第08讲 幂函数与二次函数专项训练-2027届高三数学一轮复习

第08讲 幂函数与二次函数 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 二次函数的图象与性质 （重） 2 题型02 幂函数的单调性与奇偶性 （重） 5 题型03 二次函数在闭区间上的最值 重难 7 题型04 含参二次函数的最值 重难 10 题型05 幂函数的图象与变换 重难 11 题型06 二次函数解析式的求法 重难 13 题型07 二次函数的根与参数 重难 15 重难·创新演练 17 真题·实战演练 20 模拟·基础演练 考查重点：幂函数的定义与图象、二次函数的顶点与闭区间最值 考点聚焦：开口、对称轴、顶点与单调区间 ▶ 题型01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】幂函数要求系数为 、底数为自变量、指数为常数． 【详解】A 的系数为 ，不是幂函数；B 含常数项，不是幂函数； D 的指数为自变量，是指数函数；C 符合三项特征．故选 C． 2．（2026·山西太原·二模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由 求 ，再代 ． 【详解】由 得 ，所以 ． 故 ，选 B． 3．（2026·江苏南京·一模）若幂函数 在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【分析】系数为 解方程，再用单调性取舍． 【详解】由 得 ，解得 或 ． 当 时， 在 上递增，不合题意； 当 时， 在 上递减，符合题意．故选 A． 4．（2025·河南郑州·三模）比较 与 的大小，结果是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】底数在 内，指数函数递减． 【详解】因为 在 上单调递减，且 ， 所以 ，选 B． 5．（2025·安徽合肥·二模）二次函数 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方或直接用顶点公式． 【详解】， 所以顶点坐标为 ，选 A． 6．（2025·辽宁大连·一模）函数 在 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对称轴 落在区间内，最小值在顶点取得． 【详解】，对称轴 ， 7．（2026·山东烟台·一模）下列函数中，既是幂函数又在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】幂函数必须是 的形式（系数为 、底数为自变量），再逐个判断单调性。 【详解】 的系数为 ，不是幂函数； 是指数函数； 在 上递增； 符合幂函数的定义，且 ，在 上单调递减． 故选 B． 8．（2026·河北保定·二模）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“递减”给出指数的符号范围，“关于 轴对称”要求指数为偶数，两者取交集。 【详解】递减要求指数为负：，得 ，故 ． 关于 轴对称要求指数为偶数： 时指数为 ， 时为 ， 时为 ，只有 符合． 故选 B． 9．（2026·江苏常州·一模）若二次函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】开口向上的二次函数在对称轴左侧递减，要求所给区间含于减区间。 【详解】图象开口向上，对称轴为 ，递减区间为 ． 由题意 ，故 ，即 ，故选 A． 10．（2025·河南开封·三模）设 ，，，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同底比指数、同指数比底数，用 作“桥”。 【详解】 递减，而 ，故 ，即 ； 在 上递增，而 ，故 ，即 ． 所以 ，故选 B． 11．（2025·湖北宜昌·二模）已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【分析】按对称轴与区间的位置关系分三类，逐类解方程后检验是否落在该类范围内。 【详解】对称轴为 ． 若 ， 在 上递增，最小值 ，不合； 若 ，最小值 ，得 ，只有 符合； 若 ， 在 上递减，最小值 ，得 ，不合． 故 ，选 A． 12．（2025·安徽安庆·三模）已知二次函数 满足 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设一般式，用恒等式比较系数求 ，再配方求最小值。 【详解】设 ，由 得 ． 对任意 成立，故 ，，即 ，． 所以 ，最小值为 ，选 C． 所以最小值为 ，选 B． 考点聚焦：指数符号定单调，指数奇偶定对称 ▶ 题型02 幂函数的单调性与奇偶性 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）关于五个常见幂函数，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递增 C． 在定义域上单调递减 D． 的图象经过原点 【答案】ABD 【分析】逐项核对奇偶性、单调性与定点． 【详解】A 中 ，是奇函数，正确； B 中 在 上递增，正确； C 中 在 和 上分别递减，但不能说在定义域上递减，错误； D 中 ，图象过原点，正确．故选 ABD． 2．（2026·湖南长沙·二模）关于幂函数 （ 为常数），下列结论正确的是（　　） A．图象都经过点 B．当 时，在 上单调递增 C．当 时，图象与 轴有交点 D．当 为偶数时，函数为偶函数 【答案】ABD 【分析】按指数的正负与奇偶分类判断． 【详解】A 中 ，正确； B 中 时幂函数在 上递增，正确； C 中 时图象以 轴为渐近线，与 轴无交点，错误； D 中 为偶数时 ，且定义域关于原点对称，为偶函数，正确．故选 ABD． 3．（2025·浙江杭州·三模）已知 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为 B． 的最小值为 C． 在 上单调递减 D． 【答案】ABC 【分析】配方后逐项判断． 【详解】，对称轴为 ，最小值为 ，A、B 正确； 在 上递减，C 正确； ，，二者不等，D 错误．故选 ABC． 4．（2025·四川成都·二模）已知 在 上单调递增，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】开口向上，对称轴不在区间内部右侧即可． 【详解】，对称轴为 ． 5．（2026·湖南株洲·二模）已知幂函数 （），则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 在 上单调递增 B． 的图象一定经过点 C．若 是偶函数，则 一定是偶数 D．若 ，则 在 上单调递减 【答案】ABD 【分析】A、D 由幂函数的单调性结论直接判断；C 要防“分数指数”的反例。 【详解】 时 在 上递增， 时递减，A、D 正确； ，故图象必过 ，B 正确； 取 ， 是偶函数，但 不是偶数，C 错误． 故选 ABD． 6．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D． 在 上的最大值为 【答案】ABC 【分析】对称关系给出对称轴，进而定 ；最值要比较顶点与两端点。 【详解】由 知对称轴为 ，即 ，故 ，A 正确； 由 得 ，B 正确； ，最小值为 ，C 正确； 在 上 ，，最大值为 ，D 错误． 故选 ABC． 7．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A．若 在 上单调递增，则 B．若 在 上单调递减，则 C．若 在 上的最小值为 ，则 D．对任意实数 ， 的图象与 轴都有两个交点 【答案】ABC 【分析】A、B 看对称轴与区间的相对位置；C、D 按对称轴分三类求最小值再检验。 【详解】对称轴为 ．A：区间在对称轴右侧，需 ，正确；B：区间在对称轴左侧，需 ，正确． C：若 ，最小值 ，得 ；若 ，最小值 ，得 ，均不在该范围；若 ，最小值 ，得 ，不合．故 ，C 正确． D：判别式 ，当 时 ，图象与 轴没有交点，D 错误． 故选 ABC． 8．（2025·山东潍坊·二模）设 ， 为 在 上的最小值，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D． 无最大值 【答案】ABD 【分析】动区间上的最小值按“顶点在区间左、内、右”分类，写出分段解析式后再判断。 【详解】． A： 时区间为 ，含顶点 ，，正确； B： 时区间为 ，在对称轴右侧递增，，正确； C：因 ，且当 时 ，，故 的最小值为 ，C 错误； D：当 时 ，故 无最大值，D 正确． 故选 ABD． 要使 在 上递增，只需 ． 所以 可以取 、，不能取 、．故选 AB． 考点聚焦：二次函数闭区间最值的分类 ▶ 题型03 二次函数在闭区间上的最值 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 【答案】 【分析】把点的坐标代入，化同底后比较指数． 【详解】由 得 ， 所以 ，即 ． 2．（2026·山东济南·三模）比较 与 的大小：________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】指数相同，用幂函数 的单调性． 【详解】因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ． 3．（2025·江西南昌·二模）二次函数 的顶点坐标是________． 【答案】 【分析】配方或直接用顶点公式． 【详解】， 所以顶点坐标为 ． 4．（2025·河北唐山·一模）函数 在 上的最大值是________． 【答案】 【分析】对称轴 在区间内，最大值在离轴较远的端点． 【详解】，对称轴 ． ，，故最大值为 ． 5．（2025·广东广州·三模）函数 在 上的值域是________． 【答案】 【分析】开口向下，最大值在顶点，最小值在离轴较远的端点． 【详解】，对称轴 ，最大值为 ． 6．（2026·江西赣州·一模）已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，则 ________． 【答案】 【分析】幂函数要求系数为 ，解出 后再用单调性取舍。 【详解】由系数为 得 ，即 ，故 或 ． 时指数为 ，在 上递增，不合； 时指数为 ，递减，符合． 故 ． 7．（2026·山东临沂·三模）已知函数 在 上的最小值为 ，则实数 ________． 【答案】 【分析】对称轴与区间的位置分三种情况，逐类解出后必须回代检验。 【详解】对称轴为 ． 若 ， 在 上递增，最小值 ，得 ，符合； 若 ，最小值 ，得 ，均不在 内； 若 ，最小值 ，得 ，不合． 故 ． 8．（2025·河北沧州·一模）函数 在 上的值域是________． 【答案】 【分析】配方后比较顶点值与两个端点值。 【详解】，在 上最小值为 ； 又 ，，故最大值为 ．值域为 ． 9．（2025·江苏徐州·二模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】分离参数化为 恒成立，再求 在 上的最小值。 【详解】因 ，，原不等式等价于 对任意 恒成立． 在 上递减，故在 上的最小值为 ． 所以 ，即 ，取值范围为 ． 10．（2025·广东佛山·三模）若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】二次函数在闭区间上不单调，等价于对称轴落在区间内部。 【详解】对称轴为 ． 在 上不单调，等价于对称轴在区间内部， 即 ，故取值范围为 ． 又 ，，最小值为 ， 故值域为 ． 考点聚焦：含参二次函数最值与恒成立 ▶ 题型04 含参二次函数的最值 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ．（1）求 的解析式；（2）求 在 上的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）最大值为 ，最小值为 【分析】已知顶点设顶点式求 ；再比较顶点与两端点的函数值． 【详解】（1）设 ， 把 代入得 ，所以 ． 故 ． （2）对称轴 ，最小值为 ． 又 ，， 故最大值为 ，最小值为 ． 2．（2026·全国·模拟预测）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 【答案】当 时 ；当 时 ；当 时 【分析】配方得对称轴 ，按轴与 的位置分三类． 【详解】，对称轴为 ． 3．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知函数 （）． (1) 若 在 上单调递增，求 的取值范围； (2) 求 在 上的最小值 ； (3) 若 ，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1) 区间在对称轴右侧；(2) 按对称轴与 的三种位置写分段；(3) 逐段解不等式再取并集。 【详解】(1) 对称轴为 ，由 在对称轴右侧得 ． (2) ① 当 时， 在 上递增，； ② 当 时，； ③ 当 时， 在 上递减，． (3) 当 时，由 得 ，故 ； 当 时，由 得 ，即 ，在 上恒成立； 当 时，由 得 ，故 ． 综上 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 当 时，求 的最小值； (2) 若 在 上的最小值为 ，求 的值； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 【分析】恒成立问题转化为 在 上的最小值非负，仍按对称轴分类。 【详解】(1) 时对称轴 ， 在 上递减，最小值 ． (2) ① 若 ， 在 上递增，最小值 ，得 ，符合； ② 若 ，最小值 ，得 ，均不在 内； ③ 若 ， 在 上递减，最小值 ，得 ，符合． 故 或 ． (3) 令 ，对称轴为 ． ① 若 ， 在 上递增，最小值 ，得 ，故 ； ② 若 ，最小值 ，即 ，得 ，结合 得 ； ③ 若 ，最小值 ，得 ，不合． 综上 ，即取值范围为 ． 考点聚焦：由指数符号定单调、由奇偶定对称 ▶ 题型05 幂函数的图象与变换 一、单选题 1．（2026·山东菏泽·三模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把点代入 ，化成同底数比较指数。 【详解】由 得 ． 故选 A． 2．（2025·江西抚州·二模）已知幂函数 在 上单调递减，且为偶函数，则 可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】递减要求 ，偶函数要求 为偶数。 【详解】由在 上递减知 ，排除 C、D； 时 为奇函数， 时 为偶函数． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖北荆门·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．它是奇函数 C．它在 上单调递减 D．它的图象经过点 【答案】ABCD 【分析】把 写成 后逐项判断。 【详解】 的定义域为 ，A 正确； ，为奇函数，B 正确； 在 上 随 增大而减小，C 正确； 时 ，D 正确． 故选 ABCD． 三、填空题 4．（2025·广西百色·二模）函数 的定义域为________． 【答案】 【分析】分数指数幂的分母为奇数时，被开方数可取任意实数。 【详解】，对任意实数 都有意义， 故定义域为 ． 四、解答题 5．（2026·云南文山·模拟预测）已知幂函数 ． (1) 当 时，写出 在 上的单调性； (2) 当 时，写出 在 上的单调性，并说明 时 的奇偶性． 【答案】(1) 单调递增；(2) 单调递减， 时为偶函数 【分析】幂函数在 上的单调性由 的符号决定。 【详解】(1) 当 时， 在 上单调递增． (2) 当 时， 在 上单调递减． 当 时 ，定义域为 ， 且 ，故为偶函数． 考点聚焦：一般式、顶点式、双根式，按已知条件择优设式 ▶ 题型06 二次函数解析式的求法 一、单选题 1．（2026·河北衡水·三模）已知二次函数的图象经过点 、、，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三点坐标已知，设一般式代入解方程组。 【详解】设 ，代入三点得 ，，， 解得 ，，， 故 ． 故选 A． 2．（2025·辽宁大连·二模）已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点 ，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知顶点，优先设顶点式 。 【详解】设 ，代入 得 ， 故 ，即 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·山东淄博·三模）已知二次函数 满足 ，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．图象的对称轴为 【答案】ABC 【分析】先由三个条件解出 ，再逐项核对。 【详解】由 得 ； 由 得 ；由 得 ， 解得 ，，A、B 正确； ，C 正确； 对称轴为 ，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽芜湖·二模）已知 ，则 ________． 【答案】 【分析】换元法：令 ，把 用 表示后回代。 【详解】令 ，则 ， ， 故 ． 四、解答题 5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知二次函数 满足 ，且 ，求 的解析式． (1) 设出一般式并利用 ； (2) 由恒等式比较系数求 ． 【答案】 【分析】设一般式，代入恒等式后比较同次项系数。 【详解】设 ，由 得 ． ， 由恒等于 得 ，， 解得 ，， 故 ． 考点聚焦：开口、判别式、对称轴、端点值四件事定根的分布 ▶ 题型07 二次函数的根与参数 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）若方程 在 内有两个不等实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对称轴在区间内，需 且两端函数值为正。 【详解】设 ，对称轴 ． 由 得 ； 又 ，， 综上 ． 故选 A． 2．（2025·山东济南·二模）若方程 的一个根大于 、另一个根小于 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】开口向上时，只需 。 【详解】设 ，开口向上， 两根分居 两侧等价于 ， 即 ，得 ． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）研究二次方程根的分布时，通常需要考虑（　　） A．判别式的符号 B．对称轴与区间的位置关系 C．区间端点处函数值的符号 D．只需考虑判别式 【答案】ABC 【分析】四要素：开口、判别式、对称轴、端点值。 【详解】A、B、C 是三个关键量（开口方向由题设给定）； 只看判别式无法确定根落在哪个区间，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）若方程 有两个不相等的正根，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】两根为正：、两根之和为正、两根之积为正。 【详解】由 得 或 ； 两根之和 得 ； 两根之积 恒成立． 综上 ． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若 的两根都大于 ，求 的取值范围． (1) 写出三个条件； (2) 取交集得范围． 【答案】 【分析】对称轴在 右侧、判别式非负、，三者同时成立。 【详解】需同时满足： ① ，即 或 ； ② 对称轴 ； ③ ，即 ． 三者取交集得 ． （若要求两根均大于 且不相等，则 ） 当 时， 在 上递增，； 当 时，； 当 时， 在 上递减，． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：指数含参筛选、动区间最值与恒成立转化 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由递减确定 ，再由关于 轴对称要求指数为偶数． 【详解】由 在 上递减得 ，即 ， 又 ，故 ，，． 当 或 时，指数为 ，函数为奇函数，图象关于原点对称，不合题意； 当 时，指数为 ，函数为偶函数，图象关于 轴对称，符合题意．故选 B． 2．（2026·浙江温州·三模）已知 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分 与 两种情况讨论最大值的位置． 【详解】，，对称轴为 ． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在 上的最大值为 ，则实数 的取值集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最高次系数含参，必须按 、、 分类讨论最大值的取得位置。 【详解】当 时 在 上递减，最大值 ，符合； 当 时开口向上，最大值只能在端点取得：，，故 ，即 ； 当 时开口向下，对称轴 ， 在 上递减，最大值 ，符合． 综上 ，故选 A． 4．（2026·浙江金华·三模）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】“存在”对应最小值：分离参数后取 在 上的最小值。 【详解】因 ，，不等式等价于 ． 存在 使不等式成立，只需 （）． 由 ，且 时取等，故最小值为 ． 于是 ，即 ，故选 A． 当 时， 在 上递减，最大值为 ，符合； 当 时，最大值在 或 处取得， 需 ，即 ，解得 ，故 ． 综上，，选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 都有 ，求实数 的取值范围． 【答案】 【分析】转化为 在 上的最小值不小于 ，按对称轴位置分三类． 【详解】，对称轴为 ． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 当 时，求 的最小值； (2) 若 在 上是单调函数，求 的取值范围； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 【分析】(2) 对称轴不在区间内部即单调；(3) 构造 ，按其最小值分类讨论。 【详解】(1) 时 ，在 上递减，最小值 ． (2) 对称轴为 ，要使 在 上单调，需 或 ． (3) 令 ． ① 若 ， 在 上递增，最小值 ，得 ，故 ； ② 若 ，最小值 ，即 ，得 ，故 ； ③ 若 ， 在 上递减，最小值 ，得 ，不合． 综上 ，即取值范围为 ． 当 时， 在 上递增，最小值为 ， 由 得 ，故 均符合； 当 时，最小值为 ， 由 得 ，即 ，故 ； 当 时，最小值为 ，由 得 ，与 矛盾． 综上， 的取值范围是 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：幂值比较、闭区间最值与分段讨论的规范书写 1．（2022·全国甲卷·T5 改编）下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】指数为正则递增，指数为负则递减． 【详解】、、 的指数为正，在 上递增； 的指数为负，在 上递减．故选 B． 2．（2023·天津卷·T4 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 与 同底， 与 同指数，分两组比较． 【详解】因为 单调递减，且 ，所以 ． 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ． 故 ，选 B． 3．（2021·北京卷·T6 改编）已知二次函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两个零点设交点式，再代 ． 【详解】由 可设 ， 所以 ．故选 C． 4．（2021·浙江卷·T5 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】配方后比较顶点与两端点． 【详解】，对称轴 ，最小值为 ； 又 ，，最大值为 ． 故值域为 ，选 A． 5．（2022·全国甲卷·T5 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用同底（指数函数）比较 ，再用同指数（幂函数）比较 。 【详解】 递减，而 ，故 ，即 ； 在 上递增，而 ，故 ，即 ． 所以 ，故选 B． 6．（2021·北京卷·T6 改编）已知二次函数 满足 ，则 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两根式写出解析式，再比较顶点与两端点的函数值。 【详解】由 得 ，对称轴为 ． 在 上，，最小值 ，故最大值为 ，故选 A． 7．（2021·浙江卷·T5 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】开口向下，最大值在顶点，最小值在离对称轴较远的端点。 【详解】，最大值 ； 又 ，，故最小值为 ．值域为 ，故选 A． 8．（2023·天津卷·T4 改编）若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最小值取到 要求顶点在区间内，最大值不超过 要求右端点不越过另一等高零点。 【详解】，最小值 必须在 处取得，故 ． 最大值需为 ：，故只需 ，即 ，得 ． 结合 得 ，故选 A． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 【答案】 【分析】先求 ，再代 ． 【详解】由 得 ， 10．（2023·上海卷·T6 改编）若二次函数 在 处取得最小值 ，则 ________． 【答案】 【分析】最小值点的函数值直接给出 ，对称轴条件用于验证。 【详解】由 得 ，即 ． （此时由对称轴 得 ，与 联立得 ，，确为最小值点，符合题意．） 所以 ，． 三、解答题 11．（2022·全国乙卷·T20 改编）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 【答案】当 时 ；当 时 ；当 时 【分析】对称轴 ，按区间 在轴左侧、包含轴、在轴右侧三类讨论． 【详解】，对称轴为 ． 当 ，即 时， 在 上递减，； 当 ，即 时，； 当 时， 在 上递增，． 12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值． 【答案】 【分析】配方得对称轴 ，按轴与 的位置分三类求最小值，再令其等于 ． 【详解】，对称轴为 ． 13．（2022·全国乙卷·T20 改编）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减． (1) 求 的值及 的解析式； (2) 解不等式 ； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ，；(2) ；(3) 【分析】(1) 指数为负且为偶数；(2) 偶函数且正半轴递减，不等式等价于比较 与 ；(3) 单调性求最小值。 【详解】(1) 由递减得 ，即 ，故 ；由关于 轴对称知指数为偶数，只有 时指数为 ，故 ． (2) 为偶函数，在 上递减，故 ，且 ，． 两边平方得 ，即 ，，解得 或 ． 再由 得 （ 或 已排除 ）． 故解集为 ． (3) 在 上递减，最小值为 ，故 ． 14．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数 （）的图象与 轴交于点 和 ，且最小值为 ． (1) 求 的解析式； (2) 求不等式 的解集； (3) 若 在 上恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】用两根式设解析式，由最小值定 ；恒成立即 。 【详解】(1) 设 ，对称轴为 ，最小值 ，得 ，故 ． (2) 由 得 ，即 ，解得 ，解集为 ． (3) 在 上的最小值为 ，故 ，即取值范围为 ． 当 时， 在 上递增，最小值为 ， 令 得 ，不满足 ； 当 时，最小值为 ， 令 得 ，即 或 ，只有 符合； 当 时，最小值为 ， 令 得 ，不满足 ． 综上，． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 幂函数与二次函数 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 二次函数的图象与性质 （重） 2 题型02 幂函数的单调性与奇偶性 （重） 3 题型03 二次函数在闭区间上的最值 重难 4 题型04 含参二次函数的最值 重难 5 题型05 幂函数的图象与变换 重难 5 题型06 二次函数解析式的求法 重难 6 题型07 二次函数的根与参数 重难 7 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：幂函数的定义与图象、二次函数的顶点与闭区间最值 考点聚焦：开口、对称轴、顶点与单调区间 ▶ 题型01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）若幂函数 在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． 或 D． 4．（2025·河南郑州·三模）比较 与 的大小，结果是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．（2025·安徽合肥·二模）二次函数 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）函数 在 上的最小值是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山东烟台·一模）下列函数中，既是幂函数又在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·河北保定·二模）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． D． 9．（2026·江苏常州·一模）若二次函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2025·河南开封·三模）设 ，，，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·湖北宜昌·二模）已知函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 12．（2025·安徽安庆·三模）已知二次函数 满足 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：指数符号定单调，指数奇偶定对称 ▶ 题型02 幂函数的单调性与奇偶性 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）关于五个常见幂函数，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递增 C． 在定义域上单调递减 D． 的图象经过原点 2．（2026·湖南长沙·二模）关于幂函数 （ 为常数），下列结论正确的是（　　） A．图象都经过点 B．当 时，在 上单调递增 C．当 时，图象与 轴有交点 D．当 为偶数时，函数为偶函数 3．（2025·浙江杭州·三模）已知 ，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴为 B． 的最小值为 C． 在 上单调递减 D． 4．（2025·四川成都·二模）已知 在 上单调递增，则 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·湖南株洲·二模）已知幂函数 （），则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 在 上单调递增 B． 的图象一定经过点 C．若 是偶函数，则 一定是偶数 D．若 ，则 在 上单调递减 6．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D． 在 上的最大值为 7．（2025·浙江嘉兴·三模）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A．若 在 上单调递增，则 B．若 在 上单调递减，则 C．若 在 上的最小值为 ，则 D．对任意实数 ， 的图象与 轴都有两个交点 8．（2025·山东潍坊·二模）设 ， 为 在 上的最小值，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． 的最小值为 D． 无最大值 考点聚焦：二次函数闭区间最值的分类 ▶ 题型03 二次函数在闭区间上的最值 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 2．（2026·山东济南·三模）比较 与 的大小：________（填“”或“”）． 3．（2025·江西南昌·二模）二次函数 的顶点坐标是________． 4．（2025·河北唐山·一模）函数 在 上的最大值是________． 5．（2025·广东广州·三模）函数 在 上的值域是________． 6．（2026·江西赣州·一模）已知函数 是幂函数，且在 上单调递减，则 ________． 7．（2026·山东临沂·三模）已知函数 在 上的最小值为 ，则实数 ________． 8．（2025·河北沧州·一模）函数 在 上的值域是________． 9．（2025·江苏徐州·二模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是________． 10．（2025·广东佛山·三模）若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是________． 考点聚焦：含参二次函数最值与恒成立 ▶ 题型04 含参二次函数的最值 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ．（1）求 的解析式；（2）求 在 上的最大值与最小值． 2．（2026·全国·模拟预测）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 3．（2026·四川宜宾·模拟预测）已知函数 （）． (1) 若 在 上单调递增，求 的取值范围； (2) 求 在 上的最小值 ； (3) 若 ，求 的取值范围． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 当 时，求 的最小值； (2) 若 在 上的最小值为 ，求 的值； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 考点聚焦：由指数符号定单调、由奇偶定对称 ▶ 题型05 幂函数的图象与变换 一、单选题 1．（2026·山东菏泽·三模）已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2025·江西抚州·二模）已知幂函数 在 上单调递减，且为偶函数，则 可以是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北荆门·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．它是奇函数 C．它在 上单调递减 D．它的图象经过点 三、填空题 4．（2025·广西百色·二模）函数 的定义域为________． 四、解答题 5．（2026·云南文山·模拟预测）已知幂函数 ． (1) 当 时，写出 在 上的单调性； (2) 当 时，写出 在 上的单调性，并说明 时 的奇偶性． 考点聚焦：一般式、顶点式、双根式，按已知条件择优设式 ▶ 题型06 二次函数解析式的求法 一、单选题 1．（2026·河北衡水·三模）已知二次函数的图象经过点 、、，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·二模）已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点 ，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·山东淄博·三模）已知二次函数 满足 ，，，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D．图象的对称轴为 三、填空题 4．（2025·安徽芜湖·二模）已知 ，则 ________． 四、解答题 5．（2026·江西南昌·模拟预测）已知二次函数 满足 ，且 ，求 的解析式． (1) 设出一般式并利用 ； (2) 由恒等式比较系数求 ． 考点聚焦：开口、判别式、对称轴、端点值四件事定根的分布 ▶ 题型07 二次函数的根与参数 一、单选题 1．（2026·河北保定·三模）若方程 在 内有两个不等实根，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·二模）若方程 的一个根大于 、另一个根小于 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南长沙·三模）研究二次方程根的分布时，通常需要考虑（　　） A．判别式的符号 B．对称轴与区间的位置关系 C．区间端点处函数值的符号 D．只需考虑判别式 三、填空题 4．（2025·安徽合肥·二模）若方程 有两个不相等的正根，则 的取值范围是________． 四、解答题 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若 的两根都大于 ，求 的取值范围． (1) 写出三个条件； (2) 取交集得范围． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：指数含参筛选、动区间最值与恒成立转化 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）已知 在 上的最大值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数 在 上的最大值为 ，则实数 的取值集合是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江金华·三模）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 都有 ，求实数 的取值范围． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 ，． (1) 当 时，求 的最小值； (2) 若 在 上是单调函数，求 的取值范围； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：幂值比较、闭区间最值与分段讨论的规范书写 1．（2022·全国甲卷·T5 改编）下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·天津卷·T4 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2021·北京卷·T6 改编）已知二次函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．（2021·浙江卷·T5 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 5．（2022·全国甲卷·T5 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 6．（2021·北京卷·T6 改编）已知二次函数 满足 ，则 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 7．（2021·浙江卷·T5 改编）函数 在 上的值域是（　　） A． B． C． D． 8．（2023·天津卷·T4 改编）若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2023·上海卷·T6 改编）已知幂函数 的图象经过点 ，则 ________． 10．（2023·上海卷·T6 改编）若二次函数 在 处取得最小值 ，则 ________． 三、解答题 11．（2022·全国乙卷·T20 改编）已知 在 上的最小值为 ，求 的解析式． 12．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值． 13．（2022·全国乙卷·T20 改编）已知幂函数 （）的图象关于 轴对称，且在 上单调递减． (1) 求 的值及 的解析式； (2) 解不等式 ； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 14．（2024·全国·模拟预测）已知二次函数 （）的图象与 轴交于点 和 ，且最小值为 ． (1) 求 的解析式； (2) 求不等式 的解集； (3) 若 在 上恒成立，求 的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $