期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

期中复习专题3一一拓展探究与压轴突破 (人教版八年级上册：期中核心考点) 目录 一、专题定位 二、核心考点梳理 三、压轴与拓展 .2 题型1：三角形两条角平分线夹角模型综合导角解答题.2 题型2：倍长中线法构造全等三角形几何证明解答题 .9 题型3：截长补短法证明线段和差关系解答题 15 题型4：一线三垂直模型综合解答题， 25 题型5：折叠背景下三角形角度与边长综合压轴解答题 35 题型6：等腰三角形存在性分类讨论解答题 .42 题型7：将军饮马复杂模型多场景线段和最值探究压轴题 52 题型8：动点条件下两三角形全等成立条件探究解答题.60 题型9：平面直角坐标系中全等与轴对称综合几何解答题… 69 题型10：等腰（边）三角形结合全等的探究性证明解答题 80 一、专题定位 本专题聚焦三角形、全等三角形、轴对称跨章节综合问题，精准对标八上期中统考压 轴命题方向。着重落实数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，针 对多问式大题、隐含条件挖掘、辅助线构造、动点分析等学生思维短板开展专项突破。本 专题面向班级优生培优，适用于期中第三轮复习、压轴专项讲练、拔高限时训练，训练学 生拆解复杂大题的能力，攻克试卷拉分压轴题，实现高分段突破。 二、核心考点梳理 章节 考点 三角形两条内、外角平分线夹角模型综合导角；折叠背景下三角形角度 三角形 与边长综合计算；多个导角模型叠加的角度探究；三角形边角关系多情 况分类讨论 倍长中线法构造全等三角形；角平分线条件下的辅助线添加；截长补短 全等三角形 法证明线段和差关系；一线三垂直(K字形)全等模型；手拉手旋转全 等模型；全等三角形多结论正误判断；动点背景下三角形全等成立条件 探究 等腰三角形、等边三角形多问几何综合证明；利用三线合一作辅助线； 将军饮马模型拓展（两定点两动点、平移型饮马）最值探究；等腰三角 轴对称 形存在性分类讨论；坐标系背景下全等与轴对称综合；折叠问题与等 腰、全等结合的综合计算与证明 三、压轴与拓展 题型1：三角形两条角平分线夹角模型综合导角解答题 1.(25-26八年级上湖北武汉阶段检测)如图，在△ABC中∠A=60°， (1)∠ABC,∠ACB的角平分线相交于点P,求∠BPC的度数； (2)∠ABC,∠ACB的三等分线分别相交于点R,B,求∠BPC,∠BRC的度数： (3)∠ABC,∠ACB的n等分线分别相交于点，BP,则∠BRC= (结果 用含n的式子表示)，∠BPC= (1≤k≤n-1,k为整数，结果用含n和k的 式子表示) P2 P P B 图1 图2 图3 n180°-k 【答案】(1)120°：(2)∠BPC=140:∠BPC=100°；(3)180°120° ×120° n 【分析】(I)根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC,然后根据角平分线的定义即 可求出∠PBC+∠PCB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论： (2)根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC,然后根据三等分线的定义即可求出 ∠PBC+∠P,CB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论： (3)根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC+∠ABC,然后根据n等分线的定义即可求出 ∠PBC+∠PCB,再根据三角形的内角和定理即可求出结论： (1)解：在△ABC中，∠A=60°， .∠ABC+∠ABC=180°-∠A=120°. :∠ABC和∠ACB的角平分线交于点P, .∠PBC=2∠ABC,∠PCB=2∠ACB ·.∠PBC+∠PCB=2∠ABC+2∠ACB -(ABC+∠ACB) =60° .∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=120° 故答案为：120°。 (2)在△ABC中，∠A=60°， ∴.∠ABC+∠ABC=180°-∠A=120° :∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点B,B, ∴∠Pc-ac,∠rcB-S4B ∠RBC+∠PCB=∠ABC+;∠ACB 3 -ABc+∠AcB) =40° :.∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=140° :∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点？，B, 2 2 .∠PBC=3∠ABC:∠PCB=3∠ACB 2 2 ∴∠PBC+∠CB=3∠ABC+3∠ACB =3(∠ABC+∠ACB) =80°， .∠BPC=180°-（∠BBC+∠PCB)=100° (3)在△ABC中，∠A=60°， .∠ABC+∠ABC=180°-∠A=120° ∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点B,B,,P :∠PBc=∠AC,∠RCB='∠ACB n n :∠BRC-180P-1(∠ABC+∠ACB)=180e-120 n n-1 n-1 ∴.∠PnBC=n∠ABC,∠PnCB=n∠ACB n-1 n-1 ∠PBC+∠PnCB=n∠ABC+n∠ACB n-1 =n(∠ABC+∠ACB) -n-lx1200 n ∴∠PBC+∠RCB=k(LABC+∠ACB) n :∠BPC=180°-（∠PBC+∠RCB)=180°-kx120 故答案为：180°_1209 ，180°-x120 n 【点拨】本题考查了”等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握”等分线的定义和三角形的 内角和定理是解决此题的关键. 2.(25-26八年级上全国单元测试)如图，BE,CF是△ABC的角平分线，BE,CF相 交于点O,∠A=50°，则∠BOC的度数是() E B A.70° B.120° C.115° D.130° 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的相关计算先由三角形内角和定理求出 ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，再由角平分线定义求出 ∠0BC+∠0CB=（21BC+∠4C)=方x130=65,最后由三角形内角和定理求出答案即可 解：，∠A=50°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°. BE,CF是△ABC的角平分线， :∠0BC=1∠4BC,∠OCB=∠ACB, 2 ∠0BC+∠0cB=2(∠1BC+∠4C8)=x130=65 在△OBC中，∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=180°-65°=1150 故选C 3.(24-25八年级上全国单元测试)已知△ABC中，∠A=a.在图(1)中∠B、∠C 的角平分线交于点0，则可计算得∠B0C=90°+20；在图(2)中，设∠∠B、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O、O,则∠BOC= 请你猜 想，当∠B、∠C同时n等分时，(n-1)条等分角线分别对应交于O,0,O,如 图(3)，则∠B0C= (用含n和a的代数式表示). B C 图1) 图(2) 图3) 【答案】 2 (n-1)a+180° 60°+ 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，等分线的定义.根 据三角形的内角和等于I8O°得出∠ABC+∠ACB,再由∠ABC、∠ACB的两条三等分角线分别 对应交于O,O2得出∠0，BC+∠0，CB的度数，进而可得出结论：根据n等分的定义求出 ∠0nBC+∠0nCB的度数，在△OBC中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解. 解：在△ABC中，∠A=C, .∠ABC+∠ACB=180°-a, :OB和O,C分别是∠ABC,∠ACB的等分线， 20,c+0,cB-3hc+Mc)-00-a)=12r-号a: ∴.∠B0,C-180°-(L0,BC+∠0，CB)=180°- 2-号a-60+号 :OB和OnC分别是∠ABC,∠ACB的n等分线， ∠0Bc+∠0CB-"(ABC+∠4CB)=”080°-a） =(n-)×180°(n-I)a n n ∴.BOnC=180°-（∠On-BC+∠OnCB) (a-(-e _n-)a+180 n 60°+2。 (n-1)a180° n n 故答案为： 4.(25-26七年级下·吉林长春期中)阅读下列材料，回答问题. 如图①所示的图形，像我们生活中的物品-回旋镖，我们不妨把这样的图形叫 做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就 请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (I)如图①，试猜想∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的数量关系，并说明理由： (2)如图②，把一块三角尺DOE放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边OD、 OE恰好经过点B、C,若∠A=56°，则∠AB0+∠AC0= (3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的角平分线交于点E,若 ∠BCD=124°，∠BED=90°，则∠A= D 图① 图② 图③ 【答案】(1)∠BDC=∠B+∠BAC+∠C,理由见详解：(2)34：(3)56 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质：(1)连接AD并延长至E,根据三 角形内角和定理得到∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠CAD+∠ADC=180°，再结合 ∠ADC+∠ADB+∠BDC=360°即可得到答案：(2)根据三角板得到∠DOE=90°，由(1) 的结论同理即可得到答案；(3)根据(1)的结论先求出∠EBC+∠EDC,再结合角平分线 ∠ABC+∠ADC,即可得到答案： (1)解：∠BDC=∠B+∠BAC+∠C,理由如下， 连接AD并延长至E,如图所示， .∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∠C+∠CAD+∠ADC=180°， ∴.∠B+∠BAC+∠C+∠ADB+∠ADC=360°， B E 图① ,∠ADC+∠ADB+∠BDC=360°， ∴.∠BDC=∠B+∠BAC+∠C: (2)解：，三角尺的两条直角边OD、OE恰好经过点B、C, ∠D0E=90°， 由(1)得， ∠ABO+∠ACO+∠A=∠BOC. ∠A=56°， .∠AB0+∠AC0=90°-56°=34°， 故答案为：34： (3)解：由(1)可得， ∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD,∠E+∠EBC+∠EDC=∠BCD. .·∠BCD=124°，∠BED=90°， .∠EBC+∠EDC=124°-90°=34° :∠ABC与∠ADC的角平分线交于点E, ∴.∠ABC+∠ADC=2(LEBC+∠EDC=68°， ∠A=124°-68°=56°， 56 故答案为： 题型2：倍长中线法构造全等三角形几何证明解答题 1.(26-27八年级上重庆巫山阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AB, AF⊥AC,且AE=AB,AF=AC.求证： (1)EF⊥AD; (2)EF=2AD 【答案】(I)证明：如图所示，延长AD到点G,使得AD=GD,连接CG,延长DA交EF 于点H, H B D G ,AD是△ABC的中线， .BD=CD. AD=GD,∠ADB=∠GDC, .△ADB≌aGDC(SAS). .AB=GC,∠BAD=∠G .AB=AE, .AE=GC; :AE⊥AB,AF⊥AC, ∠BAE=∠CAF=90°， ∴.∠BAC+∠EAF=360-∠BAE-∠CAF=180°， ∴.∠BAD+∠CAD+∠EAF=180°， ∴.∠G+∠CAD+∠EAF=180°， 又，∠G+∠CAD+∠ACG=180°， .∠ACG=∠EAF, 又，AF=AC, .△ACG≌aFAE(SAS), .∠F=∠CAG」 ,'∠HAF+∠CAD=180°-∠CAF=90°， ∴.LF+∠HAF=90°， ∴.∠FHA=90°， .EF⊥AD: (2)证明：由(1)得△ACG≌△FAE, ..EF=AG. .AG=AD+GD=2AD. ∴.EF=2AD. 【分析】(I)延长AD到点G,使得AD=GD,连接CG,延长DA交EF于点H,证明 △ADB≌△GDC,得到AB=GC,∠BAD=∠G,再证明△ACG≌△FAE,得到∠F=∠CAG ,根据∠HAF+∠CAD=90°，得到∠F+∠HAF=90°，据此可证明EF⊥AD: (2)由全等三角形的性质得到EF=AG,据此可证明EF=2AD. 解：(1)略 （2)略 2.(26-27八年级上·浙江嘉兴阶段检测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAE,E为 CD的中点，∠DAC=∠ADC.若AE=V2,则AB=() A易g 42 B. c.4 2 D.22 【答案】D 【分析】延长AE至点F,使AE=EF,再根据“边角边”证明△ACE≌△FDE,可得 ∠CAE=∠F,然后根据∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠CDA=∠B+∠BAD,接下来根据 ∠BAD=∠DAE可得∠B=∠F,最后根据“角角边”证明△BAD≌aFAD可得AB=AF=2AE ,则此题可解. 解：如图所示，延长AE至点F,使AE=EF, B D E :点E是CD的中点， .DE=CE :∠AEC=∠DEF, .△ACE≌FDE(SAS), .∠CAE=∠F. ∠CAD=∠DAE+∠CAE=∠CDA=∠B+∠BAD,AD平分∠BAF, ∴.∠BAD=∠DAE, .∠B=∠CAE=∠F. .AD=AD. △BAD≌△FAD(AAS), :1B=AF=2AE=22 3.(25-26七年级下·四川达州阶段检测)如图，AD是△ABC的中线，在AB边上取 一点E,连接CE交AD于点F,若AB=CF,∠ACE=16°，∠CAD=30°，则∠AEF的 度数为 【答案】88 【分析】先证明△ADB≌aGDC(SAS),则AB=CG,∠G=∠FAE,由AB=CF,得到 CG=CF,则∠CFG=∠G=∠AFE=∠FAE,由于∠ACE=16°，∠CAD=30°，再由三角形 内角和定理求解。 解：延长AD至点G,使得DG=AD,连接CG, G ,AD是△ABC的中线， .CD=DB, :AB=CF,∠ADB=∠GDC, :.△ADB≌aGDC(SAS)」 ∴.AB=CG,∠G=∠FAE, AB=CF, ∴.CG=CF, .∠CFG=∠G, ∴.∠CFG=∠G=∠AFE=∠FAE, ∠ACE=16°，∠CAD=30°， :.∠AFE=180°-∠AFC=180°-(180°-∠CAD-∠ACE)=46°. :.∠4EF=180°-∠FAE-∠AFE=180°-46°x2=80 4.(26-27八年级上江苏泰州阶段检测)如图，在凸五边形ABCDE中，AB=AC, AD=AE,∠CAD=∠ABE+∠AEB,M为BE的中点.证明CD=2AM. M D 【答案】证明：如图，延长AM到点P,使得AM=MP,连接EP, M P D ,M为BE的中点， .EM =BM, 又：∠AMB=∠PME, ∴.△AMB≌aPME(SAS). .AB=EP,∠ABE=∠PEB, :,∠CAD=∠ABE+∠AEB,∠PEB+∠AEB=∠AEP, ∠CAD=LAEP, 又：AB=AC,AD=AE, .EP=AC, .△ACD≌aEPA(SAS), ∴.CD=AP=2AM 【分析】延长AM到点P,使得AM=MP,连接EP,易证△AMB≌APME,然后根据全等三 角形的性质，结合已知条件∠CAD=∠ABE+∠AEB和角度的和差得到∠CAD=∠AEP,从而证 得△ACD≌△EPA,进而即可得到结论. 解：略 题型3：截长补短法证明线段和差关系解答题 1.(24-25八年级上河南漯河阶段检测)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∠ABC=60°，∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O. (1)求∠AOE的度数： (2)求证：AC=AE+CD, B 【答案】(1)∠AOE=60°；(2)证明：在AC上截取CF=CD,连接OF, E ,CE平分∠ACB, ∴.∠DCO=∠FCO, 在△DCO和△FCO中， CD=CF ∠DCO=∠FCO, OC=OC .△DCO2aFCO(SAS), .∠COD=∠COF, :∠A0E=60°， ∴.∠C0D=∠COF=60°， ∴∠AOF=180°-∠A0E-∠C0F=60°， ∴.∠AOE=∠AOF, :AD平分∠BAC, .∠EAO=∠FAO, 在△EAO和△FAO中 「∠EAO=∠FAO AO=AO ∠AOE=∠AOF ·.△EAO2aFAO(ASA), .AE=AF, .AC=AF+CF, .AC=AE+CD 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和 差常用“截长或补短”的方法。 (1)利用三角形的内角和求出∠ACB的度数，再利用角平分线得到∠CAD、∠ACE的大小， 最后求出外角∠AOE的度数： (2)在AC上CF=CD,构造△DCO≌aFCO,再利用条件证明△EAO≌aFAO,从而得到 AE=AF解题. (1)解：：∠BAC=90°，∠ABC=60° .∠ACB=30°， :∠BAC与∠ACB的平分线AD,CE交于点O ∴·∠CAD=2∠BAC=45°，∠ACE=2∠ACB=15°， ,∠AOE是△AOC的外角， :∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°； (2)略 2.(25-26八年级上·重庆江北期末)如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB 的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于点D,CE交AB于点E,若已知△ABC周 长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为() E D 0 B A.3 10 B. c.9 D.4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适 当的辅助线构造全等三角形是解题的关键， 在BC上截取点F使得BF=BE,连接OF,根据角平分线的定义得到 ∠OBE=∠0BF=)∠ABC,∠0CD=∠0CF=4CB,进而得到 ,先证明△OBF≌aOBE,得到∠BOF=∠BOE=60°， 再证明△OCF≌aOCD,推出BC=BF+CF=BE+CD,再利用三角形的周长公式求出AE的 长，即可得出答案. 解：如图，在BC上截取点F使得BF=BE,连接OF, E F ,∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°， .'∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O, :∠0BE=∠0BF-)ABc,∠0CD=∠0cF=4CB, ÷.∠0BC+∠0CB=)∠ABC+5∠ACB=)x120°=60°， :.∠COD=∠BOE=∠OBC+∠OCB=60°， ,BF=BE,∠OBF=∠OBE,OB=OB, .△OBF≌aOBE(SAS), ∴.∠BOF=∠BOE=60°， .∠C0F=180°-60°-60°=60°， ∴.∠COF=∠COD, 又，∠OCF=∠OCD,OC=OC, .aOCF≌aOCD(ASA), ..CF=CD, ∴.BC=BF+CF=BE+CD, AE:AD=5:4, ∴.设AE=5x,AD=4x, :△ABC周长为20，BC=7, .AB+AC+BC=AE+BE+CD+AD+BC=AE+AD+2BC=20, 即5x+4x+14=20, .AF=5x 210 33 故选：B 3.(25-26七年级下·广东深圳期中)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC与 ∠ADC互补，点点、F分别在射线CB、DC上，且∠RF=BAD.当BC-5, DC=8,CF=2时，aCEF的周长等于 B 【答案】17 【分析】在DF上截取DG=BE,先证△ADG≌△ABE,再证△AFG≌aAEF,可得EF=FG, 再由△CEF的周长EF+CF+CE=FG+BE+BC+CF=DF+BC+CF即可解答. 解：在DF上取点G,使DG=BE, :∠ABE+∠ABC=180°，∠ABC+∠ADC=180°， .∠D=∠ABE, 在△ADG与△ABE中， AB=AD ∠ABE=∠D BE=DG ∴.△ABE≌△ADG(SAS), .AG=AE,∠EAB=∠DAG, ∴.∠EAB+∠GAB=∠DAG+∠GAB,即∠EAG=∠BAD, ZFAF-/BAD. <E1G. .∠FAE=∠GAF. 在△AFG与△AFE中， AG=AE ∠FAG=∠EAF, AF=AF .△AFG≌aAFE(SAS), .EF =FG ∴.EF+BE=FG+DG=CD+CF ∴，△CEF的周长等于EF+CF+CE=EF+BE+BC+CF=CD+CF+BC+CF, BC=5,DC=8,CF=2, ACER 8+2+5+2=17 的周长等于 4.(黑龙江省佳木斯市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题)在△ABC 中，∠ABC=∠ACB,点D与点E分别在AB、AC边上，DE∥BC,且DE=DB, 点P与点G分别在BC、C边上，∠DG=DE」 (1)若∠BDE=120°，DF⊥BC,如图1，点G与点C重合，证明：FG=BF+EG: (2)当G在线段EC上时，如图2，探究线段BF,EG,FG的数量关系，并给予 证明； (3)当G在线段AE上时，如图3，猜想线段BF,EG,FG之间又有怎样的数量 关系？请直接写出结论，不需要证明. G D B C(G)B 图1 图2 图3 【答案】(I)解：DE∥BC, .∠BDE+∠ABC=180°. ,∠BDE=120°， .∠ABC=60°， .∠ABC=∠ACB=60°， DF⊥BF, .∠BFD=90°， ∴.∠BDF=30°， ∴.DE=BD=2BF, '∠FDG= 2<BDE=60 ∴.∠BDC=∠BDF+∠FDG=90° .∠BCD=30°， .BC=2BD=4BF,∠ECD=∠ACB-∠DCB=30° ∴.FG=FC=BC-BF=3BF, ·DE∥BC,∠BCD=30°， ∴.∠BCD=∠EDC=30°， ∴.∠ECD=∠EDC=30°， ..DE=CE=GE=2BF. ..FG=3BF=BF+2BF=BF+EG: (2)解：如图2中，结论：FG=BF+EG 理由：在EA上截取EH,使得EH=BF, D G B 图2 ·DE∥BC, .∠ADE=∠B,∠AED=LC, .∠ADE=∠AED, .∠DEH=∠B, BF =EH,BD=DE. :△DBF≌aDEH(SAS), ∴.DF=DH,∠BDF=∠EDH, :∠FDG=)∠BDE, .∠BDF+LEDG=∠EDH+LEDG=∠GDH=.LBDE, ∴.∠GDF=∠GDH. DG=DG,DF DH. :.△DGF≌DGH(SAS), .FG=HG, .·HG=EG+HE=EG+BF, ∴.FG=BF+EG (3) 解：如图3中，结论：FG=BF-EG 理由：在射线EA上截取EH,使得EH=BF. H G 图3 DE∥BC, .∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴.∠ADE=∠AED, ∴.∠DEH=∠B, .BF=EH,BD=DE .△DBF≌aDEH(SAS), .DF=DH,∠BDF=∠EDH, .∠BDE=∠FDH, LFDG-1ZBDE- ∠FDH, ∴.∠GDF=∠GDH, DG=DG,DF DH, .△DGF≌aDGH(SAS), ..FG=HG. .·HG=HE-GE=BF-EG .FG=BF-EG 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，30° 直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考 常考题型 (1)30°直角三角形得到DE=BD=2BF,BC=2BD=4BF,则FG=3BF,再证明 ∠ECD=∠EDC=30°得到DE=CE=GE=2BF,即可得到FG=BF+EG; (2)在EA上截取EH,使得EH=BF,先证明△DBF≌aDEH(SAS),得到DF=DH, ∠BDF=∠EDH,再证明△DGF≌aDGH(SAS),得到FG=HG,即可根据 HG=EG+HE=EG+BF得到FG=BF+EG. (3)在射线EA上截取EH,使得EH=BF,先证明△DBF≌ADEH(SAS),得到DF=DH, ∠BDF=∠EDH,再证明△DGF≌aDGH(SAS),得到FG=HG,最后根据 HG=HE-GE=BF-EG得到FG=BF-EG. 解：(1)略 (2)略 (3)略 题型4：一线三垂直模型综合解答题 1.(26-27八年级上山东德州阶段检测)解决问题 (1)如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线 m,CE1直线m,垂足分别为点D,E.求证：DE=BD+CE. (2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m 上，并且有∠BDA=∠AEC=-∠BAC.请写出DE,BD,CE三条线段的数量关系，并说明 理由. B B A E A E m 图① 图② 【答案】(I)证明：：BD⊥直线m,CE上直线m, .∴.∠BDA=∠AEC=90° '∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠BAE=∠BDA+∠ABD,∠BAC=90° .∠CAE=∠ABD 在△ABD和ACAE中， [∠BDA=∠AEC ∠CAE=∠ABD AB=AC .△ABD≌△CAE(AAS) .BD=AE,CE=AD ∴.DE=DA+AE=BD+CE ∴.DE=BD+CE (2)DE=BD+CE 证明：：∠BAE=∠BAC+∠CAE,∠BAE=∠BDA+∠ABD,∠BAC=∠BDA ∴.∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， I∠BDA=∠AEC ∠CAE=∠ABD AB=AC ·.△ABD≌△CAE(AAS) .BD=AE,CE=AD ∴.DE=DA+AE=BD+CE .DE=BD+CE 【分析】(1)根据三角形的外角定理以及角度的转化可知∠CAE=∠ABD,进而证明 △ABD≌△CAE,再根据全等三角形的性质即可求解： (2)根据三角形的外角定理以及角度的转化可知∠CAE=∠ABD,进而证明△ABD≌△CAE ，再根据全等三角形的性质即可求解 解：(1)略 (2)略 2.(25-26七年级下·重庆·期末)小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为0A, 小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面0.9m高的B处 接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD, CE分别为l.2m和1.7m,且∠B0C=90°，则点C到地面的距离是(). A.1.7m B.1.4m C.1.2m D.0.5m 【答案】B 【分析】先证出△OBD≌△COE,根据全等三角形的性质可得OD=CE=1.7m, OE=BD=1.2m,求出DE的长，再结合B点距地面的高度求出点B距地面的高度，由此即可 解答 解：由题意得：BD LOA,,CE⊥OA,OB=OC,BD=1.2m,CE=1.7m, ∠BD0=∠OEC=90° ∴.∠BOD+∠OBD=90°， ∠BOC=90°，∠BOD+∠COE=90°， ∴.∠OBD=∠COE. 在AOBD和△COE中， '∠BDO=∠OEC ∠OBD=∠COE OB=CO .aOBD≌aCOE(AAS), .'.OD=CE=1.7m,OE=BD=1.2m, .DE=0D-0E=1.7-1.2=0.5(m). :BD⊥OA,OA与地面垂直， .BD与地面平行， ,B处距地面09m, ∴.D处距地面0.9m, ∴点B距地面0.9+0.5=1.4(m), 同理可得：CE与地面平行， 点C到地面的高度等于点E到地面的高度， 1.4m ∴.点C到地面的距离是 3.(24-25七年级下广东湛江期末)如图，AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且 BC=CD,EF⊥FH,DH⊥FH,BG⊥FH点F、A、G、C、H在同一条直线上，按 照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 E D 9 B 6 【答案】112.5 【分析】证明△EFA≌△AGB,△BGC≌aCHD,再利用梯形EFHD的面积减去上述四个三角形面 积即可求解。 解：如题干中图所示：：EF⊥FH,DH⊥FH,BG⊥FH点R、A、G、C、H在同一条直线 上， ∴∠F=∠EAB=∠BGC=∠BGA=∠BCD=∠DHC=90°， ∴∠FEA+∠FAE=90°，∠BAG+∠FAE=90°， ∴.∠FEA=∠GAB, 在△EFA和△AGB中， ∠EFA=∠AGB=90 ∠FEA=∠GAB, AE=AB .△EFA≌△AGB(AAS). .FA=BG=3. S:=8.=FxEF=-x3x9=135 同理可证：△BGC≌CHD(AAS), .∴.GC=HD=6,CH=BG=3 .FH=FA+AG+CG+CH=21. 1 SRGC=SCID=CGX BG=x3x6=9 2 ∴.图中实线所围成的图形的面积 S=St形m-2Sm-25c=2(9+6)×21-2×13.5-2x9=12.5 4.(26-27八年级上吉林四平·阶段检测)等腰直角三角形既是特殊的直角三角形， 又是特殊的等腰三角形：基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一 个全等结构（如图①)，一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决， 【理解探究】 (I)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.点C正好落在直线I上，直线 I与直线AB的交点不在边AB上，分别作BF⊥I于点F,AE⊥I于点E,猜想线段BF 、EF、AE之间的数量关系，并证明： 【转化应用】 (2)如图②，△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°，且C、F 、D在同一直线上，连接AD.已知SCD=12,BF=4,则S4D= (3)在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=6,CD=8,AD=10.直线I经过Rt△ACD 的直角顶点C交斜边AD于点E,CE⊥AD,AE:DE=9:I6,动点F在直线I上，动 点B在CD所在直线上.若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等（如图 ③)，直接写出所有满足条件的EF的长. F D 图① 图② 图③ 【答案】(I)BF+AE=EF. 证明：AE⊥1，BF⊥I, .∠AEC=∠BFC=90° :.∠ACE+∠CAE=90°， ∠ACB=90°， .∠ACE+∠BCF=90°， ∴.∠CAE=∠BCF. 在△ACE和△CBF中， ∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB .△ACE≌△CBF(AAS). .AE=CF,CE=BF, .BF+AE=CE+CF=EF (2)6 42.54.6 (3)所有满足条件的EF的长为5或5或5： 【分析】(1)由垂直定义得到∠AEC=∠BFC=90°，由同角的余角相等得到∠CAE=∠BCF ,即可证明△ACE≌aCBF,得出AE=CF,CE=BF,因此BF+AE=CE+CF=EF: (2②根据5CD:做=2，求出CD=6则F=CD-DF=6-42:过点作 AE⊥CD交CD延长线于点E,同(1)思路证明△ACE≌aCBF,得到AE=CF=2,根据 SmCD-A求解即可： (3根指AE:DE=9:16得到化=.DE-号 S,根据4CD的面积求出CE三，根据同 角的余角相等得到∠A=∠DCE,若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等，分点B、 F均在点C上方，和点B、F均在点C下方分别讨论，根据全等三角形的性质求解即可. 解：(1)略 (2)解：：△ABC与△BDF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BFD=90°， ∴.AC=BC,DF=BF=4, GS2CDBF=2、BF=A .CD=6, ∴.CF=CD-DF=6-4=2 如图，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E,则∠AEC=90°， D F C E :∠BFD=90°， .∠BFC=180°-∠BFD=90°， .∠AEC=∠BFC, :∠AEC=90°. ∠ACE+∠CAE=90°， :∠ACB=90°， ∴.∠ACE+∠BCF=180°-∠ACB=90°， ∠CAE=∠BCF, 在△ACE和△CBF中， 「∠AEC=∠CFB ∠CAE=∠BCF AC=CB ∴AACE≌ACBF(AAS), :AE=CF=2. 8mD4服=x6x2=6 2 3)解：AE:DE=9:16,AE+DE=AD=10. e-e-是 5 :∠ACD=90°，CE⊥AD C.CD-AD.CE. 2 即2×6x8=7×10xCE. 1 1 2 CE=24 ,CE⊥AD ∠CEA=90°， .∠A+∠ACE=90°. .∠DCE+∠ACE=∠ACD=90°， ∴.∠A=∠DCE 若以点B、C、F为顶点的三角形与△ACE全等，分以下情况讨论： ①若点B、F均在点C上方， :∠BCF=∠DCE=∠A, :∴.ACBF≌△ACE或ACFB≌△ACE, 若ACBF≌△ACE,如图， C D E 则CF=AE=18 ..EF=CF+CE= 18.2442 5+5=5 若aCFB≌aACE,如图， E 则CF=AC=6, ∴.EF=CF+CE=6+ 2454 55 ②若点B、F均在点C下方， ∠BCF=∠A, ,'ACBF≌AACE或△CFB≌AACE, 若aCBF≌△ACE,如图， B 则CF=AE=18 EF=CE-CF=24_186 555 若ACFB≌△ACE,如图， B 则CF=AC=6. EF=CF-CE=6-24_6 55 42 546 综上所述，所有满足条件的 的长为5或5或5 题型5：折叠背景下三角形角度与边长综合压轴解答题 1.(25-26七年级下·甘肃天水期末)综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活 动. 独立思考： (I)如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A的位 置，试猜想∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： (2)如图②，若点A落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠I,∠2 之间的数量关系，并说明理由： 图① 图② 【答案】(1)解：2∠A=∠1+∠2，理由如下： 如图①，连接AA', B D 图① :将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置， .∠BAC=∠DAE. :·∠I=∠EAA+∠EAA',∠2=∠DAA+∠DA, ∴.∠I+∠2=∠EAA+∠EAA'+∠DAA+∠DAA'=∠DA'E+∠BAC=2∠BAC,即2∠BAC=∠I+∠2 (2)2∠A=∠1-∠2，理由如下： 如图②，设EA与AC交于点F, B 图② :∠I=∠EFA+∠A,∠EFA=∠A+∠2」 .∠1=∠A'+∠2+∠A, .2∠A=∠1-∠2. 【分析】(1)如图：连接AA,由折叠的性质得出∠DAE=∠DAE.由三角形外角的性质可得 出结论： (2)由三角形外角的性质得出∠I=∠EFA+∠A,∠EFA=∠A'+∠2，进而得到结论. (1)解：2∠A=∠1+∠2，理由略. (2)解： 2∠A=∠1-∠2 ,理由略， 2.(25-26七年级下·福建漳州期中)如图，现有长方形纸片ABCD,将∠CBD沿对 角线BD折叠，得到∠CBD,CB与AD相交于点E,将∠ABE沿BE折叠，得到 ∠BE.若∠ABD=15°，则∠ADB的度数为() A.15 B.20° C.35° D.55 【答案】C 【分析】设∠CBD=x,根据平行线的性质可得∠ADB=∠CBD=x,由折叠的性质可知 ∠CBD=∠CBD=x,∠ABE=∠ABE.从而可利用x表示出∠ABC,再根据∠ABC=90°，列 出等式，解出x即可. 解：设∠CBD=x, ,AD∥BC, ∴.∠ADB=∠CBD=x 由翻折的性质可知∠CBD=∠CBD=x,∠ABE=∠ABE, .·∠A'BE=∠CBD-∠A'BD=x-15°， .∠ABE=∠ABE=x-15°， ∴.∠ABC=∠ABE+∠C'BD+∠CBD=x+x+x-15°， ·长方形纸片ABCD, .∠ABC=90°， .x+x+x-15°=90°， 解得：x=35°， :∠ADB=350 3.(25-26八年级上山西·阶段检测)如图，在△ABC中，AC=BC,将△ABC折叠， 折痕AD与BC交于点D,点B的对应点为E,过点E作EF⊥AC于点F,连接CE. 若CE平分∠ACB,且∠ACB=30°，BD=5,则EF的长为 E B---- 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质 等知识点，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点.根据等腰三角形的性质，角平分线的性 质，含30°角的 直角三角形的性质，作出适当的辅助线即可求解， 解：如图， B 过点E作EH⊥BC于点H,延长CE与AB交于点M,连接BE, 又：EF⊥AC,CE平分∠ACB,AC=BC, .EF=EH,CM垂直平分AB, .AE=BE 由折叠得，AB=AE,BD=ED=5, ∴AB=AE=BE,∠DBE=∠DEB, △ABE为等边三角形， ∠ABE=60° AC=BC,∠ACB=30°， ∠ABC=∠BAC=180°-30 =750， 2 ∴.∠DBE=∠DEB=∠ABC-∠ABE=75°-60°=15°， ∴.∠EDH=∠DBE+∠DEB=15°+15°=30° EH⊥BC, .∠EHD=90° 在Rt△EHD中，∠EDH=30°， 1 EH=-ED= 5 2 2 EF=EH= 2 5-2 故答案为： 4.(25-26八年级上·山西阳泉·期中)综合与探究 问题情境： 在△ABD中，∠A=9O°，把△ABD沿BD折叠，得到△CBD,F为边AB上一点，点E在 射线BC上. 初步探究： (I)如图1，当点E在△BCD的边BC上时，若BE=BF,则DE与DF的数量关系为 深入探究： (2)如图2，点E在边BC的延长线上，且∠ADC=∠FDE. ①试猜想DE与DF的数量关系，并说明理由： ②若BF=2AF,△ADF的面积为12，求四边形BEDF的面积. D E 图1 图2 【答案】(I)DE=DF:(2)①DE=DF,理由： ,∠A=90°，把△ABD沿BD折叠，得到△CBD, .∠A=∠DCB=∠DCE=90°，AD=CD. ,'∠ADC=∠FDE. .∠ADF=∠CDE, .△ADF≌aCDE(ASA ..DE DF. ②72 【分析】该题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等. (I)根据折叠可得∠FBD=∠EBD,证明△BED≌△BFD,即可得DE=DF,. (2)①根据∠A=90°，把△ABD沿BD折叠，得到△CBD,得出 ∠A=∠DCB=∠DCE=90,AD=CD,结合∠ADC=∠FDE,得出∠ADF=∠CDE,证明 △ADF≌△CDE,即可得DE=DF, ②根据BF=2AF,△ADF的面积为12，得出SABm=3SMr=36,根据翻折可得S△MBm=S△CD ,根据△ADF≌△CDE,得出SAr=SaE,即可得四边形BEDF的面积 =S边形CDF+S.CE=S四边形CDF+SADr=2S,ABD,即可求解。 解：(1)根据折叠可得∠FBD=∠EBD, 又BE=BF,BD=BD, .△BED≌aBFD(SAS), ∴.DE=DF. (2)①略 ②，BF=2AF,△ADF的面积为12， ∴.SMm=3SA0r=36, 根据翻折可得SAABD=S△cm, △ADF≌△CDE. S.DE=S.CDE ∴四边形BEDF S四边形BCDr+S.CDE=Sg边形BCDF+SADr=2S,AD=72 的面积 题型6：等腰三角形存在性分类讨论解答题 1.(25-26八年级上·安徽六安期末)已知，如图1：△ABC中，∠B、∠C的平分线 相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F, (1)直接写出图1中所有的等腰三角形.指出EF与BE、CF间有怎样的数量关系？ (2)在(1)的条件下，若AB=15,AC=10,求△AEF的周长： (3)如图2，若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACG的平分线C0交于点O ,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F,请问(I)中EF与BE、CF间的关系还 是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由. G 图1 图2 【答案】(I)△BE0、△CFO是等腰三角形，EF=BE+CF:(2)△AEF周长为25：(3) EF=BE-CF,理由： :BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACG的平分线， .∠ABO=∠CBO,∠FCO=∠GCO. ,EF∥BC, ∠CBO=∠EOB,∠EOC=∠GCO, ∴.∠ABO=∠EOB,∠EOC=∠FCO, ..OE=BE,OF=CF. ..EF=OE-OF=BE-CF 【分析】本题主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个 知识点是解题的关键 (1)利用角平分线和平行线的即可得出结论： (2)利用(1)的结论即可得出结论： (3)利用角平分线和平行线推出OE=BE,OF=CF,再推出EF与BE、CF间的关系即 可 (1)解：：BO是∠ABC的平分线，CO是∠ACB的平分线， .∠EBO=∠CBO,∠FCO=∠BCO. ,EF∥BC, .∠CBO=∠BOE,∠BCO=∠FOC, ∴.∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠FOC ∴.BE=OE,OF=CF, ∴.△BEO、△CFO是等腰三角形， ∴.EF=OE+OF=BE+CF: (2),由(1)知，EF=BE+CF, 又，AB=15,AC=10 CAAEF=AE+AF+EF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=15+10=25: (3)略 2.(24-25八年级上河南三门峡·期末)如图1，△AB0为等边三角形，顶点坐标分 别为A5,,B(0,2),O(0,0),动点P,0分别从点O,A同时出发，点P运动到A 点停止，点Q运动到点B停止. E B O 图1 图2 (1)a的值为一； (2)若点P,点Q运动速度相同，求证：O0=BP； (3)如图2，动点C从点B开始，沿着y轴的正方向运动，以CA为边长作等边 △EAC,连接EB并延长交x轴于点F,点C在运动时，在y轴上是否存在点K,使 得△BFK为等腰三角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理 由. 【答案】(1)1；(2)证明：：动点P,Q分别从点O,A同时出发，点P运动到A点停 止，点运动到点B停止，点P,点运动速度相同， ..A0=OP, ,△ABO为等边三角形， AB=OA=OB,∠OBA=∠BAO=60° ..AB-A0=0A-OP, .BO=AP, 在△APB和△BQO中， (PA=BO ∠OBA=∠BAO OB=AB .△APB≌aBQO(SAS)」 .PB=00 (3)K的坐标为：K(0,6)或K(0,-2) 【分析】(1)过点A作AH⊥OB交OB于点H,根据等边三角形的性质，求出AB=OB=2 ，M=0=0B=l,即可g (2)根据题意，则AQ=OP,根据等边三角形的性质，则AB=OA=OB,推出BQ=AP,根 据全等三角形的判定和性质，则△APB≌aBQO,即可； (3)根据等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，则△ABE≌△AOC,得到 △ABE=∠AOC=60°，求出∠FB0=180°-∠ABE-∠OBA=60°，根据三角形的内角和，求出 ∠BF0=30°，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，求出BF,分类讨论当 点K1在点B是上方时，有BF=BK,当点K在点B是下方时，有BF=BK2=4,求出K的坐 标，即可 (1)解：过点A作AH⊥OB交OB于点H :△AB0为等边三角形，B(0,2) AB=0B=2 BH-OH-10B=1 A(,a) ..AH=3,OH=a=1 故答案为：1. B H (2)略 (3)答：存在，理由如下： :△EAC是等边三角， ∴.∠EAC=∠AEC=∠ECA=60°，AC=AE, ,·△ABO为等边三角形， ∴.∠OAB=∠AB0=∠OBA=60°，OA=AB=OB=2, .∠OAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC=60°+∠BAC, ∴.∠BAE=∠OAC, 在△ABE和△AOC中， OA=BA ∠EAB=∠OAC, AE=AC .△ABE2△AOC, .△ABE=∠AOC=60°， ∴.∠FBO=180°-∠ABE-∠OBA=60°， OB⊥x轴， .∠B0F=90°， .∴.∠BFO=30° ÷OB=)BF=2. 2 .BF=4, 当点K在点B是上方时，有BF=BK, ∴.△BFK为等腰三角形， .OK1=OB+BK1=2+4=6. .K(0,6): 当点K1在点B是下方时，有BF=BK2=4, .△BFK为等腰三角形， BK2 =0B+OK2=2+OK2=4. .0K=2, .K(0,-2): 综上所述，K的坐标为：K(0,6)或K(0,-2)」 B 【点拨】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形，直角三角形的知识，解题的关键是 掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形中，3O°所对的直角边等于斜 边的一半，进行解答，即可 3.(2025八年级上·全国·专题练习)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=12cm, AB=16cm,AC=20cm,动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿B→C→A运动， 到达A点时，停止运动，设运动的时间为秒. B (1)当点P在BC上时，求CP的长：（用t的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求△APC的面积； (3)当点P在边CA上运动时，是否存在一个t值，使得△BCP是以BC或BP为底边 的等腰三角形？若存在，求出此时的值：若不存在，请说明理由 【答案】(1)12-2t:(2)32cm2:(3)存在，t的值为1ls或12s 【分析】本题考查了列代数式、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，数形 结合是解决问题的关键。 (1)根据CP=BC-BP即可列代数式： (2)先求出CP，,再由三角形面积公式求解： (3)当以BC为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到PA=PC=)AC=10(em）,则 2 4.BC1-2生0-1：当以n为底时，则CB=CP=12cm:则 2 1=BC+CP-12+12-12s. 2 2 (1)解：由题意得，CP=BC-BP=12-21: (2)解：当1=4时，CP=BC-BP=12-2×4=4(cm),此时点P在BC上，如图所示： “AMx的面积-PCx4B-x416=32em）店 (3)解：存在， 理由如下： 当以BC为底时，如图所示： B 则PC=PB, .∠C=∠PBC, ,∠ABC=90°， .∠C+∠A=90°，∠PBC+∠PBA=90 ∴.∠PBA=∠A, .PB=PA, :.PA=PC=AC=10(cm). 1-CP_1210=1s, 2 2 当以BP为底时，如图所示： B 则CB=CP=12cm, ∴t BC+CP_2+12=12s, 2 2 综上所述：存在，t的值为1ls或12s. 4.(25-26七年级下·甘肃张掖期末)如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米， BC=8厘米，∠A=47°，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以x厘米/秒的速 度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以y厘米I秒的速度由C点向A点运 动. (1)若x=y=3,经过1秒后，此时△BPD与△CQP是否全等？请说明理由. (2)若x≠y,当x=3,y为何值时，能够使△BPD与△CP全等？请说明理由. (3)是否存在点P,使△BPD为等腰三角形？若存在，求此时∠BPD的度数，若不 存在，请说明理由， 15 【答案】（山）见解析：(2)4，理由见解析：(3)存在点P'△BPD为等腰三角形， ∠BPD的度数是66.5°或47°或56.75°时，使△BPD为等腰三角形，理由见解析 【分析】(1)先求得BP=CO=3,PC=BD=5,然后根据等边对等角求得LB=∠C,最后 根据SAS即可证明： (1)因为x≠y,所以BP≠C9,又∠B=∠C,要使△BPD与△COP全等，只能BP=CP=4 ，根据全等得出C巴=BD=5,然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和C的长即可求 得Q的运动速度： (1)由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得∠B的度数，需要分类讨论：∠B=∠BPD 、∠B=∠BDP、∠BPD=∠BDP三种情况. (1)解：1=1秒， BP=C9=3厘米 :AB=10厘米，D为AB中点， ∴.BD=5(厘米) 又：PC=BC-BP=8-3=5(厘米) ∴.PC=BD AB=AC, ∠B=∠C, 在△BPD与△COP中， BP=CO ∠B=∠C BD=PC △BPD≌aCQP(SAS); (2)解：“x≠y, .BP≠CQ, 又∠B=∠C, 要使△BPD≌aCPO,只能BP=CP=4, :ABPD≌aCP2, ∴.CQ=BD=6 :点p的运动时间t= , C9_5_15 此时’=？子4厘米秒.。 3 /) (3)解：存在点P,使△BPD为等腰三角形.理由如下： :△ABC中，AB=AC,∠A=47°， ·∠B=∠C=180°-47 =66.5° 2 ①当∠B=∠BPD=66.5°时，△BPD为等腰三角形 ②当∠B=∠BDP=66.5°时，△BPD为等腰三角形，此时∠BPD=180°-2×66.5°=47°. ③当BP0-∠0p.125”=567S时：Ap为等限三角形， 2 综上所述，∠BPD的度数是66.5°或47°或56.75°时，△BPD为等腰三角形. 【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运 用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质， 题型7：将军饮马复杂模型多场景线段和最值探究压轴题 1.(2026八年级上·全国·专题练习)如图，点P是∠A0B内任意一点，OP=3cm, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°. (I)则△PMN周长是否存在最小值？一（用“存在”或“不存在”填空） (2)如果存在，请直接写出△PMW周长的最小值.如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)存在：(2)3cm 【分析】(1)由动点最值问题的题型解法即可判定： (2)先作对称，由对称性得出相关线段与角度关系，再证得△COD是等边三角形，然后表 示出C△PM,由两点之间线段最短得出当D、M、N、C四点共线时，C△PM有最小值，为CD 长即可求出 解：(1)略 (2)解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、 N,连接OP、OC、OD、PM、PN,如图所示： P :点P关于OA的对称点为C,关于OB的对称点为D, .PM=CM,OP=OC,∠COA=∠POA: :点P关于OB的对称点为D, ∴.PN=DN,OP=OD.∠DOB=∠POB. ..OC=OD=OP=3cm, ∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60° △COD是等边三角形， ∴.CD=OC=OD=3cm. C.PMN PM+MN+PN DM+MN+NC :.当D、M、N、C四点共线时，C△Pw有最小值，为CD=-3cm. 2.(25-26七年级下·山东枣庄·期末)最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建 一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A,B到它的 距离之和最短？ 居民区B B M M ● A 居民区A 街道 图① 图② 图③ 图④ 解：如图②，只有点A关于直线的对称点A'与点C,B在同一条直线上时，才能 使AC+BC的值最小，作点A关于直线I的对称点A,然后连接AB,交直线I于点C ,则C就是所求的点. 应用： 如图③，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM,ON上各取一点B ,C,组成△ABC,使它的周长最小. (1)借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点B和点C,并画出△ABC: (2)若∠MON=30°，OA=10,请结合有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 这个结论，求△ABC周长的最小值. 迁移： (3)如图④AB是锐角∠MON内部一条线段，在∠MON的两边OM,ON上各取一 点C,D组成四边形ABCD,使四边形周长最小， M 【答案】(1)0 N: (2) 周长的最小值为10：(3) 图③ AABC E -N 图2 【分析】(1)分别作出点A关于OM和ON的对称点A和A，,连接A4与OM和ON的交点 即为点B和点C,△ABC即为所求： (2)连接OA、OA,和OA,根据轴对称的性质得到∠AOM=∠AOM,AO=A0, ∠A,ON=∠AON,A,0=A0,可知∠AOA+∠A,OA=2∠M0N=60°，即△AOA,是边长为10 的等边三角形，即可求出△ABC周长的最小值： (3)如图，作A关于OM的对称点E,再作B关于ON的对称点F,连接EF交OM于C,交 ON于D,四边形ABCD即为所求. 解：(1)略： (2)解：如图，连接OA、O4和OA, 图③ :点A和点A关于OM对称， .∠AOM=∠AOM,A0=A0, 同理∠A,ON=∠AON,A,0=AO, ∴.∠AOA+∠A,OA=2∠AOM+2∠AON=2∠MON, 又∠M0N=30°， ∠A0A2=60°. 又A0=A0=A,0=10, △A0A,是边长为10的等边三角形， 则44=10， 即△ABC周长的最小值为10： (3)略. 3.(24-25八年级上湖北孝感期末)如图，直线1上线段AB=6,O为线段AB上 一点，△AOC和△BOD都是等边三角形，连AD交CO于E,连CB交OD于F,连EF (1)求证：AD=CB; (2)求证：△EOF是等边三角形： (3)若P为直线I上一动点，求PC+PD的最小值. 【答案】(I)证明：：△AOC、△BOD是等边三角形， .OA=OC,OB=OD,∠APC=60°，∠DOB=60°， ∴.∠A0D=∠COB=120°， 在△AOD和△COB中， AO=CO ∠AOD=∠COB. OD=OB ∴△AOD≌aCOB(SAS), .AD=CB: (2)证明：，△AOD≌△COB, ∴.∠DAO=∠BCO, 又：∠COD=180°-∠AOC-∠D0B=60°， ∴.∠AOE=∠COF=60°， 在△AOE和aCOF中， ∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF .△AOE≌aCOF(ASA), ..OE=OF, ,aCEF为等腰三角形， 又，∠EOF=60°， :.△EOF为等边三角形： (3)PC+PD的最小值为6. 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌 握全等三角形的判定和性质是解题关键. (1)根据等边三角形的性质，证明△AOD≌aCOB(SAS),即可得出结论； (2)证明△AOE≌aCOF(ASA),得到OE=OF,即可得出结论： (3)作点D关于直线I的对称点G,连接OG,CG,直线CG交直线I于点P,此时， PC+PD有最小值，最小值为CG的长，证明点CO、G共线，根据CG=AB即可求解. 解：(1)略 (2)略 (3)解：作点D关于直线1的对称点G,连接OG,CG,直线CG交直线I于点P, G 此时，PC+PD有最小值，最小值为CG的长， ,点D与点G关于直线1对称， ∴.∠DOB=∠GOB=60°，OG=OD=OB. ,∠EOF=60°， ∴∠COD+∠DOB+∠GOB=180°， ∴，点C0G共线， ∴点O与点P重合， .PC+PD的最小值CG=PC+PG=PA+PB=AB=6. 4.(25-26七年级下·重庆南岸期末)唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄 昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题。 (1)如图①，若点A和点B分别在直线的两侧，请作示意图，在直线1上找点C ，使得CA+CB有最小值，并写出作图依据： (2)如图②，若点A和点B分别在直线的同侧，请作示意图，在直线1上找点P ,使得PA+PB有最小值； (3)如图③，定点Q在∠AOB内部，点M，,N分别在射线OA,OB上，请作示意 图，确定点M,N,使得△QMN的周长最小. y ·B B ① ② ③ 【答案】(1) 作图依据：两点之间线段最短 B (2) 【分析】(1)依据两点之间线段最短得出答案： (2)利用对称的性质即可得出结果： (3)分别作O关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,交OA、OB于点MN,则△QMN 的周长最小 (1)解：连接AB,与直线I相交于点C,则CA+CB有最小值. (2)解：作点A关于直线I的对称点A',连接A'B交直线1于点P,连接PA,点P即为所 求 (3)解：作法：①作点O关于OA的对称点C, ②作点Q关于OB的对称点D, ③连接CD,分别交OA于点M,交OB于点N,则△OMN的周长最小. 题型8：动点条件下两三角形全等成立条件探究解答题 1.(25-26八年级上安徽合肥期末)如图，△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC,D为 直线BC上一动点，连接AD,在直线AC的右侧作AE⊥AD,且AE=AD,过点E作 EF⊥AC,垂足为F. (1)如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC=EF: (2)如图2，当点D在线段CB的延长线上时，连接BE交直线AC于点G,判断BD 与GF的数量关系，并说明理由： (3)当点D在直线BC上时，连接BE交直线AC于点G:当△ABD的面积为9， △ABE的面积为27时，则△ACD的面积为. G 图1 图2 【答案】(1)证明：AE⊥AD,∠ACB=90°，EF⊥AC, .∠DAE=∠AFE=∠ACD=90°， .∠CAD+∠ADC=90°，∠CAD+LEAF=90°， ∴.∠ADC=∠EAF, 在△ACD和△EFA中， ∠ACD=∠EFA=90° ∠ADC=∠EAF AD=AE .△ACD≌aEFA(AAS), .EF=AC, .AC=BC. .BC=EF (2)解：BD=2GF,理由如下： 由(1)知△ACD≌△EFA, .AC=EF, 又，BC=AC, ..BC=EF, :EF⊥AC,BC⊥AC, ∴.∠BCG=∠EFG=90°. 在△BCG和△EFG中， 'LBCG=LEFG=90°，LBGC=LEGF，,BC=EF, ∴.ABCG≌AEFG(AAS). ..CG=FG, ∴.CF=2FG; 由(1)知 △ACD≌△EFA, ∴.CD=AF ..AC=BC, .BD=CF. ..BD=2GF: (3)9或18 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确识别图形是解答本题的关键. (I)先求出∠EAF=∠ADC,再根据AAS证明△ACD≌aEFA,可得EF=AC,由AC=BC可 得结论； (2)由(I)知△ACD≌aEFA(AAS),得EF=AC,然后证明△BGC≌aEFG(AAS),可得 GF=GC,再证明BD=CF可得结论 (3)设△ABC的面积为x,△BCG的面积=△EFG的面积=S,根据△ABD的面积为9，△ABE 的面积为27，结合(2)知△BGC≌△EFG,得EG=BG,得SMBG=S,MG=△ABE的面积的一半 2,然后列出关于x和S的方程即可解决问题. 解：(1)略 (2)略 (3)解：设△ABC的面积为x,△BCG的面积=aEFG的面积=S, ,△ABD的面积为9，△ABE的面积为27， 如图， 9 B 由(2)知△BCG≌AEFG, .'.EG=BG 27 六S.BG=SAG=△ABE的面积的一半= 2 .x+S= 27 2 9+x= 27 2 +S, .x=9; .△ACD的面积=x+9=9+9=18: 27,27 如图，x+2+2 =9-x, x=-9(不符合题意，舍去) F E 7 x+2 GY 2 27 9-x C 如图，x-9+了=2 ，t5=27 2 .x=18, ∴.△ACD的面积=x-9=18-9=9, 9 G B D 综上，△ACD的面积为9或18. 故答案为：9或18 2.(25-26八年级下·北京开学考试)如图，在锐角△ABC中，△ABC的面积为15， BD平分∠ABC,若E,F分别是BD,BC上的动点，当CE+EF的最小值为6时，AB 的长为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】在BA上截取BG=BF,证明△EBG≌aEBF(SAS),所以EG=EF,则 CE+EF=CE+EG,当CE、G三点共线，且CG L AB时，CE+EF的值最小，为CG长， 然后通过三角形面积公式求出AB长即可. 解：如图，在BA上截取BG=BF, E G :BD平分∠ABC, .∠EBG=LEBF, BE=BE, .△EBG≌aEBF(SAS), ∴.EG=EF, .CE+EF=CE+EG. ∴，当CE、G三点共线，且CG1AB时，CE+EF的值最小，为CG长，如图， D E A G B 即CG=6, :△ABC的面积为15， 1 1 2 ABxCG=15,即2×6xMB=15, B=5 3.(25-26八年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，AC⊥BC,垂足为点C,射线 BM⊥BC,垂足为点B,BC=12cm,AC=4cm,动点E从C点出发以2cm/s的速度 沿射线CN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=AB, 若点E的运动时间为s(>0),则当1=一 秒时，ADEB与△BCA全等. M D E B N 【答案】4或8或12 【分析】本题考查直角三角形全等的判定(H皿)及动点问题的分类讨论，根据动点E的位置分 情况讨论，结合全等条件列出方程求解. 解：，动点E的速度为2cm/s,运动时间为s, ∴.CE=2icm. :AC⊥BC,BM⊥BC, .∠C=∠EBD=90°， 又ED=AB, .RtADEB与RtABCA全等有两种对应情况： ①当RtADEB兰RUABAC(IHL)时，需EB=AC=4Cm. 若E在线段CB上，则EB=BC-CE=12-2t, 由12-21=4，解得1=4； 若E在CB的延长线上，则EB=CE-BC=2I-12, 由21-12=4，解得1=8： ②当RIADEB兰RIAABC(HL)时，需EB=BC=I2cm. 若E在线段CB上，则EB=12-21=12,解得1=0（舍去）： 若E在CB的延长线上，则EB=21-12=12,解得1=12： 综上，当1=4或8或12秒时，△DEB与△BCA全等。 故答案为：4或8或2 4.(26-27八年级上江苏宿迁阶段检测)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm ,BC=8cm,AB=10cm,直线l经过点C且与边AB相交.动点P从点A出发沿 A→C→B路径向终点B运动：动点O从点B出发沿B→C→A路径向终点A运动. 点P和点2的速度分别为lcm/s和2cm/s,两点同时出发并开始计时，当点P到达终 点B时计时结束.设运动时间为秒. (1)当t为何值时，P、两点相遇； (2)在某时刻分别过点P和点Q作PE11于点E,QF11于点F,求当t为何值 时，△PEC与△QFC全等. 1 14 【答案】(1) 3秒；(2)1=2秒或3秒或12秒 【分析】(1)设运动时间为秒，根据根据两点相遇时的路程关系列方程求解： (2)分三种情况，结合全等三角形的性质解答即可. (1)解：：AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm, 设运动时间为秒， 依题意得：21+1=6+8」 :44 .14 故3秒时pQ两点相遇： (2)解：①如图1，在BC上，点P在AC上时，作PE⊥1，QF⊥I, ∴.∠CPE+∠PCE=∠PCE+∠FCQ=90° .∠CPE=∠FCQ. 又'∠PEC=LCFg, 若△PEC≌△CFQ时，则PC=CQ, 即6-t=8-21, 解得：1=2； ②如图2，当点P与点Q重合时， PC=CO, .6-t=2t-8, 14 解得：1=3： ③如图3，当点Q在A时， :当1=7时，点Q到达终点A,此时点P在BC上，且PC=6, 由①得：1-6=6， 解得：t=12, A(O P(O)E(E> 图1 图2 图3 14 综上所述：当=2 秒或秒或12秒时， aPEC与OrC 全等 题型9：平面直角坐标系中全等与轴对称综合几何解答题 1.(25-26七年级下·江苏南通期末)如图，在平面直角坐标系x0中，已知点 A(-l,2),P(m,O),(m为实数)，过点P作PB⊥PA,PB=PA. (1)若点B4,3),求m的值； (2)若m=-2,求点B的坐标： (3)若点B一定不落在第四象限，请直接写出m的取值范围. 2 -5-4-3-2-10 12345 2 【答案】(1)2：(2)(0，-H),（-4,):(3)m≤-2或-1≤m≤2 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，点坐标等知识.熟练掌握勾股定 理，全等三角形的判定与性质，点坐标是解题的关键， (1)过点A作AM⊥x轴，过点B作BN⊥x轴，证明△AMP≌△PNB,进而即可求解： (2)如图1，作P作MNIy轴，AM LMN于M,BN⊥MN于N,证明△AMP≌aPNB(AAS) ,则AM=PN=,PM=BN=2,可得B(O,-),由题意知，P为BB的中点，进而可得 B(-4l); (3)当点P在y轴右侧，使B在y轴上时，如图2，同理(2)△AMP≌△PB(AAS),则 PW=AM,BN=PM=2,可求m=2:如图3，当m=-l1时，B在x轴上：由(2)可知，当 m=-2时，B在'轴，由题意知，当m≤-2时，点B一定不落在第四象限；当-1≤m≤2时， 点B一定不落在第四象限. (I)解：过点A作AM1x轴，过点B作BNLx轴，如图： V A 1 M N -5-4-3-2-1 12345x -1 -2 -3 ,PB⊥PA, ∴.∠A+∠APM=∠APM+∠BPN=90° .∠A=∠BPN, 'PB=PA,∠AMP=∠PNB, ∴.△AMP≌△PWB .∴.MP=BN A(-1,2),B(4,3), .MP=BN =3, .m=-1+3=2: (2)解：如图1，作P作MNy轴，AM IMN于M,BN⊥MN于N, y 3 M B P 54-3 n12345 -2 -3 图1 .∠AMP=90°=∠PWB. ∴.∠APM+∠PAM=90°=∠APM+∠BPN,即∠PAM=∠BPN, ∠PAM=∠BPN,∠AMP=90°=∠PNB,PA=PB, .△AMP≌aPNB(AAS), ∴.AM=PN=l,PM=BN=2, B(0-), 由题意知， P为BB的中点， .B(41, 综上所述，点B的坐标为(0，)或(4，)： (3)解：当点P在y轴右侧，使B在轴上时，如图2， A2斗--M P -5-4-3-2-101产345x -2 -3 VB--CN 图2 同理(2)△AMP2aPNB(AAS). .PN=AM,BN=PM=2. .m=2; 如图3，当m=-1时，B在x轴上； 3 2 -5-4-3-2-1012345x -2 -3 图3 由(2)可知，当m=-2时，B在y轴， 由题意知，当m≤-2时，点B一定不落在第四象限： 当-1≤m≤2时，点B一定不落在第四象限： 综上所述，点B一定不落在第四象限时， m≤-2 -1≤m≤2 或 2.(25-26八年级上云南曲靖期末)如图，在平面直角坐标系0中，点P在第一 象限的角平分线上，且P(2,2),点A、B分别在x、y轴正半轴上，若LAPB=90°， 则OA+OB=() A A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知 识点是解题的关键.根据角平分线的性质定理及点P的坐标，过点P分别作PD⊥x轴、 PE⊥y轴，垂足分别为D、E,证明△PDA≌△PEB即可. 解：如图所示，过点P分别作PD⊥x轴、PE1y轴，垂足分别为D、E, B D A :点P在第一象限的角平分线上， ∴.PD=PE, P(2,2). .PD=DO=OE=PE=2. ∠DPE=90°， ∴四边形PDOE是正方形， .∠BPE+∠BPD-90° :∠APB=90°， .∴∠APD+∠BPD=90° ∴.∠APD=∠BPE, PD=PE,∠ADP=∠BEP, :.△ADP≌aBEP(ASA), .AD=BE, .:.04+OB=(OD+AD)+(OE-BE)=20D=4, 故选：C. 3.(25-26八年级上北京西城期中)如图，在平面直角坐标系x0y中，A(4,0), B(0,6),动点P,?分别按照B-0-A和A-O-B的路线同时开始运动，到各自的终 点时停止.直线I经过原点O,过P,分别作I的垂线段，垂足分别为E,F,若 点P的速度为每秒2个单位长度，点⑨的速度为每秒1个单位长度，记点Q的运动 时间为t秒，当△OPE与△OQF全等(P,不能重合)时，t的值为 【答案】2或8/8或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和一元一次方程的应用，解题的关键是恰当分类并 利用全等三角形的性质建立方程.判断出OP=OQ再分三种情况讨论，表示出OP,O№建立 一元一次方程求解即可. 解：：A(4,0),B(0,6),, ∴.0A=4,OB=6, 由题意，OP和O№是两直角三角形的斜边， 当aOPE与△OQF全等时，OP=O2, ①当点P在OB上，点O在OA上时， 根据题意可得，s时，BP=2t,AQ=t, ..OP=OB-BP=6-2t.00=0A-A0=4-1. .6-21=4-t, 解得t=2: ②当点P在OA上，点O在OB上， 0P=21-6,00=1-4 ∴.21-6=1-4. 解得1=2（舍去）： ③当点P和A重合，点Q在OB上， 0P=4,00=t-4 ∴.4=t-4 解得=8； 综上所述，当△OPE与△OOF全等时，满足题意的t的值为2或8. 故答案为：2或8. 4.(25-26八年级上河北廊坊阶段检测)如图1，在平面直角坐标系x0y中，△ABC 为等腰直角三角形，BC=AC,直角顶点C在轴上，点B在y轴上，点A在第二象 限，OC>OB (I)在线段OC上找一点M,使得OM=OB,连接MB、MA,求证：AM⊥MB: (2)将△ABC绕点B逆时针旋转，使得点C落在x轴正半轴上. ①如图2，y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交于点D,过点A作E1y轴于点E, 则BD与AE有怎样的数量关系？并说明理由， ②如图3，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过点A作AF1y CO-AF 轴于点下，在滑动的过程中， BO 是否为定值？若是，请直接写出答案：若不 是，请说出理由. B B D CMO龙 A 图1 图2 图3 【答案】(1)证明：如图，过点A作AD⊥x轴于点D,则∠ADC=90°， B D C M O 图1 :△ABC为等腰直角三角形，BC=AC, .∠ACB=90°， ∠ACD+∠BCO=90° ,∠ACD+∠CAD=90°， ∴.∠BCO=∠CAD, 在△ACD和△CBO中， [∠ADC=∠COB=90° ∠CAD=∠BCO AC=BC .△ACD≌aCBO(AAS), .AD=CO,CD=BO. ...OM=OB, ∴.CD=OM. ∴.DM=CO, .AD=DM, ∴.△ADM为等腰直角三角形， ∴.∠AMD=45°， :∠BOM=90°，OM=OB, ∴.∠BM0=45°， :.∠AMB=180°-45°-45°=90° ∴.AM⊥MB; (2) ①解：BD=2AE. 理由：如图，延长BC、AE交于点F, B 图2 ,∠ACB=90° .∠ACF=90°， .AC=BC, ∴∠BAC=∠ABC=45」 BD平分∠ABC, .∠CBD=∠ABD=22.5°， :AE1y轴， ∴.∠AEB=∠FEB=90°， .∠DAE=90°-∠ABD-∠BAD=22.5°， ∴.∠DAE=∠CBD, 在△ACF和△BCD中， ∠DAE=∠CBD AC=BC ∠ACF=∠BCD=90° :△ACF≌aBCD(ASA). ∴.AF=BD, 在△ABE和△FBE中， I∠ABE=∠FBE BE=BE ∠AEB=∠FEB .△ABE≌aFBE(ASA), ∴.AE=EF, .AF =2AE, ..BD=2AE: ②是定值， CO-AF=1. BO 【分析】(1)证明△ACD≌aCBO(AAS),推导出AD=DM,得到∠AMD=45°，又由 OM=OB得到∠BM0=45°，求出∠AMB=90°，即可求证： (2)①延长BC、AE交于点F,可证△ACF≌aBCD,△ABE≌△FBE,即可求得 BD=2AE ②作AE⊥OC,则AF=OE,∠AEC=90°，可证△BCO≌△ACE,可得AF+OB=OC,即可 求解。 解：(1)略 (2)解：①略 ②是定值， C0-AF=1. BO 如图，作AE⊥OC,则AF=OE,∠AEC=90°， B 图3 ∠CBO+∠OCB=90°，∠OCB+∠AC0=90°， ∴.∠ACO=∠CBO. 在△BCO和△ACE中， ∠BOC=AEC=90° ∠CBO=∠ACO BC=AC .aBCO≌aACE(AAS). ..CE=OB, ∴.OB+AF=CE+OE=OC, CO-AF_OB+AF-AF =BO=1 BO BO BO 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，解题的关 键是作出正确的辅助线，构造出全等三角形 题型10：等腰（边）三角形结合全等的探究性证明解答题 1.(25-26七年级下·广东茂名期末)【模型构建】 如图①，两个等腰△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,点A为 公共顶点，连接BD,CE.可探究BD和CE的数量关系. (I)求证：△ABD≌AACE 【深入探究】 (2)如图②，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，判断BD、EC 的数量关系并证明： 【拓展应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，点M为BC的中点，以BC为边在下方构造 等边△BCD,连接AM、AD、MD.已知点M到AD的距离为1，△AMD的面积为 3.6,求AM的值. D B4 图① 图② 图③ 【答案】(1)证明：'∠BAC=∠DAE, ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 即∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE, AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS). (2)BD=CE. 证明：：△ABC和△ADE为等腰直角三角形， ∴AB=AC,AD=AE.∠BAC=LDAE=90°，∠ABC=∠ACB=45° .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. 即∠BAD=∠CAE, :△ABD≌aACE(SAS), .BD=CE (3)3.6 【分析】(1)先证明∠BAD=∠CAE,进而证明△ABD≌△ACE (2)证明△ABD≌aACE(SAS),根据全等三角形的性质即可得证 (3)以AB为边向右上方作等边三角形ABE,延长AM,EB交于点F,连接CE,根据三角 形的面积公式，求得AD=72:证明△MCM≌AFBM(AAS),得出AM=FM则MM=2A ，证明△EAC≌AABF(SAS):得出CE=AF,即可得出4M=)4D=36 解：(1)略 (2)略 (3)解：以AB为边向左上方作等边三角形ABE,延长AM,EB交于点F,连接CE, '点M到AD的距离为1，△AMD的面积为3.6， 24Dx1=3.6, AD=7.2, :△ABE和△BCD都是等边三角形， ∴BE=BA,BC=BD,∠EBA=∠CBD=6O°」 ∴.∠EBC=∠ABD :△EBC≌△ABD ∴.EC=AD, ∠ABE=LBAC=60°， AC∥BF, ∴.∠ACM=∠FBM,∠CAM=∠F, :点M为BC的中点， .CM=BM, ∴.△ACM≌△FBM(AAS). ∴AM=FM,AC=BF, ∠ABE=∠BAC=∠BAE=6O°， ∠EAC=∠FBA=120°， EA=AB,AC=BF, ∴△EAC≌△ABF(SAS). :.CE=AF, .AF AD, ÷AM=2AF=号4D=3.6 2 2.(26-27八年级上江苏苏州·阶段检测)如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角 形，且A、C、E三点共线，AD与BE交于点O,AD与BC交于点PBE与CD交于点 ,连接PO.以下五个结论：①AD=BE;②∠AOE=120°；③DE=DP;④△PCO 是等边三角形：⑤OC平分∠BCD.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】利用“手拉手”模型证明△ACD≌aBCE,从而得到对应边相等，对应角相等，再根 据新得到的条件证得△ACP≌△BCO,从而判断各选项的正误. 解：，△ABC和aCDE都是等边三角形， .∠ACB=∠CAB=∠ABC=∠ECD=60°，AC=BC,CD=CE, ∴.∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD,即∠ACD=∠BCE, 又A、CE三点共线， ∴.∠BCD=180°-∠ACB-∠ECD=60°， AC=BC 在 和 中， ∠ACD=∠BCE, △ACD△BCE CD=CE .△ACD≌aBCE(SAS), ∴.AD=BE,①正确： .'△ACD≌ABCE, .∠CAD=∠CBE, .∠BAP+∠ABC+∠CBE=∠BAP+∠ABC+∠CAD=∠CAB+∠ABC=120°， 在AAOB中，∠AOB=180°-（∠BAP+∠ABC+∠CBE)=60°， .∠A0E=180°-∠A0B=120°，②正确： [∠CAD=∠CBE 在和 中， ∠ACB=∠BCD=60°， △ACP△BCQ AC=BC △ACP≌aBCQ(AAS), CP=CO,AP=BO, 又，AD=BE, ..AD-AP=BE-BO,DP=EQ, 点O在CD上，aCDE是等边三角形， .EO<DE, .DP≠DE,③错误： CP=C2,LBCD=60°， :.△PCQ是等边三角形，④正确； 如图所示，连接OC,过点C分别向AD,BE作垂线，垂足分别为点N,M, B △ACD≌△BCE, .S.4CD=S.BCE: 即40-Cw-号s.cw. 2 又，AD=BE, ..CN=CM, 又CN⊥AD,CM⊥BE, OC平分∠AOE, OC平分∠BCD,⑤错： 综上所述，①②④说法正确. 3.(26-27八年级上江苏苏州阶段检测)如图，∠AOB=30°，点M在边OA上， OM=4,ON=x+4(x>0),点P是边OB上的点，若使点P,M,N构成等腰三角形 的点P恰好有三个，则x的取值范围是 M 【答案】2<x<4 【分析】根据等腰三角形的定义，结合图形找出临界位置进行求解即可，掌握知识点的应用是 解题的关键. 解：OM=4,ON=x+4(x>0). .MN=x(x>0), 当x=4时，如图， P B .点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有一个： 当x=2时，如图， P P2 B ,点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个： 当2<x<4时，如图， 4 PP2 PB ,点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个： 当0<x<2时，如图， A MN P B ∴，点P,M,N构成等腰三角形的点P只有一个： 当x>4时，如图， M .点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有四个. 2<x<4 综上所述，点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个时， 4.(25-26八年级下·贵州毕节期末)根据题意解答下列问题. (1)【问题发现】如图1，△ABC和△AEF均为等边三角形，连接BE,CF,延长 BE,交CF于点D,则BE与CF之间的数量关系是，∠BDC的度数是°： (2)【拓展探究】如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，AC=BC,CD=CE, ∠ACB=∠DCE,点A,D,M,E在同一直线上，CM为△DCE的中线，连接BE, 若AE=BE+2CM,求∠AEB的度数. 4 图1 图2 【答案】(1)BE=CF,60:(2)∠AEB=90° 【分析】(1)根据“SAS”,可得△ABE≌△CAF,即可得到BE=CF,∠ABE=∠ACF, 再根据三角形外角的性质，可得∠BDC+∠ACF=∠BAC+∠ABE,从而可得 ∠BDC=∠BAC=60°： (2)同(1)可得AD=BE,∠AEB=∠ACB,根据等量代换，得DE=2CM,再根据中线的 定义，可得DE=2DM=2ME,从而CM=DM=ME,最后根据等腰三角形的性质和三角形 内角和定理，可得∠DCE=90°，即可求解. (1)解：如图，AC与BD相交于点O, B :△ABC和△AEF均为等边三角形， AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=60°， ∴.∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE, ∠BAE=∠CAF, :AABE≌aCAF(SAS), .BE=CF,∠ABE=∠ACF, :∠BDC+∠ACF=∠BAC+∠ABE=∠AOD ∠BDC=∠BAC=60°： (2)解：如图，AE与BC相交于点P, M D B·∠ACB=∠DCE .∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD ∴.∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, CD=CE :.△ACD≌aBCE(SAS), ∴.AD=BE,∠CAD=∠CBE, 点A,D,M,E在同一直线上， ∴.∠AEB+∠CBE=∠ACB+∠CAD=∠CPE, ∴.∠AEB=∠ACB、 .AE=BE+2CM,AE=AD+DE. .DE=2CM :CM为△DCE的中线， .DE=2DM =2ME. .CM=DM=ME ∴.∠MCD=∠CDM,∠MCE=∠CEM, .·∠MCD+∠CDM+∠MCE+∠CEM=180°. ∴.2∠MCD+2∠MCE=180°，即∠MCD+∠MCE=90°， .∠DCE=90°， ∴.∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠AEB=∠ACB=90° 则<AEB 0° 的度数为 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （人教版八年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、 核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：三角形两条角平分线夹角模型综合导角解答题 2 题型2：倍长中线法构造全等三角形几何证明解答题 4 题型3：截长补短法证明线段和差关系解答题 5 题型4：一线三垂直模型综合解答题 7 题型5：折叠背景下三角形角度与边长综合压轴解答题 9 题型6：等腰三角形存在性分类讨论解答题 11 题型7：将军饮马复杂模型多场景线段和最值探究压轴题 13 题型8：动点条件下两三角形全等成立条件探究解答题 15 题型9：平面直角坐标系中全等与轴对称综合几何解答题 17 题型10：等腰（边）三角形结合全等的探究性证明解答题 19 一、专题定位 本专题聚焦三角形、全等三角形、轴对称跨章节综合问题，精准对标八上期中统考压轴命题方向。着重落实数形结合、分类讨论、几何建模、动态探究四大核心数学思想，针对多问式大题、隐含条件挖掘、辅助线构造、动点分析等学生思维短板开展专项突破。本专题面向班级优生培优，适用于期中第三轮复习、压轴专项讲练、拔高限时训练，训练学生拆解复杂大题的能力，攻克试卷拉分压轴题，实现高分段突破。 2、 核心考点梳理 章节 考点 三角形 三角形两条内、外角平分线夹角模型综合导角；折叠背景下三角形角度与边长综合计算；多个导角模型叠加的角度探究；三角形边角关系多情况分类讨论 全等三角形 倍长中线法构造全等三角形；角平分线条件下的辅助线添加；截长补短法证明线段和差关系；一线三垂直（K 字形）全等模型；手拉手旋转全等模型；全等三角形多结论正误判断；动点背景下三角形全等成立条件探究 轴对称 等腰三角形、等边三角形多问几何综合证明；利用三线合一作辅助线；将军饮马模型拓展（两定点两动点、平移型饮马）最值探究；等腰三角形存在性分类讨论；坐标系背景下全等与轴对称综合；折叠问题与等腰、全等结合的综合计算与证明 三、压轴与拓展 题型1：三角形两条角平分线夹角模型综合导角解答题 1.（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中． （1）的角平分线相交于点，求的度数； （2）的三等分线分别相交于点，求的度数； （3）的等分线分别相交于点，则________（结果用含的式子表示），（，为整数，结果用含和的式子表示） 2.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，相交于点O，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·全国·单元测试）已知中，．在图（1）中的角平分线交于点，则可计算得；在图（2）中，设∠的两条三等分角线分别对应交于、，则∠BO2C＝____________________；请你猜想，当同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于，如图（3），则____________________（用含n和α的代数式表示）． 4.（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： （1）如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； （3）如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 题型2：倍长中线法构造全等三角形几何证明解答题 1. （26-27八年级上·重庆巫山·阶段检测）如图，是的中线，，，且，． 求证：（1）EF；（2）EF 2.（26-27八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，平分，E为的中点，．若，则（     ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 4.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在凸五边形中，，，，为的中点．证明． 题型3：截长补短法证明线段和差关系解答题 1.（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． （1）求的度数； （2）求证：． 2.（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 3.（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，的周长等于__________． 4.（黑龙江省佳木斯市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）在 中，，点 D 与点 E 分别在、边上， ，且，点 F 与点 G分别在、边上， （1）若，，如图1，点G与点 C重合，证明：； （2）当G在线段上时，如图2，探究线段，，的数量关系，并给予证明； （3）当G在线段上时，如图3，猜想线段，，之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明． 题型4：一线三垂直模型综合解答题 1.（26-27八年级上·山东德州·阶段检测）解决问题 （1）如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 2.（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 3.（24-25七年级下·广东湛江·期末）如图，，且，，且，，，点F、A、G、C、H在同一条直线上，按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 4.（26-27八年级上·吉林四平·阶段检测）等腰直角三角形既是特殊的直角三角形，又是特殊的等腰三角形；基于其边角特征判定全等三角形的过程中提炼了常见的一个全等结构（如图①），一些复杂的问题可以转化成这样的全等结构进行解决． 【理解探究】 （1）如图①，在中，，．点正好落在直线上，直线与直线的交点不在边上，分别作于点，于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明； 【转化应用】 （2）如图②，与均为等腰直角三角形，，且、、在同一直线上，连接．已知，，则________； （3）在中，，，，．直线经过的直角顶点交斜边于点，，，动点在直线上，动点在所在直线上．若以点、、为顶点的三角形与全等（如图③），直接写出所有满足条件的的长． 题型5：折叠背景下三角形角度与边长综合压轴解答题 1.（25-26七年级下·甘肃天水·期末）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： （1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，试猜想与，之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： （2）如图②，若点落在四边形的边CD下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 2.（25-26七年级下·福建漳州·期中）如图，现有长方形纸片，将沿对角线折叠，得到，与相交于点，将沿折叠，得到．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·山西·阶段检测）如图，在中，，将折叠，折痕与交于点，点的对应点为，过点作于点，连接．若平分，且，，则的长为__________． 4.（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 题型6：等腰三角形存在性分类讨论解答题 1．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． （1）直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ （2）在（1）的条件下，若，，求的周长； （3）如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图1，为等边三角形，顶点坐标分别为，，，动点分别从点，同时出发，点运动到点停止，点运动到点停止． （1）的值为_____； （2）若点，点运动速度相同，求证：； （3）如图2，动点从点开始，沿着轴的正方向运动，以为边长作等边，连接并延长交轴于点．点在运动时，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． （1）当点在上时，求的长；（用的代数式表示） （2）当运动时间为4秒时，求的面积； （3）当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，已知中，厘米，厘米，，点为的中点，如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动． （1）若，经过秒后，此时与是否全等？请说明理由． （2）若，当，为何值时，能够使与全等？请说明理由． （3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求此时的度数，若不存在，请说明理由． 题型7：将军饮马复杂模型多场景线段和最值探究压轴题 1．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由． 2．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）最短路径问题例：如图①，要在街道旁修建一个奶站，向居民区，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使，到它的距离之和最短？ 解：如图②，只有点关于直线的对称点与点，在同一条直线上时，才能使的值最小，作点关于直线的对称点，然后连接，交直线于点，则就是所求的点． 应用： 如图③，是锐角内部任意一点，在的两边，上各取一点，，组成，使它的周长最小． （1）借助直角三角尺在图③中找出符合条件的点和点，并画出； （2）若，，请结合有一个角是的等腰三角形是等边三角形这个结论，求周长的最小值． 迁移： （3）如图④是锐角内部一条线段，在的两边，上各取一点，组成四边形，使四边形周长最小． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，直线上线段，为线段上一点，和都是等边三角形，连交于，连交于，连．    （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）若为直线上一动点，求的最小值． 4．（25-26七年级下·重庆南岸·期末）唐代诗人李颀的诗句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，引出一系列有趣的数学问题，通常称为将军饮马问题． （1）如图①，若点和点分别在直线的两侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值，并写出作图依据； （2）如图②，若点和点分别在直线的同侧，请作示意图，在直线上找点，使得有最小值； （3）如图③，定点在内部，点，分别在射线，上，请作示意图，确定点，，使得的周长最小． 题型8：动点条件下两三角形全等成立条件探究解答题 1.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，为直线上一动点，连接，在直线的右侧作，且，过点作，垂足为． （1）如图1，当点在线段上时，求证：； （2）如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点，判断与的数量关系，并说明理由； （3）当点在直线上时，连接交直线于点；当的面积为9，的面积为27时，则的面积为______． 2.（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，，动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持，若点的运动时间为，则当______ 秒时，与全等． 4.（26-27八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，中，，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．设运动时间为秒． （1）当为何值时，、两点相遇； （2）在某时刻分别过点和点作于点，于点，求当为何值时，与全等． 题型9：平面直角坐标系中全等与轴对称综合几何解答题 1.（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，（为实数），过点作，． （1）若点，求的值； （2）若，求点的坐标； （3）若点一定不落在第四象限，请直接写出的取值范围． 2.（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，且，点、分别在、轴正半轴上，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3.（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，动点，分别按照和的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线经过原点，过，分别作的垂线段，垂足分别为，．若点的速度为每秒2个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，记点的运动时间为秒，当与全等（，不能重合）时，的值为________． 4.（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，点在轴上，点在第二象限，．                       （1）在线段上找一点，使得，连接、，求证：； （2）将绕点逆时针旋转，使得点落在轴正半轴上． 如图，轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则与有怎样的数量关系？并说明理由， 如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于点下，在滑动的过程中，是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由． 题型10：等腰（边）三角形结合全等的探究性证明解答题 1.（25-26七年级下·广东茂名·期末）【模型构建】 如图①，两个等腰和中，，，，点A为公共顶点，连接，．可探究和的数量关系． （1）求证： 【深入探究】 （2）如图②，和为等腰直角三角形，，判断、的数量关系并证明； 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，点M为的中点，以为边在下方构造等边，连接、、．已知点M到的距离为1，的面积为3.6，求的值． 2.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知和都是等边三角形，且三点共线，与交于点与交于点与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤平分．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（26-27八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，，点M在边上，，， 点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x的取值范围是_________________ 4.（25-26八年级下·贵州毕节·期末）根据题意解答下列问题． （1）【问题发现】如图1，和均为等边三角形，连接，，延长，交于点，则与之间的数量关系是_____，的度数是_____°； （2）【拓展探究】如图2，和均为等腰三角形，，，，点，，，在同一直线上，为的中线，连接，若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $