四川省金堂中学校2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

四川省金堂中学校高2027届10月数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．设集合，，则=（　） A．　　 B． C．　　 D． 2．已知，则“”是“”的（　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　） A．　　 B． C．　　 D． 4．已知，，则=（　） A．　　 B． C．　　 D． 5．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的函数是（　） A．　　 B． C．　　 D． 6．如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（　） A．　　 B． C．　　 D． 7．设函数，若恒成立，则的最小值是（　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 8．已知，则，，的大小关系不可能是（　） A．　　B．　　C．　　 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（　） A．　　B．　　C．　　 D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（　） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 11．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（　） A．为偶函数 B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 ________． 13．周长为的直角三角形面积的最大值为________． 14．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知函数． （1）写出的最小正周期和图象的对称中心坐标； （2）求在的最小值． 16．如图，在四棱锥中，底面，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； 17．已知和为椭圆：（）上两点． （1）求的方程； （2）过点作直线与相交于，两点，与轴交于点（点在椭圆内部），为坐标原点，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 18．某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论：前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为； 前一天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为，如此往复。 假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐。 （1）第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； （2）求同学与同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； （3）假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数。 19．已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）设，求证：当时，恰有两个零点。 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $四川省金堂中学校高2027届10月数学试卷解析版 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。) 1.设集合A={-1<3},B={2,3,45},则AnB=() A.{2} B.{2,3} C.3,4 D.{23,4 【详解】因为A={x-1<3}={x|-2<x<4),B={2,3,4,5}, 所以AnB={2,3} 故选：B 2.已知a∈R,则1<a<3”是“22<8”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【详解】因为2“<8=23， 所以a<3, 所以“1<a<3”是“22<8”的充分不必要条件 故选：A 3.已知函数f(x)的定义域为(-3,4)，则函数g(x)= f(x+1) 的定义域为() 3x-1 aG3 B. D. 【详解】因为函数f(x)的定义域为(-3,4) 所以-3<x+1<4,解得-4<x<3, 根据解析式有意义可知3x-1>0,即x> 3 综上.3x<3 所以两数)-的定义装为店 V3x-1 故选：A A.2 B.、 D. 10 10 5 【详解】由于0∈ 则sn0=1-os7g-号 是sm0- nπ=-v2 =sin0cos元-cos0sin 故选：B. 4 10 数学试卷第1页，共11页 5.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线=对称的函数是() A.y=2sinx B.y=2sin 2x- 3 6 C.y=2sin X,元 π 2+3 D.y=2sin2x-3 【详解】先选项C中函数y=2sin 的州明为-行-析成降C将一号代入D求得西 1 2 数值为0,2，√3，而函数y=Asin(or+p)+B在对称轴处取最值. 故选：B 6.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为() A.f()= In x+2 B.f)=x+1 ex+-1 C.f(x)= x3 (x+1) D. 【详解】对于A,要使函数f(有意义，则+0 +2≠0 血x+2≠0'即 +2≠1' 所以x<-3或-3<x<-2或-2<<-1或x>-1, 所以函数f(x)的定义域为(-0，-3)U(-3,-2)儿U(2,-1)U(1,+0),A不正确： 对于B,f0=。≠0，而已知函数f()图象过原点，B不正确： 对于C,对于函数f倒)=， (G+1,则f"(x)=+3x (+1,当x>0时，f)>0, 则函数f(x)在(0，+o)上单调递增，不符合题中图象，C不正确， 对于D.对于函数()中，定义域为(-儿(1m,且f0=0. f(x)=1-x +,当r<-1时，f()<0,当-1<x<1时，f()>0, 当1时。了0，所以函数)在(。-少上年润港诚。 在(-1,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，符合图象，故D正确. 故选：D 7.设函数f(x)=(Nx-四nx-b),若f(≥0恒成立，则a-b的最小值是() A.2-2ln2 B.In2 C.1 D.3-2n2 【详解】因为函数f(x)的定义域为(0，+o), 当a≤0时，√x-a>0, 由f()≥0恒成立，则有hx-b≥0恒成立， 因为y=hx的值域为R, 所以lnx-b≥0不一定恒成立，故a≤0不成立， 当a>0时，由Vx-a≥0→x≥a2,Vx-a<0→0<x<a, 由lnx-b≥0→x≥e,lnx-b<0→0<x<e, 所以要使得f(x)≥0恒成立，则a2=e即b=2lna, 所以a-b=a-2lna, 设h(a=a-2lna(a>0), 则h(a=1-2=a-2 数学试卷第2页，共11页 当a>2时，t(a>0,所以h(a)在(2，+o)单调递增， 当0<a<2时，1(a)<0,所以h(a)在(0,2)单调递减， 所以h(a)有最小值h(2)=2-2n2, 所以a-b的最小值是2-2n2, 故选：A. 8.己知2+log2x=3+log3y=5+log,z,则x,y,z的大小关系不可能是() A.x>y>z B.y>x>z C.x>=>y D.y>=>x 【详解】法一：设2+log2x=3+log3y=5+log5==m,所以 32=53、 令M=2,则x=1,y=31= 125,此时>y>2,A有可能： 令=5，则x=8,y=9,:=1,此时y>x>z,B有可能； 令m=8,则x=2=64,y=35=243,:=53=125,此时y>2>x,D有可能： 故选：C. 法二：设2+lo82x=3+l0g3y=5+l0g5=m,所以，x=2m-2,y=3m-3,=5m-5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y=2-2,y=3-3,y=5-5的图象，以上方程的根分别是函数y=2-2,y=3-3,y=5-5的图象与直 线x=m的交点纵坐标，如图所示： 03 0 ix=m 易知，随着m的变化可能出现：x>y>z,y>x>z,y>=>x,z>y>x, 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是() A.y=-x+1 B.y=-x 1 C.y=- D.y=-xx 【详解】对于A,函数y=-x+1的图象不过原点，不关于原点对称， 故不是奇函数，即A项错误： 对于B,设y=f(x)=-x3,显然其定义域为R, 又因为f(-x)=-(-x)=x3=-f(x),所以是奇函数， 由幂函数知y=x是增函数，故y=-x3是减函数，故B项正确； 对于C,函数y-是奇函数，但是y=在(o,0)和(0，+切)上是诚函数， 数学试卷第3页，共11页 在定义域上不具有单调性，故C项错误； x2,x≤0 对于D,函数y=-xx可化为y= 其图象如下图： -x2,x>0 故y=-xx既是奇函数又是减函数，故D项正确。 故选：BD 10.已知函数f(x)=(2x2-3x)e,则下列结论正确的是() A.函数f(x)有2个极值点 B.函数∫(x)无最小值 C.老爵数w在(Q上是减函数则实数a的取值布国是 别 D.函数y=3[f(x)]+2f1有5个零点 【详解】f"(x)=(2x2+x-3)e=(x-1)(2x+3)e 当x司m引+o)时，r>0:当xe(别时.f<0, 所以四在(-0，引+)上为的函数，在〔到上为减函数 所以当x=一 时，函数有极大值/（引9e,当x1时，函数有极小值）=一-e 由f(x)=(2x2-3x)e>0,即2x2-3x>0,得x<0或x> 所以当x(m,o叭(3+时函数了y的图像在x轴上方，画出函数图象，如图 yf(x) 9e2 3 由图像可知A正确，B错误： 由图像可知实数α的取值范围是 故C错误； 由/+2e)1-0得间=-1成站因为引-9e号，0=-e<-1,所以=1与 y=-1,y=】的图像有5个交点，所以函数y=3[f()了+2fc)1有5个零点，故D正确， 故选：AD 11.已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,f(x+1)是奇函数，且f(1-x)+g(x)=2, f(x)+g(x-3)=2,则() A.f(x)为偶函数 B.g(0)=0 C.f(1)+f(2)+…+f(20)=0 D.g(1)+g(2)+…+g(20)=40 数学试卷第4页，共11页 【详解】因为f(x+1)是奇函数，所以f(1-x)=-f(1+x)①，且奇函数在0处有定义，则(1)=0， 图像关于(1,0)中心对称， 因为 0得化8-小 代入①式得f(x+3)=-f(1+x)→f(x+2)=-f(x)→f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)周 期为4. 选项A,f(x+2)=-f(x)→f(x+1)=-f(x-I),代入①式得f(1-x)=f(x-),即 f(x)=f(-x),A正确： 选项B,假设g(0)=0,则x=0时，f()+g(0)=2,因为f()=0,所以g(0)=2,矛盾，假设 不成立，B错误： 选项c,f()=0,周期为4，则f(3)=f(-1)=f()=0,f(2)=-f(0),f(4)=f(0),则 个周期内f(0)+f(2)+f(3)+f(4)=0, 则f()+f(2)++f(20)=5×[f(0)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,C正确： 选项D,g(x)=2-f(x+3),f(x)周期4，则g(x)周期也为4， g(1)=2-f(4),g(2)=2-f(5)=2-f(),g(3)=2-f(2),8(4)=2-f(3) 则g(0+g(2)+g(3)+g(4)=[2-f(4)+[2-f(5H[2-f(6H[2-f()]=8-[f(4)+f)+f(2)+f3]=8-0=8, g(1)+g(2)++g(20)=5×[g()+g(2)+g(3)+g(4)]=40,D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1g2+273+lg50= 【详解】lg2+273+lg50=(327+lg2+lg50=9+lg(2-50)=9+2=11 13.周长为√2+1的直角三角形面积的最大值为 【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,且a>0,b>0. 则√+1=a+b+√a+b2≥2ab+2ab, 所以5+12+2画，即abs号 当且仅当a=b=5时取等号. 2 数学试卷第5页，共11页 所以直角三角形的面积S-bs子即直角三角形面积的最大值为行 故答案为：日 14.己知不等式e*--h(x+m)≥0恒成立，则实数m的取值范围是 【详解】由不等式e-m-ln(x+m≥0得：e+x≥ln(x+m)+x+, 即e+x≥h(x+l)+eax+m) 令f(y)=x+e,则f(x)≥f(血(+m), 函数(x)在R上单调递增，.x≥h(x+m),m≤e-x, 令g(x)=e-x(x>-m),则g'(x)=e-1, 当≤0时，g'(x)≥0恒成立，.g(x)在(-m+o)上单调递增 .m≤em+m,即em≥0恒成立： 当>0时，若x∈(-m,0),则g'(x)<0;若x∈(0，+o),则g'(x)>0: ·g(x)在区间(-m,0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增， ∴g(x)m=g(0)=1,0<m≤1； 综上所述：m∈(-o,1]. 故答案为：（-n,1] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15,已知函数闭=m2x-君副 6 (I)写出f(x)的最小正周期和y=f(x)图象的对称中心坐标： ②*了在的最小值 【详解】(1)T=2π 2 …3分 2x-=m,k∈Z,解得x=+k∈Z, 6 2121 所以f(x)的最小正周期为π，y=f(x)图象的对称中心坐标为 匹+，0，keZ6分 、212 …10分 当2x-工=-时，sin(2x-乃取得最小值-1， 6 所以o(-)=月 …13分 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC/IAD,BP⊥BC,∠BAC=45°， 2BC=AD=2BP. (I)求证：平面PBC⊥平面PAB: (2)若点N为棱PC的中点，求直线AN与平面PBC所成角的正弦值； 【详解】(1)(I)证明：：PA⊥底面ABCD,BCc底面ABCD, .PA⊥BC,…2分 又BP⊥BC,且PA∩BP=P,PA,BPc平面PAB, ∴BC⊥平面PAB,…4分 又BCc平面PBC, ∴.平面PBC⊥平面PAB.…5分 数学试卷第6页，共11页 (2)由(1)知BC⊥平面PAB,ABC平面PAB,故BC⊥AB, ,BC/IAD,.AB⊥AD,…7分 又PA⊥底面ABCD,AB,ADC底面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD, 故以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 设BC=1,则BP=√2，AD=2, ZA ∠BAC=45°，BC⊥AB,…8分 ..AB=BC=1,PA=BP2-AB2=2-1=1, 则B1,0,0),C11,0),P(0,0,1), 所以BC=(0,l,0),BP=(-1,0,I), N为PC中点，i N公2》 向量AN= 111) 2'2'2 …9分 设平面PBC的法向量n=(x,y,z), n.BC=0 y=0 由 即 n.BP=0 -x+z=0 令z=1,得i=(1,0,1).…12分 设直线AN与平面PBC所成的角为O, 则sin0= AN …14分 AN团 3 故直线AW与平面PBC所成角的正弦值为Y6 · …15分 V6 17.已知 ，2 和B20)为椭圆C:+京=1（a>6>0)上两点， (1)求C的方程： (2)过点D(1,0)作直线1与C相交于P,Q两点，与y轴交于点E(点E在椭圆内部)，O为坐标原 点，若△ODP的面积与△OEQ的面积相等，求直线l的方程. 1 6 a 1 4b2 【解析】(1)依题意得， ,…2分 4 a21 a=2 解得 …4分 D b=2 E 数学试卷第7页，共11页 所以C的方程为。+y =1.…5分 42 (2)法一：依题意可知，直线l的斜率存在且不为零.…6分 设直线1：x=my+1(m≠0)，P(x,y),Q(x2,y2), 所以E 父+ 联立4+21，整理得(m2+2列y+2my-3=0,…8分 x=my+1 所以片+2= 2m …9分 m2+2 设原点O到I的距离为d,因为△ODP的面积与△OEQ的面积相等， 所以2DPd=2Bgd,得DP=BO, 以+m以-=i+-（日+动 …12分 m 依惠，片与为+品异号，所以男+为=办所以22 m2+2m ,解得m=±√2，…14分 m 所以直线1的方程为x-V2y-1=0或x+V2y-1=0.…15分 法二：依题意可知，直线1的斜率存在且不为零. 设直线l:y=k(x-1)(k≠0)，P(x,),(x2,2),所以E(0,-k): C±、得2+0x-4kx+22-4=0 联立42 y=k(x-1) D 4K2 B 所以x+2=2k2+1 因为AODP的面积与△OEQ的面积相等，所以 2ow=2oElx, y 所以y=-x,则k(x-1=,即x-1= P 依题意，x-1与x2异号，所以x-1+x2=0, D B 则+5司1解得=土 E 2 数学试卷第8页，共11页 所以直线1的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0, 法三：依题意可知，直线1的斜率存在且不为零 设直线1：x=my+1(m≠0)，P(x,y),Q(x2,y2), 所以E 2+ y2 4+21,得(m2+2y产2+2m-3=0.所以y+为= 2m 联立 m2+2 x=my+1 设原点O到1的距离为d. 因为&0DP的面积与△OEQ的面积相等，所以Dd=2EQd,得DP=BQ,所以DE与 PQ的中点重合， 又PQ的中点 x+x2 y+y2 2 ，2 DE的中点 所以y+y2= 2m 2m 所以 =二，解得m=±2， m2+2m 所以直线l的方程为x-√2y-1=0或x+√2y-1=0. 18.某学校有甲、乙两家餐厅，对于学生的午餐就餐情况根据以往的统计调研分析可以得出如下结论： 前一天选择甲餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是，选择乙餐厅就餐的概率为}；前 天选择乙餐厅就餐的同学第二天选择甲餐厅就餐的概率是】，选择乙餐厅就餐的概率为}，如此往 复.假设所有同学开学第一天中午等可能随机选择一家餐厅就餐 (1)第一天中午某班3位同学去餐厅就餐，求这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐的概率； (2)求w同学与S同学第二天中午在同一餐厅就餐的概率； (3)假设该学校有2000名学生，试估计一星期后中午在甲餐厅就餐的学生人数. 解：(1)记事件A为“这3位同学中至少有1位同学去甲餐厅就餐”， 则p风0…4分 (2)记事件B为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，i=1,2,, 则PB,)=PB)PB,B)+Pg)PB,|A)=×2+×- 2^32212 ,…7分 记事件C为“w同学与s同学第二天在同一餐厅就餐”， 则o+品 …10分 (3)记事件B为“某同学第i天在甲餐厅就餐”，i=1,2,., 则PKB,)=PB)PB,B+aPa1BD=P8,+L-P8I号 3 1 所以PB,)=二×P(B1)+ …13分 6 即)-君a)-南 3 数学试卷第9页，共11页 所以数列{PB,)子)是以P(A)-3为首项，上为公比的等比数列， 510 6 所以P(B,)-亏10x 3 1 2x(白-1 即PB,)=510X 3-1×白）-1，…15分 记学校2000名学生第n天在甲餐厅就餐的学生人数为X,则X~B(2000,P(B,)》, 所以E(X)=2000P(B), 当>7时，P(B)≈5 3 所以一星期后在甲餐厅就餐的学生人数大约为2000×3=1200人. …17分 19.已知函数f(x)=an(x-1)+(a+2)x+1,a≠0. (1)当a=1时，求f(x)在(2，f(2)处的切线方程 (2)讨论f(x)的单调性； (3)设F(x)=f(x)+2sin(x-1)-4x,求证：当a=1时，F(x)恰有两个零点. 解：(1)当a=1时，f(x)=n(x-1)+3x+1 f"(x)= 1+3,…1分 x-1 '(2)=4 :f(2)=7 所以切线方程为4x-y-1=0…4分 2）f)=号+a2-a+2-Faa+2-2 x-1 x-1 x>1.…5分 当a=-2时，)之不0.f心在，+0)上单调递减…6分 当-2<a<0时， 有f'(x)>0, 故刊在习)上单调逗诚 2,+0上单调递增…7分 当a>0时，(a+2)x>2,(a+2)x-2>0∴f(x)在(1，+∞)上单调递增.…8分 当a<-2时，a+2<0,(a+2)x-2<0,.(x)在(1，+o)上单调递减.…9分 综上所述，当-2a<0时在1 上单调递减， 2 (a+2+o上单调递增。 当a>0时，f(x)在(1，+o)上单调递增. 当a≤-2时，f(x)在(L,+∞）上单调递减.…10分 (3)a=1时，F(x)=ln(x-1)+2sin(x-1)-x+1. 令hM(x)=血c+2simx-x(r>0),则W(x)=1+2cox-1.…11分 1 令m)=s).m(a)=子-2im. i.x∈(0,1]时，(x)>0恒成立， .h(x)在(o,1上单调递增. 又h(1)=2sinl-1>0,h(e2)=-2+2sine2-e2<0 ∴存在一个零点5,5∈(0,1]，使h()=0.…12分 ii.xe(1,n], 数学试卷第10页，共11页 m()=京-2x0恒成立，m()在L可上单调递减 又m(m)=1-2-1<0,m1)=2c01>0. 存在零点，使()=0. ∴.x∈(L,),h(x)>0,xe(,),h(x)<0 h(x)在(1，)上单调递增，（，)上单调递减 又h(1)>0,∴.h(x)>0.h(π)=lnm-π<0 存在一个零点6,6∈(，π)，使h(x)=0.…14分 3π iii.xe h()-号1+2xa<0恒成立.h()在》 单调递减 :hN<h()=m-元<0恒成立.h(y在元2 3π 没有零点 i.xe(经+o]时，t+2r-sm+2-x 3π 下面来证明当x2:+时，血x+2-x<0. 设)=t2r,n()=10.)在经+上单调造增， 刻贺）-2h2-h空0，x2-<0恒成立…16分 2 2 综上所述，(x)在(0，+∞)只有两个零点. 又F(x)是由h(x)向右平移一个单位所得，F(x)在(1，+o)只有两个零点.…17分 数学试卷第11页，共11页