精品解析：四川省罗江中学校2025-2026学年上学期12月检测八年级数学试题

2025年12月初2024级数学试题 一、选择题：本题共12小题，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面英语字母图标中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 4. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 5. 若一个三角形的两边长分别为，，则它的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 45 7. 如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 9. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. 11 B. C. D. 11或 10. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则图②所示的大正方形的面积为（ ） A. 19 B. 29 C. 25 D. 20 12. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如果，关于x轴对称，则_________． 14. 计算： ______． 15. 已知，则的值是__________． 16. 如图，，只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是_____．（写出一个即可） 17. 如图，在中，，，的垂直平分线交与点D，交于点E，，则的长为________． 18. 如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． （3） ； （4）(运用乘法公式计算） 20. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图，在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是． （1）先把向右平移4个单位长度得到，请在图中作出． （2）再作出关于x轴对称的图形，则顶点的坐标是_________． （3）求出的面积． 22. 如图，是等腰三角形，，点为内部一点，连接、、，且，求证：平分． 23. 如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由． 24. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 25. （1）操作发现：如图①，是等边（知识链接：等边三角形三条边都相等，三个内角都是的边上一动点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）深入探究： Ⅰ．如图②，当动点在等边边上运动时（点与点不重合）连接，以为边分别作等边和等边，连接、，探究、与有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图③，当动点在等边边的延长线上运动时，其他作法与图②相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得出的结论，不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月初2024级数学试题 一、选择题：本题共12小题，共48分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面英语字母图标中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不合题意； C、不是轴对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 已知，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟记平方差公式是解此题的关键． 根据平方差公式可将原式化为，然后将已知条件代入求值即可． 【详解】解： ，， 原式， ． 故选：D． 4. 如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质逐项分析判定即可． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴，，即平分， ∴， 故选项A、C、D正确，不符合题意， 而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 故选：B． 5. 若一个三角形的两边长分别为，，则它的第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设第三边长为，根据三角形的三边关系可得，再解不等式即可． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系可得： ， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝5，AB＝18，则△ABD的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】由作图步骤可知AP为的角平分线，作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，所以. 【详解】解：如图，作于点E 由作图步骤可知AP为的角平分线 ，点P为AP上一点 . 故选：D 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得△ABD的高是求面积的关键. 7. 如图，中，，平分，则图中等腰三角形的个数是（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，由等边对等角和三角形内角和定理可得，则由角平分线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，据此可得，和都是等腰三角形，即等腰三角形有3个． 【详解】解：∵中，， ∴，是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴图中一共有3个等腰三角形， 故选：D． 8. 下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）． 【详解】解：A、原式=，不符合题意； B、原式=，不符合题意； C、原式=，符合题意； D、原式=，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式，关键是要熟练掌握并灵活运用平方差公式． 9. 若是完全平方式，则m的值是（ ） A. 11 B. C. D. 11或 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故选D 10. 如图，在中，点，，分别是，，的中点，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵点是的中点，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 11. 有两个正方形，现将放在的内部得图①，将并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则图②所示的大正方形的面积为（ ） A. 19 B. 29 C. 25 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】设的边长为的边长为，根据阴影面积得到关于的方程组，求出方程组的解即可得到答案． 【详解】解：设的边长为的边长为， 由图甲得，即， 由图乙得，得， ∴． ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查完全平方公式的几何背景，正确理解图形的面积关系是解题的关键． 12. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明; ②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分. 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，①正确； ∴， 由三角形的外角性质得： ∴°，②正确； 作于，于，如图所示 则°， 在和中，， ∴， ∴， ∴平分，④正确； 正确的个数有3个； 故选B． 【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 如果，关于x轴对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的两点的坐标特征，掌握相关知识点是解题的关键； 根据两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得出结果． 【详解】，关于x轴对称， ， 解得． 故答案为：． 14. 计算： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方法则逆运用，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 15. 已知，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】把已知条件两边分别平方，然后整理即可求解．完全平方公式：． 本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 16. 如图，，只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】或（写出一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行求解即可，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）． 17. 如图，在中，，，的垂直平分线交与点D，交于点E，，则的长为________． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可得 【详解】解：连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 如图，在中，是的平分线，若分别是和上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】按照动点最值问题的做法，作点关于的对称点，由对称性得，结合三角形三边关系及点到直线距离垂线段最短得出，由等面积法求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点，如图所示： 是的角平分线，与关于对称， ∴点在上，则， ，， ， ， 即的最小值为． 三、解答题：本题共7小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． （3） ； （4）(运用乘法公式计算） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 20. 随着新能源共享汽车的普及，某新能源共享汽车公司计划在如图的空地上建立一个集中充电点P，按设计要求：集中充电点P到公路，的距离相等，并且到D，E两个小区的距离也相等．请在图中确定点P的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】如图，作平分，连接，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 21. 如图，在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是，B的坐标是，C的坐标是． （1）先把向右平移4个单位长度得到，请在图中作出． （2）再作出关于x轴对称的图形，则顶点的坐标是_________． （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图1所示，即为所求， （2） 如图2所示，即为所求， 顶点的坐标是； （3）3.5 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移，轴对称图形的作法及利用网格求三角形面积，熟练掌握图形的平移及轴对称图形的作法是解题的关键． （1）先在坐标系中确定平移后的点的坐标，然后顺次连接即可； （2）先确定关于x轴对称的点的坐标，然后顺次连接即可； （3）利用网格计算三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 22. 如图，是等腰三角形，，点为内部一点，连接、、，且，求证：平分． 【答案】 证明：是等腰三角形，， ， ， ，， ， 在和中，， ， ， 平分． 【解析】 【分析】根据等边对等角可证，又因为，可得、，利用可证，根据全等三角形对应角相等可证结论成立． 【详解】略． 23. 如图，已知在中，的平分线与线段的垂直平分线相交于点，过点分别作垂直于于点，垂直于于点，和有什么数量关系？请说明理由． 【答案】，理由如下： 如图，连接，， 是的平分线，，， ， ， ∵在的垂直平分线上， ， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】连接，根据角平分线性质求出，根据线段垂直平分线求出，根据HL证，即可得出答案． 【详解】略. 24. 如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平根线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，D为线段的中点， ∴， ∴． 25. （1）操作发现：如图①，是等边（知识链接：等边三角形三条边都相等，三个内角都是的边上一动点（点与点不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．你能发现线段与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）深入探究： Ⅰ．如图②，当动点在等边边上运动时（点与点不重合）连接，以为边分别作等边和等边，连接、，探究、与有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图③，当动点在等边边的延长线上运动时，其他作法与图②相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？直接写出你得出的结论，不必证明． 【答案】（1），理由见详解；（2）Ⅰ．，理由见详解；Ⅱ．不成立，新的结论是，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理可以证得；然后由全等三角形的对应边相等知； （2）Ⅰ．；利用全等三角形的对应边；同理，则，所以； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是；通过证明，则（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得． 【详解】解：；证明如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，； ， 即； 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）； （2）Ⅰ．；证明如下： 由（1）知，， ； 同理可得：， ， ； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是； 理由：，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ∴， （全等三角形的对应边相等）， 同理可得：， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．解题时注意：等边三角形的三条边都相等，三个内角都是．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $