第16讲 三角恒等变换 讲义-2027届高考数学一轮复习

第16讲 三角恒等变换 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考三角恒等变换的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、三组易混辨析与化归思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 二倍角公式 全国一卷 T7（5 分） 新课标Ⅱ卷 T7（5 分） 全国甲卷 T7（5 分） 辅助角公式 北京卷 T7（5 分） 天津卷 T7（5 分） 北京卷 T6（5 分） 化简求值 新课标Ⅰ卷 T7（5 分） 全国乙卷 T8（5 分） 全国乙卷 T7（5 分） 给值求值 全国一卷 T8（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 天津卷 T8（5 分） 恒等式证明 —— 上海卷 T8（5 分） 浙江卷 T8（5 分） 恒等变换在卷面上有三种形态：给角求值、给值求值、化简后求性质。 公式记错是硬伤，尤其是二倍角的三个变形与辅助角公式中 的确定。 降幂与升幂的选择看目标：要周期就降幂，要一次式就辅助角。 给值求角要先定角的范围，再选函数值，最后写角的集合，三步缺一不可。 备考建议：背熟和差与二倍角公式；化简按“诱导—统一角—降幂—约分”四步走；最值题先找辅助角 ，把 、 算准。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可浓缩为“一套和差、一个二倍、一个辅助角”。先看整体脉络： 图 1　三角恒等变换知识结构图 学习时抓住两条主线：降幂升幂（把高次化为一次）与统一辅助角（把两个不同频率化为一个）。三组易混点务必辨析： 易混对象 正确认识 余弦二倍角的多个表达式 ，三个式子完全等价，用前要清楚手里是 还是 辅助角公式中的符号 写成 时要求 、，正弦、余弦不能互换 化简与求值的区别 化简只要求结果最简，不代具体值；求值要先算出已知角的值再代入，顺序不同 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　两角和差的三角函数 一、正弦与余弦的和差公式 1．； 2．； 3．； 4．。 二、正切的和差公式 ，，使用时要求分母不为零且相关角均有意义。 注意： 1．余弦和差公式记忆口诀：“余余相减、正正相减、加号变号”。 2．正切的两个公式分母一个减、一个加，千万别记混。 3．使用前先确认各角正切有意义，分母不为零。 【自主检测】已知 ，，、 都是锐角，求 的值． 【答案】 【分析】先求 、，再代入和角公式。 【详解】，， 　　　． ▶ 知识点2　二倍角公式与降幂公式 一、二倍角公式 1．； 2．； 3．（分母不为零）。 二、降幂公式 把高次降为一次： 1．；2．。 注意： 1．余弦二倍角的三个表达式等价，但要用与手中已有量匹配的式子。 2．升幂可用降幂公式反向操作。 3．出现 与 混合时，优先把二次项降幂。 【自主检测】化简：． 【答案】 【分析】分子分母分别用二倍角公式。 【详解】，， 　　　故原式 ． ▶ 知识点3　辅助角公式与最值 一、辅助角公式 ，其中 ，。 同理也可写成 ，其中 ，。 二、求最值 由 得 。 注意： 1．先算 ，再定 的正弦、余弦，注意不要互换。 2． 的象限由 、 的符号共同决定。 3．若 有取值范围，要判断最值能否取到。 【自主检测】求 的最大值． 【答案】 【分析】用辅助角公式化为一个正弦函数。 【详解】， 　　　由 得最大值 ， 　　　当 时取到． ▶ 知识点4　化简的四步策略 一、化简流程 1．诱导：把各角化到锐角或统一到 ； 2．统一角：用和差公式把和角化为单角； 3．降幂：把 、 降为一次； 4．约分：用平方关系约掉相同因子。 二、常用结论 1．； 2．。 注意： 1．化简结果要“最简”，能约分就约分，能并项就并项。 2．分式型常先分子有理化或同乘半角公式。 3．化简后再求值，不要边化边代。 【自主检测】化简：． 【答案】 【分析】分子用平方关系写成平方差。 【详解】， 　　　故原式 ． ▶ 知识点5　给值求值与恒等式证明 一、给值求值 已知 、（或 ），求 、 时，标准流程是： 1．先分别求出 、（注意符号）； 2．代入和差公式算出目标式的值。 二、恒等式证明 常用方法：左边化简、右边化简、两边同乘同除；也可两边同加同减一项后用平方关系。 注意： 1．给值求值一定要“象限定符号”，不要凭感觉。 2． 需确认 。 3．证明题一定要说明每一步依据的公式。 【自主检测】已知 ， 为锐角，， 为第四象限角，求 的值． 【答案】 【分析】先补出 、，再用差角公式。 【详解】，， 　　　． ▶　题型破译　◀ 下面按“和差—二倍—降幂—辅助角—综合”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练。 ▶ 题型1 和差公式求值 例1-1（2023·全国甲卷·T7 改编）已知 ， 是锐角，， 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先补出 、 的符号再代入。 【详解】， 在第二象限，， 　　　，选 B． 【方法技巧】 1．和差公式四要素：、、、 都要齐。 2．象限定符号，先写符号再代数。 3．给出正切时用商数关系换算更快。 【易错分析】 1． 符号写错，把第二象限当成第一象限。 2．把 与 记混。 3．通分时符号出错。 【变式训练1-1】（2026·河北石家庄·二模）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和角公式，正弦项相减。 【详解】，， 　　　，选 A． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）已知 ，，且 、 为锐角，则 ________． 【答案】 【分析】用正切和角公式。 【详解】． 【变式训练1-3】（2025·安徽合肥·二模）若 ，且 ，则 ________． 【答案】 【分析】平方关系开方取正。 【详解】， 　　　 为锐角，取正值 ． ▶ 题型2 二倍角与降幂 例2-1（2024·全国乙卷·T7 改编）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正弦二倍角公式。 【详解】，选 B． 【方法技巧】 1．已知正弦与余弦时直接用正弦二倍角公式。 2．只知一个值时，先用 求余弦二倍角。 3．降幂公式与升幂公式互为逆运算。 【易错分析】 1．只知 就直接写 。 2．把 与 记混。 3．降幂后忘记乘 。 【变式训练2-1】（2026·江苏南京·二模）化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通分，再用平方关系约分。 【详解】原式 　　　，选 A． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用正切二倍角求出正弦、余弦。 【详解】，故 ，， 　　　两式相加得 ，选 A． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·三模）化简：________． 【答案】 【分析】把前两项看成余弦二倍角的另一个表达式。 【详解】， 　　　故原式 ． ▶ 题型3 辅助角公式求最值 例3-1（2024·北京卷·T7 改编）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】辅助角公式。 【详解】， 　　　，其中 ，， 　　　由 得最大值为 ，选 C． 【方法技巧】 1．先算 ，再由 、 定 。 2．最值直接读出； 有范围限制时再判断能否取到。 3．系数为负时同样按公式处理，符号已在 中。 【易错分析】 1．把 与 的取值写反。 2．振幅系数漏乘。 3．忽略 的取值范围，认为最大值总能取到。 【变式训练3-1】（2026·湖南长沙·一模） 的最大值是________． 【答案】 【分析】辅助角公式。 【详解】， 　　　当 时取到，故最大值为 ． 【变式训练3-2】（2026·辽宁大连·三模）若 ，则 的最大值是________． 【答案】 【分析】辅助角公式且注意角的范围。 【详解】， 　　　当 ，即 时取到最大值 ． 【变式训练3-3】（2025·四川成都·三模）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】由平方关系求积，再用二倍角公式。 【详解】， 　　　故 ． ▶ 题型4 给值求值 例4-1（2025·天津卷·T7 改编）已知 ， 是锐角，， 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】差角公式，正弦项取负。 【详解】，， 　　　，选 B． 【方法技巧】 1．象限定符号，四要素齐全后再代入。 2．和差公式中同类项不要漏乘。 3．结果要符合范围，可反代验证。 【易错分析】 1．、 符号判断错误。 2．差角公式中正弦项误取负号。 3．化简时通分出错。 【变式训练4-1】（2026·四川成都·二模）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和角公式，正弦项相减。 【详解】，， 　　　，选 B． 【变式训练4-2】（2026·福建厦门·二模）已知 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】差角公式直接代入。 【详解】，选 A． 【变式训练4-3】（2025·广东广州·三模）已知 ，， 为锐角，则 ________． 【答案】 【分析】分别用正弦、余弦二倍角公式。 【详解】， 　　　， 　　　两式相加得 ． ▶ 题型5 化简与证明 例5-1（2025·上海·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】先约掉同角平方，再把分母有理化。 【详解】， 　　　故原式 ， 　　　若要求更简，可写成 ． 【方法技巧】 1．化简按“诱导—统一—降幂—约分”四步。 2．分式型优先分子有理化或乘半角公式。 3．化到最简后再判断是否已化尽。 【易错分析】 1．约分时把平方关系拆错。 2．分子分母同乘时漏乘。 3．结果没有化到最简。 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）证明：（）． 【答案】见详解 【分析】交叉相乘后用平方关系。 【详解】只需证 ， 　　　即 ，由平方关系知等式成立． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】用诱导公式把两角都化成 。 【详解】，， 　　　原式 ． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）证明：． 【答案】见详解 【分析】分子分母都用二倍角公式展开。 【详解】左边 ，等式成立． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·T7）已知 ， 是锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求 再用正弦二倍角公式。 【详解】， 　　　，选 A． 2．（2022·北京卷·T6） 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】辅助角公式。 【详解】，最大值为 ，选 C． 3．（2021·全国乙卷·T7）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和角公式，正弦项相减。 【详解】，， 　　　，选 A． 4．（2021·天津卷·T7）若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方关系。 【详解】，选 A． 二、填空题 5．（2023·全国乙卷·T14 改编）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】平方后用二倍角公式。 【详解】，故 ． 6．（2022·浙江卷·T9）化简： 的结果是________． 【答案】 【分析】分子分母都用二倍角公式展开。 【详解】，， 　　　原式 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P57 练习 改编）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】。 【详解】，选 A． 2．（人教A版必修第一册 P58 习题 改编）下列式子与 相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】余弦二倍角的三个等价表达式。 【详解】， 　　　A、B、C 均正确，D 错误，故选 ABC． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P60 习题 改编）求 的值． 【答案】 【分析】把每个因子的 2 倍凑出来，再用正弦二倍角公式约分。 【详解】， 　　　， 　　　， 　　　三式相乘得 ， 　　　故 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 三角恒等变换 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考三角恒等变换的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 知识结构图、三组易混辨析与化归思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 二倍角公式 全国一卷 T7（5 分） 新课标Ⅱ卷 T7（5 分） 全国甲卷 T7（5 分） 辅助角公式 北京卷 T7（5 分） 天津卷 T7（5 分） 北京卷 T6（5 分） 化简求值 新课标Ⅰ卷 T7（5 分） 全国乙卷 T8（5 分） 全国乙卷 T7（5 分） 给值求值 全国一卷 T8（5 分） 浙江卷 T7（5 分） 天津卷 T8（5 分） 恒等式证明 —— 上海卷 T8（5 分） 浙江卷 T8（5 分） 恒等变换在卷面上有三种形态：给角求值、给值求值、化简后求性质。 公式记错是硬伤，尤其是二倍角的三个变形与辅助角公式中 的确定。 降幂与升幂的选择看目标：要周期就降幂，要一次式就辅助角。 给值求角要先定角的范围，再选函数值，最后写角的集合，三步缺一不可。 备考建议：背熟和差与二倍角公式；化简按“诱导—统一角—降幂—约分”四步走；最值题先找辅助角 ，把 、 算准。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可浓缩为“一套和差、一个二倍、一个辅助角”。先看整体脉络： 图 1　三角恒等变换知识结构图 学习时抓住两条主线：降幂升幂（把高次化为一次）与统一辅助角（把两个不同频率化为一个）。三组易混点务必辨析： 易混对象 正确认识 余弦二倍角的多个表达式 ，三个式子完全等价，用前要清楚手里是 还是 辅助角公式中的符号 写成 时要求 、，正弦、余弦不能互换 化简与求值的区别 化简只要求结果最简，不代具体值；求值要先算出已知角的值再代入，顺序不同 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　两角和差的三角函数 一、正弦与余弦的和差公式 1．； 2．； 3．； 4．。 二、正切的和差公式 ，，使用时要求分母不为零且相关角均有意义。 注意： 1．余弦和差公式记忆口诀：“余余相减、正正相减、加号变号”。 2．正切的两个公式分母一个减、一个加，千万别记混。 3．使用前先确认各角正切有意义，分母不为零。 【自主检测】已知 ，，、 都是锐角，求 的值． ▶ 知识点2　二倍角公式与降幂公式 一、二倍角公式 1．； 2．； 3．（分母不为零）。 二、降幂公式 把高次降为一次： 1．；2．。 注意： 1．余弦二倍角的三个表达式等价，但要用与手中已有量匹配的式子。 2．升幂可用降幂公式反向操作。 3．出现 与 混合时，优先把二次项降幂。 【自主检测】化简：． ▶ 知识点3　辅助角公式与最值 一、辅助角公式 ，其中 ，。 同理也可写成 ，其中 ，。 二、求最值 由 得 。 注意： 1．先算 ，再定 的正弦、余弦，注意不要互换。 2． 的象限由 、 的符号共同决定。 3．若 有取值范围，要判断最值能否取到。 【自主检测】求 的最大值． ▶ 知识点4　化简的四步策略 一、化简流程 1．诱导：把各角化到锐角或统一到 ； 2．统一角：用和差公式把和角化为单角； 3．降幂：把 、 降为一次； 4．约分：用平方关系约掉相同因子。 二、常用结论 1．； 2．。 注意： 1．化简结果要“最简”，能约分就约分，能并项就并项。 2．分式型常先分子有理化或同乘半角公式。 3．化简后再求值，不要边化边代。 【自主检测】化简：． ▶ 知识点5　给值求值与恒等式证明 一、给值求值 已知 、（或 ），求 、 时，标准流程是： 1．先分别求出 、（注意符号）； 2．代入和差公式算出目标式的值。 二、恒等式证明 常用方法：左边化简、右边化简、两边同乘同除；也可两边同加同减一项后用平方关系。 注意： 1．给值求值一定要“象限定符号”，不要凭感觉。 2． 需确认 。 3．证明题一定要说明每一步依据的公式。 【自主检测】已知 ， 为锐角，， 为第四象限角，求 的值． ▶　题型破译　◀ 下面按“和差—二倍—降幂—辅助角—综合”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练。 ▶ 题型1 和差公式求值 例1-1（2023·全国甲卷·T7 改编）已知 ， 是锐角，， 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练1-1】（2026·河北石家庄·二模）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）已知 ，，且 、 为锐角，则 ________． 【变式训练1-3】（2025·安徽合肥·二模）若 ，且 ，则 ________． ▶ 题型2 二倍角与降幂 例2-1（2024·全国乙卷·T7 改编）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·江苏南京·二模）化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2-2】（2026·河南郑州·一模）若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（2025·浙江杭州·三模）化简：________． ▶ 题型3 辅助角公式求最值 例3-1（2024·北京卷·T7 改编）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】（2026·湖南长沙·一模） 的最大值是________． 【变式训练3-2】（2026·辽宁大连·三模）若 ，则 的最大值是________． 【变式训练3-3】（2025·四川成都·三模）已知 ，则 ________． ▶ 题型4 给值求值 例4-1（2025·天津卷·T7 改编）已知 ， 是锐角，， 是第四象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练4-1】（2026·四川成都·二模）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练4-2】（2026·福建厦门·二模）已知 ，，，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式训练4-3】（2025·广东广州·三模）已知 ，， 为锐角，则 ________． ▶ 题型5 化简与证明 例5-1（2025·上海·模拟预测）化简：． 【变式训练5-1】（2026·北京·模拟预测）证明：（）． 【变式训练5-2】（2026·天津·模拟预测）化简：． 【变式训练5-3】（2025·重庆·三模）证明：． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·T7）已知 ， 是锐角，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2022·北京卷·T6） 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·T7）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2021·天津卷·T7）若 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2023·全国乙卷·T14 改编）已知 ，则 ________． 6．（2022·浙江卷·T9）化简： 的结果是________． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P57 练习 改编）（　　） A． B． C． D． 2．（人教A版必修第一册 P58 习题 改编）下列式子与 相等的是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P60 习题 改编）求 的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $