第03讲 二项式定理（复习课件）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

二项式定理 第03讲 3大知识点 10大题型 核心考点 2026 2025 2024 排列组合 _______ _______ 全国甲卷（理）T13（5分） 考情分析 从近三年全国卷考查情况来看，二项式定理多以选择、填空题形式命题，侧重基础运算与基本方法，整体难度中等偏下，与教材习题难度接近。该知识点直接考查的占比有降低趋势，但作为计数原理板块的核心内容，仍是高考备考不可忽视的基础模块。 复习目标 1.能用多项式运算法则与计数原理，完成二项式定理的证明。 2.熟练运用二项式定理，掌握通项、系数相关计算，求解二项展开式中的各类基础问题，区分二项式系数与项的系数，规范处理参数取值。 01 命题透视・考情前瞻 02 思维建模・脉络梳理 知识点1二项式定理 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点1二项式定理 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点1二项式定理 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点1二项式定理 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点2二项式系数的性质 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点1二项式定理 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 知识点3赋值法求各项系数和 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点3赋值法求各项系数和 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【自主检测】 解 析 知识点3赋值法求各项系数和 03 知识精讲・靶向突破 知识解构 【例1-1】 题型1二项展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1二项展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例1-2】 题型1二项展开式的特定项 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 通项求值法 方法技巧 易错点 题型1二项展开式的特定项 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-1】 题型1二项展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-2】 题型1二项展开式的特定项 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式1-3】 题型1二项展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型1二项展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-1】 题型2二项展开式的有理项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2二项展开式的有理项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例2-2】 题型2二项展开式的有理项 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-1】 题型2二项展开式的有理项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-2】 题型2二项展开式的有理项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型2二项展开式的有理项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式2-3】 题型2二项展开式的有理项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-1】 题型3三项展开式的指定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3三项展开式的指定项 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 解 析 题型3三项展开式的指定项 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例3-2】 解 析 题型3三项展开式的指定项 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 分组转化法 方法技巧 易错点 题型3三项展开式的指定项 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-1】 题型3三项展开式的指定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3三项展开式的指定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-2】 题型3三项展开式的指定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型3三项展开式的指定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式3-3】 题型3三项展开式的指定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-1】 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 故选：A 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例4-1】 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 配凑指数法 方法技巧 易错点 题型4多个二项式积的展开式的特定项 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-1】 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-2】 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式4-3】 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型4多个二项式积的展开式的特定项 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-1】 题型5赋值法求系数和 解 析 故选：A 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例5-2】 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 特值代入法 方法技巧 易错点 题型5赋值法求系数和 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-1】 题型5赋值法求系数和 解 析 故选：D 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-2】 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式5-3】 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型5赋值法求系数和 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-1】 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例6-2】 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-1】 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-2】 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式6-3】 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型6二项式系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例7-1】 题型7系数的最值 解 析 故选：C 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例7-2】 题型7系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 邻项比较法 方法技巧 易错点 题型7系数的最值 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式7-1】 题型7系数的最值 解 析 故选：B 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式7-2】 题型7系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式7-3】 题型7系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型7系数的最值 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例8-1】 题型8整除和余数问题 解 析 故选：A 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例8-2】 题型8整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型8整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 拆项放缩法 方法技巧 易错点 题型8整除和余数问题 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式8-1】 题型8整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式8-2】 题型8整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式8-3】 题型8整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型8整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例9-1】 题型9杨辉三角 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例9-2】 题型9杨辉三角 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式9-1】 题型9杨辉三角 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式9-2】 题型9杨辉三角 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式9-3】 题型9杨辉三角 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型9杨辉三角 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例10-1】 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【例10-2】 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式10-1】 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式10-2】 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【变式10-3】 题型10整除和余数问题 解 析 03 知识精讲・靶向突破 题型破译 【1】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【2】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【3】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【4】 解 析 04 真题溯源・考向感知 【1】 解 析 故选：C 05 课本典例・高考素材 121 【2】 解 析 故选：D 05 课本典例・高考素材 122 【3】 解 析 05 课本典例・高考素材 123 【4】 解 析 05 课本典例・高考素材 124 【5】 解 析 05 课本典例・高考素材 125 解 析 05 课本典例・高考素材 126 【6】 解 析 05 课本典例・高考素材 127 【7】 解 析 05 课本典例・高考素材 128 解 析 05 课本典例・高考素材 129 解 析 05 课本典例・高考素材 130 解 析 05 课本典例・高考素材 131 解 析 05 课本典例・高考素材 132 【8】 解 析 05 课本典例・高考素材 133 1.二项式定理公式 对于任意正整数，有： 等式右边的多项式叫做的二项展开式。 2.通项公式 展开式的第项（注意不是第项）：，其中叫做二项式系数。 区分概念： ①二项式系数：只指组合数，恒为正；②项的系数：该项除去变量以外的常数部分，包含前面的正负符号，不一定等于二项式系数。 3.二项展开式特点 （1）项数：一共有项，比二项式的次数大1； （2）次数：每一项里、的次数之和等于；按降幂排列，按升幂排列； （3）二项式系数：依次为；最大二项式系数出现在中间位置。 重要提醒： （1）与展开式的第项不一样，不能随意交换； （2）遇到，视作代入通项公式计算。 4.两个常用变形 的展开式的通项公式为， 令，得，则，解得 若的展开式中常数项为15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 由二项式定理可得，，故. 设，则________． （1）两端为1： （2）杨辉三角性质：，每个数等于肩上两数之和。 （3）对称性：与首末两端等距离的二项式系数相等： （4）二项式系数总和：令 （5）奇数项、偶数项二项式系数和相等：令 （6）二项式系数的最大值 ①为偶数：一共项，中间只有1项，第项二项式系数最大； ②为奇数：一共项，中间有两项，第项和第项，，两者相等且最大。 求展开式系数最大项（不是二项式系数） 用待定系数法。设第项系数最大，设各项系数为，列不等式组：，解不等式得到的取值。 展开式共有项，二项式系数最大的项是中间项，即第5项. 在的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 设，二项式是恒等式，可以给赋特殊值。 （1）全部项系数之和：令 （2）奇偶交错和：令 联立两式做加减运算： ①奇数项系数和： ②偶数项系数和： （3）常数项：令，。 ， 令，得； 令，得； . 若，则的值为______． 令，则； 令，则， ，， 已知，则的值是_________． 由二项式定理得通项公式为， （2025·山东青岛·三模）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 令，解得，得到 故展开式中常数项为. 的展开式中的系数为，故． （2025·江苏南通·模拟预测）已知的展开式中的系数为80，则实数（   ） A． B． C．2 D．-2 利用通项公式，根据题目要求的项，列出字母指数方程，解出的值。 将求得的代回通项，算出该项的二项式系数或项的系数。 注意看清所求目标，区分二项式系数与项的系数，不要混淆概念，必须为非负整数。 方法一：二项式定理的展开式的通项公式为，令，解得， 代入，得，因此的系数为． 方法二：完全平方公式展开 因为，所以的系数为． （2025·宁夏中卫·模拟预测）的展开中，的系数为__________． 由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. （2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知展开式中项的系数为，则（    ） A．2 B． C．4 D． 由于，而 中的系数为， 中的系数为，的系数为， （2026·广东阳江·二模）已知，则________________． 中的系数为，的系数为， 中的系数为，的系数为， 故，， 因此． 由题意得的展开式的通项公式如下， 为， 由题意可知，为整数且， （2025·四川绵阳·三模）的展开式中所有的有理项有（   ）项 A．1 B．2 C．3 D．4 所以或或，所以， ，， 所以的展开式中所有的有理项有3项. 由二项式展开式的通项为，当和时，可得展开式中系数为有理数的项为，其系数之和为. （2025·广东河源·三模）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为（    ） A．-30 B．-29 C．1 D．31 二项式展开式的通项公式为，当且仅当为整数时，为有理项，此时，因此在的展开式中有理项的项数共有5项，而展开式的总项数为25项，所以在的展开式中无理项的项数共有20项. （2025·河北保定·二模）在的展开式中无理项的项数共有________项． 因为的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等， 所以，得，所以的展开式的通项为 （2025·湖南永州·三模）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，将展开式中所有的项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． ，()， 当或时，为整数，所以展开式9项中，有理项有2项，若将展开式中所有的项重新随机排列，则所有的排列共有种，其中有理项互不相邻的排列有种， 所以所求的概率为. 由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. （2025·广东广州·模拟预测）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 由的二项展开式的通项公式为，， 又的二项展开式的通项公式为 （2025·山西长治·二模）在的展开式中，常数项为（     ） A． B． C． D． ，， 所以的展开通项公式为，，， 令，即，则的取值只可能为， 当时，，则对应项的系数为， 当时，，则对应项的系数为， 当时，，则对应项的系数为， 所以常数项为． 的展开式由三部分组成，要配凑出，则需要个，个，个，所以项为，即系数为. （2026·湖南怀化·模拟预测）在的展开式中，项的系数为__________． 把三项式中两项合并看成整体，转化为二项式，连续两次使用二项式通项展开。 分步确定两层展开中对应的参数，联立求出满足指数条件的取值。 计算时层级较多，建议分步书写，防止指数运算出错，仔细核对每一步的次数。 方法1：可以看作8个连乘，要得到， 在8个因式中，必有7个因式选，余下的1个因式选， 故其系数为． 方法2：，因为展开式的通项为 （2025·辽宁鞍山·模拟预测）的展开式中，的系数为（    ）． A．8 B．36 C．16 D．32 ，的展开式的通项为， 所以的通项为，，． 令，得，所以，，或，． 当，时，得；当，时，得， 故的系数为． ， 中项的系数为，项的系数为，常数项为， 中项的系数为，项的系数为，常数 （2026·黑龙江双鸭山·一模）在的展开式中项的系数是（     ） A． B． C．24 D．48 项为， 所以展开式中含有项的系数为． 选取常数项；应将含有的项全部消掉（约分掉），观察项中的的指数比，为，为了将指数化为0，如果选了一个，则应该选择2个，所以所有选择的可能性有以下两种：①分别选择0个、0个、5个；②分别选择1个、2个、2个，应用组合数可得：. （2025·福建宁德·一模）的常数项为_____. 的第、、项分别为、、，所以的展开式中的系数为： . （2025·四川雅安·一模）的展开式中，的系数为（     ） A．42 B．70 C．84 D． , 的展开式通项为： , 要得到展开式中的项，分两类讨论：取第一个因式中的，乘以展开式中的项： 令，解得，对应系数为 （2025·河南三门峡·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为_____. ；取第一个因式中的，乘以展开式中的项： 令，解得， 对应系数为； 将两类系数相加，得的系数为. 分别写出每个二项式的通项，设各自参数，相乘合并，得到总次数表达式。 根据目标项的次数，寻找满足次数相加条件的参数组合，分类计算后求和。 组合情况较多，需要分类枚举，避免重复或者遗漏，细心筛选有效参数组合。 分两类计算的系数：第一类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选， 则该项次数为，其中且. （2025·吉林松原·一模）已知在的展开式中，的系数为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 令，得，解得可行解或. 当：系数为；当：系数为，故第一类对应的系数为. 第二类：因式中选，再从的个因式中选个、个，剩余个选，则该项次数为，其中且 .令，解得可行解或. ：系数为；：系数为，故第二类对应的系数为.综上可得的展开式中的系数为. 根据题意列方程：，解得.因此实数的值为. 二项式的通项公式：其中， 当时，与中的相乘得到， 当时，与中的常数项相乘得到，所以的展开式中的系数为. （2025·辽宁辽阳·二模）的展开式中的系数为______．（结果用数值表示） 原式变形为： ； 展开式的通项公式： 令，解得，代入通项得对应系数为， 中的系数：要得到，则中对应项需满足 （2025·山西临汾·二模）在的展开式中，的系数为____________．（用数字作答） 的指数为，的指数为，令，解得，中的系数为， 因此该部分贡献的系数为， 将两部分系数相加：，即的系数为. 依题意，取，得， 取，得， 所以. （2025·广西玉林·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 选项A：令，代入等式得，即，故A正确；选项B： 令，得 ①； 令，得 ②； （2025·黑龙江七台河·模拟预测）（多选）已知，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． ①-②得，即，故B正确；选项C：二项展开式的通项为， 取得，故C错误； 选项D：对原等式两边关于求导，得，令代入得，即，故D正确. 设展开多项式，令，得到所有项系数总和；令得到交错系数和。 联立两式，计算奇数项、偶数项系数和；令，直接求得常数项。 分清“二项式系数和”与“各项系数和”，二者含义不同，不要混用公式。 令，则， 其中是的系数，，所以由题可知，所以，所以或，所以m的取值为2或-4. （2026·广东清远·三模）已知，若，则m的取值为（   ） A．2 B．1 C．-4 D．2或-4 对于选项A，因为，令，可得，令，，所以，故选项A不正确； （2026·河南郑州·二模）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 对于选项B，令，； 令，；所以．故选项B正确； 对于选项C，令， 则． 再令，，故选项C错误；对于选项D， 解法一：展开式的通项为，由通项可知：，所以都大于0，都小于0， ， 令，可得， 所以，故选项D正确． 解法二：令，由 得．令可得，故选项D正确． 令，原式转化为， A选项：令得，故A错误； B选项：最高次项为，故，B正确； （2026·河南开封·三模）（多选）已知，则（     ） A． B． C． D． C选项：令得，故，C正确；D项：等式两边对求导后代入，得，D正确. 二项式展开式的二项式系数呈中间大、两边对称分布，若只有第4项的二项式系数最大，说明展开式总共有7项，因此. 二项式的第项为： （2025·四川广元·一模）的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则其展开式中含的项的系数是（     ） A． B． C． D． ， 令的指数，解得，代入得该项系数为. 因为二项式系数最大的项是第3项和第4项，则展开式共6项，故，所以二项式展开式的第4项为，系数为. （2026·山东聊城·一模）若二项式展开式中，二项式系数最大的项是第3项和第4项，则该展开式的第4项的系数为（     ） A． B．40 C． D．80 因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或,又因为所有项的系数和为1， 令，得，则为偶数，所以,, 则有展开式的通项为 （2025·辽宁阜新·一模）已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． ， 令，解得，故展开式中的系数为. 因为二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 所以，解得， 又二项式的展开式的通项公式为 （2026·山东枣庄·二模）已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则的展开式中的系数为（   ） A． B．135 C． D．28 ， 令，解得， 所以的展开式中，第五项含，其系数为. 只有第六项的二项式系数最大，则的展开式共11项，所以，其中展开式通项公式为， （2025·海南儋州·模拟预测）的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是___________．（请用数字作答） 令得，故， 所以展开式中的系数是. 二项式展开式的通项为， 可知当为偶数时，系数为正，当为奇数时，系数为负，故系数最大时为偶数，当时，系数为，当时，系数为，当时，系数为，当时，系数为，故系数最大项为． （2026·四川泸州·一模）二项式的展开式中的系数最大的项为（    ） A． B． C． D． 由题可知的通项公式为， 只有第项的系数最大， （2025·辽宁沈阳·二模）的展开式中只有第项系数最大，则的取值集合为_______. ，即， 解得， 又是正整数， 的取值为， 的取值集合为. 设第项系数为，列出不等式组。 解不等式求出整数，即可确定系数最大项，要注意系数存在正负。 该方法针对项的系数，和二项式系数最值规律不一样，不可直接套用中间项结论。 因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，，所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． （2026·山东淄博·二模）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 二项式的展开式的通项公式为且. 设展开式中系数最大的项是第项， （2025·山东潍坊·二模）在的展开式中，系数最大的项是第______项. 则，即， 即，解得，又，所以， 所以展开式中系数最大的项是第8项. 由题设，则二项式为，对应展开式为，， 所以系数最小项在为奇数时出现，且为其中最大的情况， （2025·广东茂名·一模）已知的展开式中二项式系数之和为128，则其展开式中系数最小项的系数为________. 由，故时对应系数最小， 此时系数最小项的系数为. 因为， 所以除以7的余数为1. （2025·浙江温州·模拟预测）除以7的余数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 一周共有 7 天，若 天后仍是星期六，则 是 7 的正整数倍，将变形为：， 又，因此， 根据二项式定理展开：， （2025·湖南长沙·三模）今天是星期六，若（，且）天后仍是星期六，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 展开式中前33项均含有因数7，均为7的倍数，除以7的余数为0， 仅最后一项不含因数7，因此除以7的余数为1. 由此可得除以7的余数为. 要使除以7的余数为0，需满足是7的倍数， 已知且，则，因此，解得. 把底数拆成“整倍数±常数”形式，用二项式定理展开，展开后大部分项含有除数因子。 只需单独保留最后几项，计算这部分除以除数的余数。 注意余数必须是非负数，若算出负数，要加上除数调整得到正确余数。 ， 因为都是7的整数倍， 所以除以7的余数为1. （2025·河北张家口·模拟预测）除以7的余数为__________． 由二项式定理， 因为， （2025·广西河池·一模）设，则除以8的余数为________． 由二项式定理可知，所以， （2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，则被9除所得的余数为（   ） A．8 B．0 C．1 D．2 ，所以， 所以被9除所得的余数为8. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 （2026·辽宁抚顺·一模）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4 行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（   ） A．在“杨辉三角”中，第n行的所有的数字之和为 B．在“杨辉三角”第行的数中，从左到右第n个数最大 C．在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则的值恰好是第行的中间一项的数字 对于A，在“杨辉三角”中，第n行的所有的数字之和为，A正确； 对于B，在“杨辉三角”第行的个数中，从左到右中间第个数最大，B错误； 对于C，在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 ，C正确；对于D，“杨辉三角”第n行的第i个数为，，， 故，又，所以是展开式中项的系 数，因为，展开式通项公式为，令得，项的系数为， 所以，又在“杨辉三角”中，第行的中间一项是第项，其系数为，故D正确． （2025·安徽淮北·三模）（多选）将杨辉三角中的每一个数值都换成得到的三角形称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多有趣的性质，如从第0行开始每一个数均等于其脚下两个数之和．如果，以下关于莱布尼茨三角形的结论中，正确的有（     ） A．第行的第个数是 莱布尼茨三角形第行第个数（行、列均从 0 计数）是 ， 选项 A，第 8 行第 2 个数，即，所以第 8 行第 2 个数是，A 正确； B．当是奇数时，正中间的两个数相等，且为这一行所有数的最大值 C．第行中，第个数等于第个数 D． 选项 B，因为，所以， 所以每一行的数关于中间对称，当为奇数时，杨辉三角的中间两个数和相等且是该行组合数的最大值，因为的分母越大，分数值越小，所以当取最大值时，取最小值，所以对应的莱布尼茨数是最小值，不是最大值，B 错误； 选项 C，第 100 行，，第 46 个数对应，第 56 个 数对应，由组合数性质得，所以，C 正确； 选项 D，左边， 因为，，所以 ，所以左边，因为右边， 所以左边=右边，即(，1) ，  D 正确. （2025·辽宁盘锦·二模）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”，的展开式中所有项的系数之和为（　　） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 观察杨辉三角的规律可得： 的系数和为 的系数和为 的系数和为 以此类推，可得的展开式所有项的系数之和为， 代入，可得系数和为. （2026·江苏宿迁·一模）（多选）我国北宋数学家贾宪有一部著作《黄帝九章算法细草》，其中有“开方作法本源”图，杨辉在《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”(如图所示)， 则 （    ） A．第10行第3个数为 对于A，由 “杨辉三角” 可得第10行第3个数为，所以A正确；对于B，由 “杨辉三角” 可得第行的所有数的和为 ，第7行所有数的和为，所以B正确； 对于C，第16行的数为，可得只有为奇 B．第7行所有数的和为128 C．第16行共有12个偶数 D．若第行存在连续三项成等差数列，则的最大值为 98 数，其余均为偶数，即有15个偶数，所以C错误； 对于D，设第行存在连续三项成等差数列， 可得，即， 整理得，即，因为，且上式的右边为完全平方数，当时，即， 解得或，此时的最大值为，所以D正确. 第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1   1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 1  5  10  10  5  1 （2026·湖南郴州·三模）杨辉三角的前几行如图所示，则第12行的所有数之和为______；若记第2行的第3个数为，第3行的第3个数为，……，第行的第3个数为，则______． 第行的所有数之和为． 由题意得，，，…，， 则． 由杨辉三角及二项式系数的性质知第行且所有数之和为则第行所有数之和为， （2025·山东东营·二模）杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.记从上往下每一行各数之和为数列，比如，，，则数列的前n项之和为__________. 等比数列求和得， 则数列的前n项之和为. 因为， 所以 ， 则 （2025·四川资阳·一模）设数列的通项公式为，，记被3除所得的余数构成的数列记为，则（   ） A．2 B．0 C． D． ， 因为能被整除，， 所以， ， 因为能被整除，，所以，所以. 令数列的第项与数列的第项相等，即，则，由， 显然是3的正整数倍，由 （2025·宁夏银川·二模）已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式_____； ，得是3的倍数，则，因此为正奇数，即，于是， 所以数列的通项公式. 由为奇数时，，得， 由为偶数时，，得， 所以，又， 所以 （2025·江苏苏州·三模）若数列满足，且当为奇数时，，当为偶数时，，则被7除所得余数为______． ，展开后最后一项是1，其余各项均能被7整除，所以被7除所得余数为2，即被7除所得余数为2． （1）由，则. （2）， . （2025·湖北十堰·二模）已知，令.(1)求数列的通项公式；(2)求的前项和. 的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. （2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. （2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为________． 二项式的展开式的通项为，其中. 令，解得，则项的系数为. ∵ ，，且已知的系数为， ∴ ，即，解得. （2026·北京·高考真题）在的展开式中，若的系数是280，则实数（     ） A．2 B． C．1 D． 由题意， 在中，通项， 当即时，， ∴展开式中的系数为. （2026·上海·高考真题）已知，则展开式中的系数为__________． 二项式的展开式的通项是， 因为的系数为，所以，即，解得或，因为，所以. 二项式的展开式中项的系数为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 在的展开式中，含的项的系数是（    ） A．74 B．121 C． D． ， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 令，得，， 因此，的系数为. 在的展开式中，的系数是__________. 解：因为在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，而二项展开式共有项，中间项的二项式系数最大， 所以第项的系数最大， 的展开式中，系数最大的项是第________项． （1）的展开式的通项公式为，令，可得，即含的项的系数为. 求下列各式的二项展开式中指定各项的系数. （1）的含的项；（2）的常数项. （2）的通项公式为， 令，得，即常数项为. 由题意可知，由二项式系数的性质可得， 故这两项的二项式系数为. 已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求这两项的二项式系数. （1）的展开式中按的升幂排列的第3项，即展开式中含的项，． （1）求的展开式中按x的升幂排列的第3项；（2）求的展开式的常数项；（3）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n；（4）求的展开式中的系数； （5）求的展开式中的系数． （2）展开式的通项公式为：； 令可得：； 故展开式的常数项为：． （3）展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，， ；化简得，即：，解得或23． （4）， 展开式中含的系数为：的含的系数加上其含的系数加上其含项的系数， 展开式的通项为，令，3，2分别得展开式含，，项的系数为，，， 故展开式中含的系数为：， （5）设其展开式的通项公式为，令， 得的的通项公式为， 再，得， 的展开式中，的系数为． 即的展开式中，的系数为30． 证明： 能被8整除. 所以能被8整除. 用二项式定理证明能被8整除．（提示：．） $