2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级上学期期中自编模拟数学试题（山东泰安适用）

初二数学期中自编模拟考试试卷 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（　　） A．2 B．5 C．8 D．11 2．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 3．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 4．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（　　） A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO 7．如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．64° 8．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（　　） A． B． C．1 D．2 9．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 _________________ ，使△ABC≌△DEC． 12．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 ________ 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 13．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝_______ 度． 14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝________ ． 15．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______________ ． 16．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一顶点C在地面上滑动，O，A，B，C在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A到墙角O的距离的最大值为__________________ ． 三．解答题（共8小题，共86分） 17．（6分）三月三，放风筝．如图所示是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学知识给予证明． 18．（8分）如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 19．（10分）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 20．（10分）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 21．（12分）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度CE的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得AE的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米． （1）求风筝的垂直高度（线段CE的长）； （2）如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 22．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 23．（14分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50° ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CMBN． 24．（14分）【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________________ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（　　） A．2 B．5 C．8 D．11 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜x＜8，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜x＜5+3， ∴2＜x＜8， ∴x的值可能是5． 故选：B． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌三角形三边关系定理． 2．若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（　　） A．70° B．45° C．35° D．50° 【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角35°， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键． 3．根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】过A点作BC的垂线，垂足为D，则利用基本作图可对各选项进行判断． 【解答】解：AD是△ABC的高的作图为． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高． 4．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案． 【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得： ． 故选：A． 【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，以BC长为半径作弧，交AC于点C和点D，连接BD，再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在∠DBC内交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝50°，则∠EBC的大小为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，而∠A＝50°，根据三角形内角和定理得50°+2∠ACB＝180°，求得∠ACB＝65°，由作图可知，BD＝BC，BF平分∠DBC交AC于点E，所以∠BDC＝∠ACB＝65°，则∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝50°，求得∠EBC∠DBC＝25°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠A＝50°， ∴50°+2∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝65°， 由作图可知，BD＝BC，BF平分∠DBC交AC于点E， ∴∠BDC＝∠ACB＝65°， ∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACB＝50°， ∴∠EBC∠DBC＝25°， 故选：C． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、尺规作图、直角三角形的两个锐角互余等知识，推导出∠ACB＝65°是解题的关键． 6．我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（　　） A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO 【分析】根据筝形的判定逐一进行判定即可． 【解答】解：A．∵BO＝DO，AC⊥BD， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是筝形， ∴A选项不符合题意； B．在△ACD与△ACB中， ， ∴△ACD≌△ACB（SAS）， ∴CD＝CB， ∴四边形ABCD是筝形， ∴B选项不符合题意； C．在△ACD与△ACB中， ， ∴△ACD≌△ACB（ASA）， ∴AD＝AB，CD＝CB， ∴四边形ABCD是筝形， ∴C选项不符合题意； D．由∠ADC＝∠ABC，BO＝DO，不能证明四边形ABCD是筝形， ∴D选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，理解筝形定义是解题的关键． 7．如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．64° 【分析】设AC与BD相交于点O，先证明∠BAE＝∠CAD，进而可依据“SAS”判定△BAE和△CAD全等得∠ABE＝∠ACD，再根据三角形外角性质得∠BAC＝∠BDC＝56°，然后根据AB＝AC即可得到出∠ABC的度数． 【解答】解：设AC与BD相交于点O，如图所示： ∵∠EAD＝∠BAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD， ∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BAC＝∠ACD+∠BDC， ∵∠BDC＝56°， ∴∠BAC＝∠BDC＝56°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣56°）＝62°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键． 8．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（　　） A． B． C．1 D．2 【分析】作BH⊥OC于H，利用含30°角的直角三角形的性质得OB＝2，再由勾股定理得OC，再根据cos∠BOC＝cos∠CBH，得，代入计算可得答案． 【解答】解：作BH⊥OC于H， ∵∠AOB＝30°，∠A＝90°， ∴OB＝2AB＝2， 在Rt△OBC中，由勾股定理得， OC， ∵∠CBO＝∠BHC＝90°， ∴∠CBH＝∠BOC， ∴cos∠BOC＝cos∠CBH， ∴， ∴， ∴BH， 故选：B． 【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握等角的三角函数值相等是解题的关键． 9．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OECD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， 即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 10．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示：则∠OGA＝∠OHB＝90°，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠AMD，④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO＝OD，而OC＝OD，所以OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确； ∵∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得： ∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确； 法一：作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示， 则∠OGA＝∠OHB＝90°， ∵△AOC≌△BOD， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠AMD，故④正确； 法二：∵△AOC≌△BOD， ∴∠OAC＝∠OBD， ∴A、B、M、O四点共圆， ∴∠AMO＝∠ABO＝72°， 同理可得：D、C、M、O四点共圆， ∴∠DMO＝∠DCO＝72°＝∠AMO， ∴MO平分∠AMD， 故④正确； 假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM， 在△AMO与△DMO中， ， ∴△AMO≌△DMO（ASA）， ∴AO＝OD， ∵OC＝OD， ∴OA＝OC， 而OA＜OC，故③错误； 正确的个数有3个； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，CA＝CD，∠ACD＝∠BCE，请添加一个条件 CB＝CE（答案不唯一）　 ，使△ABC≌△DEC． 【分析】根据等式的性质可得∠DCE＝∠ACB，然后再利用全等三角形的判定方法SAS，ASA或AAS即可解答． 【解答】解：∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE， ∴∠DCE＝∠ACB， ∵CA＝CD，CB＝CE， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， 故答案为：CB＝CE（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 12．围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 A或C 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可得出答案． 【解答】解：白方如果落子于点A或C的位置，则所得的对弈图是轴对称图形． 故答案为：A或C． 【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 13．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE＝　90　 度． 【分析】先利用HL判定Rt△ABC≌Rt△DEF，得出∠BCA＝∠EFD，又因为∠ABC+∠BCA＝90°，所以∠ABC+∠DFE＝90°． 【解答】解：∵AC⊥AB，ED⊥DF， ∴∠CAB＝∠FDE＝90度． 在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）， ∴∠BCA＝∠EFD． ∵AC⊥AB， ∴∠ABC+∠BCA＝90°， ∴∠ABC+∠DFE＝90°． 故填90 【点评】此题考查了学生对全等三角形的判定及性质的运用．做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法． 14．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝　78°　 ． 【分析】解法一：连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论． 解法二：连接OB，同理得AO＝OB＝OC，由等腰三角形三线合一得∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，由平角的定义得∠BOD+∠BOE＝141°，最后由周角的定义可得结论． 【解答】解：解法一：连接BO，并延长BO到P， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°， ∴∠DOE+∠ABC＝180°， ∵∠DOE+∠1＝180°， ∴∠ABC＝∠1＝39°， ∵OA＝OB＝OC， ∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C， ∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC， ∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°； 解法二： 连接OB， ∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O， ∴AO＝OB＝OC， ∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE， ∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°， ∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°， ∴∠AOD+∠COE＝141°， ∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°； 故答案为：78°． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 15．清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⋯⋯根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61．　 ． 【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数． 【解答】解：通过观察得： 第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5； 第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13； 第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25； 第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41； 所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61． 故答案为：11，60，61． 【点评】此题考查的知识点是勾股数，此题属规律性题目，关键是通过观察找出规律求解． 16．如图，形状为直角三角形的木块，斜靠在竖直的墙上，木块顶点B在墙面上滑动，另一顶点C在地面上滑动，O，A，B，C在同一平面内，若AB＝3，BC＝4，则木块顶点A到墙角O的距离的最大值为　　 ． 【分析】取BC中点D，连接OD，AD，OA，根据直角三角形的性质求出OD＝2，利用勾股定理求出，由OA≤AD+OD即可得出结果． 【解答】解：取BC中点D，连接OD，AD，OA， ∵BC＝4， ∴， 由题意得∠ABC＝∠BOC＝90°， ∴， ∵AB＝3， ∴， ∵OA≤AD+OD， ∴OA的最大值为， 即木块顶点A到墙角O的距离的最大值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．三月三，放风筝．如图所示是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学知识给予证明． 【分析】证△DEH≌△DFH，连接DH，证角相等，常常通过把角放到两个全等三角形中来证，DH是公共边，可考虑SSS证明三角形全等，从而推出∠DEH＝∠DFH相等． 【解答】证明：连接DH， 在△DEH和△DFH中， ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，常常通过两个全等三角形，证角相等，做题时注意应用． 18．如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 【分析】（1）由AD∥BC，得∠ADB＝∠EBC，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABD≌△ECB； （2）由△ABD≌△ECB，得DB＝BC＝15，AD＝EB＝6，即可由DE＝DB﹣EB求得DE的长度为9． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）． （2）解：△ABD≌△ECB， ∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6， ∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9， ∴DE的长度是9． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明∠ADB＝∠EBC是解题的关键． 19．数学课上，张老师举了下面的例题： 例1等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°） 例2等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数． （1）请你解答以上的变式题． （2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围． 【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论； （2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：（1）若∠A为顶角，则∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝50°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°﹣2×80°＝20°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°； 故∠B＝50°或20°或80°； （2）分两种情况： ①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角， ∴∠B的度数只有一个； ②当0＜x＜90时， 若∠A为顶角，则∠B＝（）°； 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝（180﹣2x）°； 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°． 当180﹣2x且180﹣2x≠x且x， 即x≠60时，∠B有三个不同的度数． 综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 20．如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【分析】过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD． 【解答】证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°， ∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF， ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， ∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 而∠PDO+∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF， 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF（AAS）， ∴PC＝PD． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质． 21．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度CE的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得AE的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米． （1）求风筝的垂直高度（线段CE的长）； （2）如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）在Rt△CDB中，BC＝25米，BD＝AE＝15米， 由勾股定理得：CD20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.5＝21.5（米）， 答：风筝的垂直高度CE为21.5米； （2）如图，由题意可知，CF＝12米， ∴DF＝CD﹣CF＝20﹣12＝8（米）， ∴BF17（米）， ∴BC﹣BF＝25﹣17＝8（米）， 答：他应该往回收线8米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由； （2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）DE⊥DP， 理由如下：∵PD＝PA， ∴∠A＝∠PDA， ∵EF是BD的垂直平分线， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠PDA+∠EDB＝90°， ∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°， ∴DE⊥DP； （2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x， ∵∠C＝∠PDE＝90°， ∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得：x＝4.75， 则DE＝4.75． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50° ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CMBN． 【分析】（1）①通过角的计算找出∠ACD＝∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC＝BC，DC＝EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD＝BE； ②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC＝∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论． 【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°， ∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°． ∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE． ∵△ACB和△DCE均为等腰三角形， ∴AC＝BC，DC＝EC． 在△ACD和△BCE中，有， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． ②解：∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC． ∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE＝50°， ∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°， ∴∠BEC＝130°． ∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，且∠CED＝50°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝130°﹣50°＝80°． （2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°， ∴∠CDM＝∠CEM（180°﹣120°）＝30°． ∵CM⊥DE， ∴∠CMD＝90°，DM＝EM． 在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°， ∴DE＝2DM＝22CM． ∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°， ∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°． 在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°， ∴BEBN． ∵AD＝BE，AE＝AD+DE， ∴AE＝BE+DEBN+2CM． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键． 24．【初步探索】 （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　∠BAE+∠FAD＝∠EAF ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE＝∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，推导得到2∠FAE+∠DAB＝360°，即可得出结论． 【解答】解：（1）结论：∠BAE+∠FAD＝∠EAF． 理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， ∵EF＝BE+DF， ∴EF＝DF+DG＝FG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF． 故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF； （2）仍成立，理由： 如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°， ∴∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF； （3）结论：∠EAF＝180°∠DAB． 理由：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°， ∴∠ADC＝∠ABE， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠FAE＝∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°， 即2∠FAE+∠DAB＝360°， ∴∠EAF＝180°∠DAB． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/19 22:28:25；用户：禹颜明；邮箱：ta6950@xyh.com；学号：22395136 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $