精品解析：海南华侨中学2026-2027学年高一年级上学期第一次阶段考试数学试卷

海南华侨中学2026-2027学年高一年级上学期第一次阶段考试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 2. 下列各式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 【详解】对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. 故选：B. 3. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】由得不到，如，故充分性不成立， 反之，由可以得到，故必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选:C. 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据Venn图确定阴影部分为，然后再由集合的运算求解. 【详解】由已知得， 所以阴影部分为. 5. 设，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法分析判断. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 6. 学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划．如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上．若欲建一条长为米的走廊，当的面积最大时，的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】设 ，，因为 ，且，所以由勾股定理可得， 又三角形的面积， 要使面积最大，只需使 最大， 由基本不等式可得，当且仅当 时取等号， 结合可得当时，的面积取最大值，此时 7. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解充要条件的范围，即可根据真子集关系求解. 【详解】若，，则，因此，即， 因此“，”的充分必要条件是：， 由于， 因此“，”的一个充分不必要条件是：. 8. 设集合，，若中恰含有个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解集合在实数集下的补集，对二次不等式因式分解后分类讨论的取值，结合集合的范围，根据交集中整数的个数确定的取值范围。 【详解】， 当时，，此时，不满足要求； 当时，，此时，不满足要求； 当时，，若中恰含有3个整数，则. 此时内整数恒为三个，满足条件. 综上，的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论集合中的参数和，再利用子集关系求解. 【详解】由，可知. 当时，，此时，满足条件. 当时，，则有或， 解得或. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】取特殊值即可判断AC，利用作差法即可求解BD. 【详解】对于A,取，满足，，但是，故A错误， 对于B，，由于，所以，因此，故，B正确， 对于C,取，满足，但此时，不满足，故C错误， 对于D，，由于，故，因此，故，D正确. 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性来确定参数的取值即可. 【详解】因为， 则当时，那么，不符合集合元素的互异性，不满足题意， 当时，，集合为满足题意， 所以实数的值为4 故答案为：4 13. 已知，，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】先分别求解两个一元二次不等式得到集合与，再根据集合交集的定义计算二者的交集. 【详解】解不等式，，解得，即. 解不等式，，，解得或，即或. 由交集的定义，或. 14. 设是非空数集，定义集合且中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则________；若集合，且，则正整数的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“容量”定义，先确定两不同元素和的取值范围，验证范围内所有整数均存在，得到的通式后代入求解. 【详解】当时，任取，两数和的最小值为，最大值为， 且区间内的所有整数均可由中两不同元素相加得到， 去重后元素总数为，故. 当时， 两不同元素和的最小值为，最大值为. 对任意整数，均存在不同的满足， 所以. 令，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设，集合，． （1）写出集合的所有子集； （2）求，． 【答案】（1） 的所有子集为 . （2）若 ，则 ；若 ，则 . 若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 . 【解析】 【小问1详解】 ， 所以 的所有子集为 . 【小问2详解】 ， 若 ，则 ； 若 ，则 . 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 . 16. 已知，，． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）由不等式的性质，因为，所以 ，又因为，所以， 所以，两边同时乘， 所以. （2） 【解析】 【分析】(1)由不等式的性质证明即可；（2）由，可得，又由，得，于是，利用对勾函数的性质可知. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，可得， 因为，所以，解得. 所以， 当且仅当，即时取等号. 又因为，由对勾函数性质可知， 17. 已知集合，，定义集合． （1）若，求； （2）给出以下两个条件：①且；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2）若选条件①，实数的取值范围为；若选条件②，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）代入的值求出集合，根据集合差的新定义直接运算得解； （2）①将所选条件转化为集合间的真包含关系，分为空集、非空集两种情况列不等式组求解；②将充分不必要条件转化为 ，列不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合. 又，由的定义， 可得：. 【小问2详解】 选择条件①：由，结合 ， 得：，又， 得，结合得 . 当时，，解得； 当时，需满足，解得. 综上，实数的取值范围为. 选择条件②：若，则恒成立，此时无法推出． 故， 再由“”是“”的充分不必要条件， 得“”是“”的充分不必要条件，即 ， 所以，得，不等式组无解，故实数的取值范围为. 18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 【答案】（1），且； （2）11 【解析】 【分析】（1）由题意得到不等式，求出，结合和实际意义得到的取值范围； （2）由题意得到不等式，参变分离得到恒成立，由基本不等式求出，求出，得到答案. 【小问1详解】 ， 解得， 又，故的取值范围为，且； 【小问2详解】 ， 整理得恒成立， 因为，且，由基本不等式得 ，当且仅当，即时，等号成立， 故，所以的最大值为11. 19. 法国数学家弗郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根，有如下关系：，．韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程．例如：，，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值； （3）用列举法表示集合二次函数有两个不同的非零零点，且． 【答案】（1） （2）22或37 （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，是一元二次方程的两个根，利用韦达定理求值即可；（2）由题可知，是一元二次方程的两个根，解得或，分别计算的值即可；（3）根据有两个不同的非零零点得到判别式大于且二次项系数不为零，两根之积不为零，然后利用韦达定理表示，进而利用，求得的所有取值即可得到. 【小问1详解】 因为是两个不相等的实数，且满足，， 所以是一元二次方程的两个根， 所以由韦达定理，，所以. 【小问2详解】 由题，， 设，则， 所以是一元二次方程的两个根. 解该方程可得或 当时， 当时， 综上所述，的值为22或37. 【小问3详解】 因为有两个不同的非零零点， 故，所以且， 同时需满足的判别式，解得. 由韦达定理， 所以， 所以，所以，结合， 可得可取，又因为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2026-2027学年高一年级上学期第一次阶段考试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列各式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知是实数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划．如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上．若欲建一条长为米的走廊，当的面积最大时，的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，，若中恰含有个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，若，则符合条件的实数的值可能为（ ） A. B. C. D. 0 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知，，关于x的不等式的解集为，则（ ） A. B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数的值为___________． 13. 已知，，则________． 14. 设是非空数集，定义集合且中的元素个数为集合的“容量”，记为．若集合，则________；若集合，且，则正整数的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 设，集合，． （1）写出集合的所有子集； （2）求，． 16. 已知，，． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 17. 已知集合，，定义集合． （1）若，求； （2）给出以下两个条件：①且；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 18. 十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作，该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高，而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元. （1）若动员户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求的最大值. 19. 法国数学家弗郎索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根，有如下关系：，．韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程．例如：，，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： （1）已知是两个不相等的实数，且满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值； （3）用列举法表示集合二次函数有两个不同的非零零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $