精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州第一中学2026-2027学年高一上学期10月质量监测数学试题

昌吉州第一中学2026～2027学年第一学期10月质量监测 高 一 数 学 考生注意： 1． 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2． 考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. 若且，，至少有一个大于1 B. 命题“若，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为___________. 13. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________. 14. 若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知的底面积均为，高分别为的底面积均为，高分别为其中）.在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 17. 已知实数、满足：. （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值. 18. 已知定义域为的函数是实数）是奇函数，且指数函数的图象与函数的图象关于直线对称. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 19. 教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值. （2）已知函数的图象关于点中心对称. （i）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）； （ii）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州第一中学2026～2027学年第一学期10月质量监测 高 一 数 学 考生注意： 1． 本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2． 考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简求解. 【详解】因为. 故选：D. 2. 已知幂函数的图象过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【详解】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦函数，指、对函数的单调性可得. 【详解】. 故选：D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用奇函数的定义判定是奇函数，根据奇函数图象关于原点对称排除AB；再根据当时，，排除D，即可得解 【详解】因为恒成立，所以函数的定义域为， 又，则是奇函数， 其图象关于原点对称排除A，B. 当时，，排除D. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分子分母同时除以可得. 【详解】. 故选：A. 6. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数型复合函数的单调性可解. 【详解】∵函数的定义域为， 又因为外层函数在定义域上单调递减，二次函数在上递增，结合函数的定义域，得到函数的单调递减区间为. 故选：B. 7. 若“”是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由存在命题的否定得到真命题，再分和两种情况结合二次函数的性质讨论可得. 【详解】是假命题， 是真命题， 首先当时，显然成立； 当时，需要满足 综上所述得到. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，满足在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由偶函数及其单调性确定的取值，再解一元二次不等式，然后可得. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，满足函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且， 所以当； 当；当；当 时，成立. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面命题正确的是（ ） A. 若且，，至少有一个大于1 B. 命题“若，则”的否定是“存在，则” C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可． 【详解】A选项：该命题的否定为：若且，则，都不大于1， 即，，则，所以该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故A正确； B选项：命题“若，则”的否定为“存在，则”，故B正确； C选项：则，，则，，则成立，满足充分性， 故C错； D选项：当时，不一定不等于零，当时，一定不等于零， 所以“”是”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD． 10. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质及作差法判断各选项即可． 【详解】对于A，由，则，两边同时除以， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由于， 因为，所以， 则，即，故C正确； 对于D，由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为，或 D. 若为常数，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】解：设， 所以，解得， 因为，， 则， 因此，. 故答案为：. 13. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得. 【详解】因为当时，函数单调递减，且当时，； 当时，函数单调递减，且当时，. 由题意得，，解得 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若关于的方程恰有4个根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将问题等价于函数与的图象有4个公共点，再画出函数与的图象，数形结合分别求出4个临界位置可得. 【详解】方程恰有4个根等价于函数与的图象有4个公共点， 画出函数与的图象， 分别求出4个临界位置，分别为与相切､经过和， 求得直线方程为+6， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合、集合（）. （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）由必要不充分条件可知集合是集合的真子集，再分、讨论，即可得解. 【小问1详解】 由题意可知，又. 当时，，解得； 当时，，即时， 有或，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，若集合是集合的真子集，则有（②式与③式等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 16. 甲､乙两位同学参加一个游戏，规则如下：每人在四个长方体容器中取两个盛满水，盛水体积多者为胜.甲先取两个容器，余下的两个容器给乙.已知的底面积均为，高分别为的底面积均为，高分别为其中）.在未能确定与大小的情况下，请给出一个让甲必胜的方案（即指出甲取哪两个容器可以获胜），并说明此方案必胜的理由. 【答案】甲选，理由如下： 设A，，，的体积分别为，，，，则， 甲从A，，，中任选2个，有，共6种可能， 当时，则，即， 则，，即甲取均不能够稳操胜券； 当时，则，即， 则，，即甲取均不能够稳操胜券； 若甲先取，则， 即，即甲先取能够稳操胜券，选不能够稳操胜券； 综上所述：甲必胜的方案：甲选. 【解析】 【分析】设A，，，的体积分别为，，，，甲从A，，，中任选2个，有，共6种可能，结合不等式的性质以及作差法分析判断. 【详解】略 17. 已知实数、满足：. （1）求和的最大值； （2）求的最小值和最大值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）使用基本不等式根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解； （2）使用基本不等式，注意根据所求解的目标代数式进行合理的配凑计算求解. 【小问1详解】 ∵，∴， ∵，∴，∴， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最大值为， ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴，当且仅当、时等号成立，∴的最大值为； 【小问2详解】 ∵，∴， ∵，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立，∴的最小值为， 又，∴，即， 当且仅当、或、时等号成立， ∴的最大值为. 18. 已知定义域为的函数是实数）是奇函数，且指数函数的图象与函数的图象关于直线对称. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明如下： ， 任取，且， 则， 其中，所以， 所以， 所以在定义域内单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据反函数的性质确定，利用奇函数求，再检验奇偶性确定、的值. （2）先变形函数表达式，再用单调性的定义，任取两个自变量作差比较函数值，证明函数单调递增. （3）利用奇函数与单调性将方程转化为代数方程，换元后结合二次函数在区间内有两个不等实根的条件，列不等式组求的范围. 【小问1详解】 由指数函数的图象与函数的图象关于直线对称， 得， 又为上的奇函数，所以，得， 所以， 经检验，符合， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知 ，即， 令，则， 上述方程可化为：在上有两个不等实数根， 令，则 解得 综上所述. 19. 教材第87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. （1）已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值. （2）已知函数的图象关于点中心对称. （i）求实数的值，并判断函数的单调性（不用证明）； （ii）若对任意的实数，都存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i），在上是增函数（ii） 【解析】 【分析】（1）利用中心对称图形的性质赋值后计算可得； （2）（i）由列方程组可得；由函数的单调性和平移的性质可判断； （ii）利用奇函数的性质变形不等式，再构造，设，使原命题等价于，分的取值结合函数的单调性讨论可得. 【小问1详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）可知， 因为，所以，则解得 此时， 所以， 所以，即为奇函数，符合题意， 所以. 因为函数的图象可由先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到， 故函数在上也是增函数. （ii）因为函数的图象关于点对称，且该函数的定义域为， 对任意的， 由可得， 即， 因为函数在上是增函数，则， 因为，所以， 令，得， 设，只有才能保证图象上下平移时，其绝对值不小于1. 否则当任意变化到使时，对任意的， . 故原命题等价于. ①当时，在上单调递增， 即，所以， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递增，； ③当时，在上单调递减，在上单调递增， ， 若，则，所以， 若，则，所以， 所以， 当时，在上单调递减，此时，得. 综上得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $