18.6 相似三角形的性质（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础巩固到思维拔高，融合中考真题，助力知识进阶与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|相似三角形基本性质（周长比、面积比）及简单应用|基础题型结合中考真题，强化概念理解| |B组|相似与中点、平移、动点的综合应用|多知识点融合，培养推理能力| |C组|动态几何、分类讨论、综合证明|复杂情境与开放探究，发展创新意识|

分层作业 18.6相似三角形的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用相似三角形性质求解 题型02利用相似求坐标 题型03 网格中的相似三角形 题型04 相似三角形的动点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用相似三角形性质求解题型01 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 3．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 4．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（2019·西藏·中考真题）如图，在中，分别为边上的中点，则与的面积之比是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】由题意可知：是的中位线， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 6．（2019·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可证四边形为平行四边形，根据相似三角形对应线段成比例及平行四边形对边相等的性质判断即可. 【详解】解：∵在中， ∴易证四边形为平行四边形 ∴易证 ∴，A项错误 ，B项错误 ，C项错误 ，D项正确 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练运用两者性质确定线段比例关系是解题的关键. 7．（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为_____________． 【答案】 【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：两个相似图形，其周长之比为， 其相似比为， 其面积比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键． 8．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________． 【答案】 【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ , ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的周长比为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 9．（辽宁省锦州市2020年中考数学试题）如图，在中，D是中点，，若的周长为6，则的周长为______． 【答案】12 【分析】由，可知，再由D是中点，可得到相似比，即可求出的周长． 【详解】解：∵， ∴， 又∵D是中点， ∴，即与的相似比为1:2， ∴与的周长比为1:2， ∵的周长为6， ∴的周长为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于周长比是解题的关键． 10．（2019·辽宁抚顺·中考真题）如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的面积是__． 【答案】9． 【分析】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为、，由于缩小前后两三角形相似，根据相似的性质得，然后根据比例性质计算出和的值，再根据三角形面积公式计算缩小后的直角三角形的面积． 【详解】设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为、， 根据题意得， 解得，， 所以． 缩小后的直角三角形的面积为9． 故答案为9． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 11．（2015·辽宁本溪·中考真题）在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED =1：8，则AD为_________________． 【答案】cm或2cm 【详解】解：已知S△ADE：S四边形BCED=1：8，可得S△ADE：S△ABC=1：9， 所以△ADE与△ABC相似比为：1：3． 分两种情况，①∠AED=∠B时，△AED∽△ABC， 所以，由AC=5cm，可得AD=cm； ②当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC， 所以， 由AB=6cm，可得AD=2cm, 故答案为： cm或2cm． 12．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（2023·湖南·中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）略； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 14．（2021·广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC，且AB＞AC． （1）在AB边上求作点D，使DB＝DC； （2）在AC边上求作点E，使ADE∽ACB． 【答案】（1）如图，点即为所求． （2）如图，点即为所求． 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可． （2）作，射线交于点，点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图相似变换，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用相似求坐标题型02 15．（2014·贵州贵阳·中考真题）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【详解】∵∠BAC=∠PED=90°，， ∴当时，△ABC∽△EPD时． ∵DE=4， ∴EP=6． ∴点P落在P3处． 故选C． 网格中的相似三角形题型03 16．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 17．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 【答案】 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 相似三角形的动点问题题型04 18．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上由点B向点D运动（点E不与点B重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90得到线段AF，连接BF交AO于点G．设BE的长为x，OG的长为y，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接FD，证明△BAE≌△DAF，得到∠ADF=∠ABE=45°，FD=BE，再说明GO为△BDF的中位线，则 ，且x＞0，是在第一象限的一次函数图象． 【详解】连接FD， ∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠FAD+∠EAD＝90°， ∴∠BAE＝∠FAD． 又BA＝DA，EA＝FA， ∴△BAE≌△DAF（SAS）． ∴∠ADF＝∠ABE＝45°，FD＝BE． ∴∠FDO＝45°+45°＝90°． ∵GO⊥BD，FD⊥BD， ∴GO∥FD． ∵O为BD中点， ∴GO为△BDF的中位线． ∴． ∴，且x＞0，是在第一象限的一次函数图象． 故选A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、全等三角形的判定和性质、中位线的性质定理，解题的关键是通过辅助线构造全等三角形而后转化线段． 19．（2019·辽宁辽阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．    【答案】或 【分析】根据题意分情况讨论：①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，根据∽求出PE，②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，过点作于，根据∽，求出，，则可得到，故而求出点点坐标. 【详解】解：∵点在矩形的内部，且是等腰三角形， ∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上； ①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示： ∵，， ∴， ∴∽， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴点横坐标为﹣4，，，， ∵∽， ∴，即， 解得：， ∴点；    ②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为， 过点作于，如图2所示： ∵， ∴， ∴∽， ∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴，，， ∴， ∴， ∵∽， ∴，即：， 解得：，， ∴， ∴点； 综上所述：点的坐标为：或； 故答案为或．    【点睛】此题主要考查正方形的综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、矩形的性质及圆的性质. 1．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 【详解】解：点 、 分别是、  的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 由， ∴． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 3．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 【答案】C 【分析】根据平行得到，根据相似的性质得出，再结合，DE＝6cm，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DEBC， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查利用相似求线段长，涉及到平行线的性质、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 4．（2020·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A．或 B．15 C． D． 【答案】A 【分析】判断未知边m、n是直角三角形的直角边还是斜边，再根据勾股定理计算出m、n的值，最后根据题目中两个三角形不相似，对应边的比值不同进行判断． 【详解】解：在第一个直接三角形中，若m是直角边，则， 若m是斜边，则； 在第二个直接三角形中，若n是直角边，则， 若n是斜边，则； 又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10，m= 和n=不能同时取， 即当m=5，，， 当，n=10，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及相似三角形的性质，在直角三角形中对未知边是直角边还是斜边进行不同情况的讨论是解题的关键． 5．（2020·贵州铜仁·中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 【详解】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15， ∴△FHB和△EAD的周长比为2：1， ∵△FHB∽△EAD， ∴， 即＝2， 解得，EA＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题． 6．（2019·台湾·中考真题）如图，将一张面积为的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设，，，平行四边形的面积分别为，，和，过点作，则由为平行四边形，易得四边形也为平行四边形，从而，利用面积比等于相似比的平方可求． 【详解】解：如图，设，，，平行四边形的面积分别为，，和， 过点作，则由为平行四边形，易得四边形也为平行四边形，从而， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 故选D． 【点睛】本题是巧求面积的选择题，综合考查了平行四边形，相似三角形的性质等，难度较大． 7．（2019·重庆·中考真题）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3 B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9 C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3 D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质分别对每一项进行分析即可． 【详解】解：A、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是假命题； B、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9，是真命题； C、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题； D、如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为16:81，是假命题； 故选B． 【点睛】此题考查了命题与定理，用到的知识点是相似三角形的性质，关键是熟练掌握有关性质和定理． 8．（2019·甘肃兰州·中考真题）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】∵△ABC∽△A′B′C′, ∴ 又∵AB＝8，A’B’＝6， ∴= . 故选B. 【点睛】此题考查相似三角形的性质，难度不大 9．（2019·山东枣庄·中考真题）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得． 【详解】、，且为边的中线， ，， 将沿边上的中线平移得到， ， ， 则，即， 解得或（舍）， 故选． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 10．（2019·四川巴中·中考真题）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（    ） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 【答案】D 【分析】先设出，进而得出，再用平行四边形的性质得出，进而求出CF，最后用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵点F是BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF是解本题的关键． 11．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 12．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵M，N分别是DE，BC的中点， ∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线， ∵△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴＝()2＝， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 13．如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________． 【答案】 【分析】根据题意可知△A1BD∽△ABC，又根据已知条件“图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5”可得与的面积比为4∶9，即得出A1B∶AB=2∶3，已知，故可求A1B，最终求出． 【详解】 ∵根据题意“把沿边平移到的位置”， ∴AC∥A1D，故判断出△A1BD∽△ABC， ∵图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5， ∴与的面积比为4∶9， ∴A1B∶AB=2∶3， ∵， ∴A1B=， ∴=AB－A1B=4－=． 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解答本题的关键． 14．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：由作图可知，． 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 15．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出； （2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出． 【详解】（1）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴，，DE=BF， ∴， ∴ ∴， ∵，DE=BF， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键． 16．（2022·江西·中考真题）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴．明：∵四边形ABCD为菱形， ∴，， ，， ∵， ∴， ∴． (2)AE=9 【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论； （2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE的值． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键． 17．（2020·辽宁大连·中考真题）如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． （1）当点D与点A重合时，求t的值； （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，当＜时， 【分析】（1）利用勾股定理求解的长，从而可得答案； （2）分，＜两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可． 【详解】解：（1）， （2）如图，当时，点在上， 由题意得： 当＜时，点在上，如图， 由题意得： 同理： 综上：当时，当＜时， 【点睛】本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键． 1．【代几综合】（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：过作于，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 当在上运动时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题设，则， ∴， ∴， 由函数图象可知，当 时，， ∴，即， 当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时， 由函数图象可知，当时， ∴，即， ∴， 把代入中得， 解得； ∴在中，， 当点开始沿运动，此时， ∴， 代入时，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 2．【分类讨论】（2020·云南昆明·中考真题）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据题意，得出ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：ABC的三边之比为， 如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况： 所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个， 故选：C． 【点睛】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 3．【代几综合】（2013·辽宁铁岭·中考真题）如图,点G、E、A、B在一条直线上,Rt△EFG从如图所示的位置出发,沿直线AB向右匀速运动,当点G与点B重合时停止运动,设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S,运动时间为t,则S与t的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：设GE=a，EF=b，AE=m，AB=c，Rt△EFG向右匀速运动的速度为1， 当E点在点A左侧时，S=0． 当点G在点A左侧，点E在点A右侧时，如答图1， AE=t﹣m，GA=a﹣（t﹣m）=a+m﹣t， ∵PA∥EF，∴△GAP∽△GEF． ∴，即．∴． ∴． ∴S是t的二次函数，且二次项系数为负数，所以抛物线开口向下． 当点G在点A右侧，点E在点B左侧时，S=ab． 当点G在点B左侧，点E在点B右侧时，如答图2， GB=a+m+c﹣t， ∵PA∥EF，∴△GBP∽△GEF． ∴，即．∴． ∴． ∴S是t的二次函数，且二次项系数为，正数，所以抛物线开口向上． 综上所述，S与t的图象分为四段，第一段为x轴上的一条线段，第二段为开口向下的抛物线的一部分，第三段为与x轴平行的线段，第四段为开口先上的抛物线的一部分． 故选D． 4．【几何综合】（2026·山东·中考真题）如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】先由折叠和推出 ，从而四边形是菱形，得 且为中点，再利用菱形及中点构造中位线得到且，结合可证并求得，最后通过面积法求，利用相似三角形求出，从而算出的面积． 【详解】解：连接，作， ，点是边的中点， ，根据折叠可知， ，， ， ， 由折叠可知， ， ， 由折叠可知， ， 四边形是菱形， ， 设交点为， 为中点， ，且， ， ， ， 在中，， ， ， 设交点为， ，， ，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进而用面积和相似计算三角形面积． 5．【规律问题】（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题中条件，证明所有的直角三角形都相似且确定相似比，再具体算出前几个正方形的边长，然后再找规律得出第个正方形的边长． 【详解】解：点在直线上，点的横坐标为2， 点纵坐标为1． 分别过，作轴的垂线，分别交于，下图只显示一条； , 类似证明可得，图上所有直角三角形都相似，有 ， 不妨设第1个至第个正方形的边长分别用：来表示，通过计算得： ， ， 按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为， 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形相似，解题的关键是：利用条件及三角形相似，先研究好前面几个正方形的边长，再从中去找计算第个正方形边长的方法与技巧． 6．【分类讨论】（2019·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为__________________． 【答案】 【分析】先由已知得出，，然后分类讨论点的位置从而依次求出每种情况下点的坐标． 【详解】解：，两点的坐标分别为， 轴 点在直线上， ， 如图： （Ⅰ）当点在处时，要使，即使 即 解得： （Ⅱ）当点在处时， ， 的中点 点为以为圆心，长为半径的圆与轴的交点 设，则 即 解得： ，，， 综上所述：点的坐标为或，或，． 【点睛】本题考查了动点型问题，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，圆的相关知识，本题比较复杂，难度较大． 7．【几何综合】（2017·四川泸州·中考真题）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为___________cm． 【答案】4 【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答． 【详解】连接AO并延长，交BC于H， 由勾股定理得，DE=， ∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线， ∴DE∥BC，且BC=2DE=4， ∴ 同理AO=2OH O是△ABC的重心， ∴AH是中线，又BD⊥CE， ∴OH=BC=2， ∴AO=2OH=4. 【点睛】重心分中线的比为2比1，这个结论很重要．填选题可直接用，解答题需证明 8．【几何综合】（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 9．【动点问题】（2021·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）线段AD的长为 ． （2）用含t的代数式表示线段BP的长． （3）当点在内部时，求的取值范围． （4）当与相等时，直接写出的值． 【答案】（1）2；（2）BP=5-t或者BP=t-5；（3）；（4）或． 【分析】（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据点D为AC的中点，得到结果； （2）由AP=t，AB=5，得出结论； （3）分情况计算出两个临界值，当点在AB上时，DP⊥AB，△APD∽△ACB，根据对应边成比例求出，当点在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合，△ADP∽△ACB，根据对应边成比例求出，最后得出结论； （4）根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等，两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对应边成比例计算出各边的长，最后得到结果． 【详解】解：（1）∵∠C=90︒，，， ∴， ∵点D为边AC的中点， ∴AD=2； （2）当点P在AB上时，∵AP=t，AB=5， ∴BP=5-t， 当点P在BC上时，BP=t-5， ∴BP=t-5或者BP=5-t ， （3）如图，当点在AB上时，DP⊥AB， ∴△APD∽△ACB ∴， ∴， ∴， 如图，当点在AC上时，PD⊥AC，点A’与点C重合， ∴△ADP∽△ACB ∴， ∴， ∴， ∴当点在内部时，， （4）①如图， ∵点A关于直线PD的对称点，DE⊥AA’， ∴△ADE≌△A’DE， ∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’， ∴△ABC∽△DA’E， ∴， ∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5， ∴， ∴，， ∵△ABC∽△DA’E， ∴∠EDA’=∠ADE=∠CAB， ∴AP=DP=t， ∵，， ∴， ∴， ∴， ②如图， ∵点A关于直线PD的对称点，PE⊥AA’， ∴△ADE≌△A’DE， ∵∠ABC=∠DA’E，∠ACB=∠DEA’， ∴△ABC∽△DA’E， ∴， ∵DA=DA’=2，AC=4，BC=3，AB=5， ∴， ∴，， ∵∠DEA=∠DCP，∠C=∠DEA， ∴△DEA∽△DCP， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形中的动点问题、相似三角形的判断与性质、勾股定理，解题关键在于根据题意画出图形，再根据两角对应相等，两三角形相似证明三角形相似，再结合勾股定理求出结论． 10．【作图】（2021·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积； （2）在图（2）中，先画的高，再在边上画点，使． 【答案】 （1）画图如图（1） （2）中，画图如图（2） 【分析】（1）过点沿方向取一点，使得利用得线段比，即可找到点,再连接矩形的对角线交点即可； （2）利用三角形全等找到所需的点，并进行简单证明． 【详解】（1）过点沿方向取一点，使得，得找到点,再连接矩形的对角线交点即可． （2）画的高，步骤如下： 如图，连接M，N(M，N都是格点上的点)交网格线于I， 则， 中， 在中， ， 即 在边上画点，使， 步骤如下：如图，方法同上，找 可得：， ，为的中点，所以，即FY为BD的垂直平分线，FY交边于，即为所求点． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质，仅用无刻度的直尺作图是本题的难点，正确的计算和作图是解题的关键． 1．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， (2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023·湖南·中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据题意得出，，则，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求解． 【详解】（1）略； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 18.6相似三角形的性质 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用相似三角形性质求解 题型02利用相似求坐标 题型03 网格中的相似三角形 题型04 相似三角形的动点问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用相似三角形性质求解题型01 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 4．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（    ） A． B． C． D． 5．（2019·西藏·中考真题）如图，在中，分别为边上的中点，则与的面积之比是（　） A． B． C． D． 6．（2019·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在平行四边形中，点在对角线上，，交于点，，交于点，则下列式子一定正确的是（    ）.    A． B． C． D． 7．（2023·江苏泰州·中考真题）两个相似图形的周长比为，则面积比为_____________． 8．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________． 9．（辽宁省锦州市2020年中考数学试题）如图，在中，D是中点，，若的周长为6，则的周长为______． 10．（2019·辽宁抚顺·中考真题）如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的面积是__． 11．（2015·辽宁本溪·中考真题）在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与ABC相似，且S△ADE：S四边形BCED =1：8，则AD为_________________． 12．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 13．（2023·湖南·中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 14．（2021·广西贵港·中考真题）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知ABC，且AB＞AC． （1）在AB边上求作点D，使DB＝DC； （2）在AC边上求作点E，使ADE∽ACB． 利用相似求坐标题型02 15．（2014·贵州贵阳·中考真题）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 网格中的相似三角形题型03 16．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A． B． C． D． 17．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____． 相似三角形的动点问题题型04 18．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上由点B向点D运动（点E不与点B重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90得到线段AF，连接BF交AO于点G．设BE的长为x，OG的长为y，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 19．（2019·辽宁辽阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为_____．    1．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·四川凉山·中考真题）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（    ） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 4．（2020·黑龙江大庆·中考真题）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A．或 B．15 C． D． 5．（2020·贵州铜仁·中考真题）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　） A．3 B．2 C．4 D．5 6．（2019·台湾·中考真题）如图，将一张面积为的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（　　） A． B． C． D． 7．（2019·重庆·中考真题）下列命题是真命题的是（    ） A．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为2:3 B．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的周长比为4:9 C．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为2:3 D．如果两个三角形相似，相似比为4:9，那么这两个三角形的面积比为4:9 8．（2019·甘肃兰州·中考真题）已知，则（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2019·山东枣庄·中考真题）如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（   ） A．2 B．3 C．4 D． 10．（2019·四川巴中·中考真题）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连结EF交DC于点G，则＝（    ） A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9 11．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 12．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__． 13．如图，把沿边平移到的位置，图中所示的三角形的面积与四边形的面积之比为4∶5，若，则此三角形移动的距离是____________． 14．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 15．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，． (1)若，求线段AD的长． (2)若的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 16．（2022·江西·中考真题）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 17．（2020·辽宁大连·中考真题）如图，中，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． （1）当点D与点A重合时，求t的值； （2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． 1．【代几综合】（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．【分类讨论】（2020·云南昆明·中考真题）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．【代几综合】（2013·辽宁铁岭·中考真题）如图,点G、E、A、B在一条直线上,Rt△EFG从如图所示的位置出发,沿直线AB向右匀速运动,当点G与点B重合时停止运动,设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S,运动时间为t,则S与t的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4．【几何综合】（2026·山东·中考真题）如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接．将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，．若，，则的面积为________． 5．【规律问题】（2021·山东泰安·中考真题）如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）． 6．【分类讨论】（2019·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，三点的坐标分别为，，，点在轴上，点在直线上，若，于点，则点的坐标为__________________． 7．【几何综合】（2017·四川泸州·中考真题）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为___________cm． 8．【几何综合】（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 9．【动点问题】（2021·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB—BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点，连结、．设点P的运动时间为t秒． （1）线段AD的长为 ． （2）用含t的代数式表示线段BP的长． （3）当点在内部时，求的取值范围． （4）当与相等时，直接写出的值． 10．【作图】（2021·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图（1）中，先在边上画点，使，再过点画直线，使平分矩形的面积； （2）在图（2）中，先画的高，再在边上画点，使． 1．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：； (2)若，求的长． 2．（2023·湖南·中考真题）如图，，点是线段上的一点，且．已知．    (1)证明：． (2)求线段的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 18.6相似三角形的性质 参考答案 A组 巩固过关 瓶孔型01 利用相似三角形性质求解 1.C 2.D 3.B4B5.A6D79:482:19.1210.911.3cm或2cm 12.【解析】(1) 证明：：∠BAC=90,AD是斜边BC上的高. .∠ADB=90°，∠B+∠C=90° .∠B+∠BAD=90°， ·.∠BAD=∠C 又，∠B=∠B △ABDACBA, (2).△ABDACBA AB BD ·CBAB' 又AB=6,BC=10 BD=4B_3618 CB105· 13.【解析】(1) 证明：，AC⊥AD,ED⊥AD .∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90° ,CE⊥BE .∠ABC+∠EBD=90°， ∴∠C=∠EBD、 ,△ABCADEB: 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2),△ABC△DEB, AB AC ·DEBD1 ·AB=8,AC=6,DE=4, 8_6 4BD’ 解得：BD=3」 14.【解析】(1)如图，点D即为所求 (2)如图，点E即为所求. 【分析】(I)作线段BC的垂直平分线交AB于点D,连接CD即可， (2)作∠ADT=∠ACB,射线DT交AC于点E,点E即为所求. 五型0 利用相似求坐标 15.C 颗型03 网格中的相似三角形 16.B 17. 2 题型04 相似三角形的动点问题 326、 18.A 19.(5'3或(-43) 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 7T乙TId0Ta68aL☑9 Vs vt' 14.【解析】(1) 证明：由作图可知，∠DAC=∠B, 又.∠C=∠C, .△ACDP△BCA, (2)解：：∠BAC=108°，AB=AC, .∠B=∠C=36° 由(1)得∠DAC=∠B=36° ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=72°」 .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°， ∴.∠ADB=∠BAD, .BD=AB=AC 由(I)知△ACD∽aBCA, CD AC .AC BC' .BD=AC且CD=BC-BD, BC-BD BD BDBC· .BC(BC-BD)=BD2 :BD=AB=4,设BC=x,则x(x-4)=42,即x2-4x-16=0. 解得x=2+25或x=2-25(舍去). BC的长为2+25】 15.【解析】(1)，四边形BFED是平行四边形， .DE∥BC, .△ADE∽△ABC, DE AD ·BCAB' 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE 1 AD 1 ·AB4 :D=B=x8=2: (2),四边形BFED是平行四边形， ∴.DE∥BC,EF∥AB,DE=BF, .∠AED=∠ECF,LEAD=∠CEF, △ADE∽aEFC .S.c FC :8瓷，08职 .'FC=BC-DE=4DE-DE=3DE, DE DE1 .FC3DE3’ S.ADE :.S EFC DE1 :△ADE∽△ABC,BC4, ·S,ABC :S△MDE=1, .S.EFC =9,S.A8C=16, .SSBFED=S.4BC-S.EFC-S.ADE =16-9-1=6 16.【解析】(1) 证明：，四边形ABCD为菱形， CD‖AB,AB=CB, ∴.∠ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB, ,∠ACD=∠ABE ∴.∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB, .△ABC∽△AEB.明：，四边形ABCD为菱形， .CDIl AB,AB=CB, 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ACD=∠CAB,∠CAB=∠ACB, :∠ACD=∠ABE .∠ACD=∠ABE=∠CAB=∠ACB, ∴.AABC∽△MAEB (2).AABC∽△AEB. 8指 ，6_4 即AE6' 解得：AE=9, 17.【解析】解：(1)∠ACB=90,AC=6cm,BC=8cm, AB=VAC2+BC2=V62+82=10, 10 1=25, (2)如图，当0≤t≤5时，点D在AB上， 由题意得：BD=21,AD=10-21, .DEIBC,∠ACB=90°， ∴△ADEn△ABC,∠DEC=90, AD DE AE AB BC AC' 10-2t DE AE 1086 0E-6-)-8 4E=6-5 c=4c-4E=6-6-g-g 5 A E 当5<t≤8时，点D在AC上，如图， 由题意得：AB+AD=21, 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AD=2t-10,CD=6-(2t-10)=16-2t, 同理：△AED∽aABC,∠EDC=90°， .DE_AD BC AC' DE_2t-10 86 e--10 s0ecD-1006-20-9+19- 2 23 3 3 A D 综0s15时.9=若当与57时.9-， 25 3 3 C组 思维拔高 1c2c3D495 62,0.(2+22,0.2-2W2,0)745 8.【解析】(1)解：：等腰直角三角形ABC中，AB=AC,∠A=90°，BC=4, AB2+AC2=2AB2 BC2, :AB=4C-5BC=22, ,点D和点N分别是AC和BC的中点， AD=54C=万，8N=8c=2, 2 .AD=aBN, AD√2 .a =BN=2: 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M (2).a=2,AD=aBN, .AD=2BN, 设BN=x,则：AD=V2x,CN=BC-BN=4-x, 等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, :.AB=AC=22, .CD=AC-AD=2N2-√2x, M是AB的中点， :AM BM=2, .∠B=∠C=45°， 当点C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况： CD CN ①当CDNBMN时，则：BMBN, 2W2-√2x4-x 2 x 此方程无解，不符合题意： CN CD ②当ACNDABMN时，则：BMBN, 4-x2W2-√2x .2 解得：x=3+V5(不符合题意，舍去)或x=3-V5: .BN=3-V5: 综上：BW=3-V5: (3).a=2,AD=aBN, .AD=2BN, 作DE∥BC,AE⊥DE于点E,连接BE, 则：∠ADE=∠C=45, ∴，△AED为等腰直角三角形， .AD=V2DE=V2AE,∠DAE=45°， 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=DE=BN,∠BAE=45°， 又DE∥BN, ∴.四边形EDNB为平行四边形， .BE =DN, 将AB绕点B旋转90度得到BF,连接NF,MF，则：BF=AB=2V2,∠ABF=90°， M B F ∠ABC=45° .∠NBF=45°=∠BAE. 又，AB=BF,AE=BN, ∴.△AEB≌△BNF, .BE=NF, .DN NF, .MN+ND=MW+NF≥MF, ∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长， 在R△MBF中，BM=AB=反，BF=2V5, 2 .MF=BM2+BF2=10. ∴.MN+ND的最小值为V10 9.【解析】解：(1)：∠C-90,AB=5,BC=3, .AC=V52-32=4, 点D为边AC的中点， AD=2: (2)当点P在AB上时，，AP=t,AB-5, ∴BP=5-t, 当点P在BC上时，BP=t-5, BPt-5或者BP-5-t, 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图，当点A'在AB上时，DPLAB, P B C ∴.△APD∽△ACB AP AD ACAB' 2_t …54 8 15 如图，当点A'在AC上时，PDLAC,点A'与点C重合， A P 0 B C() ∴.△ADP△ACB AD AP .AC AB' 2 t 45 5 ..t= 2, 当点在61BC内部时，1 8 2 (4)①如图， 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C ,点A关于直线PD的对称点A',DELAA', ∴△ADE≌△A'DE, .LABC=LDA'E,ACB-LDEA', ∴△ABC△DA'E, DE EA DA' ·AC=BCAB' DA=DA'=2,AC-4,BC-3,AB=5, DE=EA'=2 .4=35’ E-等，Ear9 △ABC△DA'E, ∴.∠EDA=∠ADE=∠CAB. 'AP=DP=t, DE=3,EA'=EA=6 5 5 8 .PE=2-t, 5 5 1=4 ②如图， 10/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C :点A关于直线PD的对称点A',PELAA, △ADE≌△A'DE, LABC=LDA'E,ACB-LDEA', ∴△ABC△DA'E, DE EA'DA' AC-BC AB' .DA=DA=2,AC=4,BC-3,AB=5, DE EA'2 4=35' e-景Eg LDEA=LDCP,∠C=LDEA, ∴△DEA~△DCP, DE DA EA ·DC DP CP' “5.2 5 2DP :.CP=3 Γ2 1=8-313 22 5 13 1=4或1=2： BE BM 1 10.【解析】(I)过点B沿CB方向取一点M,使得MB=I△MBE∽△DAE得EAAD2找到点E 再连接矩形的对角线交点即可， (2)画△BCD的高CG,步骤如下： 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，连接M,NM,N都是格点上的点)交网格线于I, 则MI=N, .Rt△1QC中1Q=2.5.QC=1 在RtoFPB中，BP=1,FP=2.5 ∴.Rt△IQC≌Rt△FPB .∠BFP=∠CIQ .'∠CIQ=∠ICB ∠ICB+∠CBF=∠CIQ+∠CBF=∠BFP+∠CBF=90° ∴.∠BGC=90°即CG⊥BD f B D .1 (2) 在边AB上画点H,使BH=DH, 步骤如下：如图，方法同上，找△XYF≌△PBF 可得：FYCG, CG⊥BD,F为BD的中点，所以FY⊥BD,即Y为BD的垂直平分线，FY交AB边于H,即为所求 点 D C (2) 拓展 链接中考 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.【解析】(1) 证明：：∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高. .∠ADB=90°，∠B+∠C=90° ∠B+∠BAD=90°， .∠BAD=∠C 又∠B=∠B .△ABDP△CBA, (2).△ABDACBA AB BD CB AB' 又AB=6,BC=10 BD=4B3618 CB105 2.【解析】(1) 证明：，AC⊥AD,ED⊥AD .∠A=∠D=90,∠C+∠ABC=90° CE⊥BE, ∴.∠ABC+∠EBD=90°， .∠C=∠EBD .△ABCADEB: (2).△ABC∽△DEB 把S AB=8,AC=6,DE=4. 86 4BD' 解得：BD=3. 13/13