第10讲 对数与对数函数 专项训练-2027届高考数学一轮复习

第10讲 对数与对数函数 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 对数的运算与求值 （重） 2 题型02 对数函数的图象与性质 （重） 3 题型03 对数型复合函数的单调性与值域 重难 4 题型04 对数方程与不等式 重难 4 题型05 对数型函数的奇偶性与复合单调 重难 5 题型06 对数式比较大小与模型 重难 6 重难·创新演练 6 真题·实战演练 7 模拟·基础演练 考查重点：对数运算性质、换底公式与对数函数的图象性质 考点聚焦：对数运算性质与换底公式 ▶ 题型01 对数的运算与求值 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模） 的值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山东淄博·一模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·河北廊坊·二模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 9．（2026·江苏泰州·一模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 10．（2025·河南安阳·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·湖北孝感·二模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 12．（2025·江西景德镇·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 考点聚焦：底数分类、定点与图象 ▶ 题型02 对数函数的图象与性质 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．图象过点 D．在 上单调递减 2．（2026·湖南长沙·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象过点 3．（2025·浙江杭州·三模）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．图象过定点 B．定义域为 C．值域为 D．图象关于直线 对称 4．（2025·四川成都·二模）下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·湖南郴州·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B． 是偶函数 C． 的值域为 D． 在 上单调递增 6．（2026·安徽淮南·三模）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．图象恒过点 B．当 时， 在 上单调递增 C．当 时， D． 的值域为 7．（2025·浙江衢州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B． 是奇函数 C． 在 上单调递减 D． 的值域为 8．（2025·四川泸州·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 在 上单调递减 D． 的图象关于直线 对称 考点聚焦：复合单调与真数范围 ▶ 题型03 对数型复合函数的单调性与值域 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）计算 ________． 2．（2026·山东济南·三模）函数 的定义域是________． 3．（2025·江西南昌·二模）函数 的值域是________． 4．（2025·河北唐山·一模）若 ，则 的取值范围是________． 5．（2025·广东广州·三模）方程 的解是________． 6．（2026·福建三明·一模）计算 ________． 7．（2026·山东威海·三模）函数 的值域是________． 8．（2025·江西萍乡·二模）若 （，），则实数 的取值范围是________． 9．（2025·河北邢台·一模）方程 的解是________． 10．（2025·广东汕头·三模）已知函数 （，）在 上的最大值与最小值之差为 ，则 ________． 考点聚焦：同底化归与图象交点 ▶ 题型04 对数方程与不等式 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：（1）；（2）． 2．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）．（1）求 的定义域；（2）求 的值域． 3．（2026·云南保山·模拟预测）计算下列各式的值． (1) ； (2) ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 求 的定义域； (2) 判断 的奇偶性； (3) 求使 的 的取值范围． 考点聚焦：先定定义域，再用 f(-x) 比较与同增异减 ▶ 题型05 对数型函数的奇偶性与复合单调 一、单选题 1．（2026·山东枣庄·三模）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．（2025·河南驻马店·二模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北咸宁·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．它是偶函数 C．它在 上单调递增 D．它在 上单调递增 三、填空题 4．（2025·安徽池州·二模）函数 的最小值为________． 四、解答题 5．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性． (1) 求函数的定义域； (2) 分 与 讨论单调区间． 考点聚焦：同底看单调，同真看底数，都不同插中间量 ▶ 题型06 对数式比较大小与模型 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）设 ，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 2．（2025·河南开封·二模）设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·三模）关于对数式 、、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·江西宜春·二模）________． 四、解答题 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）比较 与 的大小． (1) 把两式化为同底； (2) 比较真数与底数的乘积关系并下结论． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：含参复合函数、定义域与值域为 R 的转化 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江丽水·三模）已知 ， 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ．（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；（2）若 的值域为 ，求 的取值范围． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 若 的定义域为 ，求 的取值范围； (2) 若 的值域为 ，求 的取值范围． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：比较大小、复合单调性与对数不等式的规范解法 1．（2024·新课标Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·T5 改编）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 3．（2022·天津卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 4．（2021·北京卷·T4 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 6．（2023·全国甲卷·T5 改编）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 7．（2022·天津卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 8．（2021·北京卷·T4 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）计算 ________． 10．（2023·上海卷·T6 改编）已知 ，，则 ________． 三、解答题 11．（2022·新课标Ⅰ卷·T18 改编）解不等式 ． 12．（2024·全国乙卷·T20 改编）已知函数 ．（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；（2）若 的值域为 ，求 的取值范围． 13．（2022·新课标Ⅰ卷·T18 改编）解下列关于 的不等式． (1) ； (2) （，）． 14．（2024·全国乙卷·T20 改编）已知函数 ． (1) 求 的值域； (2) 求 的单调区间； (3) 解不等式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 对数与对数函数 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 对数的运算与求值 （重） 2 题型02 对数函数的图象与性质 （重） 4 题型03 对数型复合函数的单调性与值域 重难 7 题型04 对数方程与不等式 重难 9 题型05 对数型函数的奇偶性与复合单调 重难 10 题型06 对数式比较大小与模型 重难 12 重难·创新演练 14 真题·实战演练 17 模拟·基础演练 考查重点：对数运算性质、换底公式与对数函数的图象性质 考点聚焦：对数运算性质与换底公式 ▶ 题型01 对数的运算与求值 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同底对数相减，先合并为一个对数。 【详解】．故选 B． 2．（2026·山西太原·二模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 拆成 ，再提取公因式。 【详解】原式 ．故选 B． 3．（2026·江苏南京·一模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把指数式化为对数式，再拆 。 【详解】由 得 ， ．故选 B． 4．（2025·河南郑州·三模） 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把底数与真数都写成 的幂，再用推论。 【详解】．故选 A． 5．（2025·安徽合肥·二模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把 化为以 为底的对数，再用对数恒等式。 【详解】， 所以 ．故选 A． 6．（2025·辽宁大连·一模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用对数恒等式与 逐项求值。 【详解】，， 7．（2026·山东淄博·一模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别化为 与 的整数次幂的指数。 【详解】，，故原式 ，选 B． 8．（2026·河北廊坊·二模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 拆成 ，提取公因式后用 。 【详解】， 原式 ， 提取公因式得 ，选 A． 9．（2026·江苏泰州·一模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 拆成 ，用积的对数等于对数的和。 【详解】，选 C． 10．（2025·河南安阳·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两项一组用换底公式“连消”，或直接用 。 【详解】，， 故原式 ，选 D． 11．（2025·湖北孝感·二模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换底到以 为底，再把 、 分解质因数。 【详解】，选 A． 12．（2025·江西景德镇·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把 写成 ，再用同底对数的和与 。 【详解】， 而 ，故原式 ，选 B． 所以原式 ．故选 B． 考点聚焦：底数分类、定点与图象 ▶ 题型02 对数函数的图象与性质 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．图象过点 D．在 上单调递减 【答案】ABC 【分析】由对数函数的基本性质逐项判断。 【详解】定义域为 ，值域为 ，A、B 正确； ，图象过 ，C 正确； 底数 ，函数在 上递增，D 错误．故选 ABC． 2．（2026·湖南长沙·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象过点 【答案】ABD 【分析】先由真数为正求定义域，再由底数判断单调性。 【详解】由 得定义域为 ，A 正确； 对数函数的值域为 ，B 正确； 底数 ，函数在 上递减，C 错误； 当 时 ，D 正确．故选 ABD． 3．（2025·浙江杭州·三模）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．图象过定点 B．定义域为 C．值域为 D．图象关于直线 对称 【答案】ABC 【分析】令真数为 求定点，再判断定义域、值域与对称性。 【详解】令 ，得 ，，A 正确； 由 得定义域为 ，B 正确； 对数型函数的值域为 ，C 正确； 函数图象是单调曲线，不关于直线 对称，D 错误．故选 ABC． 4．（2025·四川成都·二模）下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】同底对数比较大小，底数大于 用增函数，小于 用减函数。 【详解】A 中 递增，，正确； 5．（2026·湖南郴州·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B． 是偶函数 C． 的值域为 D． 在 上单调递增 【答案】ACD 【分析】先定定义域（真数为正），再看真数能否取遍 判断值域。 【详解】由 得 或 ，A 正确； 定义域不关于原点对称，故 不是偶函数，B 错误； 在 上可取遍 ，故值域为 ，C 正确； 在 上 递增，底数 ，故 递增，D 正确． 故选 ACD． 6．（2026·安徽淮南·三模）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．图象恒过点 B．当 时， 在 上单调递增 C．当 时， D． 的值域为 【答案】ABD 【分析】定点由 得；单调性由底数与 的大小关系定；C 考查递减时不等号方向。 【详解】，图象恒过 ，A 正确； 时 递增，B 正确； 时 递减，由 得 ，C 错误； 值域为 ，D 正确． 故选 ABD． 7．（2025·浙江衢州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B． 是奇函数 C． 在 上单调递减 D． 的值域为 【答案】ABC 【分析】把 拆成 ，两个单调递减的部分相减仍递减；D 看端点趋势。 【详解】由 得 ，A 正确； 定义域关于原点对称，，B 正确； ，在 上两式均递减，故 递减，C 正确； 当 时 ，当 时 ，值域为 ，D 错误． 故选 ABC． 8．（2025·四川泸州·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 在 上单调递减 D． 的图象关于直线 对称 【答案】BCD 【分析】配方发现真数恒正，故定义域为 ；再由真数的最小值定值域、由对称轴定对称性。 【详解】，定义域为 ，A 错误； 由真数 且底数 得 ， 时取等，值域为 ，B 正确； 在 上真数递增，底数小于 ，故 递减，C 正确； ，图象关于直线 对称，D 正确． 故选 BCD． B 中 递减，，所以 ，错误； C 中 ，正确； D 中 递减，，所以 ，正确．故选 ACD． 考点聚焦：复合单调与真数范围 ▶ 题型03 对数型复合函数的单调性与值域 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）计算 ________． 【答案】 【分析】分别化为同底幂求值。 【详解】，， 所以原式 ． 2．（2026·山东济南·三模）函数 的定义域是________． 【答案】 【分析】真数大于 。 【详解】由 得 ， 所以定义域为 ． 3．（2025·江西南昌·二模）函数 的值域是________． 【答案】 【分析】配方求内层最小值，再由外层递减确定最大值。 【详解】， 又 递减，所以 ， 值域为 ． 4．（2025·河北唐山·一模）若 ，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】真数大的对数值反而小，说明函数递减。 【详解】因为 且 ， 所以 在 上递减， 故 ，即 ． 5．（2025·广东广州·三模）方程 的解是________． 【答案】 【分析】同底方程化为真数相等，再检验真数为正。 【详解】由真数为正得 ，即 ， 6．（2026·福建三明·一模）计算 ________． 【答案】 【分析】前两项合成 ，后一项用对数恒等式。 【详解】，，故原式 ． 7．（2026·山东威海·三模）函数 的值域是________． 【答案】 【分析】先写真数范围 ，再由底数小于 反向得值域。 【详解】，且需 ，故 ． 底数 ，故 ，值域为 ． 8．（2025·江西萍乡·二模）若 （，），则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】把 写成 ，按底数两类讨论，注意递减时不等号反向。 【详解】当 时， 恒成立； 当 时， 递减，由 得 ，即 ． 综上 ． 9．（2025·河北邢台·一模）方程 的解是________． 【答案】 【分析】先由真数为正定出 ，合并后再解二次方程并检验。 【详解】由真数为正得 且 ，即 ． 方程化为 ，即 ，解得 或 （舍去）． 故 ． 10．（2025·广东汕头·三模）已知函数 （，）在 上的最大值与最小值之差为 ，则 ________． 【答案】 或 【分析】底数含参，按 与 分别写出最值之差。 【详解】当 时 递增，，得 ； 当 时 递减，，即 ，得 ． 故 或 ． 原方程化为 ，即 ， 解得 或 ，结合 得 ． 考点聚焦：同底化归与图象交点 ▶ 题型04 对数方程与不等式 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）计算：（1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第（1）问逐项化为同底幂；第（2）问拆 、 后提取公因式。 【详解】（1），，， 所以原式 ． （2）原式 ． 2．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）．（1）求 的定义域；（2）求 的值域． （2）， 【答案】（1）；（2） 时值域为 ， 时值域为 【分析】先由两个真数都大于 求定义域，再合并对数、配方求内层范围，最后按底数分类。 【详解】（1）由 且 得 ，所以定义域为 ． 3．（2026·云南保山·模拟预测）计算下列各式的值． (1) ； (2) ． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 系数化指数后用积、商的对数；(2) 前项连消，后项用对数恒等式。 【详解】(1) ，， 故原式 ． (2) ，，故原式 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 求 的定义域； (2) 判断 的奇偶性； (3) 求使 的 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 奇函数；(3) 当 时为 ，当 时为 【分析】第 (3) 问把 写成 ，再按底数分类，并始终用定义域约束。 【详解】(1) 由 得 ，定义域为 ． (2) 定义域关于原点对称，且 ，故 为奇函数． (3) ． 当 时，，结合 得 ； 当 时，，结合 得 ． 考点聚焦：先定定义域，再用 f(-x) 比较与同增异减 ▶ 题型05 对数型函数的奇偶性与复合单调 一、单选题 1．（2026·山东枣庄·三模）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先由 求定义域，再计算 。 【详解】由 得 ，定义域关于原点对称． ， 故 为奇函数． 故选 A． 2．（2025·河南驻马店·二模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求真数大于零的定义域，再按同增异减判断。 【详解】由 得 或 ． 内层 在 上递增，外层 递增， 故 的单调递增区间为 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·湖北咸宁·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．它是偶函数 C．它在 上单调递增 D．它在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】去绝对值后分两段看，注意偶函数在对称区间上单调性相反。 【详解】定义域为 ，A 正确； ，为偶函数，B 正确； 当 时 递增，C 正确； 由偶函数知在 上递减，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽池州·二模）函数 的最小值为________． 【答案】 【分析】真数是二次式，先求其最小值，再取对数。 【详解】， 故 ，当 时取等号， 最小值为 ． 四、解答题 5．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性． (1) 求函数的定义域； (2) 分 与 讨论单调区间． 【答案】定义域 ； 时增区间 、减区间 ； 时相反 【分析】复合函数单调性先定定义域，再按内外层同增异减。 【详解】(1) 由 得 或 ， 故定义域为 ． (2) 内层 的对称轴为 ， 在 上递增，在 上递减． 当 时， 在 上递增，在 上递减； 当 时， 在 上递减，在 上递增． 考点聚焦：同底看单调，同真看底数，都不同插中间量 ▶ 题型06 对数式比较大小与模型 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）设 ，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】两数都大于 ，可借助 、 比较。 【详解】， ， 故 ． 故选 A． 2．（2025·河南开封·二模）设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断各自与 、 的大小，再排序。 【详解】，，， 故 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·三模）关于对数式 、、，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】同真数时底数越小对数值越大，换底公式可验证乘积关系。 【详解】同真数 ，底数 ，故 ，A 正确； ，B 正确； 由换底公式 ，C 正确； ，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·江西宜春·二模）________． 【答案】 【分析】用换底公式把两个对数化成同底。 【详解】． 四、解答题 5．（2026·贵州安顺·模拟预测）比较 与 的大小． (1) 把两式化为同底； (2) 比较真数与底数的乘积关系并下结论． 【答案】 【分析】同底化后比较 与 。 【详解】(1) ，． (2) 只需比较 与 ． 由均值不等式 ， 而 ，故 ， 所以 ． 而 ，当 时 ， 当 时，，值域为 ； 当 时，，值域为 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：含参复合函数、定义域与值域为 R 的转化 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按底数分类： 时外层递增，要求内层递减且恒正； 时无解。 【详解】当 时，外层递增，要使复合函数在 上递减，内层 必须在 上递减，故对称轴 ，即 ； 同时内层在 上恒正，只需最小值 ，即 ， 所以 ； 当 时，外层递减，需内层递增，但内层在 上无法单调递增，无解． 综上 ．故选 A． 2．（2026·浙江温州·三模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】内层在 上递增且恒正，两个条件同时满足。 【详解】内层 的对称轴为 ， 3．（2026·江苏南通·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个条件缺一不可：真数在区间上递增，且真数在区间上恒正（用最小值控制）。 【详解】需 在 上递增且恒正． 递增要求对称轴 ，即 ； 此时 在 上递增，最小值 ，即 ． 综上 ，故选 A． 4．（2026·浙江丽水·三模）已知 ， 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简 ，换元后由两根之积推出 。 【详解】方程化为 ，解得 或 ， 即 或 ，故 ，选 B． 要在 上递增，需 ，即 ； 同时 在 上恒正，只需 ，即 ， 所以 ．故选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ．（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；（2）若 的值域为 ，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】定义域为 要求内层恒正；值域为 要求内层取遍一切正数，注意 的情形。 【详解】（1）要使 对任意 成立， 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 若 的定义域为 ，求 的取值范围； (2) 若 的值域为 ，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 【分析】定义域为 用判别式小于零；值域为 要求真数能取遍一切正数，即最小值不大于零。两者容易混淆，要区分清楚。 【详解】(1) 需 对任意 成立，即 ，得 ； 又 ，故 ． (2) 需 取遍 中的一切值，即其最小值 ，得 ． 又 ，故 ，即 ． 需 且判别式 ，解得 ， 所以 ． （2）要使 的值域为 ，内层 必须取遍一切正数． 当 时， 取遍 ，正数部分为 ，符合题意； 当 时， 有最大值，取不到任意大的正数，不符合题意； 当 时，需最小值不大于 ，即 ，解得 ． 综上 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：比较大小、复合单调性与对数不等式的规范解法 1．（2024·新课标Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 与 作中间量，先确定三个数的范围。 【详解】； ； ， 所以 ．故选 A． 2．（2023·全国甲卷·T5 改编）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】真数大于 ，解一元二次不等式。 【详解】由 得 ， 解得 或 ， 所以定义域为 ．故选 B． 3．（2022·天津卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求定义域，再取内层减区间与定义域的交集。 【详解】由 得 或 ，定义域为 ； 内层在 上递减，与定义域取交集得 ； 外层递增，所以复合函数在 上递减．故选 A． 4．（2021·北京卷·T4 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令真数为 ，求出定点坐标。 【详解】令 ，得 ，此时 ， 5．（2024·新课标Ⅱ卷·T7 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用 作分界先定 最小，再对 统一化为以 为底比较真数。 【详解】，而 ，，故 最小． 又 ，显然成立，故 ． 所以 ，故选 B． 6．（2023·全国甲卷·T5 改编）函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三个限制同时成立：根号内非负、真数为正、分母不为零。 【详解】需 ，，，即 ，，． 故定义域为 ，选 A． 7．（2022·天津卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】底数小于 ，故 的减区间对应真数的增区间，但必须与定义域取交集（这是易错点）。 【详解】由 得定义域为 ． 底数 ，故 的递减区间即 的递增区间 与定义域的交集，即 ，选 A． 8．（2021·北京卷·T4 改编）函数 （，）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令真数为 ，此时对数值为 ，与底数无关。 【详解】令 ，即 ，此时 ． 故定点为 ，选 A． 所以 ，定点为 ．故选 A． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）计算 ________． 【答案】 【分析】前一项连锁换底，后两项用积的对数合并。 【详解】， 10．（2023·上海卷·T6 改编）已知 ，，则 ________． 【答案】 【分析】由对数的定义把 还原成 、，再代入指数式。 【详解】由 得 ，由 得 ． 故 ． ， 所以原式 ． 三、解答题 11．（2022·新课标Ⅰ卷·T18 改编）解不等式 ． 【答案】 【分析】底数小于 ，不等号反向，且两个真数都要为正。 【详解】原不等式等价于 ． 由 得 或 ； 由 得 ，即 ， 取交集得 ， 所以解集为 ． 12．（2024·全国乙卷·T20 改编）已知函数 ．（1）若 的定义域为 ，求 的取值范围；（2）若 的值域为 ，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】定义域为 要求内层恒正，即判别式小于 ；值域为 要求内层最小值不大于 。 【详解】（1）要使 对任意 成立， 13．（2022·新课标Ⅰ卷·T18 改编）解下列关于 的不等式． (1) ； (2) （，）． 【答案】(1) ；(2) 当 时为 ，当 时为 【分析】(1) 化为 ；(2) 先定真数都为正的公共范围，再按底数分类。 【详解】(1) 原不等式等价于 ，解得 ，解集为 ． (2) 真数需同时为正： 且 ，即 ． 当 时，，即 ，结合 得 ； 当 时，，即 ，结合 得 ． 14．（2024·全国乙卷·T20 改编）已知函数 ． (1) 求 的值域； (2) 求 的单调区间； (3) 解不等式 ． 【答案】(1) ；(2) 递减区间 ，递增区间 ；(3) 【分析】配方求真数最小值，据此定值域与单调性；第 (3) 问化为真数不小于 。 【详解】(1) ，故 ，值域为 ． (2) 在 上递减、在 上递增，底数 ，故 的递减区间为 ，递增区间为 ． (3) ， 解得 或 ，解集为 ． 需判别式 ，解得 ． （2）内层 的最小值为 ， 要使 的值域为 ，需最小值不大于 ，即 ， 解得 或 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $