2026-2027学年高二上学期数学人教A版期中重难点模拟检测卷（提高）

高二上学期期中重难点模拟检测卷（提高卷） 【考试范围：空间向量与立体几何 直线和圆的方程】 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 2．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 【答案】B 【分析】A，由判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可. 【详解】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误； B.当时，，所以与一定共线，故B正确； C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误； D.如图所示： 设， 显然满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故D错误； 故选：B. 3．已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】C 【分析】利用空间向量的夹角公式求出，结合向量夹角的取值范围可得出的大小. 【详解】由题意可得， 因为，故. 4．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，可求得与夹角的余弦值. 【详解】设正方体的棱长为1， 如图，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以与所成角的余弦值是. 故选：C. 5．已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式以及斜率与倾斜角公式即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意得：，所以，， 所以. 6．已知点不在直线上，则方程表示（    ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点且垂直于的直线 D．不过点且平行于的直线 【答案】B 【分析】根据方程的特点，判断其是否过点以及与直线的位置关系. 【详解】将点的坐标代入方程的左边， 可得：，等式成立，因此该直线一定过点， 当时，直线的方程为，其斜率为， 方程可化简为， 即，其斜率为， 因为，且点不在直线上，所以两直线平行， 当时，直线的方程为：，即， 这是一条垂直于轴的直线，方程可化简为： ，即，也是一条垂直于轴的直线， 由于点不在直线：上，所以， 即，两直线不重合，所以两直线平行， 所以方程表示过点且平行于的直线. 7．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意作出图形，证明出三角形ABC为等腰直角三角形，作出辅助线，找到费马点，求出最小值. 【详解】由题意得：的几何意义为点到点的距离之和的最小值， 因为，， ， 所以，故三角形ABC为等腰直角三角形，， 取的中点，连接，与交于点，连接，故，， 因为，所以，故，则， 故点到三角形三个顶点距离之和最小，即取得最小值， 因为，所以，同理得：，， ， 故的最小值为. 故选：B 8．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求圆C的圆心关于直线对称点即可求得所求圆圆心，进而得解. 【详解】圆的圆心为，半径为5， 设圆心关于直线对称点坐标为， 由题意得，解得，即对称圆的圆心为， 所以圆C关于直线对称的圆的方程为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（   ） A．直线的斜率为3 B．过点，的直线方程为 C．圆的圆心为，半径为1 D．若，则直线与直线平行 【答案】ABD 【分析】对A，直接变形即可判断；对B，求出斜率，再写出点斜式方程即可；对C，转化为标准圆方程即可判断；对D，直接代入计算即可判断. 【详解】对A，直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为3，故A正确． 对B，因为点，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，一般式方程为，故B正确． 对C，圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径为1，故C错误； 对D，当时，直线的方程为， 直线的方程为，可化为，所以，故D正确. 故选：ABD． 10．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【详解】由得，所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径，所以，故B正确； 又，所以，所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 11．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 13．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 【答案】 【分析】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【详解】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________. 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【答案】(1)， (2) 因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 【分析】（1）结合空间向量的线性运算即可求出结果； （2）证得，即可得出结论. 【详解】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）略 16．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算及夹角公式求解； （2）利用空间向量垂直的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，， 则，， 所以； （2）， 因为与垂直， 则， 所以. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.    18．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 19．已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或； (2) (3)为定值，. 由（1）可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，， 联立方程，即，，即， ，，又，， 所以， 所以为定值，. 【分析】（1）根据直线过定点并求出圆心和半径，分别讨论直线斜率是否存在，利用点到直线距离公式即可求得切线方程； （2）由目标式的几何意义解不等式即可求得结果； （3）联立直线和圆的方程，利用韦达定理计算可求出结果. 【详解】（1）先整理圆：； 可得其圆心，半径. 对于直线变形得； 令，解得. 所以直线恒过定点. 由圆：，得圆心，半径，直线恒过定点， ①当直线斜率不存在时，方程为，直线与圆相切成立， ②当直线斜率存在时，设直线的方程为， 圆心到直线的距离， 由直线与圆相切可得，即， 解得，直线方程为，即， 综上所述：直线的方程为或； （2）设 ，即 ， 直线与圆有交点，所以 ， 因此的取值范围为. （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二上学期期中重难点模拟检测卷（提高卷） 【考试范围：空间向量与立体几何 直线和圆的方程】 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2．给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 3．已知，，则是（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 4．如图，在正方体中，是的中点，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．已知点不在直线上，则方程表示（    ） A．过点且垂直于的直线 B．过点且平行于的直线 C．不过点且垂直于的直线 D．不过点且平行于的直线 7．费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 8．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（   ） A．直线的斜率为3 B．过点，的直线方程为 C．圆的圆心为，半径为1 D．若，则直线与直线平行 10．已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 11．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13．如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为______. 14．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 16．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若与垂直，求实数t的值． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 18．求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 19．已知直线： 与圆：． (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若为圆C上一点，求的取值范围； (3)设为坐标原点，若直线与圆交于，两点，且直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $