精品解析：山东济南市槐荫区恒远学校2026-2027学年度第一学期学科素养诊断试题 九年级数学试题

2026-2027学年度第一学期学科素养诊断试题 九年级数学试题 本试题4页，全卷满分为150分，考试用时120分钟． 答题前，请考生务必将自己的班级、姓名、考场、准考证号、座号写在试题的规定位置．答题时，所有答案必须写在各题目指定区域内（超出密封线无效）．不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求做答，答案无效． 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组线段中，成比例的一组线段是（　　） A. 2、3、4、5 B. 2、3、4、6 C. 2、3、4、7 D. 2、3、4、8 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，直线AC和DF被、、所截，，，，则的长为（　　） A. 12 B. 3 C. D. 5 4. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与y轴交于点 D. 当时，y随x的增大而减小 6. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 7. 线段上点是黄金分割点，，若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 9. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 10. 正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 已知，则_________． 12. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 13. 两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比为_________． 14. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为_______米． 15. 如图，已知在中，点E在上，，连接，相交于点F，如果的面积为，则的面积为__________． 16. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①； ②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有______．（填序号） 三、解答题（共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 18. 如图，在中，，，D是边上一点，且． （1）求证：． （2）求的长． 19. 如图，在中，，是边上高，若，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 如图，正方形中，，E是上一点，过E作交于点F，连接． （1）证明：． （2）当时，求的长． 21. 在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． （3）在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． （1）用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； （2）根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 23. 如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． （1）当移动几秒时，的面积为？ （2）当移动几秒时，与相似？ 24. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得． 问题解决 （1）问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． （2）问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． （3）问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； （2）如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 26. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期学科素养诊断试题 九年级数学试题 本试题4页，全卷满分为150分，考试用时120分钟． 答题前，请考生务必将自己的班级、姓名、考场、准考证号、座号写在试题的规定位置．答题时，所有答案必须写在各题目指定区域内（超出密封线无效）．不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求做答，答案无效． 一、选择题（每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组线段中，成比例的一组线段是（　　） A. 2、3、4、5 B. 2、3、4、6 C. 2、3、4、7 D. 2、3、4、8 【答案】B 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两线段长的比值与另两条线段长的比值相等，即，则为成比例线段. 【详解】A.，不符合题意； B.，符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键. 2. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：A、是正比例函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，直线，直线AC和DF被、、所截，，，，则的长为（　　） A. 12 B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理列式求解即可． 【详解】解：直线， ， ，，， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理可得＝＝，再利用比例的性质求得的值即可． 【详解】解：∵DE//AB， ∴＝＝， ∴＝． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、比例的性质等知识点，灵活应用平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 5. 关于二次函数的图象，下列结论正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 与y轴交于点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括开口方向、对称轴、与y轴交点及增减性，熟练掌握相关性质是解题的关键，通过将函数化为顶点形式，分析参数即可判断各选项． 【详解】解：∵二次函数，其中， ∴开口向上，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误； 当 时，，与 y 轴交于点，故选项C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当 时，y随x的增大而减小，故选项D正确， 故选：D． 6. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 7. 线段上点是黄金分割点，，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式是解题关键．根据黄金分割点的定义，知是较长线段，由黄金分割的公式：较长的线段=原线段的倍，计算即可． 【详解】解：线段，点是黄金分割点，， ； 故选：B． 8. 如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 BC=3.2m，CA=0.8m， 则树的高度为（ ） A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m 【答案】C 【解析】 【详解】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似， 设树高x米，则，即 ∴x=8 故选C． 9. 如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（　　） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质，求出面积比，即可求解． 【详解】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，， ∴， 则四边形面积为． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，位似图形面积比等于相似比的平方，据此即可求解． 10. 正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AN的长，即可得到结论． 【详解】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2， ∵BF＝FC，BC＝AD＝2， ∴BF＝AH＝1，FC＝HD＝1， ∴AF＝＝， ∵OH∥AE， ∴， ∴OH＝AE＝， ∴OF＝FH−OH＝2−＝， ∵AE∥FO， ∴△AME∽△FMO， ∴， ∴AM＝AF＝， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴＝2， ∴AN＝2NF＝， ∴MN＝AN−AM＝−＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 已知，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】将所求分式拆分得到含已知的式子，代入计算即可； 【详解】解：， ． 12. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标． 【详解】令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键． 13. 两个相似三角形的面积比为，则它们的相似比为_________． 【答案】1：2 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】两个相似三角形的面积比为，则其相似比为． 故答案为：． 【点睛】题目主要考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，理解掌握性质是解题关键． 14. 在“测量学校教学楼的高度”的数学活动中，小刚同学使用镜面反射法进行测量，如图所示．若米，米，米，则这个学校教学楼的高度为_______米． 【答案】18 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，可列出比例式，进而可求得答案. 【详解】∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，如图， ∴∆ABC∆EDC， ∴， 即：， ∴ED=18 故答案是：18． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，根据性质，列出对应边的比例式，是解题的关键. 15. 如图，已知在中，点E在上，，连接，相交于点F，如果的面积为，则的面积为__________． 【答案】 54 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得且，从而证得，再根据求出相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①； ②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图像经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有______．（填序号） 【答案】②③④⑤ 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到，利用抛物线对称轴的方程得到，利用抛物线与轴的交点位置得到，则可对①进行判断；根据判别式的意义对②进行判断；利用时得到，把代入得到，然后利用可对③进行判断；利用二次函数当时有最小值可对④进行判断；由于二次函数与直线的一个交点为，利用对称性得到二次函数与直线的另一个交点为，从而得到，，则可对⑤进行判断． 【详解】抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线，即， ， 抛物线与轴的交点在轴的下方， ， ，所以①错误； 抛物线与轴有2个交点， ，所以②正确； 时，， ， 而， ， ， ，所以③正确； ，有最小值， （为任意实数）， 即，所以④正确； 图象经过点时，方程的两根为， ， 二次函数与直线的一个交点为， 抛物线的对称轴为直线， 二次函数与直线的另一个交点为， 即，， ，所以⑤正确． 故答案为：②③④⑤ 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线开口向上；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴的交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由判别式确定． 三、解答题（共86分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键． 【详解】解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，． 18. 如图，在中，，，D是边上一点，且． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两角对应相等的两个三角形相似可得结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例列出比例式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴（舍去负值）． 19. 如图，在中，，是边上高，若，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）通过寻找两个三角形中相等的角，利用两角分别相等来证明相似． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据三角形面积的两种不同表示方法，建立等式求出的长． 本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定定理和利用面积法求高是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，正方形中，，E是上一点，过E作交于点F，连接． （1）证明：． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）2． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法，求证即可； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 21. 在如图的万格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为． （3）在内有一点，按（2）的方式得到的对应点的坐标是__________． 【答案】（1）如图：点P的位置即为所求； ． （2）如图：即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）如图：各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）根据位似比，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图∶ 点P的位置即为所求；． 图略 【小问2详解】 解：如图：即为所求． 图略 【小问3详解】 解：∵与的位似比为，内有一点，在内的一点为， ∴． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的万人增加到2023年的50万人．设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x． （1）用含x的代数式表示2023年参加健身运动的人数y（单位：万人），并化为二次函数的一般形式； （2）根据题意，求该市参加健身运动人数的年平均增长率． 【答案】（1）含的代数式为，二次函数一般形式为 （2）该市参加健身运动人数的年平均增长率为 【解析】 【分析】（1）初始量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则满足等量关系，再化为一般式即可； （2）令，则，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意得：2023年参加健身运动的人数， ∴二次函数一般形式为 【小问2详解】 解：由题意得：，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该市参加健身运动人数的年平均增长率为． 23. 如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． （1）当移动几秒时，的面积为？ （2）当移动几秒时，与相似？ 【答案】（1）或秒 （2）或秒 【解析】 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【小问1详解】 解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； 【小问2详解】 解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 24. 根据以下素材，探索解决问题． 测量旗杆的高度 素材1 可以利用影子测量旗杆的高度．如图，光线，，分别是旗杆和小陈同学在同一时刻的影子． 说明：小陈同学、旗杆与标杆均垂直于地面，小陈同学的眼睛G离地面的距离． 素材2 可以利用镜子测量旗杆的高度．如图，小陈同学从镜子E中刚好可以看见旗杆的顶端C，测得． 素材3 可以利用标杆测量旗杆的高度．如图，点G，P，C在同一直线上，标杆测得． 问题解决 （1）问题1 分析测量原理：利用素材1说明的理由． （2）问题2 完善测量数据：在素材2中，小陈同学还要测量图中哪条线段的长度（旗杆无法直接测量），才能求出旗杆的高度？若把该线段的长度记为a，请你用含a的式子表示出旗杆的高度． （3）问题3 推理计算高度：利用素材3求出旗杆的高度． 【答案】（1）解：， ， ， ， ． （2）小陈同学还要测量； （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质，垂直的定义，三角形相似的判定，解答即可． （2）根据光的反射原理，证明，根据相似解答即可． （3）延长交的延长线于点H，设，根据同一时刻，物高与影长成正比，列比例求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：小陈同学还要测量． ， ， 根据光的反射原理，得， ， ， ，，， ． 解得， 故旗杆的高度为． 【小问3详解】 解：如图，延长交的延长线于点H，设， 根据同一时刻，物高与影长成正比， 得， ， 解得， ∴， 故旗杆的高度为． 25. 某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，在中，，垂足为D． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ① ② ∴． 请完成填空：①______________；②_____________； （2）如图2，F为线段上一点，连接AF并延长至点E，连接，当时， ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】（1），． （2）①； ②证明：由①知， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可；②由①知，得出．再结合（1）即可证明结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：①如图：连接， ∵，， ∴， ∴． ②略． 26. 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且． （1）观察猜想 小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时： ①的值为________ ②直线与所夹的锐角的度数为________度． （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由； （3）拓展延伸 若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 【答案】（1）； （2） （1）中的两个结论仍然成立，理由如下： 如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度， 故（1）中的两个结论仍然成立； （3）​或 【解析】 【分析】（1）先依据和均为等腰直角三角形的条件，得到、、，通过同减公共角得出，即可证明，得出，同时由相似三角形对应角相等得到，结合对顶角相等与三角形内角和定理，推导出直线与所夹的锐角等于等腰直角三角形的底角； （2）无论绕点旋转到任意位置，等腰直角三角形的边长比例关系始终保持不变，且通过同减公共角依旧能推导出，因此的相似关系不会随旋转角度发生改变，依旧能由相似三角形的性质得到，同时沿用对应角相等、对顶角相等与三角形内角和定理，证得与所夹的锐角为，因此（1）中的两个结论仍然成立； （3）先根据等腰直角三角形的边长与勾股定理算出的长度为，再结合所在直线垂直于的条件，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到，在中用勾股定理算出的长度为，同时结合旋转的位置特性分两种情况计算的长度，第一种是垂足在线段上时，，第二种是垂足在线段的延长线上时，，最后直接套用前面已证的的结论，分别算出两种情况对应的长即可． 【小问1详解】 解：①如图，设与交于点， ∵和均为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ②∵， ∴，即， 又∵且，， ∴， 即直线与所夹的锐角的度数为度； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：已知​，，， ∵是等腰直角三角形，， ∴， 分两种情况讨论： 情况一：，垂足在线段上，如图： ∵，为等腰直角三角形， ∴为等腰斜边的中线， ∴， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 由（2）的结论​，得：​； 情况二：，垂足在线段的延长线上，如图： 同理可得：，， ∴， 由（2）的结论，得：； 综上，的长为​或． 【点睛】旋转类几何题，优先抓旋转不变性：旋转前后对应边长度、对应角大小不变，这是找全等或相似的核心；共顶点的两个等腰直角三角形，优先考虑“手拉手模型”，快速锁定全等或相似关系；递进式大题，后面的小问优先套用前面已经证明的通用结论，无需重复推导，简化计算；无图的拓展计算，务必注意旋转的多位置情况，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $