第17讲 三角函数的图象与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

第17讲 三角函数的图象与性质 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 周期与对称性 （重） 2 题型02 性质的正误判断 （重） 3 题型03 图象变换 重难 4 题型04 最值与零点 重难 5 题型05 ω 的取值范围 重难 6 题型06 对称轴与对称中心 重难 7 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：周期、单调性、对称性、图象变换与闭区间最值 考点聚焦：周期公式与整体代换求定义域、值域 ▶ 题型01 周期与对称性 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河南郑州·一模）函数 的图象的一个对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·二模）函数 的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）下列区间中， 在其上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D．不存在 7．（2026·吉林长春·三模）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 9．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·甘肃兰州·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·宁夏银川·一模）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：逐项核对单调性、奇偶性与对称性 ▶ 题型02 性质的正误判断 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．对称轴处 C．对称中心处 D．值域为 2．（2026·浙江温州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．是奇函数 B．值域为全体实数 C．最小正周期为 D．在 上单调递减 3．（2026·四川成都·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最大值为 B．最小值为 C．图象关于原点对称 D．在 上单调递增 4．（2025·广东广州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．值域为 C．图象向左平移 个单位后得到 的图象 D．图象关于原点对称 5．（2026·湖南衡阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．图象关于直线 对称 C．在 上单调递增 D．把 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应 6．（2025·湖北十堰·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．定义域为 C．在 上单调递增 D．图象关于点 对称 7．（2026·安徽蚌埠·一模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．图象关于点 对称 C．在 上单调递增 D．最大值为 8．（2025·江西九江·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．最大值为 C．图象关于直线 对称 D．在 上单调递减 考点聚焦：先平移后伸缩，注意 x 的系数提取 ▶ 题型03 图象变换 一、填空题 1．（2026·福建厦门·二模）函数 的最小正周期为________． 2．（2026·山东济南·三模）函数 在 上的最大值为________． 3．（2025·江西南昌·二模）函数 的一个对称中心的横坐标为________． 4．（2025·河北唐山·二模）方程 在 上的解的个数为________． 5．（2025·重庆·三模）把 的图象向左平移 个单位，所得图象的解析式为________． 6．（2026·福建泉州·三模）把函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象的解析式为________． 7．（2025·山东临沂·二模）把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为________． 8．（2026·河南新乡·一模）把函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得图象的解析式为________． 9．（2025·河北沧州·二模）把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，所得图象的解析式为________． 10．（2026·江苏连云港·三模）把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则 ________． 考点聚焦：换元后定相位区间，再取最值与数零点 ▶ 题型04 最值与零点 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，，、 均为锐角． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 2．（2026·全国·模拟预测）设 ，求 的最大值，并写出取到最大值时 的值． 3．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与单调递增区间； (2) 求 在 上的值域； (3) 求方程 在 上解的个数． 4．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数 ． (1) 求 的最小正周期及其图象的对称中心坐标； (2) 求 在 上的最大值与最小值； (3) 若 在 上的两个解为 ，求 的值． 考点聚焦：把单调、对称、零点条件写成 ω 的不等式组 ▶ 题型05 ω 的取值范围 一、单选题 1．（2026·河北秦皇岛·三模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河南漯河·三模）已知函数 在 上恰有 个零点（含 ），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·湖南永州·二模）已知函数 的最小正周期为 ，则 ________． 三、解答题 5．（2026·湖北随州·模拟预测）已知函数 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，求 的值． (1) 说明相邻对称轴距离与周期的关系； (2) 求 ． 考点聚焦：对称轴取最值、对称中心函数值为零 ▶ 题型06 对称轴与对称中心 一、单选题 1．（2026·安徽亳州·三模）函数 的图象的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南安阳·二模）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·江西赣州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．它的图象关于原点对称 B．直线 是它的一条对称轴 C．直线 是它的一条对称轴 D．它的最小正周期为 三、填空题 4．（2025·湖南郴州·二模）函数 的最小正周期为________． 四、解答题 5．（2026·广西来宾·模拟预测）已知函数 ，求它的对称轴方程与对称中心坐标． (1) 求对称轴方程； (2) 求对称中心坐标． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：由图象定参数与辅助角最值的综合 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2026·北京·模拟预测）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏常州·模拟预测）已知 ，函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·天津·模拟预测）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）先把 化为关于 的式子，再求当 时该式的值． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ． (1) 求 的值及 图象的对称轴方程； (2) 求 在 上的单调区间与值域； (3) 若方程 在 上有两个不同的实数根，求 的取值范围． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：图象与性质的高考真题 1．（2023·全国甲卷·T7）（　　） A． B． C． D． 2．（2022·北京卷·T6）若 ， 为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·T7）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2021·天津卷·T7） 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·T7 改编）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·T10 改编）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 7．（2022·新高考Ⅰ卷·T8 改编）把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式是（　　） A． B． C． D． 8．（2021·天津卷·T8 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·全国乙卷·T14 改编）化简：________． 10．（2022·浙江卷·T9）化简：________． 11．（2023·北京卷·T10 改编）函数 的最小正周期为________． 12．（2022·全国乙卷·T15 改编）函数 的图象的一条对称轴方程可以是________． 三、解答题 13．（2021·浙江卷·T19 改编）已知 ，，求 的最小值． 14．（2020·浙江卷·T18 改编）已知函数 ． (1) 求 图象的对称轴方程与对称中心的坐标； (2) 求 在 上的最大值与最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 三角函数的图象与性质 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 周期与对称性 （重） 2 题型02 性质的正误判断 （重） 5 题型03 图象变换 重难 8 题型04 最值与零点 重难 10 题型05 ω 的取值范围 重难 11 题型06 对称轴与对称中心 重难 13 重难·创新演练 16 真题·实战演练 19 模拟·基础演练 考查重点：周期、单调性、对称性、图象变换与闭区间最值 考点聚焦：周期公式与整体代换求定义域、值域 ▶ 题型01 周期与对称性 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最小正周期为 除以 。 【详解】，选 A． 2．（2026·山西太原·二模）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】值域为 。 【详解】值域为 ，选 A． 3．（2026·河南郑州·一模）函数 的图象的一个对称轴方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称轴处角等于 。 【详解】，解得 ，选 B． 4．（2026·湖北武汉·二模）函数 的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称中心处角等于 ，纵坐标取 。 【详解】，取 得 ， 故对称中心为 ，选 B． 5．（2025·安徽合肥·二模）下列区间中， 在其上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正弦在 上递增。 【详解】取 得 ， 其子区间 也递增；其余三个区间均在递减区间内，选 A． 6．（2025·辽宁大连·一模）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】正切函数的最小正周期为 。 【详解】 的最小正周期为 ，选 B． 7．（2026·吉林长春·三模）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先平方化为 ，再判断 的周期。 【详解】，且 ，故 ． 因为 的最小正周期为 ，所以 的最小正周期为 ，选 B． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正切曲线的对称中心是零点与渐近线所对应的中点，令 。 【详解】由 （）得 ． 取 得对称中心 ，选 D． 9．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化为 ，把“求增区间”转化为“求 的减区间”。 【详解】． 要求 递增，需 递减，即 ，解得 ． 故单调递增区间为 （），选 B． 10．（2025·甘肃兰州·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在对称轴处正弦取到最值，令 后再用 筛选。 【详解】由题意 （），得 ． 由 得 ，故 ，选 C． 11．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用 化为关于 的二次函数，再配方求值域。 【详解】． 由 得 ，故 ，选 D． 12．（2025·宁夏银川·一模）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用 化为关于 的二次函数后配方。 【详解】． 当 时， 取最大值 ，选 B． 考点聚焦：逐项核对单调性、奇偶性与对称性 ▶ 题型02 性质的正误判断 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．对称轴处 C．对称中心处 D．值域为 【答案】ABC 【分析】逐项对照图象性质。 【详解】A、B、C 正确； D 中值域应为 ，一般为 ，错误．故选 ABC． 2．（2026·浙江温州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．是奇函数 B．值域为全体实数 C．最小正周期为 D．在 上单调递减 【答案】ABC 【分析】正切是奇函数、无最值、在其定义的单区间上递增。 【详解】A、B、C 正确； 正切在 上单调递增，D 错误．故选 ABC． 3．（2026·四川成都·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最大值为 B．最小值为 C．图象关于原点对称 D．在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】正弦为奇函数，值域为 ，在 上先增后减。 【详解】A、B、C 正确； 在 上正弦先增后减，不是单调递增，D 错误．故选 ABC． 4．（2025·广东广州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．值域为 C．图象向左平移 个单位后得到 的图象 D．图象关于原点对称 【答案】ABC 【分析】平移量等于初相除以频率。 【详解】易知A、B 正确；平移量为 ，向左平移后为 ，C 正确； 该函数的对称中心为 ，不关于原点对称，D 错误．故选 ABC． 5．（2026·湖南衡阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．图象关于直线 对称 C．在 上单调递增 D．把 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应 【答案】ABD 【分析】C 项要检查区间内整体角是否越过 ，越过则不再单调。 【详解】A：，正确； B： 时 ，取到最大值，是对称轴，正确； C： 时 ，函数先增后减，不单调，错误； D：向右平移 得 ，正确． 故选 ABD． 6．（2025·湖北十堰·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．定义域为 C．在 上单调递增 D．图象关于点 对称 【答案】ABC 【分析】正切函数在定义域内每个连续区间上递增，但 处无定义，不是对称中心。 【详解】A：，正确； B：由 得 ，正确； C： 时 ，在其单调递增区间内，正确； D： 时函数无定义，该点不是对称中心，错误． 故选 ABC． 7．（2026·安徽蚌埠·一模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．图象关于点 对称 C．在 上单调递增 D．最大值为 【答案】ACD 【分析】先化为 ，再逐项对照余弦函数的性质。 【详解】． A：，正确； B：，故 不是对称中心，错误； C： 时 ，余弦在此区间单调递增，正确； D：最大值为 ，正确． 故选 ACD． 8．（2025·江西九江·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．最小正周期为 B．最大值为 C．图象关于直线 对称 D．在 上单调递减 【答案】BC 【分析】先用辅助角公式化为 ，再逐项判断。 【详解】． A：，错误； B：最大值为 ，正确； C： 时 ，取到最大值，是对称轴，正确； D： 时 ，函数先增后减，错误． 故选 BC． 考点聚焦：先平移后伸缩，注意 x 的系数提取 ▶ 题型03 图象变换 一、填空题 1．（2026·福建厦门·二模）函数 的最小正周期为________． 【答案】 【分析】最小正周期为 除以 。 【详解】． 2．（2026·山东济南·三模）函数 在 上的最大值为________． 【答案】 【分析】先求内角范围，再判断是否含极值点角。 【详解】当 时 ， 该范围含 ，正弦取最大值 ， 故最大值为 ，当 时取到． 3．（2025·江西南昌·二模）函数 的一个对称中心的横坐标为________． 【答案】 【分析】对称中心处角等于 ，取 。 【详解】，取 得 ． 4．（2025·河北唐山·二模）方程 在 上的解的个数为________． 【答案】 【分析】解通项后解不等式。 【详解】； 由 得 ，无整数解， 故解的个数为 ． 5．（2025·重庆·三模）把 的图象向左平移 个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】 【分析】左移使内角常数项增大。 【详解】左移 个单位，所得图象为 ． 6．（2026·福建泉州·三模）把函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象的解析式为________． 【答案】 【分析】右移 即用 替换 ，注意相位是 。 【详解】平移后解析式为 ． 7．（2025·山东临沂·二模）把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为________． 【答案】 【分析】左移 即用 替换 ，系数 要一起乘进去。 【详解】平移后解析式为 ． 8．（2026·河南新乡·一模）把函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），所得图象的解析式为________． 【答案】 【分析】横坐标缩短为原来的 只需把 换成 ，纵坐标不变，振幅不变。 【详解】把 换成 得 ． 9．（2025·河北沧州·二模）把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度，所得图象的解析式为________． 【答案】 【分析】先伸缩得 ，再平移，注意平移量要除以 。 【详解】横坐标伸长为原来的 倍得 ； 再向右平移 个单位得 ． 10．（2026·江苏连云港·三模）把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则 ________． 【答案】 【分析】平移后为 ，它是偶函数等价于初相为 。 【详解】平移后解析式为 ． 由图象关于 轴对称知该函数为偶函数，故 （），即 ． 结合 得 ． 考点聚焦：换元后定相位区间，再取最值与数零点 ▶ 题型04 最值与零点 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，，、 均为锐角． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) 　(2) 【分析】先补出 、，再代入和角公式。 【详解】，， (1) ； (2) ． 2．（2026·全国·模拟预测）设 ，求 的最大值，并写出取到最大值时 的值． 【答案】最大值为 ，当 时取到 【分析】用辅助角公式化为一个正弦函数，再结合 的范围讨论。 【详解】； 3．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ． (1) 求 的最小正周期与单调递增区间； (2) 求 在 上的值域； (3) 求方程 在 上解的个数． 【答案】(1) 最小正周期 ，单调递增区间为 （）；(2) ；(3) 个 【分析】(3) 先由整体角范围列出所有可能取值，再逐一验证是否落在 内。 【详解】(1) 最小正周期 ． 令 ，得 ， 故单调递增区间为 （）． (2) 当 时，， 故 ，所以 ． (3) 由 得 ． 当 时，，其中使正弦值为 的角为 与 ， 分别解得 ，，均落在 内，故共有 个解． 4．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数 ． (1) 求 的最小正周期及其图象的对称中心坐标； (2) 求 在 上的最大值与最小值； (3) 若 在 上的两个解为 ，求 的值． 【答案】(1) 最小正周期 ，对称中心为 （）；(2) 最大值 ，最小值 ；(3) 【分析】先降幂并合并为 ；对称中心要看整体角等于 ，纵坐标为 。 【详解】． (1) 最小正周期 ．由 得 ， 故对称中心为 （）． (2) 当 时，， 故 ，所以 ， 即最大值为 （），最小值为 （）． (3) 由 得 ． 当 时，，故 或 ， 即 ，，所以 ． 考点聚焦：把单调、对称、零点条件写成 ω 的不等式组 ▶ 题型05 ω 的取值范围 一、单选题 1．（2026·河北秦皇岛·三模）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 的范围代入相位，要求整个相位区间落在正弦的单调递增区间内。 【详解】当 时，． 要使 递增，需该区间包含于 ， 取 得 ， 解得 ，故 ． 故选 A． 2．（2025·山东德州·二模）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对称轴处相位为 ，解出 后取最小正值。 【详解】由对称轴条件得 ， 化简得 ，取 得最小值为 ． 故选 A． 3．（2026·河南漯河·三模）已知函数 在 上恰有 个零点（含 ），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出零点通式，用“第 个零点不超过 、第 个超过 ”列不等式。 【详解】零点为 ． 在 内恰有 个零点，需 ， 解得 ． 故选 A． 二、填空题 4．（2025·湖南永州·二模）已知函数 的最小正周期为 ，则 ________． 【答案】 【分析】余弦函数的最小正周期为 。 【详解】由 得 ． 三、解答题 5．（2026·湖北随州·模拟预测）已知函数 的图象上相邻两条对称轴之间的距离为 ，求 的值． (1) 说明相邻对称轴距离与周期的关系； (2) 求 ． 【答案】 【分析】相邻对称轴之间的距离等于半个周期。 【详解】(1) 相邻两条对称轴之间的距离为 ，其中 为最小正周期． (2) 由 得 ， 又 ，故 ． 考点聚焦：对称轴取最值、对称中心函数值为零 ▶ 题型06 对称轴与对称中心 一、单选题 1．（2026·安徽亳州·三模）函数 的图象的一条对称轴是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令相位等于 ，解出对称轴。 【详解】令 ，得 ． 取 得 ． 故选 A． 2．（2025·河南安阳·二模）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令相位等于 ，解出横坐标。 【详解】令 ，得 ． 取 得对称中心 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·江西赣州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．它的图象关于原点对称 B．直线 是它的一条对称轴 C．直线 是它的一条对称轴 D．它的最小正周期为 【答案】ABD 【分析】逐项用对称轴、对称中心的判别条件检验。 【详解】，关于原点对称，A 正确； 时 取最大值，是对称轴，B 正确； 时 ，是对称中心而非对称轴，C 错误； 周期 ，D 正确． 故选 ABD． 三、填空题 4．（2025·湖南郴州·二模）函数 的最小正周期为________． 【答案】 【分析】周期公式 。 【详解】． 四、解答题 5．（2026·广西来宾·模拟预测）已知函数 ，求它的对称轴方程与对称中心坐标． (1) 求对称轴方程； (2) 求对称中心坐标． 【答案】对称轴 ；对称中心 【分析】对称轴令相位为 ，对称中心令相位为 。 【详解】(1) 令 ，得 ． (2) 令 ，得 ， 故对称中心为 ． 当 ，即 时取到， 在 内取 ，得 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：由图象定参数与辅助角最值的综合 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求正切，再用正切和角公式。 【详解】，， ，选 A． 2．（2026·北京·模拟预测）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】辅助角公式，振幅为 。 【详解】，其中 ，， 3．（2026·江苏常州·模拟预测）已知 ，函数 在 上单调递增，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单调递增要求整体角区间落在 内，由两端点列不等式。 【详解】当 时，． 要使 单调递增，需 ， 即 ，解得 ；又 得 ． 两式取交集得 ，故 的最大值为 ，选 D． 4．（2026·天津·模拟预测）函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令 ，则 ，把问题化为 上的二次函数最值。 【详解】令 ，则 ，且 ． 于是 ． 当 时取最大值 ，选 C． 最大值为 ，选 C． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）先把 化为关于 的式子，再求当 时该式的值． 【答案】，当 时值为 【分析】先用平方关系降次，再用正弦二倍角公式。 【详解】 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ． (1) 求 的值及 图象的对称轴方程； (2) 求 在 上的单调区间与值域； (3) 若方程 在 上有两个不同的实数根，求 的取值范围． 【答案】(1) ，对称轴方程为 （）；(2) 增区间 ，减区间 ，值域 ；(3) 【分析】(3) 在整体角 上，水平直线与图象有两个交点需 。 【详解】(1) 由 得 ，即 ． 令 ，得 ，即对称轴方程为 （）． (2) 当 时，． 当 即 时 递增； 当 即 时 递减． 又 ，，，故值域为 ． (3) 由 (2) 知 取遍 ． 若 有两个不同实根，则 在该区间上有两个解， 需 ，即 ，且两端情形： 时两根为 与 ，符合； 时只有一根，不符合． 故 的取值范围是 ． ； 当 时，原式 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：图象与性质的高考真题 1．（2023·全国甲卷·T7）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】特殊角函数值。 【详解】，选 A． 2．（2022·北京卷·T6）若 ， 为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】。 【详解】，选 B． 3．（2021·全国乙卷·T7）已知 ，，、 均为锐角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】和角公式，正弦项相减。 【详解】，， ，选 A． 4．（2021·天津卷·T7） 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】辅助角公式。 【详解】，最大值为 ，选 B． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·T7 改编）函数 的最小正周期是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正弦型函数的最小正周期只由 决定，。 【详解】，故 ，选 B． 6．（2023·全国甲卷·T10 改编）函数 的图象的一个对称中心是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】余弦型函数的对称中心满足整体角等于 ，此时函数值为 。 【详解】令 ，得 （）． 取 得对称中心 ，选 A． 7．（2022·新高考Ⅰ卷·T8 改编）把函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】左移 用 替换 ，合并相位后用诱导公式化为余弦。 【详解】平移后 ，选 B． 8．（2021·天津卷·T8 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求整体角范围，再看正弦的最值，最后乘 加 。 【详解】当 时，， 故 ，从而 ，选 B． 二、填空题 9．（2023·全国乙卷·T14 改编）化简：________． 【答案】 【分析】先约掉同角平方。 【详解】，故原式 ． 10．（2022·浙江卷·T9）化简：________． 【答案】 【分析】反复用正弦二倍角公式凑连乘。 【详解】 11．（2023·北京卷·T10 改编）函数 的最小正周期为________． 【答案】 【分析】正切函数的最小正周期为 ，与常数项无关。 【详解】，故最小正周期 ． 12．（2022·全国乙卷·T15 改编）函数 的图象的一条对称轴方程可以是________． 【答案】 【分析】对称轴处整体角等于 ，解出 后取一个特殊值即可。 【详解】令 ，得 （）． 取 得一条对称轴 ． ， 故原式 ． 三、解答题 13．（2021·浙江卷·T19 改编）已知 ，，求 的最小值． 【答案】 【分析】用辅助角公式化为一个正弦函数。 【详解】； 14．（2020·浙江卷·T18 改编）已知函数 ． (1) 求 图象的对称轴方程与对称中心的坐标； (2) 求 在 上的最大值与最小值． 【答案】(1) 对称轴方程为 ，对称中心为 （）；(2) 最大值 ，最小值 【分析】先用 降幂，合并成 后再研究性质。 【详解】． (1) 令 ，得 ，即对称轴方程为 （）． 令 ，得 ，即对称中心为 （）． (2) 当 时，， 故 ，所以 ， 即最大值为 （），最小值为 （）． ，其中 ，； 由 得最小值为 ， 当 时取到． / 学科网（北京）股份有限公司 $