第39讲 直线与圆锥曲线的位置关系讲义-2027届高考数学一轮复习

第39讲 直线与圆锥曲线的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考直线与圆锥曲线的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、联立韦达与点差法思想 03 知识精讲·靶向突破 7个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 位置关系的判定 新课标Ⅰ卷 T15（5 分） 全国甲卷 T11（5 分） 全国乙卷 T12（5 分） 弦长公式与韦达定理 新课标Ⅱ卷 T10（5 分） 浙江卷 T12（5 分） 全国乙卷 T11（5 分） 中点弦与点差法 全国甲卷 T12（5 分） 新课标Ⅰ卷 T16（5 分） 江苏卷 T13（5 分） 直线与双曲线、抛物线 北京卷 T10（5 分） 新课标Ⅱ卷 T11（5 分） 天津卷 T13（5 分） 面积与最值综合 新课标Ⅰ卷 T19（12 分） 全国甲卷 T20（12 分） 新课标Ⅱ卷 T19（12 分） 直线与圆锥曲线位置关系用判别式，但“只有一个交点”对双曲线还要考虑渐近线平行。 弦长公式 是通法，中点弦用点差法更快。 面积问题把底设为弦长、高设为点到直线距离，再用韦达定理化简。 备考建议：先练联立与韦达的基本功，再记牢弦长公式，然后专攻点差法，最后把“一个交点”的三种情形（相切、平行渐近线、平行对称轴）辨析清楚。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲的主线只有两条：联立消元读信息与点差法定斜率。 图 1　直线与圆锥曲线知识结构图 两组易混点务必辨析： 易混对象 正确认识 一个交点与相切 椭圆只有一个交点必是相切；双曲线要考虑平行于渐近线，抛物线要考虑平行于对称轴，后两种不是相切 弦长公式两种形式 斜率存在用 ；斜率不存在（垂直弦）直接用 ，与 轴平行的弦用 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　直线与椭圆的位置关系 一、判别式法 把直线方程代入椭圆方程，消去 （或 ）得到关于 的一元二次方程（）。 判别式 ： 时直线与椭圆相交（两个公共点）； 时相切（一个公共点）； 时相离（无公共点）。 二、两个常用结论 1．椭圆是封闭曲线，直线与椭圆只有一个公共点就必是相切，不存在其他情形。 2．点在椭圆内部（代 入方程左端小于 ）时，过该点的任何直线都与椭圆相交，过内点的直线不可能与椭圆相切。 注意： 1．二次项系数可能含参数，讨论 之前先保证二次项系数不为零。 2．判断“点在椭圆内”用代入法：左端的值小于 即在内部。 3．相切只有一个公共点，但求切线时不要漏掉竖直切线。 【自主检测】若直线 与椭圆 相切，则 ________． 【答案】 【分析】联立后令判别式等于零。 【详解】联立得 ； 　　　相切要求判别式为零，即 ； 　　　化简得 ，所以 ． ▶ 知识点2　弦长公式 一、公式与推导 斜率为 的直线与圆锥曲线交于 、，则，其中 是联立后二次方程的二次项系数。 推导只用了一步勾股定理：，故 。 二、两种特殊情形 1．直线垂直于 轴（斜率不存在）时，，直接代方程求 。 2．直线与 轴平行时，，即公式中取 的特例。 注意： 1．，韦达定理代入即可，不必解出交点。 2．公式里 是直线的斜率，联立前先把直线化成斜截式。 3． 中 取绝对值，别把负号带进去。 【自主检测】直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 【答案】 【分析】联立消元，用韦达定理代入弦长公式。 【详解】联立得 ，判别式 ； 　　　； 　　　所以 ． ▶ 知识点3　中点弦问题与点差法 一、点差法三步 设弦的两个端点为 、，第一步把两点坐标分别代入椭圆方程； 第二步两式相减，左边平方差分解因式，得到 ； 第三步把中点坐标 代入，直接解出斜率 。 二、使用前提 中点弦存在的前提是中点在椭圆内部：代入检验，左端的值小于 才有弦。否则用点差法算出斜率后联立会发现判别式小于零，弦根本不存在。 注意： 1．点差法只给斜率，最后必须联立方程验证弦确实存在。 2．中点弦的斜率公式可记为 （、 为中点坐标，椭圆焦点在 轴）。 3．抛物线 的对应公式是 。 【自主检测】椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】点差法定斜率，再写直线。 【详解】由点差法得 ； 　　　所以 ； 　　　检验 ， 在椭圆内部，弦存在； 　　　直线方程为 ，即 ． ▶ 知识点4　直线与双曲线的位置关系 一、判别式与二次项系数 联立后得到 。当 时： 两个公共点， 一个公共点（相切）， 无公共点。 当 时方程退化成一次方程，恰有一个公共点——此时直线与渐近线平行，这不是相切！ 二、交点在哪一支上 要求交点都在右支，即两个交点的横坐标都为正：用 且 同时控制。 过原点的直线与双曲线要么没有公共点，要么有两个关于原点对称的公共点，不可能只有一个公共点。 注意： 1．“只有一个公共点”要分两类：相切（）与平行渐近线（）。 2．平行于渐近线的直线与双曲线恰有一个公共点，且不可能相切。 3．判断在哪一支上，本质是控制两根同号且符号确定。 【自主检测】若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ________． 【答案】 或 【分析】分二次项系数为零与判别式为零两类。 【详解】联立得 ； 　　　当 ，即 时，直线与渐近线平行，恰有一个公共点； 　　　当 时，判别式 ，得 ； 　　　综上 或 ． ▶ 知识点5　直线与抛物线的位置关系 一、联立与退化 把 代入 得。 当 时方程退化成一次方程，恰有一个公共点——此时直线与对称轴平行，不是相切；当 且 时相切。 二、焦点弦的长度范围 过焦点的弦长 。由倒数和结论 ，通径 是最短焦点弦，焦点弦长度没有上限。 注意： 1．抛物线与椭圆不同：一个公共点可能是相切，也可能是平行于对称轴。 2．求“只有一个公共点”的 值时，先单独讨论 。 3．焦点弦长最短是通径 ，最长没有上限。 【自主检测】若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，则 ________． 【答案】 或 【分析】先讨论与对称轴平行的情形，再令判别式为零。 【详解】联立得 ； 　　　当 时直线 与对称轴平行，方程为 ，恰有一个公共点； 　　　当 时，判别式 ，得 ； 　　　综上 或 ． ▶ 知识点6　面积问题 一、面积公式 弦与原点构成的三角形，，其中 为原点到弦所在直线的距离；焦点弦还可写成 。 二、计算顺序 先联立得 、，再算弦长，最后求高；不要先解出交点坐标。 注意：焦点弦三角形用 作高，比求点到直线距离少一步。 ▶ 知识点7　参数范围与最值 一、两个公共点 联立后二次项系数不为零且 ；若二次项系数可能为零（平行于渐近线或对称轴），必须单独讨论。 二、相切 即相切，常用来求参数临界值；距离最值可用参数方程或平行切线法。 注意：直线恒过曲线上的定点时，“两个公共点”往往只需排除另一交点与定点重合的情形。 ▶　题型破译　◀ 题型1 位置关系的判定 这类题的动作是：化直线为斜截式 → 联立消元 → 看判别式或退化情形下结论。 例1-1（2025·全国甲卷·改编）判断直线 ： 与椭圆 ： 的位置关系． 【答案】相离 【分析】联立后看判别式的符号。 【详解】联立得 ； 　　　判别式 ； 　　　所以直线与椭圆相离． 【方法技巧】 1．联立消元：代入后整理成 。 2．看判别式：大于零相交、等于零相切、小于零相离。 3．椭圆无特例：一个公共点就是相切。 【易错分析】 1．代入时平方展开漏项，判别式算错符号。 2．把 说成“相切”，把 说成“相交”。 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】联立后要求判别式大于零。 【详解】联立得 ； 　　　判别式 ； 　　　两个公共点要求 ，即 ； 　　　所以 ． 【变式训练1-2】（2026·浙江杭州·二模）过点 作椭圆 的切线，则切线的方程为________． 【答案】 或 【分析】点在椭圆外，切线有两条，别漏竖直切线。 【详解】点 代入左端得 ，在椭圆外； 　　　竖直线 代入得 ，切于点 ，是一条切线； 　　　斜率存在时设 ，联立得； 　　　判别式为 ，令其为零得 ，此时切线为 ； 　　　所以切线方程为 或 ． 【变式训练1-3】（2025·湖北武汉·三模）过点 且与椭圆 相切的直线的斜率为________． 【答案】 【分析】设斜截式，联立后令判别式为零。 【详解】设 ，联立得 ； 　　　相切要求判别式为零，即 ； 　　　化简得 ，所以 ； 　　　竖直线 与椭圆交于两点，不是切线． 题型2 弦长计算 弦长问题的标准流程：联立 → 韦达 → ，垂直弦直接用纵坐标之差。 例2-1（2024·江苏卷·改编）直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 【答案】 【分析】联立消元，韦达定理代入弦长公式。 【详解】联立得 ，； 　　　，； 　　　． 【方法技巧】 1．弦长公式：。 2．韦达代入：。 3．垂直弦：斜率不存在时 。 【易错分析】 1．忘乘 ，把 当成弦长。 2． 里的 忘了取绝对值。 【变式训练2-1】（2026·山东济南·二模）直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 【答案】 【分析】垂直弦直接代入求纵坐标。 【详解】把 代入得 ，即 ； 　　　所以 ，； 　　　． 【变式训练2-2】（2026·福建厦门·二模）直线 与抛物线 相交于 、 两点，则 ________． 【答案】 【分析】联立消元，用韦达定理。 【详解】代入得 ，即 ； 　　　，； 　　　； 　　　． 【变式训练2-3】（2025·四川成都·三模）直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 【答案】 【分析】化成 再联立。 【详解】联立得 ； 　　　判别式 ； 　　　； 　　　． 题型3 中点弦问题 知中点求斜率用点差法，知斜率求中点用韦达定理，两条路最后都要检验弦的存在性。 例3-1（2025·全国乙卷·改编）椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】点差法三步走，最后检验中点在内部。 【详解】由点差法得 ； 　　　所以斜率 ； 　　　， 在椭圆内部，弦存在； 　　　直线方程为 ． 【方法技巧】 1．设点：弦两端 、。 2．作差：代入曲线方程后两式相减，平方差分解。 3．读斜率：中点坐标代入，。 【易错分析】 1．不检验中点是否在曲线内部，算出斜率直接写答案。 2．相减时把平方差展开成两个平方再相减，符号出错。 【变式训练3-1】（2026·广东广州·二模）椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为________． 【答案】 【分析】点差法定斜率。 【详解】由点差法得 ； 　　　所以斜率 ； 　　　直线方程为 ，即 ； 　　　联立得 或 ，弦的两个端点为 与 ，中点恰为 ，弦存在． 【变式训练3-2】（2026·湖南长沙·一模）直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 ，则 ________，________． 【答案】； 【分析】韦达定理给 ，解出 后再算弦长。 【详解】联立得 ； 　　　，即 ，； 　　　所以 ，此时方程为 ，两个交点为 与 ； 　　　． 【变式训练3-3】（2025·重庆·三模）抛物线 中，以点 为中点的弦长为________． 【答案】 【分析】点差法得斜率，联立后算弦长。 【详解】由 与 相减得； 　　　，所以斜率 ； 　　　直线 ，联立得 ； 　　　，，； 　　　． 题型4 直线与双曲线、抛物线 这一题型专攻“一个公共点”的分类：双曲线分相切与平行渐近线，抛物线分相切与平行对称轴，别漏也别混。 例4-1（2025·新课标Ⅰ卷·改编）若直线 与双曲线 有两个不同的公共点，求 的取值范围． 【答案】 且 【分析】二次项系数非零且判别式大于零。 【详解】联立得 ； 　　　两个公共点要求二次项系数非零且判别式大于零； 　　　判别式 ，即 ； 　　　又 ，即 ； 　　　所以 且 ． 【方法技巧】 1．先看二次项系数：为零时直线平行于渐近线或对称轴。 2．再看判别式：大于零两个交点，等于零相切。 3．范围题别忘排除：退化情形单独剔除。 【易错分析】 1．把平行渐近线的“一个交点”当成相切。 2．求交点范围时漏掉 这类排除条件。 【变式训练4-1】（2026·河北石家庄·一模）过原点且斜率为 的直线与双曲线 恰有一个公共点，这样的 （　　） A．存在， B．存在， C．存在， D．不存在 【答案】D 【分析】过中心的直线与双曲线的交点成对出现。 【详解】双曲线中心是原点，过中心的直线与它若有公共点，必有两个关于原点对称的公共点； 　　　 时直线是渐近线，与双曲线没有公共点； 　　　 时直线是 轴，交于两顶点 ，有两个公共点； 　　　竖直线 代入得 ，无解；所以这样的 不存在，选 D． 【变式训练4-2】（2026·浙江温州·二模）直线 与抛物线 （）相交于 、 两点，且 ，则 ________，________． 【答案】； 【分析】把 用韦达定理表示。 【详解】联立得 ； 　　　； 　　　其中 ，，所以 ，； 　　　此时 ，，； 　　　． 【变式训练4-3】（2025·天津·三模）若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，则 ________． 【答案】 或 【分析】先讨论 ，再令判别式为零。 【详解】联立得 ； 　　　当 时方程为 ，直线 与对称轴平行，恰有一个公共点； 　　　当 时，判别式 ，得 ； 　　　综上 或 ． 题型5 焦点弦与综合应用 过焦点的弦长有现成结论：椭圆最短是通径 、最长 ；抛物线最短是通径 、无上限。 例5-1（2024·新课标Ⅱ卷·改编）过椭圆 的右焦点 作直线 与椭圆交于 、 两点，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】最短弦是通径，最长弦是长轴。 【详解】，，，右焦点 ； 　　　当 垂直于长轴时弦为通径，； 　　　当 与长轴重合时，； 　　　所以 ． 【方法技巧】 1．椭圆焦点弦：。 2．抛物线焦点弦：，最长无上限。 3．一般弦长：回到联立与韦达，别硬套焦点弦结论。 【易错分析】 1．把通径公式写成 或 。 2．焦点弦取不到端点时闭区间开区间写错。 【变式训练5-1】（2026·辽宁大连·二模）过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，若 ，则 ________． 【答案】 【分析】用倒数和结论先求 。 【详解】，由 ； 　　　所以 ，； 　　　． 【变式训练5-2】（2026·上海·模拟预测）椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为________． 【答案】 【分析】参数化椭圆，把距离化为三角函数。 【详解】设椭圆上一点 ； 　　　距离 ； 　　　其中 ； 　　　分子最大为 ； 　　　所以 ． 【变式训练5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 （ 为原点），则 ________． 【答案】 【分析】联立求出两个交点，再由数量积为零列方程。 【详解】联立得 ，两个交点为 与 ； 　　　，； 　　　 即 ，所以 ； 　　　由 得 ． ▶　真题溯源　◀ 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·T11）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立后判别式大于零。 【详解】联立得 ； 　　　判别式 ； 　　　两个公共点要求 ，即 ； 　　　所以 ，选 A． 2．（2020·全国Ⅰ卷·T4）已知椭圆 与直线 相交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立消元，韦达定理代入弦长公式。 【详解】把 代入得 ； 　　　整理得 ，两个交点的横坐标为 与 ；对应纵坐标为 与 ； 　　　，选 A． 3．（2021·北京卷·T10）过椭圆 的右焦点 作直线 与椭圆交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】弦长最短的焦点弦是通径。 【详解】椭圆的通径长为 ，是焦点弦的最小值； 　　　通径垂直于长轴，过右焦点 ，所以直线 为 ； 　　　此时两交点的纵坐标为 ，弦长恰为 ，选 A． 二、多选题 4．（2024·江苏卷·T12）若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分平行渐近线与相切两类。 【详解】 时直线与渐近线平行，恰有一个公共点，A、B 正确； 　　　 时判别式为零，直线与双曲线相切，C 正确； 　　　 时判别式 ，有两个公共点，D 错误．故选 ABC． 5．（2023·湖北卷·T11）若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，则 的可能取值是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分平行对称轴与相切两类。 【详解】 时直线 与对称轴平行，恰有一个公共点，A 正确； 　　　 时判别式 ，相切，B 正确； 　　　 时判别式 ，无公共点，C 错误； 　　　 时判别式 ，有两个公共点，D 错误．故选 AB． 6．（2025·天津卷·T12）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且 ，则点 的坐标为________． 【答案】 【分析】焦半径公式求横坐标。 【详解】，，所以 ； 　　　代入抛物线得 ，； 　　　所以 ． ▶　课本典例　◀ 一、选择题 1．（人教A版选择性必修第一册 P108 例2 改编）求直线 与椭圆 的交点坐标（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】A 【分析】联立消元，解一元二次方程。 【详解】把 代入椭圆方程得 ； 　　　整理得 ； 　　　判别式 ； 　　　，即 或 ；对应 或 ，选 A． 二、填空题 2．（人教A版选择性必修第一册 P110 习题 改编）判断直线 与椭圆 的位置关系，若相交，写出交点坐标：位置关系为________，交点为________． 【答案】相交； 与 【分析】联立后看判别式，再解出交点。 【详解】联立得 ； 　　　判别式 ，直线与椭圆相交； 　　　，即 或 ； 　　　对应 或 ，交点为 与 ． 三、解答题 3．（人教A版选择性必修第一册 P113 例 改编）已知直线 与抛物线 恰有一个公共点． (1) 求 的值； (2) 求该公共点的坐标． 【答案】(1) 或 　(2) 时为 ， 时为 【分析】分一次退化与判别式为零两类，分别解出公共点。 【详解】联立得 ； 　　　当 时方程为 ，，公共点为 ； 　　　当 时，判别式 ，得 ； 　　　此时方程为 ，即 ，，，公共点为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第39讲 直线与圆锥曲线的位置关系 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考直线与圆锥曲线的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、联立韦达与点差法思想 03 知识精讲·靶向突破 7个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 位置关系的判定 新课标Ⅰ卷 T15（5 分） 全国甲卷 T11（5 分） 全国乙卷 T12（5 分） 弦长公式与韦达定理 新课标Ⅱ卷 T10（5 分） 浙江卷 T12（5 分） 全国乙卷 T11（5 分） 中点弦与点差法 全国甲卷 T12（5 分） 新课标Ⅰ卷 T16（5 分） 江苏卷 T13（5 分） 直线与双曲线、抛物线 北京卷 T10（5 分） 新课标Ⅱ卷 T11（5 分） 天津卷 T13（5 分） 面积与最值综合 新课标Ⅰ卷 T19（12 分） 全国甲卷 T20（12 分） 新课标Ⅱ卷 T19（12 分） 直线与圆锥曲线位置关系用判别式，但“只有一个交点”对双曲线还要考虑渐近线平行。 弦长公式 是通法，中点弦用点差法更快。 面积问题把底设为弦长、高设为点到直线距离，再用韦达定理化简。 备考建议：先练联立与韦达的基本功，再记牢弦长公式，然后专攻点差法，最后把“一个交点”的三种情形（相切、平行渐近线、平行对称轴）辨析清楚。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲的主线只有两条：联立消元读信息与点差法定斜率。 图 1　直线与圆锥曲线知识结构图 两组易混点务必辨析： 易混对象 正确认识 一个交点与相切 椭圆只有一个交点必是相切；双曲线要考虑平行于渐近线，抛物线要考虑平行于对称轴，后两种不是相切 弦长公式两种形式 斜率存在用 ；斜率不存在（垂直弦）直接用 ，与 轴平行的弦用 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　直线与椭圆的位置关系 一、判别式法 把直线方程代入椭圆方程，消去 （或 ）得到关于 的一元二次方程（）。 判别式 ： 时直线与椭圆相交（两个公共点）； 时相切（一个公共点）； 时相离（无公共点）。 二、两个常用结论 1．椭圆是封闭曲线，直线与椭圆只有一个公共点就必是相切，不存在其他情形。 2．点在椭圆内部（代 入方程左端小于 ）时，过该点的任何直线都与椭圆相交，过内点的直线不可能与椭圆相切。 注意： 1．二次项系数可能含参数，讨论 之前先保证二次项系数不为零。 2．判断“点在椭圆内”用代入法：左端的值小于 即在内部。 3．相切只有一个公共点，但求切线时不要漏掉竖直切线。 【自主检测】若直线 与椭圆 相切，则 ________． ▶ 知识点2　弦长公式 一、公式与推导 斜率为 的直线与圆锥曲线交于 、，则，其中 是联立后二次方程的二次项系数。 推导只用了一步勾股定理：，故 。 二、两种特殊情形 1．直线垂直于 轴（斜率不存在）时，，直接代方程求 。 2．直线与 轴平行时，，即公式中取 的特例。 注意： 1．，韦达定理代入即可，不必解出交点。 2．公式里 是直线的斜率，联立前先把直线化成斜截式。 3． 中 取绝对值，别把负号带进去。 【自主检测】直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． ▶ 知识点3　中点弦问题与点差法 一、点差法三步 设弦的两个端点为 、，第一步把两点坐标分别代入椭圆方程； 第二步两式相减，左边平方差分解因式，得到 ； 第三步把中点坐标 代入，直接解出斜率 。 二、使用前提 中点弦存在的前提是中点在椭圆内部：代入检验，左端的值小于 才有弦。否则用点差法算出斜率后联立会发现判别式小于零，弦根本不存在。 注意： 1．点差法只给斜率，最后必须联立方程验证弦确实存在。 2．中点弦的斜率公式可记为 （、 为中点坐标，椭圆焦点在 轴）。 3．抛物线 的对应公式是 。 【自主检测】椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为________． ▶ 知识点4　直线与双曲线的位置关系 一、判别式与二次项系数 联立后得到 。当 时： 两个公共点， 一个公共点（相切）， 无公共点。 当 时方程退化成一次方程，恰有一个公共点——此时直线与渐近线平行，这不是相切！ 二、交点在哪一支上 要求交点都在右支，即两个交点的横坐标都为正：用 且 同时控制。 过原点的直线与双曲线要么没有公共点，要么有两个关于原点对称的公共点，不可能只有一个公共点。 注意： 1．“只有一个公共点”要分两类：相切（）与平行渐近线（）。 2．平行于渐近线的直线与双曲线恰有一个公共点，且不可能相切。 3．判断在哪一支上，本质是控制两根同号且符号确定。 【自主检测】若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 ________． ▶ 知识点5　直线与抛物线的位置关系 一、联立与退化 把 代入 得。 当 时方程退化成一次方程，恰有一个公共点——此时直线与对称轴平行，不是相切；当 且 时相切。 二、焦点弦的长度范围 过焦点的弦长 。由倒数和结论 ，通径 是最短焦点弦，焦点弦长度没有上限。 注意： 1．抛物线与椭圆不同：一个公共点可能是相切，也可能是平行于对称轴。 2．求“只有一个公共点”的 值时，先单独讨论 。 3．焦点弦长最短是通径 ，最长没有上限。 【自主检测】若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，则 ________． ▶ 知识点6　面积问题 一、面积公式 弦与原点构成的三角形，，其中 为原点到弦所在直线的距离；焦点弦还可写成 。 二、计算顺序 先联立得 、，再算弦长，最后求高；不要先解出交点坐标。 注意：焦点弦三角形用 作高，比求点到直线距离少一步。 ▶ 知识点7　参数范围与最值 一、两个公共点 联立后二次项系数不为零且 ；若二次项系数可能为零（平行于渐近线或对称轴），必须单独讨论。 二、相切 即相切，常用来求参数临界值；距离最值可用参数方程或平行切线法。 注意：直线恒过曲线上的定点时，“两个公共点”往往只需排除另一交点与定点重合的情形。 ▶　题型破译　◀ 题型1 位置关系的判定 这类题的动作是：化直线为斜截式 → 联立消元 → 看判别式或退化情形下结论。 例1-1（2025·全国甲卷·改编）判断直线 ： 与椭圆 ： 的位置关系． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，则 的取值范围是________． 【变式训练1-2】（2026·浙江杭州·二模）过点 作椭圆 的切线，则切线的方程为________． 【变式训练1-3】（2025·湖北武汉·三模）过点 且与椭圆 相切的直线的斜率为________． 题型2 弦长计算 弦长问题的标准流程：联立 → 韦达 → ，垂直弦直接用纵坐标之差。 例2-1（2024·江苏卷·改编）直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 【变式训练2-1】（2026·山东济南·二模）直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 【变式训练2-2】（2026·福建厦门·二模）直线 与抛物线 相交于 、 两点，则 ________． 【变式训练2-3】（2025·四川成都·三模）直线 与椭圆 相交于 、 两点，则 ________． 题型3 中点弦问题 知中点求斜率用点差法，知斜率求中点用韦达定理，两条路最后都要检验弦的存在性。 例3-1（2025·全国乙卷·改编）椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为________． 【变式训练3-1】（2026·广东广州·二模）椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为________． 【变式训练3-2】（2026·湖南长沙·一模）直线 与椭圆 相交于 、 两点，若 ，则 ________，________． 【变式训练3-3】（2025·重庆·三模）抛物线 中，以点 为中点的弦长为________． 题型4 直线与双曲线、抛物线 这一题型专攻“一个公共点”的分类：双曲线分相切与平行渐近线，抛物线分相切与平行对称轴，别漏也别混。 例4-1（2025·新课标Ⅰ卷·改编）若直线 与双曲线 有两个不同的公共点，求 的取值范围． 【变式训练4-1】（2026·河北石家庄·一模）过原点且斜率为 的直线与双曲线 恰有一个公共点，这样的 （　　） A．存在， B．存在， C．存在， D．不存在 【变式训练4-2】（2026·浙江温州·二模）直线 与抛物线 （）相交于 、 两点，且 ，则 ________，________． 【变式训练4-3】（2025·天津·三模）若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，则 ________． 题型5 焦点弦与综合应用 过焦点的弦长有现成结论：椭圆最短是通径 、最长 ；抛物线最短是通径 、无上限。 例5-1（2024·新课标Ⅱ卷·改编）过椭圆 的右焦点 作直线 与椭圆交于 、 两点，则 的取值范围是________． 【变式训练5-1】（2026·辽宁大连·二模）过抛物线 的焦点 的直线与抛物线交于 、 两点，若 ，则 ________． 【变式训练5-2】（2026·上海·模拟预测）椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为________． 【变式训练5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，且 （ 为原点），则 ________． ▶　真题溯源　◀ 一、单选题 1．（2023·全国乙卷·T11）若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2020·全国Ⅰ卷·T4）已知椭圆 与直线 相交于 、 两点，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2021·北京卷·T10）过椭圆 的右焦点 作直线 与椭圆交于 、 两点，若 ，则直线 的方程为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2024·江苏卷·T12）若直线 与双曲线 有且仅有一个公共点，则 的可能取值是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·湖北卷·T11）若直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，则 的可能取值是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·天津卷·T12）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且 ，则点 的坐标为________． ▶　课本典例　◀ 一、选择题 1．（人教A版选择性必修第一册 P108 例2 改编）求直线 与椭圆 的交点坐标（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 二、填空题 2．（人教A版选择性必修第一册 P110 习题 改编）判断直线 与椭圆 的位置关系，若相交，写出交点坐标：位置关系为________，交点为________． 三、解答题 3．（人教A版选择性必修第一册 P113 例 改编）已知直线 与抛物线 恰有一个公共点． (1) 求 的值； (2) 求该公共点的坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $