5.4 诱导公式与三角恒等变换 专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题5.4  诱导公式与三角恒等变换（错题集训） 1．已知，，则（    ） A． B． C． D．或1 2．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 4．记函数的最小正周期为T，且，．若为的一个零点，则 ． 5．已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，的值域为，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知，且为钝角，则 . 10．已知集合是满足下列性质的函数的全体，存在非零常数，对任意，有成立．若函数，求实数的取值范围． 11．若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 12．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．若等式对于任意恒成立，则 ． 14．已知函数的图象关于直线对称，则的值为 . 15．已知，是方程的两个实根，且. (1)若，求的值； (2)用表示，并求其最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.4 诱导公式与三角恒等变换【错题集训】（我的错题本）人教A必修一》参考答案： 1．A 【分析】对条件进行平方得到关于的一元二次方程，求出，再利用辅助角公式进行计算. 【详解】由已知，，平方得，由于，所以，解得：或（舍去），所以， 故. 故选：A. 2．A 【分析】先利用两角和公式对已知等式整理求得的值，使之平方即可求得的值． 【详解】∵， ， ， ， 故选：． 3．C 【分析】由二倍角公式化简，设，利用复合函数求值域. 【详解】函数， 设，，则， 由二次函数的图像及性质可知， 所以的值域为， 故选：C. 4．3 【分析】根据周期公式结合已知条件求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解. 【详解】因为，， 所以，从而， 令，即，， 所以，． 故答案为：3. 5．(1) (2),, 【分析】（1）由平方关系、商数关系求解即可； （2）由三角恒等变换逐一求解即可. 【详解】（1）已知是第二象限角，，则； （2）由题意， , . 6．C 【分析】利用二倍角公式化简已知等式可求得，并确定所在象限；根据同角三角函数关系可求得，利用两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】，，， ，，， ，，，， . 故选：C. 7．B 【详解】由题得 由g(t)的图像，可知当 时，f(x)的值域为，所以故选B. 8．B 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 9． 【分析】利用两角和差的正切公式计算，再结合的范围即可求得. 【详解】由题意可得， 因为钝角，即，则，则，即. 故答案为：. 10． 【分析】先分与两类分析，再由题意得，由三角函数的有界性可得要使恒成立，只有，分别求解可得． 【详解】当时，，显然． 当时，因为， 所以存在非零常数，对任意，有成立，即． 因为，且，所以， 于是，，， 故要使恒成立，则必须有． 当时，对任意恒成立，则且． 当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则，即． 所以，且. 综上所述，实数的取值范围是. 11．A 【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 所以. 因为，，所以， 因为， 所以. 所以 . 因为，， 所以，所以. 故选：A 12．B 【分析】由题意可知对恒成立，若设，则，则在上恒成立，再由二次函数的图像可得，从而可求出的取值范围 【详解】依题意得， 所以对恒成立. 设，则，则在上恒成立， 由二次函数图像得，即， 解得. 故选：B. 【点睛】此题考查由函数的单调性求参数的取值范围，考查二次函数性质的应用，属于基础题 13． 【分析】首选根据为偶数或奇数进行分类讨论，然后再奇数的情况中再分和两种情况进行讨论，在化简得过程中结合诱导公式即可求出结果. 【详解】（1）当为偶数时，或，故，所以不成立； （2）当为奇数时，或， ①当时， ，符合题意； ②当时， ，不符合题意； 综上：， 故答案为： 14．## 【分析】先利用和角的正弦公式与辅助角公式将化简成正弦型函数，再由的图象关于直线对称，求出的值，利用二倍角的正切公式求解即得. 【详解】由 ，其中角满足. 因为的图象关于直线对称， 所以，可得，， 即， 所以 ， 所以. 故答案为：. 15．(1)1 (2)， 【分析】（1）根据韦达定理，结合正切的和角公式即可代入求解， （2）根据二倍角公式以及和差角公式化简，结合弦切互化将式子变形为，即可利用基本不等式求解最值得解. 【详解】（1）当时， 由题意知：， 所以 （2）由题知：，， 则， 因为 ， 所以 由于，故，当且仅当时，等号成立， 所以当时，取得最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4  诱导公式与三角恒等变换（纠错档案） 1. 若，则等于（    ） A.            B. C.            D. 2. 化简：. 3. 已知，求的最小值和最大值. 4. 若，，且，为锐角，求的值. 5. 已知在中，，，求的值. 类型一：三角恒等变换公式用错 【错因解读】不会运用诱导公式，二倍角公式，和差化积公式，积化和差公式与万能公式等.公式掌握不熟练. 【典例引导】若，则等于（    ） A.            B.            C.            D. 【错误解法】 ，故， 故选A. 【正确解法】. 所以，因此，故选C. 【补救措施】 总结： 1.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角、拼角技巧，如 ，，， ，. 2.注意公式的逆向使用、变形使用，特别是二倍角公式的变形公式及其三角函数值的变式： 如，其中， ，，，. 3. ，，这些二倍角公式，同学们一定要熟练掌握. 【再练一个】（2027届江西上饶高一下期期末） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 类型二：将与混淆而忽略对n的讨论 【错因解读】错在没有对n进行分类讨论，关键是对公式一没有理解透彻. 【典例引导】化简：. 【错误解法】原式 . 【正确解法】原式. （1）当n为奇数时，即， 原式 ； （2）当n为偶数时，即，原式 . 故原式 【补救措施】 总结：化简，时，需对n是奇数还是偶数分类讨论， 但对任意均成立. 【再练一个】 2．若，则的值为 ． 类型三：换元后忽视元的范围 【错因解读】盲目套用二次函数求最值，没有考虑三角函数的有界性 【典例引导】已知，求的最小值和最大值. 【错误解法】由得， 即. 所以此函数的最小值为，最大值不存在. 【正确解法】令，则，又， 则. 所以当时，函教有最大值为7； 当时，函数有最小值. 【补救措施】 总结：三角函数求最值的常用方法：（1）将函数式化为形式，利用三角函数的单调性、有界性，特别要熟练掌握辅助角公式；（2）将函数式化成单一名称三角函数的一元二次函数形式；（3）数形结合；（4）换元法；注意新元的范围，如遇到与相关的问题. 【再练一个】 3．“”是“在上恒成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型四：忽略隐含条件 【错因解读】方法不当导致运算量加大或忽视角的范围限制而致错. 【典例引导】若，，且，为锐角，求的值. 【错误解法】因为锐角，所以. 又为锐角，所以. 且. 由于，. 因为，故或. 【正确解法】因为为锐角，属于， 又因为为税角，所以， 则， 因为，为锐角，所以，故.错解忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导致求值错误.在解题中应挖掘出这个隐含条件. 【补救措施】上述解法欠严密，仅由，，而得到或是正确的，但题设中，.使得，故上述结论是错误的. 我们若取的余弦则易求得，又由于，故.这样就避免了上述角的范围的探求，因此在求角时一定要结合条件选择角的合适的三角函数名称，往往能化繁为简. 总结： 利用三角函数值求值（角）的关键： （1）角的范围的判断； （2）尽量用余弦和正切，如果用正弦需要把角的范围缩小. 【再练一个】 4．若，且为锐角，为钝角，则 类型五：化归与转化思想应用错误 【错因解读】对中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，得到结论而不加检验，应用同角三角函数关系时，已知角的一个三角函数值求角的其他各三角函数值的基本要领没有掌握. 【典例引导】已知在中，，，求的值. 【错误解法】错解1：∵， 又， ∴，. ∵，∴， 即， ∴. 错解2：∵， 又. ， ∴. 错解3：∵， 又， ∴. 【正确解法】在中，由知， ∵， ∴， 则 . 【补救措施】错解1应用两角和公式与已知函数值，把问题转化为关于的一元二次方程再求解，方法虽不简捷却是可行的，然而，由于对中内角的三角函数值的诸多限制认识不足，对最后的解答没有经验，从而结论错误.事实上，已知，表明了B是钝角，由知，A为锐角，不合题意，应舍去. 错解2和错解3都能够发现并应用变量代换的思想化，使问题显得十分简明，但对三角形的三角函数值的诸多限制认识不足，导致错误结果，事实上，表明B取得，错解3又得到而不加检验，反映在应用同角三角函数关系时，已知角的一个三角函数值求角的其他各三角函数值的基本要领没有掌握. 总结：三角函数的求值题型：（1）“给角求值”一般化为特殊角的三角函数，无法转化的应设法恒等变形使其相消或相约；（2）“给值求角”注意根据条件求出角的某一三角函数值，再讨论角的范围（注意根据已知三角函数值缩小角的范围）以便确定角的具体值；（3）“给值求值”的关键是找出已知式与欲求式之间的角、函数名称的差异与联系，主要方法有：①方程法，②比例性质，③弦化切，注意利用代换. 【再练一个】（2027届河北高一下期期末） 5．已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域. （易错点：三角恒等变换公式用错） （2027届辽宁高一下期期末） 6．已知，则（   ） A． B． C． D． （易错点：忽略隐含条件） （2027届江苏高一下期阶段测试） 7．设是锐角，，则（    ） A． B． C． D． （易错点：化归与转化思想应用错误） （2027届江苏徐州高一下期期末） 8．在锐角中，，，则（    ） A． B． C． D． （易错点：将与混淆而忽略对n的讨论） 9．已知n为整数，化简所得结果是 . （易错点：换元后忽视元的范围） （2027届江苏常州高一下期阶段测试） 10．已知，求函数的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.4 诱导公式与三角恒等变换【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案： 1．B 【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以 . 故选：B 2．0 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，即可计算出结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查求三角函数值的问题，属于基础题型. 3．B 【分析】根据已知可求出“在上恒成立”的等价条件.原式可转化为在上恒成立，令，，则只需即可.根据基本不等式，可求得，所以“在上恒成立”的等价条件时，即可得出结果. 【详解】当时，恒成立. 所以在上恒成立， 可转化为在上恒成立， 令，， 则只需即可. 又， 当且仅当，且时，即时等号成立， 所以. 又是的必要不充分条件， 所以，“”是“在上恒成立”的必要不充分条件. 故选：B. 4． 【分析】利用配凑法将表示成,再去求解即可得到的值. 【详解】因为为锐角，，所以， 又因为为钝角，所以， 所以, , 所以,, 所以, 因为，所以. 故答案为：. 5．(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换得，再整体代换求解即可； （2）整体代换求解函数的值域即可. 【详解】（1）因为 ， 由， 即， 所以函数的单调递增区间为：. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以函数在区间上的值域为：. 6．A 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 7．C 【分析】利用两角和与差的余弦公式展开等式左边，再结合正切函数的二倍角公式化简等式右边，然后通过化简等式求解. 【详解】利用两角和与差的余弦公式展开与可得： 根据正切函数的二倍角公式. 将、、代入原等式可得： 因为是锐角，，等式两边同时除以得： ，化为： 等式两边同时乘以得： 展开得：，则 则 因为是锐角，，所以都符合条件. . 故选：C. 8．ABD 【分析】对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出. 【详解】对于选项A： 因为， 所以① ②， 所以，所以A正确； 对于选项B： 因为，. 所以，即，所以B正确； 对于选项C： 因为，所以. 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为，. 又，所以， 化简得，所以解得. 又是锐角，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 9．tanα 【解析】根据的奇偶进行分类讨论． 【详解】若n＝2k(k∈Z)，则＝＝＝tanα； 若n＝2k＋1(k∈Z)，则＝＝＝＝tanα. 故答案为：． 10． 【分析】利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于的二次函数，从而得解. 【详解】令， 当时，，故，即， 又，所以， 故， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，当时，函数取得最小值， 所以的值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $