专题02 等比数列性质归类（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

专题02 等比数列性质归类 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 定义：等比判定 等比数列判定方法 (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 易错点： 1. 等比数列与0无关，任何一项都不能为 等比数列必须保证“每一项”都成立，特别是首项。如＝q(q≠0的常数） 1．（26-27·全国·课后作业）已知项数相同的等比数列，，公比分别为，给出下列数列：①；②；③；④；⑤．其中一定是等比数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义判断即可. 【详解】解：①中，（常数），所以数列是等比数列； ②中，（常数），所以数列是等比数列； ③中，不妨设，则数列为，因为，所以数列不一定是等比数列； ④中，数列的项可能为0，故不一定是等比数列； ⑤中，（常数），所以数列是等比数列． 故①②⑤是等比数列． 2．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）已知数列满足始终为定值，则（    ） A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差或等比数列 D．可能是非等差非等比数列 【答案】D 【分析】假设为等比、等差或非等差非等比数列，结合已知及各项的描述依次判断正误. 【详解】若是公比为的等比数列，则，，， 所以 ，为定值； 若是公差为的等差数列，则，，， 所以，为定值， 若可能是非等差非等比数列，构造一个有限数列， 如：，，，，，则，为定值， 综上，是等比数列、等差数列，或非等差非等比数列均有可能. 3．（24-25高三·福建·模拟检测）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 4．（23-24高三上·山东·阶段检测）记非常数数列的前n项和为，设甲：是等比数列；乙：（，1，且），则（    ） A．甲是乙的充要条件 B．甲是乙的充分不必要条件 C．甲是乙的必要不充分条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】当甲成立时利用等比数列求和公式可得乙成立，当乙成立时利用数列前n项和与通项之间关系可知甲成立，从而可得结果. 【详解】若，则（）， ∴，，． ∵，1， ∴，∴数列是以为公比的等比数列． 若数列为等比数列，且，则． 又，∴，∴， 此时，1，，所以甲是乙的充要条件． 故选：A． 题型02 等比数列基本量计算 等比数列公式 (1) 通项公式：an＝a1qn－1； (2)前n项和公式：Sn＝ 1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知各项均为正数的等比数列满足，．记数列的前n项和为，则使得成立的最小正整数n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设公比为，由题意得， 两式相除得，故，代入求得，所以． 令得，即， 因为，，所以，得．故选C． 2．（26-27高三上·广西·阶段检测）设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正数等比数列的公比为， 由等比数列通项公式： ，已知， ， 因为，所以， 由基本不等式可得，， 当且仅当时取等号（取得最小值）， 解方程：，，舍去负根， 再利用等比数列性质，， ，. 3．（2027·湖南衡阳·一模）已知等差数列的首项，公差为正数，取子数列，（），则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是公比为2的等比数列 D．存在，使既是等差数列又是等比数列 【答案】C 【分析】根据等差和等比的相关概念验证选项的数列类型. 【详解】由题意知，，即， 对于A，相邻两项的差为，当固定时，差随着变化而变化，所以A错误． 对于B，因为，当固定时，相邻两项的比随着变化而变化，所以不是等比数列，所以B错误． 对于C，由，则， 故是公比为2的等比数列，所以C正确 对于D，根据A，B选项可以得出D选项是错误的. 4．（26-27高三上·广东汕尾·阶段检测）已知正项等比数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式，结合已知条件求出公比，再计算. 【详解】对于正项等比数列，其首项为，公比为， 前项和公式为，已知， 假设，则，那么，， 因为，所以，由可得： ，化简可得：， 根据立方差公式可得：， 因为且，所以，等式两边除以可得： ，化简可得：， 进一步化简得：，即，求解可得： 或，因为，所以，根据等比数列的前项公式可得： . 题型03 等比中项 如果在与中间插入一个数,使成等比数列,那么叫做与的等比中项,此时,. 1．（26-27高三·江苏连云港·阶段检测）在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．－2 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到两根的和与积，结合等比数列下标性质求出，再根据条件判断的符号，舍去负解，完成求值. 【详解】是方程的两根， 根据韦达定理，所以 【点睛】本题考查等比数列性质与韦达定理综合应用，重点检验学生对等比数列项的符号辨析能力，提醒学生在利用等比中项公式时，不能直接默认正负双解，需要结合题干条件判断符号取舍。 2．（2027高三·全国·专题练习）已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由已知正数，的等比中项是2，可得， 又，， ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为5． 3．（25-26高三上·湖南·阶段检测），和的等比中项不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设和的等比中项为，则， 故， 选项A：若，则，不存在等比中项，矛盾，故A不可能； 选项B：若，则，， 存在满足，可以是等比中项； 选项C：正好，满足； 选项D：若，则，，存在满足，可以是等比中项． 4．（26-27高三上·辽宁·开学考试）在等比数列中，，，则当取得最小值时，（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据等比数列通项，再应用导函数正负得出单调性即可求解最小值即可. 【详解】因为的公比， 因为，所以， 设，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，则的最小值为4，此时，则． 题型04 等差等比“纠缠” 等差等比“纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中“纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。 1．（26-27高三·河北保定·阶段检测）已知数列的各项均为整数，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（    ） A．13 B．19 C．26 D．32 【答案】C 【分析】根据等差数列与等比数列的基本量运算，结合等比中项求出公差与公比即得. 【详解】因数列的前10项依次成等差数列，设公差为，则，， 又因，且数列从第9项起依次成等比数列，则，即，解得或， 因数列各项均为整数，故，则， 则数列从第9项起的公比为，故，则. 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正项等比数列中，，且，，成等差数列，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求出数列的通项公式，再将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题. 【详解】设正项等比数列的公比为，已知，则， 由成等差数列，根据等差数列中项性质得：， 将代入上式，两边同除以（）得： 即，解得（舍去负根，因数列是正项等比数列）， 因此，不等式对任意恒成立， 代入得：， 分离参数得：，对任意恒成立， 因此只需大于数列的最大值即可，令， 则， 当时，，即， 当时，，则，即， 所以，则， 所以，即的取值范围是. 3．（26-27高三上·黑龙江·阶段检测）已知等比数列是递增数列，其前项积为，若，，成等差数列，，则当取最小值时，（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义求得公比，由题意可得当，时，取到最小值，继而求出的值. 【详解】因等比数列是递增数列，则其公比， 又因，，成等差数列，则得， 即，整理得， 因，解得或（舍）， 又因，可得，， 因，当，时，取到最小值， 故当时，取最小值. 4．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）为公差不为0的等差数列，为公比不为1的等比数列．①存在，使得有无穷多项是中的项；②存在，使得有无穷多项是中的项．则（     ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【分析】根据实例判断②，利用反证法判断①. 【详解】取，， 则为等差数列且公差为，为等比数列，公比为， 取，则， 故有无穷多项是中的项，故②正确. 对于①，设的公差为，的公比为， 若有无穷多项是中的项， 设这些项为，，，，， 其中， 且设，， 故， 若，则，而， 当时，， 故此时，故不成立； 若，可化为， 故，故， 因为当时，，故， 设，则， 若，则，若， 则， 取，则，这与矛盾， 故①错误. 题型05 构造等比 等比数列公比q不确定，其前n项和直接用公式处理问题，容易漏掉对的讨论. 1．（25-26高三·安徽·阶段检测）数列满足，，，设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得的递推公式，构造等比数列，利用累加法即可求出，从而求出，根据数列通项公式的特征利用裂项相消法即可求的最小值，从而可求的最大值． 【详解】已知数列满足，，， 则有，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 以此类推，得，，，，， 用累加法可得，所以， 则，， 所以， 所以， 由于，所以，即，所以，即， 由于不等式，对恒成立，所以，因此实数的最大值为，故A正确. 2．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求出和，再证明数列是等比数列，进而求出其通项公式，从而得到的表达式，再通过求二次函数的最值，即可得到的最大值. 【详解】因为，①，所以可得. 令，可得，解得（舍去负值），所以. 在①中，用代换，可得②. ②除以①可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 所以， 令， 可知当或11时，取得最大值55， 又由，可得的最大值． 故选：D 3．（25-26高三·北京海淀·阶段检测）首项为正数的数列满足，给出下列四个结论： ①存在和，使得是等比数列； ②若且是奇数，则为奇数； ③若且，则存在使得； ④若且，则是递减数列. 所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】代入特殊值，可判断①是否正确；令 ，，可计算为奇数，最终归纳出，可判断②是否正确；时，可得 ，同理归纳出，可判断③是否正确；令，构造函数，根据且，判断函数的单调性，可判断④是否正确. 【详解】对于①：当和时，，此时是等比数列，所以①正确； 对于②：，，， 则，当为奇数时， 为奇数，当为偶数时，为奇数， 所以且是奇数时，为奇数， 同理，也为奇数，所以②正确； 对于③：时，，当时，，所以， 同理，故不存在使得，所以③错误； 对于④：，令，因为， 所以为开口向上的抛物线，方程的两个根为和 ()， 当时，可证得且， 因为，所以，由于的图象是开口向上的抛物线，当时，， 因此，即， 又因为函数在上单调递增，且是其不动点， 故由可推得，即， 通过归纳法可知，对所有，都有， 因此对所有恒成立，是递减数列，所以④正确； 故选：. 4．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知数列的前n项和为，且．设，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据与的关系求数列的通项公式，再利用裂项相消求和. 【详解】当n＝1时，，∴＝2． 当时，，①，，② ∴①－②得，即. ∴数列是首项为2，公比为3的等比数列， ∴． ∴. 所以 ． 故选：C 题型06 等比sn与an的关系 涉及到an与sn组合型递推，一般情况下，可以借助通项an与前n项和Sn的关系再写一个做差，消去sn再递推求解。 通项an与前n项和Sn的关系是： an＝ 等比数列前n项和 (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 1．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知数列的各项是或，，且在第个和第个之间有 个，即，，，，，，，，，，，，，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求出第个为数列的第几项，再判断第项在第几组，得到共有多少个和，即可求和． 【解答】第个为数列的第 项． 当时， ； 当时， ． 所以的前项有个和个，因此 ． 2．（2025高三上·全国·专题练习）存在唯一的由非负整数组成的有序三元组，使得．问的值是多少？（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 E．12 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式，结合整数整除的性质进行求解即可, 【详解】 ， 因为为自然数，且都是正奇数， 所以， 所以由 ， 因为为自然数，且为奇数， 所以， 所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）若是数列的前项和，已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，将进行转化，再构造新的数列，求出的通项公式，最后利用分组求和，求出. 【详解】解：由题意得，当时,，， 因为，所以， 设，则，所以， 则，设，则， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 因此，所以，即， 当时，，因此，， 所以， 即， 化简整理得. 4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列满足，则数列的前100项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用累加法得到，代入得到，再利用分组求和法计算得到答案. 【详解】，即. . . 故 . 题型07 等比an与sn：等距性 若{an}为等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则有： (1)下标意识：若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2； (2)隔项等差：数列an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)分段等比：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 1．（25-26高三·贵州黔南·阶段检测）已知等比数列的前n项和为且，若，，，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质及等比数列前n项和公式，结合已知条件对各选项进行逐一分析判断． 【详解】是等比数列，设首项是，公比为， ，，， 当时，， 令，且，则 ， ， 选项A：，，且， ，故不恒成立，故A错误； 选项B：，， 不恒成立，故B错误； 选项C：当时，，， ， 当时，， ，故， 综上，恒成立，故C正确； 选项D：， 不成立，故D错误． 故选：C． 2．（2023·上海·高考真题）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法可能成立的是（    ） A．为等差数列，为等比数列 B．为等比数列，为等差数列 C．为等差数列，为等比数列 D．为等比数列，为等差数列 【答案】C 【分析】令(是等差数列的前n项和),由题意可得当时，单调递减，结合二次函数的性质和选项逐一判断即可. 【详解】解：令,由题意当时，单调递减， 对于首项为，公差为的等差数列， 则前n项和(不含常数项)， 此时， 由二次函数的性质知：当足够大时，不可能为单调递减函数， 所以，A中奇数项及B中偶数项为等差数列均不合题意； 对于C，当前2022项为等差数列，从第2022项开始为等比数列且公比时，满足，故符合题意； 对于D，当前2022项为等比数列，从第2022项为等差数列时，同A、B分析：当足够大时，不满足，即不可能为单调递减函数，故不合题意 故选：C. 【点睛】方法点睛：等差数列的前n项和是关于n的二次二项式(不含常数项)，在研究有关等差数列前n项和的有关性质性，从二次函数的性质出发，能使问题得到简化. 3．（2026·山东济南·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，根据前项和定义可知， ， ，则有， 化简得，D正确； A选项等价于，通过前述分析已知， 因此只有或，A选项才成立，A错误； B选项等价于，已知， 可得， 因此只有，B选项才成立，B错误； 对C选项左边变形 ， 因此只有或，C选项才成立，C错误. 4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）设是各项均不相同的等比数列的前n项和，，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 所以，因为，所以， 则，而，则，， 故． 题型08 奇偶项和的关系 1．（2025·江西阶段检测）数列是以为首项，（）为公比的等比数列，数列满足，数列满足，若为等比数列，则 A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】由题意，，则，得,要使为等比数列，必有，得，故选B. 【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义、等比数列求和公式，属于难题.判定一个数列为等比数列的常见方法是：(1) 定义法：（是常数），则数列是等比数列；(2) 等比中项法：（），则数列是等比数列；(3) 通项公式：(为常数)， 则数列是等比数列.本题先利用方法(3)判定出数列是等比数列后再进行解答的. 2．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知数列的前n项和，且，对一切正整数n都成立，记的前n项和为，则数列中的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题数列的前项和且，对一切正整数都成立，则 当 时， ① 当 时，得 ② ②-①得， ③ 结合，可解得 可得 则 ，它是一个等比数列，故 当为奇数时，随的增大而增大，所以 当为偶数时，随的增大而减小，所以 综上，当时，总有 故选A 【点睛】本题利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据的奇偶判断的单调性是解题的关键 3．（2026·山东·模拟预测）若等比数列的前项和，则该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先求出等比数列的通项公式，结合等比数列前项和公式求解即可. 【详解】当时，. 当时，. 因为为等比数列，所以时也满足，即，解得. 所以数列的通项公式为. 该数列的前9项中所有奇数项之和为， 该数列的前9项中所有偶数项之和为， 故该数列的前9项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为. 故选：C. 4．（2024·贵州·模拟预测）在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可. 【详解】解：由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B 题型09 等比数列单调性与最值 判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法： （1）作差比较法：当时，递增；当时，递减. （2）作商比较法：若，则当时，递增；当时，递减. （3）函数图象法：设，则可用函数的图象来研究数列的单调性 1．（25-26高三下·北京·开学考试）设无穷等比数列的前项和为，则下列结论一定成立的是（    ） A．若递减，则递增 B．若递减，则递减 C．若 递减，则递减 D．若递减，则递增 【答案】D 【分析】AB选项，由递减可推出，进而得到公比的范围，分类讨论得到AB选项的判断；CD选项，根据递减可推出公比的范围，进而验证的单调性. 【详解】AB选项，若递减，则， 设等比数列公比为，则，于是， 又，则，则，， 时，，递减； 时，，递增，AB错误； CD选项，若递减，则， 由于，则对于一切正整数成立，解得， 此时，则递增，C错误，D正确 2．（24-25高三·上海·阶段检测）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【答案】D 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 3．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的正整数，满足，则下列选项中，不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，当，时，结合等比数列的通项和性质分析判断． 【详解】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足， 当时，则： ①当时，则为非零常数列，，符合题意，故A可能成立； ②当时，则为单调数列，恒不成立，且不合题意； 当时，可得，则： ①当时，若，为偶数时，则； 若时，为奇数时，则； 符合题意，故B可能成立； ②当，若，为偶数时，则，，， 且，即； 若，为奇数时，则，，，且， 即；故符合题意，故D可能成立； ③当，，， ，则，，可得， 则，这与等比数列相矛盾， 故和均不合题意，故C不可能成立． 故选：C． 4．（24-25·四川成都·阶段检测）在各项都为正数的等比数列中，已知，其前项积为，且，则取得最大值时，的值是（    ） A．9 B．8或9 C．10或11 D．9或10 【答案】D 【分析】首先求出首项和公比，解不等式组，代入通项公式求解出即可 【详解】（法一）∵等比数列，其前项积为，且. ∴，∴，∴.故. ∵，所以前项积有.又因为，所以为前项积的最大值. （法二）∵，.∴. 当时，有最大值，解得. ∴时，有最大值. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列前项积的最大值. 其实质是求等差数列前项和的最值的变型.第一步：求出等比数列首项，公比. 第二步：解不等式组.满足不等式组的的值，即为使前项积取最大值时的项数. 题型10 “平衡点”不等式 等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p＋q＝m＋n，则ap·aq＝am·an，特别地，若p＋q＝2k，则ap·aq＝ak2 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p＋q>m＋n，则ap·aq>am·an. 1．（25-26高三·四川乐山·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 2．（25-26·上海·阶段检测）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．是数列中的最大值 C．若，则n的最大值为4047 D． 【答案】C 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，，故A正确； 对于B：根据题意可知，所以是数列中的最大项，故B正确， 对于C：由， 可知，故C错误； 对于D，数列各项均为正值，则，必有， 由B的分析可知， 故，故D正确. 3．（2025·全国专题练习）设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；② ；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】由题意可得，，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】，，， ，． ，故①正确； ，，故②不正确； ，是数列中的最大项，故③正确； ，， 使成立的最大自然数等于4038，故④不正确． 正确结论的序号是①③． 故选：B． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则的最小值为4053 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误． 【详解】已知等比数列，，， 说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号，则，故A错误； 结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， ，故B错误； 是数列中的最大项，故C错误； ，， 又，则， 所以若，则的最小值为4053，故D正确． 题型11 求范围型 等比数列与函数的关系 (1) 数列{an}是等比数列，an＝a1qn-1， 通项an为指数函数：即an＝a1qx-1； (2)数列{an}是等比数列，Sn＝，Sn为型线性指数函数。 （3）借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量n是离散型 1．（25-26高三·北京平谷·阶段检测）已知等比数列的前项和为，前项积为，若首项为，则（    ） A．和既有最大值，又有最小值 B．有最小值，无最大值 C．无最大值，无最小值 D．无最小值，有最小值 【答案】A 【分析】利用基本量法，可求出公比满足，分奇数项列与偶数项分析的单调性，结合与的大小，可得最值情况；再分析的各项符号变化规律及的单调性，结合，可得最值情况. 【详解】设等比数列公比， ，， 且，则， 等比数列的前项和， 则，其中， ①当为奇数时，， 则，即，故的最小值为. 又由，可得，所以； ②当为偶数时，， 则，即，故的最大值为. 又由，可得，所以； 综合①②可得，任意， 有最大值，最大值为；也有最小值，最小值为， 故既有最大值，又有最小值； 等比数列的前项积， 由，则， 所以，且，则， 当为奇数时，，与同号； 当为偶数时，，与异号； 故各项的符号依次为： 又，又由，则， 又因为数列单调递减， 所以必存在，使得当时，恒有，即. 由题意， 则当时，则，故数列单调递减； 当时，则，故数列单调递减（非严格）； 当时，则， 又数列单调递减，且，即数列必先增后减； 所以不论取何值，都存在最大值. 由于各项的符号的变化规律，可知最大值与最小值都存在， 且最大值即为正项中绝对值最大的项，而最小值即为负项中绝对值最大的项. 故既有最大值，又有最小值. 故选：A. 2．（25-26高三上·海南·期末）已知正项等比数列满足，且，记，若且，则（   ） A．15 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质求出的值，再结合判断数列的单调性，进而根据且得到关于的不等式，从而求出的值. 【详解】因为正项等比数列满足，由等比数列性质可知，，所以， 又因为数列各项为正，所以， 设等比数列的公比为，因为，即，且， 所以，又因为，所以， 则等比数列单调递减， 由题意可得，， 则，， 又因为且， 所以，即，进一步可得， 又因为等比数列各项为正，所以， 由且数列单调递减可知，，所以，解得. 故选：D. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）对于等比数列，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】是等比数列，则， ， ，等价于， 当时，，数列为递增数列； 当时，，则数列不一定递增，如时，， 不能推出为单调递增数列，不满足充分性； 若为单调递增数列，则对于任意，有， 令，则， 为单调递增数列能推出，满足必要性， “”是“数列为单调递增数列”的必要不充分条件，故A正确． 故选：A． 4．（25-26·江苏苏州·阶段检测）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【分析】由，可得或，然后逐项讨论. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以，且或， 即或. 当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误； 因为，所以， 所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误； 又，且， ①当时，由于， 则，， 所以有最小值，最大值； ②当时，， 所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值； 综上所述，有最小值，C错误，D正确． 故选：D. 题型12 等比数列插入数型 1．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【分析】分析新数列前50项由共插入多少项，通过分组求和计算前50项和． 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知、是不相等的正数，在、之间插入两组数，，…，，，，…，，使，，，…，，成等差数列，，，，…，，成等比数列．则下列不等式 （1）， （2）， （3）， （4） 中，为真命题的是（    ）． A．（1）、（3） B．（1）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4） 【答案】B 【详解】解法1：由等差数列知，有 ． 可见（1）真，（2）假． 又由等比数列知，有 ． 可见（3）假，（4）真． 综上得（1）、（4）真． 解法2：取，，，可验算（2）、（3）不成立，否定A、C、D，从而B真． 3．（2024·江西南昌·二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（    ） A．4056 B．4096 C．8152 D．8192 【答案】C 【分析】插入组共个，可知前面插入12组数，最后面插入9个，从而可得插入的数之和为，又数列的前13项和，可得 【详解】插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个． ， ∵， ∴ ， 又数列的前13项和为 ， 故选：C． 4．（25-26高三·全国·课后作业）在1和10之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，则（    ） A． B．11 C．44 D．52 【答案】C 【分析】由条件结合等比数列通项公式求出，再根据指数运算性质及等差数列求和公式求出，由此可求，再由等差数列求和公式求的值. 【详解】设这个数构成的等比数列为，则，，所以．又，所以．故． 故选：C． 题型13 数列与导数 1．（2025年四川省成都阶段练习）牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列的递推关系为：是曲线在点处的切线在轴上的截距，其中. （1）若，并取，则的通项公式为__________； （2）若取，且为单调递减的等比数列，则可能为__________. 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）根据题意求出曲线在点处切线的方程，可得数列是等差数列，进而求得通项公式； （2）由题意，可得，结合为单调递减的等比数列，所以函数满足，且即可. 【详解】（1）根据题意，，，且， 所以曲线在点处切线的方程为， 令，得，即，又，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列， 所以（）. （2）根据题意，曲线在点处切线的方程为， 令，得，则， 因为为单调递减的等比数列，且，设其公比为， 则，所以，所以， 则，所以， 即函数满足，且即可. 如，则， 所以，，所以，符合题意. 故答案为：（）；（答案不唯一）. 2．（25-26高三·北京·阶段练习）数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________. 【答案】 5 【分析】1个m对应范围内的所有整数k，k从小到大取值为，1个k对应一个解集，当这些解集存在交集时，存在此m，当m增大到一定程度后，交集为空，临界状态得，的交集就是q的范围. 【详解】由题干可知，，，由可以解得， 当时，；当时，, 当时，（解为）. 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 即的下限随着k增大先增大后减小，只要考虑下限最大值，在或3时取到数列最大项. 由于，所以数列的最大项是，得到下限最大值， 下面考虑上限情况. 令，则. 令，则， 所以在单调递减，所以，则，在单调递减. 可以发现：的上限随着k增大而减小，有交集的临界情况为上限刚好大于下限最大值， 因此临界需满足的第项大于，第项小于， 即， 注意到，当时，有满足条件， 得到对应的，交集解q的范围. 3．（25-26·北京西城·阶段检测）已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列； ②对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列； ③对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等； ④不存在实数和，使得数列为等比数列（公比）， 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②③ 【分析】对于①，当数列是公差为0的等差数列时满足条件； 对于②，将数列为单调递增数列转化为在上大于零恒成立， 即可判断； 对于③，将数列的每项都小于0且互不相等转化为在上恒成立，即可判断； 对于④，假设存在实数和，使得数列为等比数列（公比），可得，再取即可判断④. 【详解】对于①，当数列是公差为0的等差数列时，此时， 则，解得：， 所以对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；故①正确； 对于②,若数列为单调递增数列，则 即， 即恒成立， 令， 所以恒成立，等价于在上大于零恒成立， 由于，令，解得：， 令，解得：或 令，解得： 所以在和上单调递增，在单调递减， 由于当时，， 所以只要选取足够大，使得即可， 故对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；故②正确； 对于③，数列的每项都小于0且互不相等，则，且，则等价于当时，恒成立， 由于，令，解得：， 令，解得：或 令，解得： 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 只要取足够小的时，的值都是小于0的， 由于方程的根，等价于的根，所以只要不取该方程的根即可， 综上，只要取足够小的且不为方程的根时，对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；故③正确， 对于④，构建与关系：假设为等比数列，， ， ,故， ， ， 取，则，为常数， 取,则， 取，显然为公比的等比数列，故④错误. 4．（25-26·北京朝阳·阶段检测）已知函数有三个零点，则______． ①若成等差数列，则成等比数列 ②若成等比数列，则成等差数列 ③若成等差数列，则数列的公差为 ④若成等比数列，则数列的公比为 【答案】①②④ 【分析】对于①、③，由题意可得，结合等差数列定义可得，则成等比数列，可得，即可求出，结合， 两边取对数运算可得，即可求出其公差；对于②、④，由，结合等比数列定义可得，则成等差数列，则可求出，进而得到，最后求出其公比. 【详解】当时，，不合题意； 当时，分别画出与的图象，如图 所以， 对于①、③，已知函数有三个零点， 令，即，可得，所以， 则，即， 若成等差数列，则，所以，故成等比数列. 由，则， 即，所以， 由，解得， 因为，所以， 则，即数列的公差为. 故①正确，③错误. 对于②、④，由，若成等比数列，则， 即，可得，故成等差数列， 又，则， 故，即数列的公比为. 故②、④正确. 题型14 等比数列第19题题型 1．（26-27高三上·河南·阶段检测）已知数列的各项均为整数，定义集合． (1)若的项数为100，且，证明：中的非零元素大于． (2)对任意正整数，证明：存在项数为的，使得1到的正整数在中各出现一次，且对于满足的任意正整数，，都是的真子集． (3)若为无穷数列，且每个整数都至少在中出现一次，证明：不存在，使得对于满足的任意正整数，，都是的真子集． 【答案】(1)因为，所以．     因为，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，     所以，则，     则，     ， 所以中的非零元素大于． (2)取，其中，则1到的正整数在数列中各出现一次． 对于任意正整数，其中， 任取正整数，其中， 由，可得． 因此，可取，其中． (3)假设存在满足条件的无穷整数数列，令． 任取，由整数必在数列中出现，可得，故，从而．由，得．     若，则整数不能在第项及其后的各项中出现，故存在，使得， 从而，所以为有限集合．     由，可得，其中．若，则，与题设矛盾，故．取，由，，得．若，将数列的各项取相反数，所得数列仍包含每一个整数，且其对应的集合为，故真包含关系保持不变，而首个相邻差为，所以只需讨论的情形．     任取正整数，由，知．设为有限集合的最大元素，则．若，则，且，由，存在，使得，于是，这与是的最大元素矛盾，故．     因此，对于任意正整数，都有，所以数列递减，从而整数不会在数列中出现，与题设矛盾． 综上，不存在满足题意的无穷整数数列． 【分析】（1）通过构造等差数列求出数列通项，确定 的元素构成，计算非零元素的具体值并放缩证明不等式；（2）构造递增自然数列，直接写出集合的具体形式，利用下标越大、集合最大元越小的性质，验证真包含关系；（3）反证法结合补集分析，先证明补集有限且严格递增，再推出数列严格递减，与 “全体整数都出现” 的条件矛盾. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且，，，． (1)求，的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． (3)设数列，，在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由如下： ，满足上式子， 故，则， 假设存在等差数列，，使得，，为等比数列， 则，即， 则， 故数列既为等差数列，也为等比数列， 故数列为常数列，则， 故不存在不同的3项，，成等比数列. 【分析】（1）设公差和公比，列方程组求解即可； （2）利用分组求和、错位相减、裂项相消求和； （3）假设存在，利用等差中项和等比中项列关系式求解. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由，得，则； 由得，则， 故； （2）当为奇数时，； 当为偶数时，， 设， 则， 则， 得， 设 ， 则； （3）略 3．（26-27高三·湖南邵阳·模拟测试）已知数列，，满足，其中，，，且，中至少有一个成立．若存在唯一的非零常数，，使得对任意的正整数恒成立，则称可由基线性表示． (1)若可由基线性表示，证明：为等比数列； (2)若，，且，，可由基线性表示． （ⅰ）求的前n项和； （ⅱ）求的通项公式． 【答案】(1)证明：因为，，， 直接计算得： ．     又， 故，则，． 由于，是非零常数，，则，则为等比数列． (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）先运用线性表示计算出的表达式并把与展开进行分组还原出与、的表达式，然后将这个表达式与自身的递推公式做等式对比，最后整理等式得到前后比值从而证明出为等比数列. 小问（2）的（i）先运用已知条件求出，然后根据第（1）计算出公比从而得出的表达式，再运用等比数列的前n项和公式求出结果；（ii）先写出的递推公式，再进行变式使其带常数递推，发现这个递推公式为二阶递推，将这个二阶递推进行拆分并进行第一次构造数列进行降阶，求出，再将用进行表达，这个表达式为一阶递推，最后通过构造数列求出. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）由题意得，取，解得． 又，取，2，得，解得， 即，，则． 故的前n项和．     （ⅱ）由（ⅰ）知，，等式左右同时除以， 得． 设存在常数s，t，使得， 待定系数法解得，     记，则， 继续待定系数可得， 又， 则是以公比为，首项为的等比数列， 故， 则．     设存在常数，，使得， 解得，，     则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 解得． 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知对于给定且，正整数可唯一表示为（且，其中，，，…，，），此表达式称为的进制表示.例如，此表达式称为2026的八进制表示. (1)若，求的最大值（结果用表示）； (2)若互不相同，且，求的最大值（结果用表示）； (3)若且，是否存在最大值，若存在，求出的值及对应数组，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，，对应数组为 【分析】（1）根据的进制定义化简即可求解. （2）利用等差数列的概念以及错位相减法即可求解. （3）利用换元法以及增数列的性质进行讨论验证即可求解. 【详解】（1）若，因为， 所以 故此时的最大值为，当时，等号成立. （2）由知成等差数列， 又为互不相同的整数且， 故其公差不为0，所以， 又因为， 要求最大值，所以，且， 故，① 令② ③ ③式减②式知， 所以，即，当且时取等. （3）存在最大值. 因为，所以， 令，则为严格递增数列. 若中至少四项为正，不妨设， 则， 故，这与矛盾！故中至多三项为正. 同理可得中至多三项为负，所以. 当时，有，由为整数且严格递增知， ， 故， 故. 验证知满足题目条件. 故存在最大值，此时，对应数组. Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02 等比数列性质归类 题型脑图核心考法搭建 定义：等比判定 奇偶项和的关系 等比数列基本量计算 等比数列单调性与最值 等比中项 “平衡点”不等式 等差等比“纠缠” 等比数列性质归类 求范围型 构造等比 等比数列插入数型 等比sn与an的关系 数列与导数 等比an与sn:等距性 等比数列第19题题型 考法深研·解题技能进阶 题型01定义：等比判定 点方法技巧 等比数列判定方法 Q1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证=qq≠0的常数)台数列{a}是等比数列： (2)等比中项法：即证a=aa+2(a,u+14+2≠0，n∈N→数列{a}是等比数列. 易错点： 1.等比数列与0无关，任何一项都不能为 an2 等比数列必须保证“每一项”都成立，特别是首项。如a1=gg≠0的常数) 1. (26-27全国课后作业)已知项数相同的等比数列{a},{b.},公比分别为9,4，(9,4≠1)，给出下列 数列： ①3a,}2a 3{3}④2a.-36,}524,3动，}其中-定是等比数列的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题)已知数列{an}满足a1-a,a2始终为定值.则 A.{an}-定是等差数列 B.{an}一定是等比数列 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.{an}是等差或等比数列 D.{a}可能是非等差非等比数列 3.(24-25高三福建模拟检测)已知数列{}各项都是正数的数列，下列说法正确的是() A.若{a,}是等差数列，则{2}是等差数列 B.若{a,}是等比数列，则{2}是等比数列 C.若{an}是等差数列， 则{2}是等比数列 D.若{an}是等比数列， 则{2}是等差数列 4.(23-24高三上山东阶段检测)记非常数数列{an}的前n项和为Sn,设甲：{an}是等比数列；乙： Sn=Ban+C(B≠0,1，且C≠0)，则() A·甲是乙的充要条件 B.甲是乙的充分不必要条件 C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 题型02等比数列基本量计算 点方法技巧 等比数列公式 (1)通项公式：4=4g1: (2)前n项和公式：S= 1.(26-27高三上·云南昆明阶段检测)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a+a2=6,4+a4=24. 记数列{a}的前n项和为S,则使得Sn>200成立的最小正整数n的值为(） A.5 B.6 C.7 D.8 2.(26-27高三上广西阶段检测)设各项为正数的等比数列{an}中，a,=8,则9a+a3取最小值时，a 等于() 8 1 A.27 B·3 4 C. 16 D·27 3,(2027湖南衡阳一模)已知等差数列{an}的首项a=2,公差d为正数，取子数列b=a,( k=0,1,2,…)，则（) A.{b}是等差数列 B.{b}是等比数列 C.{也-b}是公比为2的等比数列 D.存在d>0,使也}既是等差数列又是等比数列 4,(26-27高三上·广东汕尾阶段检测)已知正项等比数列{a}的前n项和为Sn,若a=1,S。=5S4-4S2 则S4=() 5 B.8 C.15 D.40 题型03等比中项 2/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点方法技巧 如果在a与b中间插入-个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G=ab 1.(26-27高三江苏连云港阶段检测)在等比数列{an}中，4,4s是方程x2-6x+4=0的两根.则 a446+a1等于（) A.6 B.2 C.2或6 D.-2 2.(2027高三全国专题练习)已知正数。6的等比中项是2，且m=6+ 1 ,n=a+ a +n的最小 ,则 值是() A.3 B.4 c.5 D.6 3.（25-26高三上湖南阶段检测)Va≠+a(k∈Z.如2a和2amu的等比中项不可能为（） A.sina B.-cosa C.-2sina D.2cosa 上+上+41，则当4，取得最小值时 4.(26-27高三上辽宁开学考试)在等比数列{a}中.a,>04,a,a, a=()· A.1 B.2 C.3 D.4 题型04等差等比“纠缠” 点方法技巧 等差等比纠缠数列”：等差数列某些项成等比，或者等比数列某些项成等差。 1.一般情况下，等差中纠缠等比”，设等差首项和公差列方程。 2.一般情况下，等比中“纠缠等比”，设等比首项和公比列方程。 1.(26-27高三河北保定阶段检测)已知数列{a,}的各项均为整数，a。=-2,4,=4,前10项依次成 等差数列，从第9项起依次成等比数列，则4+44=() A.13 B.19 C.26 D.32 2.(26-27高三上黑龙江哈尔滨阶段检测)已知正项等比数列{a,}中，4=1，且-4，a4,a成等差数 列，若2a,-3n+2>0对任意n∈N恒成立，则实数2的取值范围为（)】 B·(1,+o) c( D.(2,+0) 3.(26-27高三上黑龙江阶段检测)已知等比数列{a,}是递增数列.其前n项积为T,若-8a1,a2, as成等差数列，a4=32,则当Tn取最小值时，n=（) A.9 B.11 C.13 D.15 4.(26-27高三上北京海淀阶段检测)n}为公差不为0的等差数列，bn}为公比不为1的等比数列· ①存在{a}.{b.}使得{a.+b,}有无穷多项是{bn}中的项；②存在{an},{bn}使得{ab}有无穷多项是{b.} 中的项.则() 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①正确，②正确B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①错误，②错误 题型05构造等比 点方法技巧 批数列公比q不确定其前项和直接用公式3.9处理问题容易漏掉对，1的 1-g 论 1. (25-26高三安徽阶段检测)数列{an}满足a=1,a2=3, 4an+1-3a。-an2=0(n∈N),设 记[y表示不超过，的最大整数，设S,= 100,100, 100 b=log;a ++ bb2 bbs 若不等式s,≥对 n∈N恒成立，则实数t的最大值为（) A.50 B.60 C.80 D.100 2.(2025高三全国专题练习)数列{an}中，a>0,aa,=p21"(p>),若Tn是数列{a}的前n项积， 则T的最大值为() 411 A.plo B.ps C.p& D.pss 3.(25-26高三北京海淀阶段检测)首项为正数的数列{a,}满足a=(a+3),给出下列四个结论 ①存在1和a,使得{an}是等比数列； 2若-日4足忘数则a为奇数： 1 3若九=4且a>3则存在n使得a.≤3 ④若元0,4 1<a<3:则{a,}是递减数列 所有正确结论的序号是（) A.①2③ B.①2④ C.①③④ D.②3④ 3 4.(25-26高二上甘肃庆阳期中)已知数列{a,}的前n项和为3，且8，=0，-l(neN).设 1 1 +…+1 6=2g,2+1.则6+a 6b,s() 1 1 n-1 n-1 A·2n-3 B.2n-1 C.2n-1 D.2n-3 题型06等比sn与an的关系 点方法技巧 涉及到an与sn组合型递推，一般情况下，可以借助通项an与前n项和Sn的关系再写一个做差，消去 4/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sn再递推求解。 通项an与前n项和Sn的关系是： an= 等比数列前n项和 S.-al-4)-4-a-q"=r-w (2)数列{an}是等比数列，Sn= 1-q1-q1-q ，Sn为r-rg型线性指数函数。 1.(26-27高三上广西南宁阶段检测)已知数列{a}的各项是1或2，a=1,且在第k个1和第(k+1)个 1之间有(2-k)个2，即1.2：1,2,2,1,2,2,2,2：2：1则数列{a}的前2019项的 和为() A.4025 B.4026 C.4027 D.4028 2.(2025高三上全国.专题练习)存在唯一的由非负整数组成的有序三元组(a,k,m),使得 4+49+k+40+2k+…+49+mk 2”+2+2+…+20d=964.间a+k+m的值是多少7（) A.8 B.9 C.10 D.11 E.12 3.(2026高三全国专题练习)若Sn是数列{an}的前n项和，已知a=2,42=10,且 SnH1+2Sn1-3Sn=2×3”,则S23=() A.3224-2025+1B.323-224+1 C.2×32023-22024 D.2×32024-22025 4。(25-26高二下广东广州期中)已知数列{a}满足4=l,an=4m+(-)°，41=an+2”,则数列 {an}的前100项的和为() A.22-154 B.22-150 C.21-154 D.21-150 题型07等比an与sn:等距性 点方法技巧 若{a}为等比数列，公比为q,前n项和为Ss,则有： (1)下标意识：若p十q=十n,则44=n☑，特别地，若p十q=2k,则4=2； (2)隔项等差：数列a,4+,4+2k,4+3,…为等比数列，公比为 3)分段等比：数列S,&-S,Sm一&仍成等比数列，其公比为 1.(25-26高三贵州黔南阶段检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn且Sn≠0，若Sn=a,S2n=b Sm=C,则下列等式恒成立的是（) A.b2=ac B.a+c=2b C.b(b-a)=a(c-a)D.b(b-a)=c(c-a) 2.(2023上海高考真题)已知数列{an}的各项均为实数，Sn为其前n项和，若对任意k>2022,都有 S>S,则下列说法可能成立的是（) A.A1,,4,…,a2m-1为等差数列，凸2，a4,a6,…,42n为等比数列 B.4,4,a5,…,a2m1为等比数列，42，a4,a6,…,42n为等差数列 C.4,a2,%,“,02022为等差数列，a2022,02023,02024,…,0n为等比数列 D.41,42,4,“,2022为等比数列，02022,2023,02024，，0n为等差数列 5/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026山东济南模拟预测)已知等比数列{a,}的前n项和为S,则下列等式恒成立的是() A.S+S2n=S3m B.S2n2=S,S3m C.S+S2n-S3n=S2n2 D.S2+S22=S,(San+m) 4.(2026西藏日喀则模拟预测)设Sn是各项均不相同的等比数列{}的前n项和，S。=-1,S,=3S, 则16+1+i8=() A.-32 B.-16 C.16 D.32 题型08奇偶项和的关系 点方法技巧 1. (2025江西阶段检测)数列{an}是以a为首项，9(9≠1)为公比的等比数列，数列也，}满足 bn=1+a,+42+…+an(n=1,2,,数列{cn}满足cn=2+b+b2+…+bn(n=l1,2,),若{cn}为等比数列，则 a+q= A.2 B.3 c.5 D.6 2.(24-25高三上辽宁葫芦岛阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn,a<0且a2an=S2+Sn,对一切正 整数n都成立， 记 an 的前n项和为红则数列7. 中的最大值为( A.② √2 2 B. C·2 D·-2 3.(2026山东模拟预测)若等比数列{an}的前n项和Sn=2”+t,则该数列{an}的前9项中所有奇数项之 和与所有偶数项之和的比为(） 341 170 A B.2 C.170 D.341 4.(2024贵州模拟预测)在数列{an}中，a=1,anan+1=2”,若am+am1+…+am+9=248,则m= () A.3 B.4 C.5 D.6 题型09等比数列单调性与最值 点 方法技巧 判断数列的单调性，常用的方法有作差比较法、作商比较法和函数图象法： (1)作差比较法：当a-a,>0时，{a}递增：当a1-a.<0时，{a,}递减 an+1>1 an1<1 (2)作商比较法：若a>0,则当0，时，a,}递增；当a,时，a,}递减， (3)函数图象法：设“，=f(0）,则可用函数y=f(四的图象来研究数列a,}的单调性 1.(25-26高三下北京开学考试)设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论一定成立的是 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若a<0,{Sn}递减，则{an}递增 B.若a<0,{S}递减.则{a}递减 c.若4>0，{a}递减.则{Sn}递减 D.若a>0,{a}递减，则{S}递增 2.(24-25高三上海阶段检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,则下列选项中正确 的是() A.若S2m6>S225,则数列{an}严格增 B.若I6>Tm5,则数列{an}严格增 C.若数列{Sn}严格增，则ao6≥a25 D.若数列{Tn}严格增，则ao6≥as 3.(23-24高三上·上海普陀期中)已知a}是等比数列，公比为q,若存在无穷多个不同的正整数n 满足am+2≤an≤am1,则下列选项中，不可能成立的是（) A.9>0 B.9<0 C.lqk1 D.|91 4.(24-25四川成都阶段检测)在各项都为正数的等比数列{a}中，已知a=512,其前n项积为Tn,且 T,=T6,则Tn取得最大值时，n的值是（） A.9 B.8或9 C.10或11 D.9或10 题型10“平衡点”不等式 点方法技巧 等比数列“平衡点”型不等式 等比数列“平衡点”型不等式，主要从以下几个性质思考： 1.若p十q=十n,则4☑=4m4,特别地，若p十q=2k,则马4，= 2.如果等比数列是正项递增数列，则若p十空十n,则4a之4m4 1.(25-26高三四川乐山阶段检测)已知等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn, as-1<0.则（） 且满足4>1：a2s·a6>1,a6-1 A.S2025>S2026 B.a2024·a2026-1<0 C.T26是数列{T}中的最大项 D.若Tn<1,则n的最小值为4051 2.(25-26上海阶段检测)设等比数列{a}的公比为q,其前n项和为S。,前n项积为T,并满足条件： 4>La4s>小20，则下列结论中不正确的是（) 42024-1 A.a202442026-1<0 B.T4是数列{Tn}中的最大值 C.若Tn>1,则n的最大值为4047 D.S2024S2025>20242 3.(2025全国专题练习)设等比数列a}的公比为9，其前n项之积为Tm,并且满足条件：a>1, a42019-1 4>10,给出下列结论：①0<g<1:2a41-1>0:③7是数列中的最大 项；④使T,>1成立的最大自然数等于4039；其中正确结论的序号为（) 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①2 B.①3 C.①3④ D.①23④ 4.(26-27高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知等比数列{a}的公比为q,其前n项积为Tm,且满足 a6-1<0.则（） 4>1'az026a27>1,a7-1 A.9<0 B.42025a2027-1<0 C.T6是数列{Tn}中的最小项 D.若Tn<1,则n的最小值为4053 题型11求范围型 点方法技巧 等比数列与函数的关系 (1)数列{a}是等比数列，=q1,通项a为指数函数：即a=4q; =a0-42=4-4g=r-g (2)数列{an}是等比数列，Sn= 1-91-91-91 ,Sn为r-rq型线性指数函数。 (3)借助函数性质（或者不等式均值等性质）求等比数列最值时，要注意自变量是离散型 1.(25-26高三北京平谷阶段检测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tn,若首项为 -a2<4<0,则() A,Sn和Tn既有最大值，又有最小值 B.Sn有最小值，Tn无最大值 C.Sn无最大值，Tn无最小值 D.Sn无最小值，Tn有最小值 2.(25-26高三上海南期木)已知正项等比数列{a,}满足44,4。=1且g>a。i ,若Sk+>S且S+>Sk+2,则k=() A.15 B.9 C.8 D.7 3.(25-26高二上黑龙江哈尔滨期中)对于等比数列{an},则a<a"是数列{an}为单调递增数列"的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26江苏苏州阶段检测)记等比数列{an}的前n项和与前n项积分别为Sn,Tn,若a<a,则 （） A.{a}为单调数列 B.{Tn}为递增数列 C.{Sn}有最大值 D.{Sn}有最小值 题型12等比数列插入数型 点方法技巧 8/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(26-27高三上，河北雄安开学考试)已知数列{an}是首项和公比均为3的等比数列，在数列{an}的任 意相邻两项4与a(其中k∈N)之间插入2个1，使它们和原数列的项构成-个新数列{b.},则数列 {b.}的前50项和S0=（) A.402 B.404 C.408 D.412 2.(2026高三全国专题练习)已知a、b是不相等的正数，在a、b之间插入两组数，x,,Xm, y,y2,,ym,使a,x,2,…,xm,b成等差数列，a,乃，y2,,yn,b成等比数列.则下列 不等式 (1) +为++x>√ab+ a-b 2 (2) +为++x>a n 2 (3)yy2…y,<Vab (4)%…y.<2 a+b Ja-b 2 中，为真命题的是() A.(1)、(3) B.(1)、(4) C.(2)、(3) D.(2)、(4) 3.(2024江西南昌二模)已知数列{a,}的通项公式为a=21, 保持数列{an}中各项顺序不变，对任意 的keN,在数列{a}的a与akH项之间，都插入k(keN,)个相同的数(-I)k,组成数列{b.}.记数列 {b}的前n项的和为Tn,则Tio=（() A.4056 B.4096 C.8152 D.8192 4.(25-26高三全国课后作业)在1和10之间插入n个实数，使得这(n+2)个数构成递增的等比数列， 将这(n+2)个数的乘积记作Tn,则gT+lgT2+…+gT:=() B.11 C.44 D.52 题型13数列与导数 点方法技巧 1. (2025年四川省成都阶段练习)牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数y=f(x)的零点 时提出的，在航空航天领域中应用广泛已知牛顿数列{x}的递推关系为：x是曲线y=f()在点 (xn,f(xn)处的切线在x轴上的截距，其中neN (1)若f(x)=2,并取=1，则{x}的通项公式为 (2)若取x>1,且{x-为单调递减的等比数列，则f(x)可能为 2.(25-26高三北京阶段练习)数列{an}是等比数列，满足a=1,q>0,若存在meN,使得当 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 l≤k≤m时，都有a≤k≤ak+成立，则m的最大值为 此时9的取值范围是 3.(25-26北京西城阶段检测)已知无穷数列{an}满足a=m,a,=a,-3an-1+kn≥2，neN) 给出下 列四个结论： ①对任意实数m,存在实数k,使得数列{an}为等差数列 ②对任意实数k,存在实数m,使得数列{a,}为单调递增数列； ③对任意实数k,存在实数m,使得数列{}的每项都小于0且互不相等， ④不存在实数m和k,使得数列{a}为等比数列（公比q≠1） 其中所有正确结论的序号是 4.(25-26北京朝阳阶段检测)已知函数f()=e-2有三个零点，x,x(:<x<x),则 ①若，x,5成等差数列，则，号，成等比数列 ②若x,x,号成等比数列，则x,x,x成等差数列 ③若x,x,x成等差数列，则数列x,x,的公差为2n(V2-) ④若x,x,成等比数列，则数列x,x,x的公比为3+2√2 题型14等比数列第19题题型 方法技巧 1.(26-27高三上河南阶段检测)已知数列{an}的各项均为整数，定义集合M.={a-au≤v,4,veN} 1)若{a}的项数为100.a=2且C-2a。=2(n≤99)，证明：M中的非零元素大于25x21o1 2)对任意正整数k,证明：存在项数为k的{a},使得1到k的正整数在{a}中各出现一次，且对于满足 1≤i<j≤k的任意正整数i,j,M,都是M,的真子集 (3)若{a,}为无穷数列，且每个整数都至少在{a}中出现一次，证明：不存在{a},使得对于满足i<j的任 意正整数i,j,M,都是M,的真子集 2.(26-27高三上天津滨海新区阶段检测)已知数列{a}为等差数列，数列{b}为正项等比数列，且 a4=7,a1+a3=6.b=2.a+b3=a 1求{a},{b.}的通项公式 anbn,n为奇数 (2)已知9n= (3a,-4) 么，n为偶数： 求数列的前项和 anam2 Rcn 2n T2m 3)设数列=b(n22）.1=1,在1，与141之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d.的等差数 列， 在数列{d,}中是否存在不同的3项dm,dk,d,(其中m,k,p成等差数列)成等比数列？若存 在， 求出这样的3项；若不存在，请说明理由· 10/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 an2=pan+qan+Fn 3.(26-27高三湖南邵阳模拟测试)已知数列{a}伍}{红}满足b1=p6+gb+片其中 pg≠0，Fn≠0，n∈N,且a≠6，a,≠b中至少有一个成立.若存在唯一的非零常数入，4，使得 a,=b.+b对任意的正整数n恒成立，则称{an}可由{b,}基线性表示 (1)若{a}可由{b,}基线性表示，证明：{F}为等比数列； 2)若p=2,9=4,且a=a2=6=1,b,=-b,=2,{a}可由{b.}基线性表示. （i）求{F}的前n项和Tn: (ⅱ)求{b,}的通项公式 4.(2026-山东济南模拟预测)已知对于给定q∈N且9>1，正整数n可唯一表示为n=a+a9+…+a9 (a,∈N且0≤a,≤9-1，其中i=0,1,2,,k,a≠0)，此表达式称为n的9进制表示.例如 2026=2+5×8+7×82+3×8,此表达式称为2026的八进制表示. (1)若k=9,求n的最大值（结果用9表示） 2)若a,(=0,12,,k)互不相同，且2a,=a+a(i=1,2,,k-).求n的最大值（结果用g表示）； 3)若q=8且2a,<a+a(i=l,2,,k-),n是否存在最大值.若存在，求出k的值及对应数组 (a,4,42,…,a4),若不存在，说明理由 Jieshu 11/11