精品解析：黑龙江牡丹江市第二高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

牡丹江二中2026—2027学年度第一学期10月月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 所以直线与间的距离是． 3. 直线l：与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 4. 直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程求直线的斜率和纵截距，即可判断选项. 【详解】直线的斜率， 又，所以直线的纵截距为， 所以该直线不通过第三象限. 故选：C 5. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线的对称点，即为对称圆的圆心，从而得到答案. 【详解】圆的圆心，半径， 设关于直线的对称点为， 则，解得， 所以圆的圆心为，半径为， 所以圆的方程是. 故选：B 6. 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（ ） A. （－∞，－2）∪ B. C. （－2，0） D. 【答案】D 【解析】 【分析】 整理方程得＋（y＋a）2＝1－a－，解不等式1－a－＞0即得解. 【详解】由题得方程为＋（y＋a）2＝1－a－ 因为方程＋（y＋a）2＝1－a－表示圆， 则1－a－＞0，解得－2＜a＜. 故选：D 【点睛】本题主要考查圆的方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 8. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：直线的方程可化为，由，解得， 即该直线恒过定点，故A正确； 对于B：直线的斜率为，直线与直线垂直， 则直线得斜率，故B错误. 对于C：由，令，解得，依题意，解得，故C正确； 对于D：依题意，因，由正切函数的性质，可得，故D错误. 10. 已知圆：： ，则下列结论正确的是（     ） A. 两圆相交 B. 公共弦方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 公共弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，比较圆心距与两半径的关系可得两圆相交，有两条公切线，可知AC正确，将两圆方程相减可得公共弦方程为，可知B错误，利用弦长公式计算可得D正确. 【详解】易知圆的圆心是，半径为；圆的圆心是，半径为， 对于选项AC，两圆的圆心距为，所以两圆相交，公切线有两条．故AC正确； 对于B，将两圆方程相减，整理得公共弦方程为，故B不正确； 对于D，点到直线的距离为， 所以．故D正确． 故选：ACD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 不存在点，使得 C. 的最大值为4 D. 使得为等腰三角形的点共有六个 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项：利用离心率公式计算即可；B选项：设，利用的符号判断夹角即可；C选项：结合椭圆定义和基本不等式求的最大值即可；D选项：分、、三类情况，分别计数符合条件的点的个数即可. 【详解】已知椭圆，其中，，， 对于A：离心率，故A错误； 对于B：设，则， 又因为，化简得：，代入得：， 所以两向量的夹角不可能为钝角，故B正确； 对于C：设，，则， 由均值不等式，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故C正确； 对于D：等腰三角形有三种情况， （1）当时，点P取短轴端点，共有2个点P符合要求； （2）当时， 设，由距离公式：，平方得：， 由点P在椭圆上，得， 代入：．化简得：， 解得：． 因为，所以，所以共有两个点P符合要求； （3）当时，同理共有两个点P符合要求； 综上：使得为等腰三角形的点P共有六个，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的焦距是2，则实数________． 【答案】4或2 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质进行求解即可. 【详解】由题意知且， 因为椭圆的焦距是2，即，解得. 所以，或，解得或； 故答案为：4或2. 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】分为直线过原点和不过原点两种情况，不过原点时，设直线方程为，根据题意即可求解. 【详解】当直线过原点时，符合题意，此时的直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由题意知，将代入得，解得，， 所以直线方程为. 综上，直线方程为或. 14. 圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用圆系方程可求圆的方程. 【详解】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线. （1）求直线与的交点坐标； （2）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线l的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）联立方程，可得结果. （2）根据两条直线垂直，假设直线l方程，结合（1）的结论，根据点斜式，可得结果. 【详解】解：（1）由，解得， 两直线的交点坐标为. （2）设与直线垂直的 直线l的方程为， 点在直线l上，， 故所求直线l的方程为. 【点睛】本题主要考查平面线线的位置关系，属基础题 16. 的三个顶点分别是，，． （1）求外接圆的方程 （2）求该圆上点到直线距离的最大值和最小值. 【答案】（1）或 （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）小问设圆的一般方程，将、、三点代入，列出关于、、的方程组，求解即可； （2）小问利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，则圆上点到该直线的最大值为，最小值为. 【小问1详解】 设的外接圆的方程为， 将，，三点分别代入，可得 ，整理得，解得， 所以的外接圆的方程为， 化为标准方程为. 【小问2详解】 的外接圆的圆心，半径， 直线的一般式为， 圆心到直线的距离， 所以该圆上点到直线距离的最大值为， 该圆上点到直线距离的最小值为. 17. 已知圆，直线 （1）若直线与圆交于不同两点，且，求的值； （2）求过点的圆的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式列方程求出; （2）过圆外一点圆的切线方程，先讨论直线的斜率不存在的情况，然后设直线方程的点斜式，利用直线与圆相切的条件方程解出斜率，写出切线的方程. 【小问1详解】 圆心到直线的距离为 ， 根据弦长公式， ，解得. 【小问2详解】 当斜率不存在时：符合题意； 当斜率存在时，设切线方程为， 圆心到直线的距离为 ， 解得，直线方程为， 综上，直线方程为或. 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点B的坐标为． （1）求C的方程； （2）已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，即，由上顶点B的坐标为可知， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 19. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 【答案】（1）. （2）直线的方程为或,弦长. 【解析】 【分析】（1）由椭圆焦点在轴上得,将点代入方程求. （2）设,联立椭圆方程,由韦达定理表示,利用求,再求弦长. 【小问1详解】 椭圆的焦点在轴上,所以. 将点代入方程,得,即,所以. 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时,与椭圆交于,此时共线,,不合题意. 设,交点为. 将代入,整理得. 由韦达定理得. 又,所以. 由得,于是. 代入韦达定理的结果,得,即. 令,得,即,所以,即. 因此或,此时， 直线的方程为或. 弦长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2026—2027学年度第一学期10月月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 直线与间的距离是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 直线l：与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 4. 直线的倾斜角为，且，则该直线不通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是（ ） A. （－∞，－2）∪ B. C. （－2，0） D. 7. 椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 8. 由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线垂直，则 C. 若直线在轴上的截距为3，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 已知圆：： ，则下列结论正确的是（     ） A. 两圆相交 B. 公共弦方程为 C. 两圆有两条公切线 D. 公共弦长为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 不存在点，使得 C. 的最大值为4 D. 使得为等腰三角形的点共有六个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若椭圆的焦距是2，则实数________． 13. 已知直线过点且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则的方程为__________. 14. 圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线与直线. （1）求直线与的交点坐标； （2）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线l的方程. 16. 的三个顶点分别是，，． （1）求外接圆的方程 （2）求该圆上点到直线距离的最大值和最小值. 17. 已知圆，直线 （1）若直线与圆交于不同两点，且，求的值； （2）求过点的圆的切线方程． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点B的坐标为． （1）求C的方程； （2）已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程； 19. 已知椭圆：，且焦点在轴上，过点 （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $