第2章 08 与距离有关的最值问题（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（人教A版）

该高中数学课件聚焦“与距离有关的最值问题”，涵盖两点间、点到直线及平行直线间距离公式，通过要点回顾夯实基础，结合指点拨构建几何性质与最值关系的学习支架，引导学生从代数计算过渡到几何直观分析。 其亮点在于创新“代数式转化为距离模型”表格，以数学眼光抽象代数结构为几何距离，结合典例（如将函数转化为点到点与点到直线距离和），用数学思维利用垂线段最短等性质求解，用数学语言清晰呈现转化步骤。助力学生发展几何直观与转化能力，为教师提供结构化教学资源提升效率。

第二章 直线和圆的方程 第1讲　描述运动的基本概念 08　与距离有关的最值问题 疑难点 第1讲　描述运动的基本概念 1.两点间的距离公式:点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离|AB|= .特别地,原点O(0,0)与任一 点P(x,y)之间的距离|OP|= . 2.点到直线的距离公式:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= . 3.两条平行直线间的距离公式:两条平行直线Ax+By+C1=0和Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d= . 第1讲　描述运动的基本概念 1.定点P与定直线l上的动点Q之间的最小距离:当PQ⊥l时,点P与动点Q之间的距离取得最小值,如图1, 显然|PQ|<|PQ1|. 2.定点P到过定点Q的动直线l的最大距离:连接PQ,当PQ⊥l时,点P到动直线l的距离最大,如图2,若直线l 绕点Q旋转至l1,显然|PQ|>|PQ1|. 第1讲　描述运动的基本概念 3.两条分别过定点P,Q的平行直线l1,l2间的最大距离:当两条平行直线l1,l2与直线PQ垂直时,两条平行直 线l1,l2间的距离最大,如图3,若两条平行直线分别绕P,Q旋转至l'1,l'2,显然|PQ|>|P1Q1|.             第1讲　描述运动的基本概念 4.代数式转化为距离的模型 类别 结构特征 对应距离模型 转化步骤 含根号的 二次式 根号内为二次多项式,可 配方为  的形 式 两点间的距离:动点P(x, y)与定点Q(x0,y0)间的距 离 ①对根号内的多项式配 方,补全常数项;②确定 动点和定点;③写出两点 间距离的模型 无根号的 二次式 多项式可配方为(x-x0)2+ (y-y0)2的形式 两点间距离的平方:动点 P(x,y)与定点Q(x0,y0)间 的距离的平方 ①对多项式分组配方; ②写出两点间距离的平方的模型 第1讲　描述运动的基本概念 含绝对值 的线性式 表达式含|Ax+By+C| 点到直线的距离:动点P (x,y)到直线Ax+By+C=0 的距离的 倍 ①识别绝对值中的A,B, C,确定直线方程;②对表 达式进行补全分母  的操作;③结合 约束条件确定点到直线 的距离模型 第1讲　描述运动的基本概念 勘破疑难 将代数式转化为距离模型的本质是将代数角度的“最值计算”转化为几何角度的“距离最短(最 长)”问题,然后通过距离公式建立“目标表达式”与“几何距离”的对应关系,最后利用几何性质求 解,求解关键如下: 1.先明确“距离类型”:是两点间的距离(或距离的平方)还是点到直线的距离; 2.再锁定“动点与定点(定直线)”:最值问题中必然存在“固定元素”(定点、定直线)和“运动元素” (动点、动直线),核心是分析运动元素的约束条件; 3.最后用“几何性质定方向”:两点间距离(或距离的平方)的最值用“两点之间线段最短”确定,点到 直线的距离最值用“垂线段最短或平行线间的距离固定”来确定,避免盲目代数求值. 第1讲　描述运动的基本概念 典例1　已知点A(2,-1),原点为O. (1)求过点A且与原点的距离为2的直线方程; (2)求过点A且与原点的距离最大的直线方程,并求出最大距离; (3)是否存在过点A且与原点的距离为3的直线?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)解法一:当直线的斜率不存在时,直线方程为x=2,此时原点到该直线的距离等于2,符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,此时直线 方程为3x-4y-10=0. 综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0. 解法二:设直线方程为C(x-2)+B(y+1)=0(避免讨论斜率不存在的情况), 即Cx+By-2C+B=0. 由已知得 =2,即3B2+4CB=0,解得B=0或B=- C. 当B=0时,直线方程为x=2; 当B=- C时,直线方程为C(x-2)- C(y+1)=0,即3x-4y-10=0. 综上,所求直线方程为x=2和3x-4y-10=0. 第1讲　描述运动的基本概念 (2)过点A且与原点的距离最大的直线是过点A且与直线OA垂直的直线. 易知kOA=- , 所以所求直线的斜率为2, 所以所求直线方程为y+1=2(x-2),即2x-y-5=0. 最大距离为点O到直线2x-y-5=0的距离,即 = . (3)不存在,理由如下:由(2)可知,过点A的直线与原点的最大距离为 ,因为 <3,所以不存在过点A且与 原点的距离为3的直线. 易错警示　解这类题目常用的方法是待定系数法,即根据题意设出方程,然后选择合适的公式求参数. 设斜率时,要注意考虑斜率不存在的特殊情况是否适合题意,防止遗漏. 第1讲　描述运动的基本概念 典例2    ∀x,y∈R,函数f(x,y)= + |3x+4y-5|的最小值为( ) A.2　    B.  C. 　    D.      C     思路点拨     可看作点(x,y)(记为A)与(1,4)(记为B)间的距离,|3x+4y-5|可看作点A(x,y)到直 线3x+4y-5=0(记为l)的距离d的5倍,所以f(x,y)的最小值即|AB|+d的最小值,通过作BM⊥l得到结果. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点A(x,y),B(1,4),直线l:3x+4y-5=0,点A到l的距离为d, 易知f(x,y)=|AB|+d, 作BM⊥l于M, 则|AB|+d≥|MB|= = , 当且仅当点A在线段MB上时取等号. 故f(x,y)的最小值为 .   易错警示　结合代数式的几何意义来求得结果,需要注意代数式表示的是距离还是距离的平方,避免出 现计算错误. 第1讲　描述运动的基本概念 $