精品解析：江苏镇江市句容碧桂园学校2026-2027学年高二第一学期10月月考数学试题

句容碧桂园学校2026~2027学年第一学期10月月考模拟 高二数学 一、单选题 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 过、两点的直线方程是 （  ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 4. 设是等比数列的前项和，若 ， ，则（      ） A. 21 B. 28 C. 49 D. 56 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列的前项和为，，，则=（  ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 8. 已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 使成立的最大正整数为 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 D. 过，两点的直线方程为 11. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 三、填空题 12. 两平行直线与间的距离为______． 13. 已知，直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 14. 已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 四、解答题 15. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 设数列满足递推关系：且， （1）设，求证：数列是等差数列； （2）求出数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和 18. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. （3）求数列的最大值. 19. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 句容碧桂园学校2026~2027学年第一学期10月月考模拟 高二数学 一、单选题 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设的倾斜角为，则，由经过，两点，得斜率，故. 2. 过、两点的直线方程是 （  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的截距式定义求解. 【详解】根据截距式方程得出 过、两点的直线方程是 . 故选：A. 3. 设等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，因为，得到， 所以，又，所以，解得. 4. 设是等比数列的前项和，若 ， ，则（      ） A. 21 B. 28 C. 49 D. 56 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】或重合解得或 若，则 若，则重合 所以，，即充分必要条件. 6. 已知数列的前项和为，，，则=（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数列的递推公式判断出数列为周期数列，再根据数列的周期性求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：D. 7. 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 8. 已知直线和，两点，若直线l上存在点C使得最小，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为，求出，进而联立直线与的方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 当三点共线时，最小， 则由题意得，，解得，即， 则，则直线，即， 联立，得，， 故点C的坐标为. 二、多选题 9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 使成立的最大正整数为 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，由 得 ， 即 ，整理得 ，解得. 所以，， A： ，正确. B： ，当时取最小值，正确. C：由 且为正整数得 ， 故使成立的最大正整数为（ ，而不小于），C错误. D： ，正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为 C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 D. 过，两点的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截距式判断A选项，根据平行与交点坐标求参数的值判断B选项，直线在两坐标轴上截距相等也可能是直线经过坐标原点以此判断C选项，由两点式判断D选项. 【详解】由直线的截距式方程可知直线在轴上的截距为，故A选项正确； 当直线与直线平行，即时三条直线不能构成三角形， 当直线与直线平行，即时三条直线不能构成三角形， 当三条直线相交于同一点时此三条直线不能构成三角形，联立解得，把点代入直线可得，所以实数a的取值集合为，故B选项错误； 过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为和，故C选项错误； 由直线的两点式方程变形可得出过，两点的直线方程为，故D选项正确； 故选：AD 11. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据前项和的大小关系推导得，再结合等差数列性质逐一判断选项. 【详解】选项A，由题意得，，所以公差，A错误； 选项B，由可知为递减数列，由A得，故时最大，B正确； 选项C，因为为递减数列且，所以， 由得，所以 ，， 因为，所以，即，C正确； 选项D，， 所以使得成立的最小自然数，D错误. 三、填空题 12. 两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 13. 已知，直线与线段有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求直线的定点，再求端点，利用数形结合即可求解. 【详解】由，得. 令得则直线过定点， 故. 设直线的斜率为，则或， 由图像可有：或， 解得或. 故答案为：. 14. 已知为等差数列，定义数列满足：，记为数列的前项和，已知，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质求出数列的通项公式，再结合等差数列求和公式以及分组求和即可. 【详解】因为为等差数列，所以，得， 则， 得， 故数列的公差为， 故， 故 四、解答题 15. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边上的高所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）． （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合截距写出直线方程； （2）先算出的斜率，利用两直线垂直斜率之积为得到高的斜率，代入点C求直线方程； （3）求出中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程． 【小问1详解】 因为， 所以直线的斜率，直线在轴上的截距， 故直线的方程为，即． 【小问2详解】 由已知， 由得：，解得， 直线过点，则直线的方程为：，即． 【小问3详解】 取中点，则，， 设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为，即． 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 则 . 17. 设数列满足递推关系：且， （1）设，求证：数列是等差数列； （2）求出数列的通项公式； （3）设，求数列的前项和 【答案】（1）证明： ∵， ∴，即， ∴数列是等差数列，且公差，其首项为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用递推关系式可整理出，从而证得为等差数列； （2）根据等差数列通项公式求解出，进而得到； （3）由（2）可得，利用裂项相消法求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，则； 【小问3详解】 由（2）可知， 则， ∴． 18. 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. （3）求数列的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用等比中项的性质求解，再计算数列的通项公式； （2）先计算数列的通项公式，再使用错位相减法求解； （3）使用作差法分析数列的增减性求解最大值. 【小问1详解】 由题意知，即，解得，则. 【小问2详解】 因为， 则， 可得， 两式相减得 即， 所以. 【小问3详解】 由（2）知 当为奇数时，， 当为偶数时，令，，令， ， 时，因为，所以，即是递减函数， 则是递减数列，， 综上，数列的最大值为：. 19. 已知直线：. （1）求直线所过的定点A的坐标； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变为，利用直线的点斜式得到直线恒过的定点； （2）由直线不经过第四象限，结合图像得到的范围； （3）由直线恒过的定点，结合图像可知，当时，d取得最大值，求出此时的直线的斜率，利用两直线垂直，在斜率存在的情况下，斜率之积为，求出直线的斜率，利用直线的点斜式得到直线的方程. 【小问1详解】 直线的方程为，则，因此直线恒过定点. 【小问2详解】 如图1，若直线不经过第四象限，则. 【小问3详解】 由（1）知直线恒过定点. 如图2，当时，d取得最大值，此时直线的斜率. 则直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 所以直线的一般式方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $