2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级上册数学期中试题（适配肥城市进度）

2026-2027学年度上学期 七年级数学期中训练题（适配肥城市教学进度） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在，，，，中无理数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：；；；：：：；：：：：；，能判定为直角三角形的有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3.如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使≌，全等的依据是“”，则需要添加的条件是(    ) A. B. C. D. 4.如图，≌，点在上，下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为，则水深是． A. B. C. D. 6.如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，，，，则(    ) A. B. C. D. 7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是，小正方形的面积是，则大正方形的面积是(    ) A. B. C. D. 8.如右图所示，大正方形是由个边长为的小正方形拼成的，，，，四个点是小正方形的顶点，由其中三个点为顶点所组成的直角三角形的个数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与交于点，作，垂足为，下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，交于点，过点作于点下列结论中正确的是(    ) ； ：：； ； ． A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.如图，≌，，，则         12.如图，的中线、交于点，四边形的面积是，则的面积是        ． 13.如图，将一根长为的吸管，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外面的长度是，则的最小值是        ． 14.如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，、相交于点，已知，则的度数为        15.如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于        ． 16.如图，正方形和的面积分别是和，点，，在同一直线上，连接，以为边作正方形，则正方形的面积为        ． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值 已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根 18.本小题分 如图，，与交于点，写出与全等的理由． 19.本小题分 如图，在正方形网格中有一个，其顶点都在格点上，小正方形网格的边长为用直尺画图，保留画图痕迹． 画出格点关于直线对称的； 在直线上找一点，使值最小；要求在直线上标出点的位置 的面积 ______． 20.本小题分 如图，是等边三角形，，垂足为，点，，在同一直线上，，垂足为，点是的中点，连接判断的形状，并写出理由． 21.本小题分 如图，在中，，，为的中点，于，交的延长线于点 写出与全等的三角形，并写出理由不添加任何线 探究与间的数量关系，并写出理由 22.本小题分 在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙四边形，是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米 求小溪流的长 求四边形的面积 23.本小题分 如图，已知：，，点在边上，且 求证：≌ 如果为中点，，求的度数 24.本小题分 如图，在中，是高，是角的平分线 若，，求和的度数 若，，，求的长 25.本小题分 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： 由已知和作图能得到≌的理由是______ A. B. C. D. 求得的取值范围是______ A. B. C. D. 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．【问题解决】 如图，是的中线，交于，交于，且求证：． 【能力提高】 如图，在中，，，是的中线，，，且，求的长 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：是有理数； 是有理数； ，是有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是有理数； 所以无理数只有，共个． 故选：． 先化简，再根据无理数的定义进行判断即可． 本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． 2.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， 为直角三角形，故符合题意； ， ，， ， ， ， ， 为直角三角形，故符合题意； ， ， 为直角三角形，故符合题意； ， ， ， 为直角三角形，故符合题意； ：：：：，， ， 为直角三角形，故符合题意； ， ， ， 无法判断的形状，故不符合题意； 故选：． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：需要添加的条件是：， 理由：， ， ， ， ， 要根据“”判定≌， 应添加， ． 故选：． 根据已知条件求出一个“”和“”，进而得到另一个“”，判断哪个条件可以得出此“”即可． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：对于选项A， ≌， ， 在中，， ， 即， 故选项A正确，不符合题意； 对于选项B， ≌， ， ， ， 即， 故选项B正确，不符合题意； 对于选项C， 设与相交于点，如图所示： 分别是和的外角， ， ≌， ， ， 故选项C正确，不符合题意； 对于选项D， 由选项C正确得：， 根据已知条件无法判定， 无法判定， 故选项D不正确，符合题意； 故选：． 对于选项A，由≌得，再由等腰三角形性质得，据此可得选项A正确； 对于选项B，由≌得，进而可得，据此得选项B正确； 对于选项C，设与相交于点，由三角形外角性质得，再由≌得，由此可得，据此得选项C正确； 对于选项D，由选项C正确得，由于根据已知条件无法判定，因此无法判定，据此得选项D不正确；综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． 5.【答案】  【解析】解：红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即为红莲的长． 设水深 ，由题意得： 中，，设 ，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：． 故选：． 仔细分析该题，可画出草图，关键是水深、红莲移动的水平距离及红莲的高度构成一直角三角形，利用勾股定理解此直角三角形即可． 本题考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 6.【答案】  【解析】解：，，垂足分别为，， ， ， ． 在和中， ， ≌， ，． ， ． 故选：． 先根据直角三角形的性质说明，再根据“角角边”证明≌，可得，，则此题可解． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 7.【答案】  【解析】解：小正方形的面积是，直角三角形的短直角边是， 小正方形的边长为， 直角三角形的长直角边是， 大正方形的面积为， 故选：． 先求出小正方形的边长，再求出直角三角形的长直角边，再根据勾股定理计算即可． 本题主要考查勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：根据勾股定理，得 ， 根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有和． 故选B． 根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析． 此题综合考查了勾股定理及其逆定理． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键． 由等边三角形的性质和已知条件证出≌，即可得出A正确； 由全等三角形的性质得出，求出，得出，即可得出B正确； 由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确； 不正确． 【解答】 解：A正确；理由如下： 是等边三角形， ， 又 在与中， ≌， ； B正确；理由如下： ≌， ， ， ， ， 在中，， ； C正确；理由如下： ≌， ， ； 不正确；理由如下： 要使，则必须使，由已知条件知的度数为大于小于均可， 不成立； 故选D． 10.【答案】  【解析】解：由条件可知：，， ， ， 平分， ， ， 又， ，故结论正确； 如图，过点作于， 平分，， ， ，， ，故结论正确； ， ， 又， ， 平分， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 条件不足，无法证明，故结论不正确； 由结论正确得：， ≌， ，即， ，故结论正确； 综上所述，正确的有， 故选：． 根据直角三角形的性质，角平分线的定义，可证明；过点作于，根据角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积公式即可证得：：；根据题目给定的条件，无法证明；由结论正确可证得，由≌可得，于是可得． 本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，垂线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形的面积公式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：≌，，， ，， 在中，， ． 故答案为：． 由≌可得，，在中，由三角形内角和定理可得． 此题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 12.【答案】  【解析】解：连接， 的中线、交于点， 是的重心， ， ， ， ， 同理， 四边形的面积， 的面积． 故答案为：． 连接，得到是的重心，得到，得到，推出四边形的面积，计算即可． 本题考查三角形的重心，三角形的面积，关键是由三角形重心的性质推出． 13.【答案】  【解析】解：如水杯底直径，水杯壁高，和吸管组成直角三角形，， 由已知，，在中，由勾股定理得， ， ． 故答案为：． 利用勾股定理求吸管在水杯中的长度，总长度吸管在水杯中的长度即可． 本题考查杯中吸管问题，利用直径、水杯壁高，与吸管构造直角三角形，用勾股定理来解决，关键知道构造直角三角形，会用勾股定理解决问题． 14.【答案】  【解析】解：是边上的高线， ， ， ， 平分， ， 在中，， 故答案为：． 根据三角形的高线，得到，再根据三角形外角的定义，求得，然后利用角平分线的定义，得出，最后利用直角三角形的两锐角互余，即可求出的度数． 本题考查了三角形高线的定义，三角形外角的定义，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 15.【答案】  【解析】解：矩形， ，，，， 的面积， ， ， 折叠， ，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 根据矩形的性质结合三角形的面积求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，则可求出，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 本题考查矩形与折叠，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 16.【答案】  【解析】解：由正方形和的面积分别是和，得 ，，， 在中，， 则正方形的面积为， 故答案为：． 根据条件得出，，，再根据勾股定理求出即可得出结论． 本题考查的是勾股定理的应用，需要掌握正方形的面积公式． 17.【答案】【小题】一个正数的两个不相等的平方根与， ， 解得：， ， 即这个正数的值为 【小题】的平方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， ， 的平方根为   【解析】解：一个正数的两个不相等的平方根与， ， 解得：， ， 即这个正数的值为； 的平方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； 根据平方根的定义得到，，据此求出、的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】证明：， ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在与中， ， ≌．  【解析】证明：， ，， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在与中， ， ≌． 先由得，，再由可得，进而得，，则，然后再根据，即可依据“”判定与全等． 此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键． 19.【答案】见解答．   见解答．   ．  【解析】解：如图，即为所求． 如图，连接，交直线于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 的面积为． 故答案为：． 根据轴对称的性质作图即可． 连接，交直线于点，则点即为所求． 利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 20.【答案】解：是直角三角形，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是直角三角形．  【解析】解：是直角三角形，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 是直角三角形． 由等边三角形的性质得出，，再证明≌，得出，然后求出，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】【小题】与全等的三角形为理由如下： ，， ，即． ， ， ， ． 在和中， ， ≌ 【小题】理由如下： ≌， ． 点是的中点， ， ，即   【解析】解：与全等的三角形为理由如下： ，， ，即． ， ， ， ． 在和中， ， ≌； 理由如下： ≌， ． 点是的中点， ， ，即． 先根据平行线的性质得，再根据余角的定义得，然后根据“角角边”证明≌； 先根据全等三角形的对应边相等得，再根据中点的定义，则此题可证． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 22.【答案】【小题】如图，连接， 千米，千米，， 千米 【小题】千米，千米．千米， ，，， ， 是直角三角形，则， 平方千米   【解析】解：如图，连接， 千米，千米，， 千米； 千米，千米．千米， ，，， ， 是直角三角形，则， 平方千米． 根据勾股定理求解即可； 将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可． 本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键． 23.【答案】【小题】证明：，且， ． 在和中， ， ≌ 【小题】解：由知：≌， ， 是等腰三角形． 为中点， ，， ． ， ． 的度数为   【解析】证明：，且， ． 在和中， ， ≌； 解：由知：≌， ， 是等腰三角形． 为中点， ，， ． ， ． 的度数为． 根据角边角判定三角形全等即可； 根据全等三角形的性质得到，得到是等腰三角形．得到，，再根据计算即可． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 24.【答案】【小题】，， ， 在中，是的角平分线， ， ， ， ， 直角三角形的两个锐角互余， ， 的度数为，的度数为 【小题】， 是直角三角形， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， 在中，是高， ， ，   【解析】解：，， ， 在中，是的角平分线， ， ， ， ， 直角三角形的两个锐角互余， ， 的度数为，的度数为． ， 是直角三角形， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， 在中，是高， ， ， ． 根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质得到，再结合，，计算即可． 根据勾股定理得到，结合面积公式，得到，计算即可． 本题主要考查勾股定理，角平分线，三角形的内角和定理，灵活运用以上知识点作答是解题的关键． 25.【答案】【小题】 【小题】 【小题】证明：如图，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， 【小题】解：如图，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 又，，即， 垂直平分，   【解析】解：是的中线， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； 解：由知：≌， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ， 故答案为：； 证明：如图，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ； 解：如图，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 又，，即， 垂直平分， ． 根据，，推出和全等即可； 根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； 延长到，使，连接，根据边角边证≌，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可； 延长，交的延长线于点，利用证得≌，得到，，由得到垂直平分，即可求解． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $