见图形：底 面为矩形（底面存在垂直关系）的各种直棱柱、底面为矩形且有一条侧棱垂直 底面的棱锥等. 利用共顶点的三条棱建系 1. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的 中点，BC＝CA＝CC1＝2.建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，A1， B1，C1，M，N的坐标，并求异面直线BM与AN所成角的余弦值. 1 2 3 4 5 解：由直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°， 可知AC，BC，CC1三条直线互相垂直，建系如图， 则A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2）， A1（2，0，2），B1（0，2，2），N（1，0，2），M（1， 1，2），所以＝（－1，0，2），＝（1，－1，2）， 所以｜cos ＜，＞｜＝ ＝＝，即异面直线BM与AN所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 2. [一题多解]如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，Q是线段PD上一点，且PQ＝PD. （1）建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，P，Q的坐标； 1 2 3 4 5 解：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，且AB⊥AD， 所以以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建 立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0）， D（0，2，0），P（0，0，2）. 可得＝（0，0，2），＝（0，2，－2）. 因为＝＝，则＝＋＝， 所以点Q. 1 2 3 4 5 （2）线段BC上是否存在点M，使得直线PM∥QC？说明理由. 解：不存在点M，使得PM∥QC.理由如下： 方法一：利用向量，先设再证. 设M（1，a，0），0≤a≤2，则＝（1，a，－2）. 又＝，若∥，则存在实数λ使得＝λ， 即无解，所以不存在点M，使得PM∥QC. 1 2 3 4 5 方法二：利用异面直线的判定. 点M在点C处时，显然PM∥QC不成立. 点M不在点C处时， PM⊂平面PBC，QC⊄平面PBC，QC∩平面PBC＝C， 又点C∉PM，所以PM，QC异面. 所以不存在点M，使得PM∥QC. 1 2 3 4 5 利用线面垂直的关系建系 　　几何体中存在线面垂直关系，可令垂线为z轴，底面中的一条直线为x轴 （或y轴），再作出另一条与这两条直线互相垂直的直线为y轴（或x轴）. 1 2 3 4 5 3. 在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，AD＝BC＝2AB＝2CD＝2，M是AC的 中点，DN＝AN，建立适当的坐标系求点A，B，C，D，N，M的坐标. 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 由AB⊥平面BCD，且BD，CD⊂平面BCD， 所以AB⊥BD，AB⊥CD，又AD＝BC＝2AB＝2CD， 所以△ABD与△CDB全等，所以∠CDB＝∠ABD， 1 2 3 4 5 即CD⊥BD，所以CD∥BE. 又BD＝＝， 由此可得A（0，0，1），B（0，0，0），C（－1，，0），D（0，，0）. 由M是AC的中点，可得M. 由DN＝AN，可得＝. 所以xN＝0，yN＝yD＝，zN＝zA＝，所以N. 1 2 3 4 5 利用面面垂直的关系建系 　　几何体中存在面面垂直关系，利用面面垂直的性质，在一个平面内作交线的垂线，以垂线和交线为其中的两个坐标轴建立坐标系. 1 2 3 4 5 4. 如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，AB＝4， AD⊥BD，△SAD为等边三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，E是AB的中点， F是侧棱SC的中点. （1）建立适当的空间直角坐标系，并求点A，B，C，D，S，E，F的坐标； 1 2 3 4 5 解：如图，取AD的中点O，连接OE，OS， 因为△SAD为等边三角形，则SO⊥AD. 因为平面SAD⊥平面ABCD， 且平面SAD∩平面ABCD＝AD，SO⊂平面SAD，则SO⊥平面ABCD， 又AD⊥BD，OE∥BD，则OE⊥AD，即OA，OE，OS两两垂直， 故以点O为坐标原点， 分别以OA，OE，OS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 因为AD＝2，AB＝4，AD⊥BD， 所以SO＝AD＝，BD＝＝2， 1 2 3 4 5 所以A（1，0，0），B（－1，2，0），C（－3，2，0）， D（－1，0，0），S（0，0，），E（0，，0）， F. 1 2 3 4 5 （2）求证：EF⊥BS； 证明：由（1）知＝，＝（1，－2，）， 所以·＝－＋＝0，即⊥. 所以EF⊥BS. 1 2 3 4 5 （3）在SD上找一点H，使得AH∥EF，并求的值. 解：设＝λ，则＝λ＝（λ，0，λ）， 所以＝＋＝（－2＋λ，0，λ）. 因为AH∥EF，所以＝，解得λ＝. 所以＝，即点H在SD的中点处. 1 2 3 4 5 利用底面垂直关系建系 几何体中无明显的线面垂直或面面垂直，可以在底面中寻找互相垂直的两条直线，以这两条直线分别为x轴和y轴，并以它们的交点为原点，与底面垂直的直线为z轴建立坐标系. 1 2 3 4 5 5. 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长均为3，M为B1D1中点， ∠A1AB＝∠A1AD＝120°，∠BAD＝90°. （1）建立适当的坐标系，写出点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，M的 坐标； 解：连接AC，BD相交于点O，连接OC1，BC1，DC1， 易知AC1＝BC1＝CC1＝DC1＝3，底面ABCD是正方形， 所以四棱锥C1-ABCD为正四棱锥， 1 2 3 4 5 分别以OB，OA，OC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 Oxyz， 则A，B， C，D， A1，B1， C1，D1，M. 1 2 3 4 5 （2）求AC1的长； 解：＝，故AC1＝＝3. 1 2 3 4 5 （3）求异面直线AM与CB1所成角的余弦值. 解：易知＝，＝， 所以cos＜，＞＝＝＝. 所以异面直线AM与CB1所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 $