浙江省杭州第二中学2026-2027学年高二上学期数学周练5

杭州二中2026学年高二（上）周练5 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．椭圆的焦距为（    ） A． B． C．2 D． 3．已知两点到直线的距离分别为，则满足条件的直线共有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．如图，圆柱的底面直径为3，母线长为4，，分别为该圆柱的上、下底面的直径，且，则三棱锥的体积是（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 5．已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 6．已知为曲线上任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A、B两点，M为线段AB的中点．下列结论中正确的是（    ） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为，则直线方程为 C．若直线方程为，则点M坐标为 D．若直线方程为，则 10．已知棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，，CD的中点，则（    ）   A． B．平面BEF C．直线AB交平面EFC于点P，则 D．点到平面BEF的距离为 11．已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为，，，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是__________. 13．已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，椭圆上的点分别在第一､二象限内，若与的面积相等，且，则的离心率为__________. 14．正方体中，设顶点A关于平面C1BD和直线B1D的对称点分别为P、Q，则直线PQ与平面A1BD所成角的正弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 16．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：与y轴交于O，P两点，圆过O，P两点且与直线：相切. （1）求圆的方程； （2）若直线：与圆，圆的交点分别为点M，N（不同于原点），试判断线段MN的垂直平分线是否过定点；若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 17．如图所示，在四棱锥中，底面，，，与交于点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 18．已知椭圆的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左顶点为A，下顶点为，线段交轴于点，线段交轴于点，若的面积是的6倍，求点的坐标； (3)点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点S，当最大时，求直线方程． 19．已知椭圆的离心率为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为． （I）证明：； （II）求四边形面积的取值范围． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《杭州二中2026学年高二（上）周练5》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D A C B A BD BCD 题号 11 答案 BCD 1．D 【分析】根据直线方程确定斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角大小. 【详解】由于直线的斜率为，故该直线的倾斜角为. 故选：D 2．B 【分析】根据椭圆方程写出，利用公式即可求得. 【详解】由可得，则椭圆的长半轴长为短半轴长为， 则其焦距为. 故选：B. 3．C 【分析】根据条件，将问题转化成以为圆心，半径分别为的两圆的公切线的条数，再判断出两圆的位置关系，即可求解. 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 又，所以圆和圆外切， 当直线与圆和圆均相切时，两点到直线的距离分别为， 所以满足条件的直线共有条， 故选：C. 4．D 【分析】取的中点，连接，，证得平面，利用三棱锥的体积计算即可. 【详解】如图：过上底面中心，作与下底面直径平行的直线，连接，， 则且， 因为，所以， 根据圆柱的性质可知，， 则，，又，，平面， 所以平面， 所以． 故选：D． 5．A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 6．C 【分析】根据条件可得曲线是以为圆心，半径为的半圆，又表示点与连线的斜率，再数形结合，即可求解. 【详解】由，得到，由，得到， 又易知，所以曲线是以为圆心，半径为的半圆，其图象如图所示， 因为表示点与连线的斜率， 令，得到， 由图知，当与半圆相切时，有，整理得到， 解得或（舍），此时最小， 当过点时，最大，此时 综上，的取值范围是， 故选：C. 7．B 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足， 则， 故点在直线上，点在直线上， 而表示点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 最小值为， 故选：B 8．A 【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线. 设，则，. 故，解得.又，所以，. 所以. 故选：A. 9．BD 【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC；对于D，直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误． 【详解】由题意可知：， 对于选项A：设， 则，且， 因为A、B两点在椭圆上，则，相减可得， 整理可得，即， 所以直线AB与OM不相互垂直，故 A错误； 对于选项B：因为， 若点M坐标为，则，可得， 所以直线方程为，即，故B正确； 对于选项C：若直线方程为，点，则， 可得，所以C错误； 对于选项D：若直线方程为， 联立方程，消去y整理得：，解得， 所以，故D正确； 故选：BD． 10．BCD 【分析】对于ABD，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可，对于C，延长交于点，连接交于点，然后利用三角形相似可求得结果. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 因为E，F，G分别为棱，，CD的中点， 所以， 对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，因为， 所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面，所以B正确， 对于C，延长交于点，连接交于点，因为F为棱的中点， 所以，因为，所以， 所以， 因为‖，所以，所以, 因为，所以，所以，所以C正确，    对于D，设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，所以点到平面BEF的距离为 ，所以D正确， 故选：BCD    11．BCD 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 12． 【分析】由题意直线恒过的定点在椭圆上或椭圆内，结合表示焦点在轴上的椭圆，即可列不等式求解. 【详解】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，. 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，由两个三角形面积相等可得，将点的坐标代入椭圆方程，结合条件化简即可得到关系，再根据离心率公式即可得到结果. 【详解】 因为与的面积相等，且， 则，即，所以， 将坐标代入，可得， 化简可得，即， 所以，且， 所以，即， 则离心率为， 故答案为: 14． 15．(1) (2)或 【分析】（1）由可得，进而检验求解即可； （2）将点的坐标代入直线的方程中，求出的值，从而可得点的坐标，然后再分直线的截距为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. （2）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 16．（1）；（2）是，. 【分析】（1）对于圆的方程,令即可求得的坐标.设出圆的方程,将的坐标代入,结合即可求得圆的方程. （2）联立直线与圆,求得交点的坐标, 联立直线与圆可得点坐标.进而求得线段的中点坐标.当斜率时,表示出线段的垂直平分线方程,即可求得所过定点坐标;当时,由和点坐标,即可求得线段的垂直平分线过的定点坐标. 【详解】（1）：,令,得,,故, 设圆的方程 将,的坐标代入圆的方程得,,故 由题意知,得 故圆的方程为 （2）由得 由得 线段的中点为 当时,线段的垂直平分线方程为 即 此时线段MN的垂直平分线过 当时,, 此时线段的垂直平分线为,也过 综上可知, 线段的垂直平分线所过定点的坐标为 【点睛】本题考查了圆的方程求法,直线与圆的位置关系的应用,直线过定点的求法,综合性强,属于难题. 17．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，根据比例关系证明；（2）根据垂直关系，以直线为轴，直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，分别求平面和平面的法向量，再根据公式求二面角的余弦值. 【详解】解析（1）由已知可得， ∴且为的中点， 由，，得，， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）以直线为轴，直线为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，. ∴，，. 设平面的法向量，则， 令，得. 设平面的法向量，则， 令，得. ∴， ∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为. 【点睛】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路： 一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大； 二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角. 18．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意列出方程组求出得解； （2）根据三角形面积公式及面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可； （3）利用直线斜率之积为常数，转化为斜率之间的关系，再由两角差的正切公式及基本不等式求解即可． 【详解】（1）由题意，，则， 椭圆方程为： （2）如图， 设，则， 对，令， 所以由相似三角形可得：， 所以， 又因为，所以，， 解得或，所以对应的分别为或， 所以或． （3）设， 则， 则． 又因为， 所以，则， 设，直线倾斜角为，直线倾斜角为， 所以， 则， 因为，所以，此时， 所以直线方程为． 【点睛】关键点点睛：第二问关键将三角形面积比，利用相似转化为关于点的坐标的方程，求解即可；第三问关键是将最大问题转化为正切值的最值，结合基本不等式计算.综合性较强，属于中难题. 19．(1) (2)（I）证明如下： 当，时，此时可得：， 显然， 同理：当，时，或，时， 都有， 当时， 设， 再设， 因为直线与椭圆相切， 联立，得， ， 即， 即， 同理，设， 联立椭圆与直线的方程可得， 得 ， 即， 即， 所以是关于的方程的两根， 所以，又， 可得：， 所以， 综上可证：； （II） 【分析】（1）由离心率及焦距列出等式求解即可； （2）（I）设，联立椭圆方程，由，得到，再由，联立椭圆方程得到，从而得到是关于的方程的两根，由韦达定理即可求证；（II）先确定直线的方程为：，结合弦长公式及点到线的距离公式，得到四边形面积表达式即可求解. 【详解】（1）由题意可得：， 可得：， 又，得， 所以椭圆方程为 （2）    （I）略 （II）先证：过椭圆：（）上一点的切线方程为； 证明：当斜率存在时，设切线方程为，联立椭圆方程， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点的切线方程为； 设， 所以，， 所以，， 所以直线的方程为：，又， 可得：， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 联立， 可得：， 得， 所以， 所以四边形面积的 ， 又， 所以, 即四边形面积的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $