单元过关(六) 三角函数的图象与性质-【衡水真题密卷】2027年高考数学单元过关检测（B版）

2026一2027学年度单元过关（六） 数学·三角函数的图象与性质 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 1.函数f(x)=sinx+ 2 的一条对称轴方程可以为 ( A.x=π B.x=0 C.x=- D.x=-2 3元 2.函数f(x)=lgx与g(x)=cosx图象的交点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 3.函数y=-tan2x 3π)的单调递减区间是 Aer十百，kx 5π 8 ,k∈Z C. 8,k∈Z 5 D.()c 4.将函数y=tan2x的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得的图象仍然关于原点 对称，则m的最小值为 () A.12 c D 5.已知函数fx)=5sin(wx十p)w>0,p<）的部分图象如图所示，则a=（） 7π 12 -5 A.3 B.4 D.2 单元过关（六）数学第1页（共8页） 与其抱怨黑暗，不她提灯前行 6.已知函数f(x)为奇函数，一个周期为π，则f(x)的解析式可能为 班级 A.co) B.sin nx 姓名 C.sin(2) D.an(x-z引 .将函数fx)=sin+）o>0)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有 得分 点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，得到函数g红)的图象，若g)在(0，）上单 调递增，则w的取值范围为 A.（0,2 1 c. no 8.如图所示，在平面直角坐标系中，a的终边OP与正方形ABCD交于点P(x,y),我们定 义a的类余弦值Lcos a=x,类正弦值Lsin a=y,则 () B(-1.1) A1,1) P(x.v) C-1,-1) D1.-1) A.YaER,(Lcos a)2+(Lsin a)2=1 B.Ha∈R,Lcos a+Lsin a≤√2 C.f(x)=Lcos x在区间r,4 7π 上单调递增 D.Ve∈R,Lcos(-a）=-Lsin@ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 9.函数y=1十cosx,x∈(（，2)的图象与直线y=t:为常数)的交点可能有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 单元过关（六）数学第2页（共8页） B 10.下列说法正确的是 A.sin 2cos 3<0 R若圆心角为的扇形的面积为，则扇形的弧长为π C.终边落在直线x十y=0上的角的集合是aQ=土不十kπ，k∈Z D.函数y=tan(2x- 1l.已知函数fc)=Asin(x十g)(A>0,w>0,g<)的部分图象如图所示，其中 △CMN为等边三角形，点M的坐标为(1,0)，则 ) A. B9=-及 C.直线x=7是f(x)图象的一条对称轴 D,将fu)的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数gx)=2,3sm(?x+）的图 象重合 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某时钟的秒针端点A到中心的距离为5cm,秒针匀速绕O点旋转，当时间t=0s时， 点A与钟面上标12的点B重合，将A,B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则 d= ,其中t∈[0,60]. 13.已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)-sinx为偶函数，y=f(x)十2cosx为奇函 数，则f(x)的最大值为 14.已知函数fc)=-sin(ox+g)o>0),若存在唯一的g∈(-3,3），使得/(-1， 则ω的最小值为 B 单元过关（六）数学第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.13分)已知函数fx)=,6cos2x+） (1)求f(x)的单调递增区间； [。5π (2)当x∈0,8 时，求f(x)的最值. 单元过关（六）数学第4页（共8页） 16.(15分)已知函数fx)=2sin(@x-君）w>0, 3x-6 0 元 2π 2π 7π 5π 9 18 f(a) 0 0 2 0 (1)若ω=3，根据表格回答下列问题. （i)直接写出x1,x2,x3,x4的值； (ⅱ)使用“五点法”画出f(x)在[x2,x3]的图象. (2)若f(x)在[0，π]上恰有两个最值点，求ω的取值范围. 单元过关（六）数学第5页（共8页） 17.（15分)两个齿轮传动的示意图如图所示，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两 齿轮中心O2,O1在同一竖直线上，且O1O2=5,标记初始位置A点为下齿轮的最右 端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心O1为坐标原点，建立如图所示的平面直角 坐标系xOy,已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转 动过程中A,B两点的纵坐标分别为y1,y2,转动时间为t秒(t≥0). (1)当t=1时，求点B绕O2转动的弧度数； (2)分别写出y1,y2关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，y2≥5.5； ③若函数g)=cos1十y-a,当1∈，时，g0)≥0恒成立，求实数a的取 范围. 单元过关（六）数学第6页（共8页） B 18.17分)将函数∫)=sin(ax-）名w>0,x>0)的零点按照从小到大的顺序排 5 列，得到数列an},且a1=6 (1)求w; (2)求f(x)的单调递增区间，并说明f(x)在(1,2)上的单调性； (3)求{am}的前n项和Sm. B 单元过关（六）数学第7页（共8页） 19.(17分)已知函数fx)=5cos0sinx-5sinz-0)+(4an0-3)sinx-5sin00<0<2）的 图象关于y轴对称. (1)求tan0; (2)求f(x)的最大值和此时x的集合； (3)设函数g)=Afar)-fax十）Q>0,w>0,已知y=gx)在x=吾处取最 小值并且点(，3一3以)是其图象的一个对称中心，试求A十的最小值。 单元过关（六）数学第8页（共8页）·数学· 参考答案及解析 凸函数” (8分) h"(x)=e(e-x)-(e-1)2_e2-x)-1 ②因为x∈区，}，所以x-3z∈0，」 (e2-x)2 (e2-x)2, 6’3 (13分) 又cos3x-3cosx=-c0s(π-3x)-c0sx 因为0<x<1,所以2-x>1,e>1, cos x-cos x=g(x-3x)+g(x)+g(x)+ 所以e*(2-x)-1>0,即h"(x)>0, g(x), 所以h(x)在(0,1)上是“下凸函数”，(14分) 根据“下凸函数”的性质有 所以4(x)+hx)++hx.≥h(+x十+）， n g-3x)+ge)+gx)+g≥g(-3x+x+z+）= 4 4 即ln(e-x1)+ln(e-x2)+…+ln(e.-xn)≥ (任）=竖， (10分) m(月）=nl(e-）=ln(e:-)”, 故cos3x-3cosx≥-2W2,当且仅当x=π 即h[(e1-)(e-x)…(e-x)]≥h(e-）》”， 3x,即x=牙时，等号成立。 (11分) 所以(e1-1)(e2-x)…(e,-x≥(e-）” (3)解：因为正实数x1,x2,·,x满足x1十x2十 且仅当=x2=…=x=时，等号成立 …十xn=1, 所以x1,x2,…,xn∈(0,1)， (16分) 令h(x)=ln(e*-x),0<x<1, 所以(e1-x1)(e2一x2)…(em一xn)的最小值 则(x)=c-1, 为e-广 (17分) e2-x 2026一2027学年度单元过关（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 4.C【解析】函数y=tan2x的图象平移后得到 1.D【解析】f()的对称轴的方程为上=受+x, y=tan(2x十2m)的图象，若其关于，点(0,0)对称， 3π 则2.0叶2m-经∈Z,解得m-c∈. k∈Z,当k=一2时，x= 2 2.C【解析】画出两函数图象如图所示， 又m>0,所以m的最小值为4： 5.A【解析】由题图知3T-7x不一红 41212-2,即T- 晋所以T=行-行又0则=8 1g1=0,lg10=1,cosx∈[-1,1]，可得f(x)与 6.A【解标】对于Af)=cms(管-2x)=n2红， g(x)图象的交点个数为3. f(-x)=sin2x=-f(x),所以函数f(x)= 3.C【解折】当-至+<2红-0<+长6∈乙 m倍-2)是奇欧又最小正月期T=高= 时，y--am2x-）单羽道减，每得x∈ 故A正确；对于B,因为sin[π(x十π)]=sin(元x十x2) 卡sinπx,所以π不是f(x)的周期，故B错误；对 经+8经+）ez 于C,fx)=sin(5-2z）=cos2x,f(-x)= ·21· B 2027 单元过关 sn8+2z=ms2x=fx.所以f)=m(g-2 则可得当t<0或t≥2时，y=1+cosx与y=t 的交点个数为0； 是得画数，故C错误；时于D,因为fx)=amx爱）的 当=0浅≤<2时y=1叶60r与y=1的交 最小正周期T =2m,所以π不是f(x)的一个 点个数为1； 0<1<时y=1+c0sx与y=t的交点个 周期，故D错误 7.B【解析】由题可得g)=n(2m管+》，因 为2. 为>0,所以当0<<晋时，2r肾+ 10.ABD【解析】对于A,由<2<3<，得sin2 ∈ >0,cos3<0,则sin2cos3<0,故A正确； (仁+否+），因为g)在(0，》）上单调运 对于B,设扇形的半径为，由圆心角为子的扇形 [ωπ不 6+3≥-2 1 增，所以 又>0，解得00≤行 的西积为得日·每得=3，因比 扇形的孤长为行一，故B正确， 8D【解析】对于A,B,当a=牙时，L.cos=Lsna 对于C,终边落在射线y=一x(x≥0)上的角的 =1,(Lcos a)2+(Lsin a)2=2>1,Lcos a+Lsin a= 集合为QQ=一灭十2kπ，k∈Z;终边落在射线 4 2>√2，故A,B错误； 对子C,Lcos5-Losx=-1,故C错误： 3元+2k元， y=一x(x≤0)上的角的集合为{aa= 对于D,正方形ABCD关于直线y=x对称，a和 e2=ea=-至+2k+1Dk∈，因比 2 终边落在直线x+y=0上的角的集合是 一a的终边也关于直线y=x对称，则a和2一a的 π a。=-至+kx∈乙，故C错误； 终边和正方形ABCD的交点也关于直线y=x对称， 所以Los(-a）=Lsna,故D正确 对于D,由2z-看≠受十k∈Z,得x≠督+ 二、选择题 经6∈Z.周比通量y-an2x-看）的定又接 9.ABc【解标】画出y=1+cosx在x∈（行，2）的 为女≠+k∈,故D正确。 图象，如图所示， 11.BCD【解析】对于A,因为△CMN为等边三角 y T 形，且高为23，所以边长为4，所以2=4，T= 8,成w--放A民： 2π 对于B,因为M(1,0),所以C(3,23),又因为A= 25,所以3X至+g=受+张∈Z,解得g= B ·22· ·数学· 参考答案及解析 至+2业t∈7又g<受所以=至故B1号【解折】对于f)=n(ar十p)o>0,因 正确； 为(）-1，所以f5）=士1， 对于C,由A,B得fx)=23sim(任x-买），而 所以 3π 十9=x十，kZ,解得9=-2 3 f)=23m(经×7-f）=25n7 =-2√3， 故C正确； 十营=及x十（分-），质∈五又存在唯一的 对于D,将∫(x)的图象向左平移2个单位长度， (平，)，使得) =1,则存在唯一 则解析式变为y-23si [匠+2- 的keZ,使得ge(-,）, 25si(行x+）,即所得国象与函数g(a)= 25sin(径x+）的图象重合，故D正确， 3<+合)长 三、填空题 所以-1+号）-买 12.10sin品【解析】设∠A0B=0,过点0作OC +1D+号g）)≥ ⊥AB,垂足为C,则AC=|OAI sin2=5sin2' 0 0 0 即d=2lAC|=10sin2, 3 整理得≥2k+ 0 当e0,30]时，9=g动2，d=10sin8=10in602: 3. 9 ≤2k+8, 当∈(30,60]时，0=2x-01,d=10sin2 又w>0,所以十gw< 3 8,故当=0 10sin(x-60）-l0sin0, 时，名<≤名所以u的装小值为 3 综上，d=10sin6d,t∈[0,60]. 四、解答题 15.解：(1)令2元-π≤2x+天≤2kπ(k∈ZD,解得 4 ≤xg晋k∈z, k元一 所以∫(x)的单调递增区间为 π 13.√5【解析】因为y=f(x)一sinx为偶函数，所以 (k∈Z). (5分) f(-x)+sinx=f(x)-sinx①，又y=f(x)+ 2cosx为奇函数，所以f(一x)+2cosx=-f(x)一 2令4-2+庙：eb可得：e[,, 2cosx②，①-②，整理得f(x)=sinx-2cosx= (7分) V5sin(x-p),其中tanp=2,故当sin(x-p)=l,即 所以当t=π，即x= 时5X(-1)=-6, x=受十p十2张x,k∈Z时，fx)取得最大值5. (9分) ·23· B 2027 单元过关 当-即=0时5× =5. (2)转动时间为t秒，则点A绕O1转动t弧度， 点B绕O2转动2t弧度， (12分) 故当z-爱时，f红)取得最小值-6，当z-0 所以：=2sint,y:=5+sin(2:-）,(5分) 时，f(x)取得最大值√. (13分) 令y:=5+sim2:-2）≥5.5，解得2km+石≤ 16.解：(1)(1)由表格得x1=3×5π-开-3r, 962 2-≤2x+ 5π 3-音-0，解得8 由≥0，得k+<<kx+行EN,（?分) 3x3一1 13π 6 =2π，解得x=18, 所以满足条件的：的集合为？x+S≤1≤π十 ）=2sim-2 (4分) geN。 (8分) (ⅱ)用五点法画出f(x)的图象如图所示， (3)由于g(t)=cos2t+y1-a=cos2t+2sint- a=-sin2t+2sint+1-a≥0在t∈ [后 1 9 恒成立， 0元7元5元3π -18189/18 所以a≤-sin2t+2sint+1在t∈ π2π] 6’3 上恒 -2 成立， (10分) (7分) 又当行≤<时，名m, 当fc)在ar一名=一处取得最小值时，@x- 根据二次函数性质可得，当sint= 2时，一sin22 石<解科0<<专： 十2sint十1取得最小值4 (13分) 当fx)在ax一名=x一吾处取得最小值时， 则a≤4' .7 故实数a的取值范围为(-∞，4 (15分) 当红)在r一石-3处取得最小值时 3r∠ π5π 5 8 -6<2,解得号<< 得sin(r）-2, 综上w的取值范图为(0，)U(信，）.15分) 所以m-2行-号+26∈N度r一经-智 17.解：(1)当t=1时，点A绕O1转动1弧度，且点 +2kπ，k∈N A与点B转过的弧长相等， 解得工5π+或x=r+2k 6w 则点B绕0，转动的弧度数为X=2弧度， 5 (3分) 因为u>0,x>0且a1=6, B ·24· ·数学· 参考答案及解析 令k=0,得 5π5 3π5 当n为偶数时， 6w6 或20=6解得▣=π或 9π (3分) Sn= 5 2 6 2 ×2+×3 2 2 当w=9 时，f(x)=si 9π2π1 152- 3)2 ?- 1 -×2= (16分) 此时f假)-0，而，不符合题意。 255 2 2n2+ 6九， 1 1.1 所以ω=元. (5分) 2n2+6n+ 6n为奇数， 所以Sm= (17分) 1 1 2n2+60,n为偶数。 由-+2kx≤x一≤+2张，k∈N,得6 2πT 19.解：(1)函数f(x)=5cos0sinx-5sin(x-0)+ (4tan 0-3)sin x-5sin 0 7 +2k≤x≤6+2k,k∈N. =5cos @sin x-5sin xcos 0+5cos xsin 0+ (4tan 0-3)sin x-5sin 0 因为x>0,所以f(x)的单调递增区间为 =5cos xsin 0+(4tan 0-3)sin x-5sin 0, [+2，+2]k∈. (7分) (2分) 因为ze1,2),所以x5∈(5，） f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)是偶函数， 所以f(-x)=f(x), 当x-∈（行引即z,时，f)弹 5cos(-x)sin 0+(4tan 0-3)sin(-)-5sin 0 调递增， =5cos xsin 0+(4tan 0-3)sin x-5sin 0, 所以(4tan0-3)sinx=0对任意x∈R恒成立， 当行∈[匠），即ze[日2时fx)净 则4tan0-3=0,tan0= 3 4 (5分) 调递减 (10分) 3 (3)当w=π时，由元x _2m=不+2kπ或x 2π (2)因为tan0=3 0<0< 2,所以sin0= 36 3 5 故f(x)=3(cosx-1), 6 +2kπ，kEN,得x= 5 十2k或x= 3 2 +2k, 所以f(x)的最大值为0，此时x的集合为 k∈N, {xx=2kπ，k∈Z}. (9分) 又a1= 所以a的奇数项构成以为首项， 5 (3)函数gx)=fax)-f(ax+) 2为公差的等差数列：偶数项构成以为首项，2 =3 cos-3以-3 cos+2）+3 为公差的等差数列. (12分) =3λcOS wx-3λ+3 sin wx+3. 所以当n为奇数时， 由g红)在x=管处取最小值，得g)的图象关 Sn=n+15 ×2+n1× 6 2 2 于直线工一后对称， n-1(-1-1） 3 22 1 又点经3-3)在函数图象上，所以(） ×2= 2 2 2n2+ 6n+6 (11分) (14分) ·25· B 2027 单元过关 故3xcos(-g）+3sin(-3）=0,且3acos wπ 3 显然，8)在-看处取最大值，不是最小值，不 2w0， +3sin 符合题意； 当aw=4时，g(x)=33cos4x+3sin4x+3 35=6sin(4x+5）+3-38, tan() 显然，g(x)在x= 处既无最大值，也无最小值， 6 则-x-2g即w=∈乙， 不符合题意； 又o>0A>0,所以2=3，am-5, 当w=7时，g(x)=3√5cos7x+3sin7x+3- 3=5simx+g）+3-35, 则-号十nE∈N,得a=1十3，a∈N (13分) 显然gx)在x=晋处取最小值，且y=8一)的 当w=1时，g(x)=3W3cosx+3sinx+3-3W3 图象关于点(83-3)中心对称。 =6sinz+）+3-3v3, 所以入十w的最小值为√3十7. (17分) 2026一2027学年度单元过关（七） 数学·三角恒等变换 一、选择题 5.C【解析】因为sin2a一2cos2a≠0， a+30s&首，得ma二？-2 1,B【解析】由ina-2cosc-2 所以2 sin acos a-2cos2a≠0， tana+33’ 即2cosa(sina-cosa)≠0， 解得tana=12. 所以cosa≠0且sina一cosa≠0，即cosa≠0且 2.B【解析】由题意得tan(a十π)=tana=2, tana≠1. 1-sin 2a cos a 1 1 已知 2sin a 3cos a2tan a-3 2X231 sin 2a-2cos'a 3a2sin acos 2sin acos a-2cos a 3.A【解析】sin2200°=sin(6×360°+40)=sin40° -3,所以amat1-2ana-3, 2tan a-2 -0s50-co25-sin25-1-am25°-1-p 所以tana一8tana+7=0,且tana≠1，解得tana cos225°+sin225°1+tan225°-1+p2 2tan a 2X7 7 4D【解析】由题方可得cos9十sin(20+）=0: =7,所以tan2a=1-tana-1-7=24 6.B【解析】y=sinx+0.5cos2x=-sin2x+ 即cos0-cos20=0,根据二倍角公式，得cos0 1 (2cos0-1)=-0,解得cms0=-方或cm0=1,又 3 sinx=2时，有yas=4: 因为0为第二象限角，所以c0s0= 2,则0= 7.A【解析】因为fx)=sng+)n后受) 2kπ十 3k∈Z,故sin9=3 2 2· =sin管+）es臣-（佰-受）】 B ·26·