2.1 代数式讲义 2026-2027学年沪科版七年级数学上册

2.1 代数式 · 讲义 2.1 代数式 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　列代数式与代数式的意义 2 题型 1　和差倍分与总量列式 3 题型 2　代数式的概念与书写规范 5 题型 3　实际情境列式 6 题型 4　字母表示数的意义 11 题型 5　实际问题建模 11 微专题 2　代数式的值 14 题型 1　直接代入求值 15 题型 2　整体代入求值 16 题型 3　相反数倒数与分类讨论 18 微专题 3　单项式 20 题型 1　单项式的概念与系数次数 21 题型 2　单项式规律与表示 22 微专题 4　多项式与整式 23 题型 1　多项式的项与次数 24 题型 2　整式的归类 26 题型 3　次数综合求参 28 微专题 5　规律探究与综合应用 29 题型 1　数字与图形规律 29 题型 2　面积与综合应用 32 一、本讲导航 学习目标 1．理解代数式的概念，会判断一个式子是否为代数式，掌握列代数式的"审—设—列—代"四步。 2．能根据实际情境列代数式并说明其意义，掌握代数式的书写规范与单位处理。 3．理解代数式的值的意义，掌握直接代入、整体代入与分类讨论三种求值思路。 4．掌握单项式的系数与次数、多项式的项与次数，会判断整式并解决已知次数求参数的问题。 5．能从特殊情形归纳一般规律，用代数式表示一类数量关系，体会"字母表示数"的普适性。 重点与难点 重点　列代数式；代数式的值（整体代入、分类讨论）；单项式与多项式的系数、次数。 难点　① 实际问题中数量关系的辨析（谁与谁相乘、谁与谁相加）；② 已知次数反求参数时的"解后检验"；③ 规律探究中从特例归纳通项。 知识网络 代数式 →（列式）列代数式 →（求值）代数式的值 →（结构）单项式 / 多项式 →（统称）整式 →（应用）规律探究与实际建模。 微专题 1　列代数式与代数式的意义 模块导学 列代数式与代数式的意义 把实际问题中的数量关系用含有字母的式子表示出来，是本章的起点。核心是"审—设—列—代"四步：先审清题意找出已知量与未知量，再用字母表示未知量，接着按运算关系列式，最后按规范书写并标注单位。 知识梳理 知识点 1　用字母表示数（重点） ① 用字母表示数：现实情境中，表示数量关系时可以用数字表示，也可以抽象成字母来表示，体现了从特殊到一般的数学思想；用含有字母的式子表示数量关系时，字母和数一样可以参与运算。 ② 示例：边长为 a cm 的正方形的面积是 a² cm²；一本笔记本 5 元、一支钢笔 6 元，买 m 本笔记本、n 支钢笔共需 元。 ③ 数学文化：法国数学家韦达（1540—1603）是第一个有意识地、系统地使用字母表示数的人，使字母表示数成为数学中的通用语言。 ④ 书写规定：数与字母相乘省略乘号；带分数与字母相乘先化成假分数；除法写成分数线；式子是和差形式且后面带单位时，要把式子用括号括起来，如 元。 ⑤ 点睛：式子后面有单位且式子是和或差的形式时，要把式子用括号括起来。 知识梳理 知识点 2　列代数式（重点） ① 步骤：审——读题找出已知量、未知量与数量关系；设——用字母表示相关的量；列——按运算关系写出式子；检——检查运算顺序与单位。 ② 常见数量关系：路程 = 速度×时间；总价 = 单价×数量；逆流速度 = 静水速度−水流速度；利润 = 售价−成本。 ③ 易错："比 x 的 2 倍多 3 的数"先乘后加得 ；列式后结果应化简。 ④ 图形面积：组合图形常用"补形"或"割补"转化为规则图形面积的和差。 题型 1 和差倍分与总量列式 　　例 1　　　★　在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　分别计算三种商品的费用，相加得总支付金额． 解：个“麋鹿王”费用为元，个“盐小勺”费用为元，个“盐小饼”费用为元， 总金额为元． 　　答案　　　A 　　变式 1　　　★　一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　根据题意得出不答或答错的题数，列式可得结论． 解：由题意得，该生不答或答错了道题，则答对得分为分，扣分为分， 所以他的成绩为． 　　答案　　　A 　　变式 2　　　★　冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　首先明确题目中的数量关系，已知每串冰糖葫芦需要5个山楂，要求n串的总山楂数，确定这是乘法应用问题．因为总个数等于单串所需个数乘以串数，所以可根据这个数量关系列出对应的代数式．结合代数式的书写规范，得到对应表达式后匹配选项即可． 解：∵每串冰糖葫芦穿5个山楂，共串， ∴需要山楂的个数为． 　　答案　　　B 　　变式 3　　　★　在一次植树活动中，某班共有a名男生每人植树3棵，共有b名女生每人植树2棵，则该班同学一共植树（　　）棵． A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 解：男生共植树棵，女生共植树棵，全班植树总棵数为棵． 　　答案　　　C 　　变式 4　　　★　用表示一个奇数，则与它相邻的下一个奇数可以表示为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查列代数式，根据相邻的两个奇数的差值为2，列出代数式即可． 解：与相邻的下一个奇数为． 故选：D． 　　答案　　　D 　　变式 5　　　★　一个两位数，十位数字为5，个位数字为，则这个两位数为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查列代数式，根据两位数的表示方法，进行表示即可． 解：由题意，这个两位数为； 故选C． 　　答案　　　C 　　例 2　　　★　买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买3个足球和2个篮球共需（　　）元 A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　此题考查了列代数式，注意字母的含义．用买足球的钱加上买篮球的钱即可． 解：∵买一个足球需m元，买一个篮球需n元， ∴买3个足球和2个篮球共需：元． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 6　　　★　一辆动车以的平均速度行驶了th，则它行驶的总路程s为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查列代数式，关键知道路程=速度×时间，从而可列出代数式． 根据“路程=速度×行驶时间”即可求解． 解：一辆动车以km/h的平均速度行驶了h，则它行驶的总路程为. 故选：A. 　　答案　　　A 　　变式 7　　　★★　小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢，则他数过的车厢节数是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　数车厢"包含两端"：从第 m 节数起、一直数到第 n 节，节数 = 。可用特例检验：从第 2 节数到第 5 节共 4 节，。 　　答案　　　D 　　例 3　　　★★　一个长方形的周长为，长为，则这个长方形的宽为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　由长方形周长公式得 长+宽 = 周长÷2，所以 宽 = （米）；注意先把周长除以 2 再减长，运算顺序不能错。 　　答案　　　D 题型 2 代数式的概念与书写规范 　　变式 8　　　★　下列语句正确的是（　　） A．不是代数式　　　B．0是代数式　　　 C．是代数式D．单独一个字母a不是代数式 思路分析　单独的一个数或一个字母也是代数式，所以 0 是代数式；、S=πr²（π 是常数）也都是代数式；含等号的是等式、含不等号的是不等式，都不算代数式。 　　答案　　　B 　　变式 9　　　★　下列代数式中，符合书写规范的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　书写规范四条：数字在前字母在后、乘号省略或写作"·"、除法写成分数线、带分数化成假分数。含"÷"、带分数、乘号在末尾的写法都不规范。 　　答案　　　C 　　变式 10　　　★★　下列对代数式的意义表述正确的是（　　） A．与x的和　　　B．与x的差　　　 C．与x的积　　　D．与x的商　　　 思路分析　−3x 表示 −3 与 x 的积——数字与字母相乘，读作"−3 与 x 的积"。 　　答案　　　C 　　变式 11　　　★★　在式子，，5，m，，，中，代数式有（　　） A．6个　　　B．5个　　　 C．4个　　　D．3个　　　 思路分析　判断代数式：含等号的是等式、含不等号的是不等式，都不算代数式；5、m 单独一个数或字母也算；数一数剩下的个数即可。 　　答案　　　C 题型 3 实际情境列式 　　例 4　　　★★　一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数用代数式表示是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　十位数字是 x 表示 x 个十，即 10x；个位数字是 y，所以这个两位数是 。 　　答案　　　D 　　变式 12　　　★　某城市居民用水每吨2.85元，某户本月底水表显示为（单位：t），上月底水表显示为（单位：t），则本月应交水费＿＿＿＿＿＿＿＿元． 思路分析　先求出本月实际用水量，再根据总价等于单价乘用水量计算应交水费． 解：本月实际用水量为本月底水表读数减去上月底水表读数，即， ∵每吨水的价格为元， ∴本月应交水费为元． 　　答案　　　 　　变式 13　　　★　湘潭县石鼓镇油纸伞是省级非物质文化遗产．据统计，年石鼓镇油纸伞年产值约为3亿元，年年产值比年增加了亿元，年年产值约是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿亿元． 思路分析　已知年年产值，年年产值比年增加亿元，直接用加法计算年年产值即可． 解：年年产值为亿元，年年产值比年增加亿元， 年年产值为亿元． 　　答案　　　/ 　　变式 14　　　★★　用字母表示： （1）乘法对加法的分配律＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，面积是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　（1）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （2）用长方形的长除以2，计算出长方形的宽，再根据长方形的周长=（长+宽）×2，面积=长×宽即可解答． （3）根据三角形的周长等于三边的和，解答即可． （4）一个平行四边形的一边长为a，这条边上的高是这条边长的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可求出平行四边形的高是多少，再根据平行四边形的面积=底×高进行解答即可． 解：（1）乘法对加法的分配律：； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是，面积是； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，故该边上的高为， 故这个平行四边形的面积是． 　　答案　　　　　　　　　　　　　 　　变式 15　　　★★　一个长方形的长是米，宽是米，四个这样的长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长是米，或米，还可能是米． 思路分析　四个相同的长方形拼大长方形共有3种不同拼接方式，分别求出每种拼法的长和宽，再用长方形周长公式计算即可． 解：长方形周长公式为，分三种情况计算： 情况一：四个小长方形沿长依次拼接： 此时大长方形长为，宽为， 周长为； 情况二：四个小长方形沿宽依次拼接： 此时大长方形长为，宽为， 周长为； 情况三：两个沿长拼接，再沿宽拼为两层，即2行2列排列： 此时大长方形长为，宽为， 周长为． 　　答案　　　　　　　　　 　　变式 16　　　★★　如图，绿绳的长度是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿米（转弯处忽略不计）． 解：由图形得绿绳的长度是米． 　　答案　　　 　　例 5　　　★★　下列表述不正确的是＿＿＿＿＿＿． ①如果一辆汽车平均1小时行驶y千米，那么以这样的速度再过3小时，这辆汽车又行驶了千米； ②如果用y表示一本书的价格，那么可以表示买3本这种书的总价； ③某景区旺季门票价格是淡季票价的3倍，如果旺季票价每人为y元，那么淡季票价为每人元； ④如果一个等边三角形的边长为y厘米，那么它的周长是厘米． 思路分析　本题考查了列代数式及代数式的实际意义，通过分析每个表述中代数式的实际意义，判断其正确性． 解：表述①中，汽车速度，3小时行驶距离为速度乘以时间，即千米，正确； 表述②中，书价y元，3本书总价为单价乘以数量，即元，正确； 表述③中，旺季票价是淡季票价的3倍，旺季票价为y元，则淡季票价为元，而非元，错误； 表述④中，等边三角形边长y厘米，周长为3倍边长，即厘米，正确． ∴不正确的是③． 故答案为：③． 　　答案　　　③ 　　变式 17　　　★　写出一个含字母的一次式，满足当时，它的值等于5，这个式子可以是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 解：当时，它的值等于5， 这个式子可以是． 　　答案　　　（答案不唯一） 　　变式 18　　　★　一本故事书有页，小华每天看15页，看了天，还剩＿＿＿＿＿页没有看；当、时，还剩＿＿＿＿＿页． 思路分析　总页数减去已经看的页数等于剩余没看的页数，已经看的页数为每天看的页数乘看的天数，代入数值计算即可得到结果． 解：小华天一共看了页， 总页数为页，因此剩余没看的页数为页， 当，时， 代入计算得， 因此此时还剩页． 　　答案　　　　　80 　　变式 19　　　★★　一只小猎豹的奔跑速度为．若从A地到B地的路程为，则这只小猎豹从A地到B地所用的时间为＿＿＿＿＿＿＿＿h；当时，这只小猎豹从A地到B地所用的时间为＿＿＿＿＿＿＿＿h． 思路分析　利用速度公式即可用代数式表示所用的时间，把代入代数式求值即可. 解：小猎豹的奔跑速度为千米/时，从地到地的路程为千米， 小猎豹从地到地所用的时间为：， 当时， 它所用的时间为. 故答案为：；． 　　答案　　　　　1.5 点睛　本题考查了列代数式求值，正确列出代数式并求值是解题的关键. 　　变式 20　　　★　若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查列代数式，根据长方形的面积公式，列出代数式即可． 解：由题意，； 故答案为：． 　　答案　　　 　　变式 21　　　★★　用字母表示下列运算法则： （1）“互为相反数的两个数的和为零”：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）“减去一个数，等于加上这个数的相反数”：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据题目中的语句可以用相应的式子表示，本题得以解决． “互为相反数的和为零”，用字母表示该运算法则是， “减去一个数，等于加上这个数的相反数”，用字母表示该运算法则是． 故答案为：；． 　　答案　　　　　　　 点睛　本题考查用字母表示数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式． 　　变式 22　　　★★　2024年下半年某市生产总值为a万亿元，预计2025年上半年该市生产总值比2024年下半年增加10%，则2025年上半年该市生产总值为＿＿＿＿＿＿＿＿（用含a的式子表示）． 思路分析　通过年下半年的生产总值，表示出年上半年该市生产总值，即可得出答案． 解：∵年下半年某市生产总值为万亿元，2025年上半年该市生产总值比年下半年增加， ∴年上半年的生产总值为万亿元. 故答案为：. 　　答案　　　 点睛　本题考查了列代数式，读懂题意找到题中的关系是解题的关键． 　　变式 23　　　★　已知每本笔记本m元，每块橡皮n元，小月购买了7本笔记本和3块橡皮，购买笔记本比购买橡皮多花了＿＿＿＿＿＿＿＿元． 思路分析　笔记本花 7m 元、橡皮花 3n 元，"多花"即两者之差： 元。 　　答案　　　 　　变式 24　　　★★　若x表示某件物品的标价，则式子表示的意义是＿＿＿＿＿＿＿＿ 思路分析　说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果． 解：若表示某件物品的原价，则代数式表示的意义是该物品价格下降后的售价． 故答案为：该物品价格下降后的售价. 　　答案　　　该物品价格下降10%后的售价 点睛　此题考查了代数式，此类问题应结合实际，根据代数式的特点解答． 　　变式 25　　　★★　某超市销售一款每台进价为a元的空调，标价比进价提高了35%．因销售方向调整，超市决定打八折降价销售，则每台空调的实际售价为＿＿＿＿＿＿＿＿元． 思路分析　这款空调机每台的进价为元，根据：进价××=售价，列出代数式即可． 解：这款空调机每台的进价为元，根据题意，得：元． 故答案为：． 　　答案　　　 点睛　此题考查了列代数式，正确掌握打折与进价之间关系是解本题的关键． 　　变式 26　　　★★　一辆列车上共有a人，该列车在某处停站后，上车人数是下车人数的3倍，列车驶离时车上共有b人，那么上车的人数是＿＿＿＿＿＿＿＿（用含a，b的式子表示）． 思路分析　设下车 x 人，则上车 3x 人；由"原有人数−下车+上车=现有人数"得 ，即 ，所以上车 3()/2 人。 　　答案　　　 　　变式 27　　　★★　在公式中，所有字母均不等于，若用，，表示，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　将，，视为已知常数，利用等式性质对公式变形求解即可． 解：已知，且所有字母均不为， ∵ 等式两边同时除以同一个非零数，等式仍然成立， ∴ 两边同时除以，得 移项得． 　　答案　　　 题型 4 字母表示数的意义 　　变式 28　　　★★　学习本章后，你对“字母表示数”有哪些新的认识？请谈谈你的感悟． 思路分析　从简洁表达运算律，刻画数量关系；解决实际问题，表示数量关系等方面谈谈感悟即可． 略． 　　答案　　　解：对“字母表示数”的新认识参考如下：字母可表示任意数，能简洁通用地表达运算规律，例如乘法分配律可表示为，适用于所有符合运算要求的数；字母可表示特定意义的量，能清晰刻画数量关系，例如用表示路程，表示速度，表示时间，可得关系；字母可表示未知数，能通过列方程解决实际问题，将未知量与已知量通过等式关联，简化思考过程；含字母的代数式可表示一类数量规律，例如用（为整数）表示所有偶数，能体现一类数的共同特征． 　　变式 29　　　★★　设a、b、c均为有理数，根据相应的运算律填空： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（加法结合律）； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿（乘法结合律）； （3）＿＿＿＿＿＿＿＿（分配律）． 解：（1）加法结合律：； （2）乘法结合律：； （3）乘法分配律：． 　　答案　　　　　　　　　 题型 5 实际问题建模 　　例 6　　　★★　中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … (1)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是； (2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？ 思路分析　（1）根据超出部分国内拨打元/分即可得； （2）求出当时，超出部分的电话费的值，再加上包月费186元即可得总电话费． （1）解：因为超出部分国内拨打元/分， 所以． （2）解：当时，， 则需付的电话费为（元）， 答：需付195元电话费． 　　答案　　　(1)(2)需付 195 元电话费 　　变式 30　　　★★　某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 思路分析　本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减和列代数式． （1）根据有理数的加减求出结果进行判断即可； （2）利用绝对值求出走过的路程，再利用乘以，即可求解． （1）解：． 答：出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边； （2）解： (升) 答：这天下午汽车共耗油升． 　　答案　　　(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边(2)升 　　例 7　　　★★　四川航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的支付逾重行李费． (1)若一名旅客所选航班机票票价为950元，且该旅客有行李需办理托运，求该旅客需支付的行李费用（用含的代数式表示）； (2)在（1）条件下，这名旅客托运了的行李，求该旅客购买机票连同逾重行李费共付了多少元？ 思路分析　（1）根据题意列式求解即可； （2）把代入（1）所求代数式中，求出代数式的值即可得到答案． （1）解：元， 答：该旅客需支付的行李费用为元； （2）解：当时，， （元）， 答：该旅客购买机票连同逾重行李费共付了元． 　　答案　　　(1)元(2)元 　　变式 31　　　★★　如下图，铁片正面是正方形，中间有一个半径为r的圆孔，厚度为h． (1)用式子表示这块铁片的体积V． (2)若，求的值（取3.14，结果精确到）． 思路分析　（1）铁片体积看成一个长方体的体积减去一个圆柱的体积，即可求得该铁片的体积．（2）代入题目中已知的具体数值即可求得体积的具体数值． （1）解：由题意，得铁片的体积， ． （2）解：取3.14， ． 　　答案　　　(1)(2) 点睛　本题主要考查了列代数式并求代数式的值问题．正确列代数式并准确求值是解题的关键. 　　变式 32　　　★　某同学参加了芜湖马拉松比赛的5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟千米的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为多少千米？ 思路分析　本题考查列代数式，用总路程减去他已经跑过的路程，列出代数式即可． 解：他从起点开始以平均每分钟千米的速度跑10分钟跑了千米，此时他离健康跑终点的路程为千米． 答：此时他离健康跑终点的路程为千米． 　　答案　　　千米 　　例 8　　　★★　方孔钱（如图1）是我国古代钱币的俗称，现将方孔钱抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为，正方形的边长为，求方孔钱的面积． 思路分析　本题考查列代数式，根据方孔钱的面积等于圆的面积减去正方形的面积，列出代数式即可． 解：由题意得，， 所以． 　　答案　　　 　　变式 33　　　★★★　如图，学校一花坛为长方形，它的长是，宽是，分别以，为圆心作扇形，阴影部分种植花卉． (1)用含，的式子表示种植花卉部分的周长和面积．（结果保留π） (2)若，求种植花卉部分的周长和面积的值．（取） 思路分析　（1）观察图形，阴影部分周长由两条线段与两段四分之一圆弧组成，两段圆弧合起来是半个圆；阴影面积用长方形总面积减去两个四分之一扇形（合为半圆）的面积，据此列出代数式． （2）将，代入第（1）问得到的周长与面积代数式中，计算求出数值结果． （1）解： ， ； （2）解：当，，时， ， ． 　　答案　　　(1)，；(2)，． 微专题 2　代数式的值 模块导学 代数式的值 用数值代替代数式里的字母，严格按运算顺序计算所得的结果叫做代数式的值。除直接代入外，整体代入、非负数性质与分类讨论是本模块的高频考点。 知识梳理 知识点 3　求代数式的值（重点） ① 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 ② 步骤：代入——字母取负数、分数时要加括号；计算——先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号。 ③ 易错： 时 ，两处括号都不能省。 知识梳理 知识点 4　整体代入法（重点） ① 技巧点拨：在求式子的值时，若没有直接给出相关字母的值，或无法通过已知条件直接求出式子的值，可将式子进行适当变形，利用整体代入的方法求值。 ② 示例：已知 ，求 2()−5 的值：把 整体换成 3，得 。 ③ 奇偶性：若 ax+b 在 时值为 p，则 时常可利用 与 at+b 的关系整体求出。 题型 1 直接代入求值 　　变式 1　　　★　已知，则代数式的值为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．1　　　 思路分析　本题考查了代数式求值，将代入计算即可，正确求值是解题的关键． 解：当时， ， =， =， 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 2　　　★　当时，代数式的值是（　　） A．1　　　B．　　　 C．2　　　D．　　　 思路分析　代入求值：把 、 代入，负数要加括号：。 　　答案　　　D 　　例 1　　　★★　若地球上某地的温度T（单位：℃）与高度d（单位：m）的关系可近似的用来表示，则当高度时，温度T为（　　） A．4℃　　　B．5℃　　　 C．7℃　　　D．8℃　　　 思路分析　本题考查了代数式求值，正确求出代数式的值是关键. 把代入进行运算即可. 解：当时， = = 故选：A． 　　答案　　　A 　　变式 3　　　★　若，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　由 移项得 ，所以 。 　　答案　　　4 　　变式 4　　　★　当时，代数式的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了已知字母的值，求代数式的值，把代入即可求解，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 解：当时 ， =， =， ， =， 故答案为：. 　　答案　　　33 题型 2 整体代入求值 　　变式 5　　　★★　已知方程的两根为，．记，，，则的值为（　　） A．0　　　B．1　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　观察所求式结构，提取公因式凑出方程左边的形式，结合根的定义求解． 解：∵,是方程的根． ∴,． ． 故选：． 　　答案　　　A 　　变式 6　　　★★　若与互为相反数，则的值为（　　） A．1　　　B．　　　 C．0　　　D．　　　 思路分析　绝对值和平方数均为非负数，若二者互为相反数，则两式的值都为0． 解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 　　答案　　　A 　　变式 7　　　★★　已知a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，则的值为（　　） A．1或3　　　B．或3　　　 C．1或　　　D．或　　　 思路分析　根据相反数、倒数的定义确定，的取值，再分情况代入代数式计算． 解：∵是相反数等于本身的数，是倒数等于本身的数， ∴，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为1或3． 　　答案　　　A 　　例 2　　　★★　若，则代数式的值为（　　） A．2026　　　B．2024　　　 C．2032　　　D．2034　　　 思路分析　直接将，代入代数式中即可． 解：∵， ∴． 　　答案　　　D 　　变式 8　　　★　已知有理数满足，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　利用平方和绝对值的非负性，先求出，的值，再代入所求式子计算即可． 解：∵任意有理数的平方和绝对值都是非负数，可得，， ∵， ∴， 解得，， 将，代入得． 　　答案　　　 　　变式 9　　　★★　当时，代数式的值为m．当时，代数式＿＿＿＿＿＿．（用含m的代数式表示） 解：∵当时，， ∴， 当时，代入代数式得： ， 把代入得：原式． 　　答案　　　 　　变式 10　　　★★　若，，求代数式的值． 思路分析　把，整体代入所求代数式，计算即可得出答案． 解：∵，， ∴ ． 　　答案　　　 题型 3 相反数倒数与分类讨论 　　例 3　　　★★　如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，n为最大的负整数，m是绝对值最小的有理数，则代数式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据相反数、倒数的定义，以及特殊数的性质，得到相关代数式和字母的值，再整体代入计算即可． 解：∵、互为相反数，、互为倒数，为最大的负整数，是绝对值最小的有理数， ∴，，，， ∴ ． 　　答案　　　 　　变式 11　　　★★　已知，，，且表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，则的值为＿＿＿＿＿＿． 思路分析　观察数轴得：，再由绝对值的性质可确定a，b，c的值，即可求解． 解：观察数轴得：， ∵，，， ∴， ∴． 　　答案　　　 　　变式 12　　　★★　当时，求下列代数式的值． (1)． (2)． 解：（1）当时，． （2）当时，． 　　答案　　　(1)(2) 　　例 4　　　★★★　求值 (1)已知． ①若a与b异号，求的值； ②若，分别求出a与b的值； (2)若，求的值． 思路分析　（1）先化简绝对值，再根据与异号，分类求的值即可； 先化简绝对值，再根据，分类求，的值即可； （2）根据，确定、的值，然后求的值． （1）解：∵，， ∴，， ∵与异号， ∴，，则； ，，则； 综上可得：或； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 　　答案　　　(1)①的值为或；②，或，(2) 　　变式 13　　　★★　若、互为相反数，、互为倒数，，求的值． 思路分析　根据相反数、倒数、绝对值的性质得出，，的取值，代入代数式计算即可． 解：、互为相反数，． 、互为倒数，． ∵，∴或． 将上述条件代入原式： ① 当时： ② 当时： 　　答案　　　原式的值为或. 　　例 5　　　★★★　已知两数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，试求的值． 思路分析　根据相反数、倒数、绝对值的定义确定，的值及x的取值，分情况代入代数式计算． 解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是， ，，， 当时，原式， 当时，原式． 　　答案　　　或 微专题 3　单项式 模块导学 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。判断关键是"式中不含加减运算（分数线除外）"，系数看数字因数（带符号），次数看所有字母的指数之和。 知识梳理 知识点 5　单项式（重点） ① 定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式，如 5、m。 ② 两个"不是"：分母中含字母的式子（如 ）不是单项式；含加法运算的式子（如 ）是多项式，不是单项式。 ③ 情境说明：「单项式学校」门口只允许单项式进入——5、a 都能进；而 、 不是单项式，不能进。 知识梳理 知识点 6　单项式的系数和次数（重点） ① 系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号）。如 3a、−2a²b 的系数分别是 3、−2；当系数是 1 或 −1 时，"1"省略不写。 ② 次数：单项式中所有字母的指数的和。如 2x²y³ 的次数是 5；单独一个非零的数，规定它的次数为 0。 ③ 易错：次数不包括数字因数的指数；圆周率 π 是常数，不是字母，不计入次数。 ④ 情境说明：单项式 −3x²y 的系数是 −3（不要漏掉负号），次数是 3（x 的指数 1 也要算进去）——系数带符号、次数算所有字母的指数和，二者不能混淆。 题型 1 单项式的概念与系数次数 　　变式 1　　　★　下列各式不是单项式的为（　　） A．3　　　B．a　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　判断单项式抓两点：①由数与字母的积组成；②分母中不含字母。单独的一个数或一个字母也是单项式，含加减运算的式子是多项式而不是单项式。 　　答案　　　C 　　例 1　　　★★　单项式的系数、次数分别是（　　） A．，2　　　B．，2　　　 C．，3　　　D．，3　　　 思路分析　系数是单项式中的数字因数（连同前面的符号，负号不能丢）；次数是所有字母的指数之和——分母在分数线下方时，a 的指数为 1、b 的指数为 2，和为 3。 　　答案　　　D 　　变式 2　　　★　在下列式子，，，中，属于单项式的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的定义是解题关键．直接利用单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单个的数或单个的字母也是单项式，进而判断得出答案． 解：，是多项式， 的分母含字母，不是整式， 是单项式. 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　★　单项式的系数是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．3　　　 思路分析　本题主要考查了单项式系数定义，掌握单项式中数字因数叫做单项式的系数是解题的关键．根据单项式系数的定义求解即可． 单项式的系数是， 故选：B． 　　答案　　　B 　　变式 4　　　★　请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：＿＿＿＿＿． 思路分析　单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有的字母的指数和是单项式的次数，根据定义可直接得到答案. 解：含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式为： 或或（答案不唯一） 故答案为： 　　答案　　　（答案不唯一） 点睛　本题考查的是单项式的系数与次数，掌握“单项式的系数与次数的含义”是解本题的关键. 题型 2 单项式规律与表示 　　例 2　　　★★　观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题考查了单项式规律探究．根据给定的单项式，抽象概括出相应的规律，即可求解．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 解：从可以观察得出第个单项式为. 当时， 故选：． 　　答案　　　A 　　变式 5　　　★★　设n是任意一个整数，则说法错误的是（　　） A．任意一个偶数都能用4n表示　　　B．有的偶数不能用4n表示　　　 C．2n可以表示任意一个偶数D．n的奇数倍不一定是奇数 思路分析　偶数是 2 的倍数，都能写成 2n（n 为整数）；而 4n 只能表示 4 的倍数，像 6、10 这样的偶数就表示不了——所以"任意一个偶数都能用 4n 表示"是错误的。 　　答案　　　A 　　例 3　　　★★　若单项式是关于的九次单项式，那么＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题考查了单项式的次数，根据单项式的次数的定义即可求解，掌握单项式的次数的定义是解题的关键． 解：∵单项式是关于的九次单项式， ∴， ∴， 故答案为：． 　　答案　　　 微专题 4　多项式与整式 模块导学 多项式与整式 几个单项式的和叫做多项式，多项式的次数是次数最高项的次数。单项式与多项式统称整式。已知次数反求字母指数、判断几次几项式是主要题型。 知识梳理 知识点 7　多项式（重点） ① 定义：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ② 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式。 ③ 情境说明：多项式 自称"次数是 2"是错误的——它的各项次数都是 1，应叫一次三项式；只有次数最高项的次数为 2 时才叫二次三项式。 ④ 注意：多项式的每一项都包括前面的符号；"三次四项式"要用汉字，不能写成阿拉伯数字。 知识梳理 知识点 8　整式（重点） ① 单项式与多项式统称整式。 ② 关系：整式分为两类——单项式（数或字母的积）与多项式（几个单项式的和）；几个单项式相加组成多项式。 ③ 易错：分母中含有字母的式子既不是单项式也不是多项式，因此不是整式。 题型 1 多项式的项与次数 　　变式 1　　　★★　下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个　　　B．4个　　　 C．6个　　　D．8个　　　 思路分析　本题考查了多项式的知识，几个单项式的和叫做多项式，结合各式进行判断即可． 解：下列式子：，，，，，，，．其中，，，是多项式，共4个． 故选B． 　　答案　　　B 　　变式 2　　　★★　多项式的各项分别是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查多项式，解题的关键是熟悉多项式概念（组成多项式的每个单项式叫做多项式的项）．根据多项式的项的定义得出答案即可． 解：多项式的项分别是：，，， 故选：． 　　答案　　　B 　　例 1　　　★★　多项式的次数及最高次项的系数分别是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　本题主要考查了多项式的相关定义，解题的关键是掌握多项式的相关定义．根据多项式的次数，系数的定义，即可解答． 多项式的次数为， 最高次项为，系数为， 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 3　　　★★　在代数式，，，，，0，中，整式有（　　）个． A．3　　　B．4　　　 C．5　　　D．6　　　 思路分析　本题主要考查了整式，掌握分母中含有字母的式子是分式，分母中不含有字母的式子是整式是解题的关键．根据整式的概念判断即可． 在代数式，，，，，0，中， 整式有，，，0，共5个， 故选：C． 　　答案　　　C 　　例 2　　　★★　如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数（　　） A．都小于5　　　B．都等于5　　　 C．都不小于5　　　D．都不大于5　　　 思路分析　本题主要考查了多项式，掌握多项式的相关定义是解题的关键． 根据多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次项的次数，就是这个多项式的次数即可求解． 解∶一个多项式是五次多项式，那么它的最高次项的次数是5． 则任何一项的次数都不大于5． 故选∶D． 　　答案　　　D 　　例 3　　　★★　已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（　　） A．4　　　B．3　　　 C．2　　　D．1　　　 思路分析　本题考查了多项式的次数，正确理解多项式的次数的概念是解题的关键．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据多项式次数的概念，列方程求解即可． 解：关于x，y的多项式与多项式的次数相同， ， 解得． 故选：C． 　　答案　　　C 　　变式 4　　　★★　下列说法中，正确的是（　　） A．不是整式　　　B．的系数是，次数是3　　　 C．多项式是六次二项式D．1是单项式 思路分析　本题考查单项式和多项式的定义，根据单项式和多项式的定义进行逐一判断即可． 解：A、是整式，故不符合题意； B、的系数是，次数是3，故不符合题意； C、多项式是四次二项式，故不符合题意； D、1是单项式，符合题意， 故选：D． 　　答案　　　D 　　变式 5　　　★★　在这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则的值为（　　） A．3　　　B．2　　　 C．1　　　D．4　　　 解：有理数有，，，，，，，，共8个， ． 自然数有，，共2个， ． 分数有，，，共3个， ． ． 　　答案　　　A 　　变式 6　　　★★　如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 思路分析　直接利用多项式的次数与系数确定方法得出a，b的值进而得出答案． 解：∵多项式是关于的三次多项式， ∴的最高次数为3，且最高次项合并后系数不为0； 选项A：，三次项合并后系数为，不符合； 选项B：，第一项为四次项，关于y的多项式次数为4，不符合； 选项C：，第一项系数为，最高次项为，符合要求； 选项D：，多项式最高次数为1，不符合． 　　答案　　　C 题型 2 整式的归类 　　变式 7　　　★★　若多项式：是二次四项式，则“○”可以是＿＿＿＿＿＿＿＿（写出一种情况即可）． 思路分析　本题考查了多项式的定义，用到的知识点是：多项式的次数由组成多项式的单项式的最高次数决定；组成多项式的单项式叫做多项式的项，有几项就是几项式． 根据单项式的最高次数是的，整个式子由个单项式组成的多项式即可． 解：多项式：是二次四项式，现已满足二次项和三次项，补充的一项不能与这三项是同类项，不能出现超过二次的即可，如（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 　　答案　　　（答案不唯一） 　　变式 8　　　★★　下列关于多项式的说法中，正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． ①它是三次三项式；②它是二次四项式；③它的最高次项是；④它的常数项是1． 思路分析　本题考查多项式的概念，正确掌握多项式的相关概念是求解本题的关键． 根据多项式的相关概念依次判断即可． 解：多项式是四次三项式，所以①②不符合题意； 它的最高次项为：，所以③符合题意； 它的常数项是：，所以④不符合题意； 故答案为：③． 　　答案　　　③ 　　变式 9　　　★★　将式子填入相应的大括号中． 单项式：{　　…}； 多项式：{　　…}； 整式：{　　…}． 思路分析　本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 略 　　答案　　　解：单项式：；多项式：；整式：． 　　例 4　　　★★★　已知关于x的整式． (1)若该整式是二次式，则k的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)若该整式是二项式，则k的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　此题考查了单项式和多项式，解题的关键是熟悉几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （1）由整式为二次多项式，可得到且，求出k的值即可； （2）由整式为二项式，得到①且；②；依此即可求解． （1）解：∵关于x的整式是二次多项式， ∴且， 解得：， （2）解：若该整式是二项式，分三种情况讨论： ①当时，或； 若，原式为（单项式），不符题意； 若，原式为（二项式），符合题意； ②当时，，已在①中讨论，不符合题意； ③当时，，原式为（二项式），符合题意； 综上所述，的值为或． 　　答案　　　(1)(2)或 　　变式 10　　　★★　下列整式中有a个单项式，b个多项式，则＿＿＿＿＿＿． 思路分析　根据单项式和多项式的定义，分别数出单项式的个数和多项式的个数，再计算的值即可． 解：单项式有，，，，共个，即， 多项式有，，共个，即， ∴． 　　答案　　　8 题型 3 次数综合求参 　　变式 11　　　★★★　已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 思路分析　此题考查了整式次数与系数概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． （1）根据多项式与单项式次数的定义进行求解； （2）根据单项式系数的定义进行求解． （1）解：由题意，得，解得． 因为与的次数相同， 所以，解得． （2）略 　　答案　　　(1)，(2)各项：．系数和：． 　　例 5　　　★★★　x3-()x2+（）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式． 思路分析　根据多项式的项数和次数的定义即可解答. 解：（1）由题意得：3m﹣，且2n﹣， 解得：，； （2）由题意得：2n﹣，，且3m﹣， 解得：，． 　　答案　　　（1），；（2）， 点睛　本题考查了考查多项式的次数，掌握多项式相关定义是解决此题的关键. 微专题 5　规律探究与综合应用 模块导学 规律探究与综合应用 从具体数字或图形的特殊情形出发，抽象出一类数量关系并用代数式表示，是"字母表示数"思想的高级应用。月历、木棒、面积拼接都是典型载体。 知识梳理 知识点 9　本节知识归纳（教材思维导图转文字） ① 单项式：是数或字母的积；系数是单项式中的数字因数；次数是所有字母的指数和。 ② 多项式：是几个单项式的和；项是组成多项式的每个单项式；次数是多项式里次数最高项的次数；常数项是不含字母的项。 ③ 整式：单项式与多项式统称整式（用字母或含有字母的式子表示数或数量关系）。 ④ 列代数式：审 → 设 → 列 → 检；求值：代入（加括号）→ 按运算顺序计算。 知识梳理 知识点 10　数字与图形规律 ① 月历：同一行相邻两数差 1，同一列相邻两数差 7；设一个数为 x，用 x 表示其余各数，按题意列式。 ② 图形规律：取 、2、3 的特例找差值或倍数关系，归纳通项后回代检验。 题型 1 数字与图形规律 　　变式 1　　　★★　在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环．下面选项一定不是该循环的是（　　） A．4，2，1　　　B．2，1，4　　　 C．1，4，2　　　D．2，4，1　　　 思路分析　按程序框图逐项验证：从每个选项的第一个数出发，按程序算出下一步，看能否回到起点形成循环；逐一检验后，只有不能构成循环的那个选项符合题意。 　　答案　　　D 　　变式 2　　　★★★　如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：145，∵，∴145是“顺利数”，则最大的“顺利数”是＿＿＿＿＿＿＿＿；若“顺利数”M的十位数字比个位数字大2，M去掉个位数字后所得的两位数与M去掉百位数字后所得的两位数之和能被11整除，则M的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　本题主要考查了整数的性质、列代数式求解等知识，理解“顺利数”的定义，掌握代数式的计算方法是关键． 对于最大的顺利数，百位数字最大为6，个位数字为0，十位数字最大为9，故为690；对于M，设百位、十位、个位数字分别为a、b、c，根据条件得，且由所得两位数之和能被11整除，得是11的倍数，即是11的倍数，结合数字范围得，故． 解：由于百位和个位数字之和为6，且百位数字不能为0，故百位数字最大为6，此时个位数字为0，十位数字最大为9， 因此最大的顺利数为690， 设M的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∴， M去掉个位数字后所得的两位数为，M去掉百位数字后所得的两位数为， ∴它们的和为， ∵这个和能被11整除， ∴是11的倍数， ∵由于是11的倍数， ∴也是11的倍数，即是11的倍数， ∵， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：①；②． 　　答案　　　　　690353 　　变式 3　　　★★　运算能力某数学兴趣小组在观察等式时发现：当时．请你解决下列问题： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿． （2）＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　思路：把 代入等式，得 −a+b−c+d 的值（第 (1) 问）；把 代入得 的值，再利用 时的等式 消去 d，即可求出第 (2) 问。 　　答案　　　　　8 　　例 1　　　★★　 如图是某月历表，用一个正方形在月历中任意框出4个代表日期的数，请用一个等式表示之间的关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　此题主要考查了列代数式，利用已知数据得出规律是解题关键．根据已知中数据得出，进而得出之间的关系． 解：由题意得：， ， 故答案为：. 　　答案　　　 　　变式 4　　　★★★　已知是2026个由1和组成的数，且满足，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 思路分析　设的个数为未知数，根据已知总和求出的个数，再分别计算每个平方项的值后求和即可. 解：设有个，则剩下个； ∵ ∴ 整理得 解得 当时， 当时， 因此所求式子的值为. 　　答案　　　 　　例 2　　　★★　如图所示的是用长度相同的木棒按一定规律拼接而成的图案，图①需要8根木棒，图②需要15根木棒，……，那么图需要多少根木棒？ 思路分析　先观察图案得出前个图案需要的小木棒的根数，再归纳类推出一般规律即可得． 解：因为图①需要8根木棒； 图②需要（根）木棒； 图③需要（根）木棒； …… 所以图需要根木棒． 　　答案　　　根 点睛　本题考查了列代数式表示图形的规律，观察图案，正确发现规律是解题关键． 题型 2 面积与综合应用 　　变式 5　　　★★　下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 思路分析　用各种方法表示阴影部分的面积，即可判断． 解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 　　答案　　　D 点睛　本题考查列代数式，解答的关键是用不同的方法表示出阴影部分的面积． 　　变式 6　　　★★★　下列两个量的关系一定不是反比例关系的是（　　） A．若为圆柱底面的半径，为圆柱的高，当圆柱的侧面积一定时，与之间的关系 B．汽车在一定路程上的行驶速度与行驶时间之间的关系 C．三角形的面积一定，则三角形的高与对应的底边长之间的关系 D．长方形的周长一定，其面积与长方形的一边长之间的关系 思路分析　当两个相关联量的乘积为定值时，这两个量成反比例关系，据此逐项判断即可求解． 解：A、∵圆柱侧面积为定值，∴为定值，与成反比例关系； B、∵行驶路程为定值，∴为定值，与成反比例关系； C、∵三角形面积为定值，∴为定值，与成反比例关系； D、∵长方形周长为定值，∴邻边长为，面积，与的乘积不是定值，二者不是反比例关系． 　　答案　　　D 　　例 3　　　★★★　如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地．若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米． (1)分别用整式表示草地和空地的面积； (2)若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积．（，结果精确到个位） 思路分析　（1）首先观察图形可知，四个四分之一圆形的草地的面积和为一个整圆的面积，直接用即可表示出草地的面积；空地面积等于长方形的面积减去半径为r的圆的面积； （2）把代入空地面积的代数式中进行计算即可解答； （1）解：草地的面积为（平方米）． 空地的面积为平方米． （2）解：当时， （平方米）， ∴广场空地的面积约为59686平方米． 　　答案　　　(1)草地面积为（平方米），空地面积为平方米(2)59686平方米 1 学科网（北京）股份有限公司 $2.1 代数式 · 讲义 2.1 代数式 目录 一、本讲导航 2 微专题 1　列代数式与代数式的意义 2 题型 1　和差倍分与总量列式 3 题型 2　代数式的概念与书写规范 4 题型 3　实际情境列式 4 题型 4　字母表示数的意义 7 题型 5　实际问题建模 7 微专题 2　代数式的值 9 题型 1　直接代入求值 10 题型 2　整体代入求值 10 题型 3　相反数倒数与分类讨论 11 微专题 3　单项式 12 题型 1　单项式的概念与系数次数 13 题型 2　单项式规律与表示 14 微专题 4　多项式与整式 14 题型 1　多项式的项与次数 15 题型 2　整式的归类 16 题型 3　次数综合求参 16 微专题 5　规律探究与综合应用 17 题型 1　数字与图形规律 17 题型 2　面积与综合应用 19 一、本讲导航 学习目标 1．理解代数式的概念，会判断一个式子是否为代数式，掌握列代数式的"审—设—列—代"四步。 2．能根据实际情境列代数式并说明其意义，掌握代数式的书写规范与单位处理。 3．理解代数式的值的意义，掌握直接代入、整体代入与分类讨论三种求值思路。 4．掌握单项式的系数与次数、多项式的项与次数，会判断整式并解决已知次数求参数的问题。 5．能从特殊情形归纳一般规律，用代数式表示一类数量关系，体会"字母表示数"的普适性。 重点与难点 重点　列代数式；代数式的值（整体代入、分类讨论）；单项式与多项式的系数、次数。 难点　① 实际问题中数量关系的辨析（谁与谁相乘、谁与谁相加）；② 已知次数反求参数时的"解后检验"；③ 规律探究中从特例归纳通项。 知识网络 代数式 →（列式）列代数式 →（求值）代数式的值 →（结构）单项式 / 多项式 →（统称）整式 →（应用）规律探究与实际建模。 微专题 1　列代数式与代数式的意义 模块导学 列代数式与代数式的意义 把实际问题中的数量关系用含有字母的式子表示出来，是本章的起点。核心是"审—设—列—代"四步：先审清题意找出已知量与未知量，再用字母表示未知量，接着按运算关系列式，最后按规范书写并标注单位。 知识梳理 知识点 1　用字母表示数（重点） ① 用字母表示数：现实情境中，表示数量关系时可以用数字表示，也可以抽象成字母来表示，体现了从特殊到一般的数学思想；用含有字母的式子表示数量关系时，字母和数一样可以参与运算。 ② 示例：边长为 a cm 的正方形的面积是 a² cm²；一本笔记本 5 元、一支钢笔 6 元，买 m 本笔记本、n 支钢笔共需 元。 ③ 数学文化：法国数学家韦达（1540—1603）是第一个有意识地、系统地使用字母表示数的人，使字母表示数成为数学中的通用语言。 ④ 书写规定：数与字母相乘省略乘号；带分数与字母相乘先化成假分数；除法写成分数线；式子是和差形式且后面带单位时，要把式子用括号括起来，如 元。 ⑤ 点睛：式子后面有单位且式子是和或差的形式时，要把式子用括号括起来。 知识梳理 知识点 2　列代数式（重点） ① 步骤：审——读题找出已知量、未知量与数量关系；设——用字母表示相关的量；列——按运算关系写出式子；检——检查运算顺序与单位。 ② 常见数量关系：路程 = 速度×时间；总价 = 单价×数量；逆流速度 = 静水速度−水流速度；利润 = 售价−成本。 ③ 易错："比 x 的 2 倍多 3 的数"先乘后加得 ；列式后结果应化简。 ④ 图形面积：组合图形常用"补形"或"割补"转化为规则图形面积的和差。 题型 1 和差倍分与总量列式 　　例 1　　　★　在“苏超”场外市集上，小明购买了个“麋鹿王”、个“盐小勺”、个“盐小饼”，它们的单价分别为元、元、元，共需支付的金额（单位：元）为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 1　　　★　一次竞赛共有30道选择题，规定：答对一道得3分，不答或答错一道扣1分，如果某位学生答对了a道题，则用式子表示他的成绩（单位：分）为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 2　　　★　冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂蘸上熔化的冰糖制作而成．若每根竹签穿5个山楂，则穿（为正整数）串冰糖葫芦需要山楂的个数是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 3　　　★　在一次植树活动中，某班共有a名男生每人植树3棵，共有b名女生每人植树2棵，则该班同学一共植树（　　）棵． A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 4　　　★　用表示一个奇数，则与它相邻的下一个奇数可以表示为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 5　　　★　一个两位数，十位数字为5，个位数字为，则这个两位数为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 2　　　★　买一个足球需m元，买一个篮球需n元，则买3个足球和2个篮球共需（　　）元 A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 6　　　★　一辆动车以的平均速度行驶了th，则它行驶的总路程s为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 7　　　★★　小亮从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢，则他数过的车厢节数是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 3　　　★★　一个长方形的周长为，长为，则这个长方形的宽为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 题型 2 代数式的概念与书写规范 　　变式 8　　　★　下列语句正确的是（　　） A．不是代数式　　　B．0是代数式　　　 C．是代数式D．单独一个字母a不是代数式 　　变式 9　　　★　下列代数式中，符合书写规范的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 10　　　★★　下列对代数式的意义表述正确的是（　　） A．与x的和　　　B．与x的差　　　 C．与x的积　　　D．与x的商　　　 　　变式 11　　　★★　在式子，，5，m，，，中，代数式有（　　） A．6个　　　B．5个　　　 C．4个　　　D．3个　　　 题型 3 实际情境列式 　　例 4　　　★★　一个两位数，它的十位数字是x，个位数字是y，那么这个两位数用代数式表示是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 12　　　★　某城市居民用水每吨2.85元，某户本月底水表显示为（单位：t），上月底水表显示为（单位：t），则本月应交水费＿＿＿＿＿＿＿＿元． 　 　 　　变式 13　　　★　湘潭县石鼓镇油纸伞是省级非物质文化遗产．据统计，年石鼓镇油纸伞年产值约为3亿元，年年产值比年增加了亿元，年年产值约是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿亿元． 　 　 　　变式 14　　　★★　用字母表示： （1）乘法对加法的分配律＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）一个长方形的长是b，宽是长的一半，它的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，面积是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （3）一个三角形的三边长都是c，它的周长是＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （4）一个平行四边形的一边长是a，该边上的高是这边长的，这个平行四边形的面积是＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 15　　　★★　一个长方形的长是米，宽是米，四个这样的长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长是米，或米，还可能是米． 　 　 　　变式 16　　　★★　如图，绿绳的长度是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿米（转弯处忽略不计）． 　 　 　　例 5　　　★★　下列表述不正确的是＿＿＿＿＿＿． ①如果一辆汽车平均1小时行驶y千米，那么以这样的速度再过3小时，这辆汽车又行驶了千米； ②如果用y表示一本书的价格，那么可以表示买3本这种书的总价； ③某景区旺季门票价格是淡季票价的3倍，如果旺季票价每人为y元，那么淡季票价为每人元； ④如果一个等边三角形的边长为y厘米，那么它的周长是厘米． 　 　 　　变式 17　　　★　写出一个含字母的一次式，满足当时，它的值等于5，这个式子可以是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 18　　　★　一本故事书有页，小华每天看15页，看了天，还剩＿＿＿＿＿页没有看；当、时，还剩＿＿＿＿＿页． 　 　 　　变式 19　　　★★　一只小猎豹的奔跑速度为．若从A地到B地的路程为，则这只小猎豹从A地到B地所用的时间为＿＿＿＿＿＿＿＿h；当时，这只小猎豹从A地到B地所用的时间为＿＿＿＿＿＿＿＿h． 　 　 　　变式 20　　　★　若一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积可以表示为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 21　　　★★　用字母表示下列运算法则： （1）“互为相反数的两个数的和为零”：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）“减去一个数，等于加上这个数的相反数”：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 22　　　★★　2024年下半年某市生产总值为a万亿元，预计2025年上半年该市生产总值比2024年下半年增加10%，则2025年上半年该市生产总值为＿＿＿＿＿＿＿＿（用含a的式子表示）． 　 　 　　变式 23　　　★　已知每本笔记本m元，每块橡皮n元，小月购买了7本笔记本和3块橡皮，购买笔记本比购买橡皮多花了＿＿＿＿＿＿＿＿元． 　 　 　　变式 24　　　★★　若x表示某件物品的标价，则式子表示的意义是＿＿＿＿＿＿＿＿ 　 　 　　变式 25　　　★★　某超市销售一款每台进价为a元的空调，标价比进价提高了35%．因销售方向调整，超市决定打八折降价销售，则每台空调的实际售价为＿＿＿＿＿＿＿＿元． 　 　 　　变式 26　　　★★　一辆列车上共有a人，该列车在某处停站后，上车人数是下车人数的3倍，列车驶离时车上共有b人，那么上车的人数是＿＿＿＿＿＿＿＿（用含a，b的式子表示）． 　 　 　　变式 27　　　★★　在公式中，所有字母均不等于，若用，，表示，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 4 字母表示数的意义 　　变式 28　　　★★　学习本章后，你对“字母表示数”有哪些新的认识？请谈谈你的感悟． 　 　 　 　 　　变式 29　　　★★　设a、b、c均为有理数，根据相应的运算律填空： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（加法结合律）； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿（乘法结合律）； （3）＿＿＿＿＿＿＿＿（分配律）． 　 　 　 　 题型 5 实际问题建模 　　例 6　　　★★　中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … (1)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是； (2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？ 　 　 　 　 　　变式 30　　　★★　某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 　 　 　 　 　　例 7　　　★★　四川航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超过部分每千克按飞机票价的支付逾重行李费． (1)若一名旅客所选航班机票票价为950元，且该旅客有行李需办理托运，求该旅客需支付的行李费用（用含的代数式表示）； (2)在（1）条件下，这名旅客托运了的行李，求该旅客购买机票连同逾重行李费共付了多少元？ 　 　 　 　 　　变式 31　　　★★　如下图，铁片正面是正方形，中间有一个半径为r的圆孔，厚度为h． (1)用式子表示这块铁片的体积V． (2)若，求的值（取3.14，结果精确到）． 　 　 　 　 　　变式 32　　　★　某同学参加了芜湖马拉松比赛的5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟千米的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为多少千米？ 　 　 　 　 　　例 8　　　★★　方孔钱（如图1）是我国古代钱币的俗称，现将方孔钱抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为，正方形的边长为，求方孔钱的面积． 　 　 　 　 　　变式 33　　　★★★　如图，学校一花坛为长方形，它的长是，宽是，分别以，为圆心作扇形，阴影部分种植花卉． (1)用含，的式子表示种植花卉部分的周长和面积．（结果保留π） (2)若，求种植花卉部分的周长和面积的值．（取） 　 　 　 　 微专题 2　代数式的值 模块导学 代数式的值 用数值代替代数式里的字母，严格按运算顺序计算所得的结果叫做代数式的值。除直接代入外，整体代入、非负数性质与分类讨论是本模块的高频考点。 知识梳理 知识点 3　求代数式的值（重点） ① 定义：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 ② 步骤：代入——字母取负数、分数时要加括号；计算——先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号。 ③ 易错： 时 ，两处括号都不能省。 知识梳理 知识点 4　整体代入法（重点） ① 技巧点拨：在求式子的值时，若没有直接给出相关字母的值，或无法通过已知条件直接求出式子的值，可将式子进行适当变形，利用整体代入的方法求值。 ② 示例：已知 ，求 2()−5 的值：把 整体换成 3，得 。 ③ 奇偶性：若 ax+b 在 时值为 p，则 时常可利用 与 at+b 的关系整体求出。 题型 1 直接代入求值 　　变式 1　　　★　已知，则代数式的值为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．1　　　 　　变式 2　　　★　当时，代数式的值是（　　） A．1　　　B．　　　 C．2　　　D．　　　 　　例 1　　　★★　若地球上某地的温度T（单位：℃）与高度d（单位：m）的关系可近似的用来表示，则当高度时，温度T为（　　） A．4℃　　　B．5℃　　　 C．7℃　　　D．8℃　　　 　　变式 3　　　★　若，则＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　★　当时，代数式的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 整体代入求值 　　变式 5　　　★★　已知方程的两根为，．记，，，则的值为（　　） A．0　　　B．1　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 6　　　★★　若与互为相反数，则的值为（　　） A．1　　　B．　　　 C．0　　　D．　　　 　　变式 7　　　★★　已知a是相反数等于本身的数，b是倒数等于本身的数，则的值为（　　） A．1或3　　　B．或3　　　 C．1或　　　D．或　　　 　　例 2　　　★★　若，则代数式的值为（　　） A．2026　　　B．2024　　　 C．2032　　　D．2034　　　 　　变式 8　　　★　已知有理数满足，则＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 9　　　★★　当时，代数式的值为m．当时，代数式＿＿＿＿＿＿．（用含m的代数式表示） 　 　 　　变式 10　　　★★　若，，求代数式的值． 　 　 　 　 题型 3 相反数倒数与分类讨论 　　例 3　　　★★　如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，n为最大的负整数，m是绝对值最小的有理数，则代数式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 11　　　★★　已知，，，且表示有理数a，b，c的点在数轴上的位置如图所示，则的值为＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 12　　　★★　当时，求下列代数式的值． (1)． (2)． 　 　 　 　 　　例 4　　　★★★　求值 (1)已知． ①若a与b异号，求的值； ②若，分别求出a与b的值； (2)若，求的值． 　 　 　 　 　　变式 13　　　★★　若、互为相反数，、互为倒数，，求的值． 　 　 　 　 　　例 5　　　★★★　已知两数，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，试求的值． 　 　 　 　 微专题 3　单项式 模块导学 单项式 由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。判断关键是"式中不含加减运算（分数线除外）"，系数看数字因数（带符号），次数看所有字母的指数之和。 知识梳理 知识点 5　单项式（重点） ① 定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式，如 5、m。 ② 两个"不是"：分母中含字母的式子（如 ）不是单项式；含加法运算的式子（如 ）是多项式，不是单项式。 ③ 情境说明：「单项式学校」门口只允许单项式进入——5、a 都能进；而 、 不是单项式，不能进。 知识梳理 知识点 6　单项式的系数和次数（重点） ① 系数：单项式中的数字因数（包括前面的符号）。如 3a、−2a²b 的系数分别是 3、−2；当系数是 1 或 −1 时，"1"省略不写。 ② 次数：单项式中所有字母的指数的和。如 2x²y³ 的次数是 5；单独一个非零的数，规定它的次数为 0。 ③ 易错：次数不包括数字因数的指数；圆周率 π 是常数，不是字母，不计入次数。 ④ 情境说明：单项式 −3x²y 的系数是 −3（不要漏掉负号），次数是 3（x 的指数 1 也要算进去）——系数带符号、次数算所有字母的指数和，二者不能混淆。 题型 1 单项式的概念与系数次数 　　变式 1　　　★　下列各式不是单项式的为（　　） A．3　　　B．a　　　 C．　　　D．　　　 　　例 1　　　★★　单项式的系数、次数分别是（　　） A．，2　　　B．，2　　　 C．，3　　　D．，3　　　 　　变式 2　　　★　在下列式子，，，中，属于单项式的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 3　　　★　单项式的系数是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．3　　　 　　变式 4　　　★　请写出一个含有字母a和b，且系数为﹣2，次数为4的单项式：＿＿＿＿＿． 　 　 题型 2 单项式规律与表示 　　例 2　　　★★　观察下列单项式的特点：．第8个单项式为（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 5　　　★★　设n是任意一个整数，则说法错误的是（　　） A．任意一个偶数都能用4n表示　　　B．有的偶数不能用4n表示　　　 C．2n可以表示任意一个偶数D．n的奇数倍不一定是奇数 　　例 3　　　★★　若单项式是关于的九次单项式，那么＿＿＿＿＿＿． 　 　 微专题 4　多项式与整式 模块导学 多项式与整式 几个单项式的和叫做多项式，多项式的次数是次数最高项的次数。单项式与多项式统称整式。已知次数反求字母指数、判断几次几项式是主要题型。 知识梳理 知识点 7　多项式（重点） ① 定义：几个单项式的和叫做多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ② 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式。 ③ 情境说明：多项式 自称"次数是 2"是错误的——它的各项次数都是 1，应叫一次三项式；只有次数最高项的次数为 2 时才叫二次三项式。 ④ 注意：多项式的每一项都包括前面的符号；"三次四项式"要用汉字，不能写成阿拉伯数字。 知识梳理 知识点 8　整式（重点） ① 单项式与多项式统称整式。 ② 关系：整式分为两类——单项式（数或字母的积）与多项式（几个单项式的和）；几个单项式相加组成多项式。 ③ 易错：分母中含有字母的式子既不是单项式也不是多项式，因此不是整式。 题型 1 多项式的项与次数 　　变式 1　　　★★　下列式子：，，，，，，，．其中是多项式的有（　　） A．2个　　　B．4个　　　 C．6个　　　D．8个　　　 　　变式 2　　　★★　多项式的各项分别是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　例 1　　　★★　多项式的次数及最高次项的系数分别是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 3　　　★★　在代数式，，，，，0，中，整式有（　　）个． A．3　　　B．4　　　 C．5　　　D．6　　　 　　例 2　　　★★　如果一个多项式是五次多项式，那么它任何一项的次数（　　） A．都小于5　　　B．都等于5　　　 C．都不小于5　　　D．都不大于5　　　 　　例 3　　　★★　已知关于x，y的多项式与多项式的次数相同，那么n的值是（　　） A．4　　　B．3　　　 C．2　　　D．1　　　 　　变式 4　　　★★　下列说法中，正确的是（　　） A．不是整式　　　B．的系数是，次数是3　　　 C．多项式是六次二项式D．1是单项式 　　变式 5　　　★★　在这些数中，有理数有m个，自然数有n个，分数有k个，则的值为（　　） A．3　　　B．2　　　 C．1　　　D．4　　　 　　变式 6　　　★★　如果多项式是关于y的三次多项式，则（　　） A．　　　B．　　　 C．D． 题型 2 整式的归类 　　变式 7　　　★★　若多项式：是二次四项式，则“○”可以是＿＿＿＿＿＿＿＿（写出一种情况即可）． 　 　 　　变式 8　　　★★　下列关于多项式的说法中，正确的是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． ①它是三次三项式；②它是二次四项式；③它的最高次项是；④它的常数项是1． 　 　 　　变式 9　　　★★　将式子填入相应的大括号中． 单项式：{　　…}； 多项式：{　　…}； 整式：{　　…}． 　 　 　　例 4　　　★★★　已知关于x的整式． (1)若该整式是二次式，则k的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． (2)若该整式是二项式，则k的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 10　　　★★　下列整式中有a个单项式，b个多项式，则＿＿＿＿＿＿． 　 　 题型 3 次数综合求参 　　变式 11　　　★★★　已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m，n的值． (2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和． 　 　 　 　 　　例 5　　　★★★　x3-()x2+（）x﹣6是关于x的多项式． （1）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的二次多项式； （2）当m、n满足什么条件时，该多项式是关于x的三次二项式． 　 　 　 　 微专题 5　规律探究与综合应用 模块导学 规律探究与综合应用 从具体数字或图形的特殊情形出发，抽象出一类数量关系并用代数式表示，是"字母表示数"思想的高级应用。月历、木棒、面积拼接都是典型载体。 知识梳理 知识点 9　本节知识归纳（教材思维导图转文字） ① 单项式：是数或字母的积；系数是单项式中的数字因数；次数是所有字母的指数和。 ② 多项式：是几个单项式的和；项是组成多项式的每个单项式；次数是多项式里次数最高项的次数；常数项是不含字母的项。 ③ 整式：单项式与多项式统称整式（用字母或含有字母的式子表示数或数量关系）。 ④ 列代数式：审 → 设 → 列 → 检；求值：代入（加括号）→ 按运算顺序计算。 知识梳理 知识点 10　数字与图形规律 ① 月历：同一行相邻两数差 1，同一列相邻两数差 7；设一个数为 x，用 x 表示其余各数，按题意列式。 ② 图形规律：取 、2、3 的特例找差值或倍数关系，归纳通项后回代检验。 题型 1 数字与图形规律 　　变式 1　　　★★　在数学活动课上，同学们利用如图所示的程序进行计算，发现无论x取任何正整数，结果都会进入循环．下面选项一定不是该循环的是（　　） A．4，2，1　　　B．2，1，4　　　 C．1，4，2　　　D．2，4，1　　　 　　变式 2　　　★★★　如果一个三位自然数，百位和个位上的数字之和为6，称这个数为“顺利数”，例如：145，∵，∴145是“顺利数”，则最大的“顺利数”是＿＿＿＿＿＿＿＿；若“顺利数”M的十位数字比个位数字大2，M去掉个位数字后所得的两位数与M去掉百位数字后所得的两位数之和能被11整除，则M的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 3　　　★★　运算能力某数学兴趣小组在观察等式时发现：当时．请你解决下列问题： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿． （2）＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　例 1　　　★★　 如图是某月历表，用一个正方形在月历中任意框出4个代表日期的数，请用一个等式表示之间的关系＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　变式 4　　　★★★　已知是2026个由1和组成的数，且满足，则的值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 　 　 　　例 2　　　★★　如图所示的是用长度相同的木棒按一定规律拼接而成的图案，图①需要8根木棒，图②需要15根木棒，……，那么图需要多少根木棒？ 　 　 　 　 题型 2 面积与综合应用 　　变式 5　　　★★　下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．　　　B．　　　 C．　　　D．　　　 　　变式 6　　　★★★　下列两个量的关系一定不是反比例关系的是（　　） A．若为圆柱底面的半径，为圆柱的高，当圆柱的侧面积一定时，与之间的关系 B．汽车在一定路程上的行驶速度与行驶时间之间的关系 C．三角形的面积一定，则三角形的高与对应的底边长之间的关系 D．长方形的周长一定，其面积与长方形的一边长之间的关系 　　例 3　　　★★★　如图，某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地．若圆形的半径为r米，长方形的长为a米，宽为b米． (1)分别用整式表示草地和空地的面积； (2)若长方形的长为300米，宽为200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积．（，结果精确到个位） 　 　 　 　 1 学科网（北京）股份有限公司 $