第09讲 指数与指数函数 专项训练-2027届高考数学一轮复习

第09讲 指数与指数函数 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 指数幂的运算与化简 （重） 2 题型02 指数函数的图象与性质 （重） 3 题型03 指数型函数的值域与不等式 重难 4 题型04 指数型复合函数的综合 重难 5 题型05 指数型函数的奇偶性与单调性 重难 5 题型06 指数模型与图象平移 重难 6 题型07 指数式比较大小 重难 7 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：幂的运算性质、指数函数的图象与性质、复合函数的单调性 考点聚焦：根式与分数指数幂的互化 ▶ 题型01 指数幂的运算与化简 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）化简 （）的结果是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 7．（2026·山东泰安·一模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·河北邯郸·二模）已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 9．（2026·江苏盐城·一模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 10．（2025·河南新乡·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 11．（2025·湖北荆州·二模）已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 12．（2025·江西上饶·三模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 考点聚焦：底数分类与图象过定点 ▶ 题型02 指数函数的图象与性质 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列函数中，是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象经过点 3．（2025·浙江杭州·三模）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递增 C． 的值域为 D． 5．（2026·湖南衡阳·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递减 C． 的值域为 D． 的图象关于原点对称 6．（2026·安徽滁州·三模）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．图象恒过点 B．当 时， 在 上单调递增 C．当 时， D． 的值域为 7．（2025·浙江湖州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递减 C． 的值域为 D． 的图象关于点 对称 8．（2025·四川南充·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的图象经过点 B． 的值域为 C． 在 上单调递增 D． 的图象可由 的图象向右平移 个单位、再向下平移 个单位得到 考点聚焦：换元后新元范围与值域 ▶ 题型03 指数型函数的值域与不等式 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）计算 ________． 2．（2026·山东济南·三模）函数 的值域是________． 3．（2025·江西南昌·二模）若 ，则 ________． 4．（2025·河北唐山·一模）若函数 （，）在 上的最大值与最小值之和为 ，则 ________． 5．（2025·广东广州·三模）不等式 的解集是________． 6．（2026·福建莆田·一模）计算 ________． 7．（2026·山东聊城·三模）函数 的值域是________． 8．（2025·江西宜春·二模）若函数 是偶函数，则实数 ________． 9．（2025·河北衡水·一模）不等式 的解集是________． 10．（2025·广东珠海·三模）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________． 考点聚焦：复合函数同增异减与奇偶性 ▶ 题型04 指数型复合函数的综合 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）求函数 的单调区间及最小值． 2．（2026·全国·模拟预测）解不等式 ． 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数 ． (1) 求 的单调区间； (2) 求 的最小值及取得最小值时 的值； (3) 解不等式 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 解不等式 ； (2) 解关于 的不等式 ． 考点聚焦：先看定义域，再用 f(-x) 与 f(x) 比较 ▶ 题型05 指数型函数的奇偶性与单调性 一、单选题 1．（2026·吉林白山·三模）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．（2025·黑龙江伊春·二模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·辽宁朝阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．图象恒过点 D．当 时在 上单调递增 三、填空题 4．（2025·甘肃酒泉·二模）函数 的最小值为________． 四、解答题 5．（2026·青海海东·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性． (1) 写出内层函数的单调区间； (2) 分 与 两种情况讨论． 考点聚焦：先定定点，再按增长率列指数式 ▶ 题型06 指数模型与图象平移 一、单选题 1．（2026·山东泰安·三模）某种细胞每小时分裂一次，由 个分裂成 个，则 小时后细胞个数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北秦皇岛·二模）函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北荆州·三模）关于函数 与 的图象，下列说法正确的是（　　） A．两者关于 轴对称 B．两者都过点 C．当 时两者在 上单调性相反 D．两者的值域相同 三、填空题 4．（2025·安徽滁州·二模）函数 的图象恒过定点________． 四、解答题 5．（2026·河南周口·模拟预测）某放射性物质的质量按半衰期衰减，半衰期为 年，初始质量为 ． (1) 写出 年后剩余质量 与 的关系式； (2) 求质量变为 所需的时间． 考点聚焦：同底看单调、同指看底数，都不同则插入 0 或 1 搭桥 ▶ 题型07 指数式比较大小 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南新乡·二模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北荆州·三模）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·江西上饶·二模）设 ，，则 ________（填“”或“”）． 四、解答题 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知 ，，，比较 、、 的大小． (1) 比较同底数的 与 ； (2) 把 化为底数大于 的形式，再与 比较． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：换元后的根的分布、含绝对值的内层与奇偶性综合 1．（2026·江苏南通·模拟预测）若方程 有实数解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）若关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江台州·三模）若 ， 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）．（1）判断 的奇偶性；（2）讨论 在 上的单调性． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 判断并证明 的奇偶性； (2) 讨论 在 上的单调性； (3) 当 时，解不等式 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：底数分类、同增异减与换元法求值域的规范解法 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T4 改编）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·T6 改编）下列函数中，是奇函数且在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 3．（2019·全国Ⅰ卷·T3 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（2020·北京卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·T4 改编）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·T6 改编）下列函数中，是奇函数且在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 7．（2019·全国Ⅰ卷·T3 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 8．（2020·北京卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2022·上海卷·T5 改编）若 ，则 ________． 10．（2022·上海卷·T5 改编）已知 ，，则 ________． 三、解答题 11．（2022·全国乙卷·T18 改编）解不等式 ． 12．（2021·全国乙卷·T18 改编）已知函数 ，求 在 上的值域． 13．（2022·全国乙卷·T18 改编）解下列关于 的不等式． (1) ； (2) （，）． 14．（2021·全国乙卷·T18 改编）已知函数 ． (1) 求 的值域； (2) 求 在 上的值域； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 指数与指数函数 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 指数幂的运算与化简 （重） 2 题型02 指数函数的图象与性质 （重） 4 题型03 指数型函数的值域与不等式 重难 7 题型04 指数型复合函数的综合 重难 9 题型05 指数型函数的奇偶性与单调性 重难 10 题型06 指数模型与图象平移 重难 12 题型07 指数式比较大小 重难 13 重难·创新演练 16 真题·实战演练 18 模拟·基础演练 考查重点：幂的运算性质、指数函数的图象与性质、复合函数的单调性 考点聚焦：根式与分数指数幂的互化 ▶ 题型01 指数幂的运算与化简 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】负指数化倒数，奇次根式直接开方。 【详解】，， 所以原式 ，选 B． 2．（2026·山西太原·二模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知式两边平方，中间项为常数 。 【详解】将 两边平方，得 ， 所以 ，选 A． 3．（2026·江苏南京·一模）化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】偶次方根开出来是绝对值，奇次方根保留原值。 【详解】， ， 所以原式 ，选 A． 4．（2025·河南郑州·三模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用立方和公式，或把已知式三次方后整理。 【详解】由 得 ，即 ． ，选 A． 5．（2025·安徽合肥·二模）化简 （）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化为分数指数幂，再用幂的乘方。 【详解】， 所以 ，选 A． 6．（2025·辽宁大连·一模）若 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把所求式拆成同底数幂的乘积。 【详解】，选 A． 7．（2026·山东泰安·一模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】负指数化为倒数，再把 写成 。 【详解】，故选 B． 8．（2026·河北邯郸·二模）已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方后中间项 为常数，整体代换。 【详解】两边平方得 ，即 ，故 ，选 C． 9．（2026·江苏盐城·一模）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意 ，平方后再减去 。 【详解】，选 D． 10．（2025·河南新乡·三模）计算 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三部分分别化为 、、，注意非零数的零次幂为 。 【详解】，，． 故原式 ，选 A． 11．（2025·湖北荆州·二模）已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用立方和公式 ，其中 。 【详解】令 ，，则 ，． ，选 C． 12．（2025·江西上饶·三模）已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 看成 ，再用同底数幂的乘法。 【详解】，选 A． 考点聚焦：底数分类与图象过定点 ▶ 题型02 指数函数的图象与性质 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）下列函数中，是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】指数函数必须严格形如 ，系数为 。 【详解】A、C 都符合 （，）的形式，是指数函数； B 中 ，系数为 ，不是指数函数； D 是幂函数．故选 AC． 2．（2026·湖南长沙·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象经过点 【答案】ABC 【分析】对照指数函数的定义与性质逐项判断。 【详解】 的定义域为 ，值域为 ，A、B 正确； 底数 ，故在 上递增，C 正确； ，图象过 而非 ，D 错误．故选 ABC． 3．（2025·浙江杭州·三模）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】底数大于 用递增，底数小于 用递减，取倒数要看同号。 【详解】A 中 ，平方后 ，正确； B 中 递增，正确； C 中由 且 得 ，错误； D 中 递减，正确．故选 ABD． 4．（2025·四川成都·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递增 C． 的值域为 D． 【答案】ABD 【分析】用定义验奇偶性，用两个增函数的差判断单调性。 【详解】，定义域为 ，故为奇函数，A 正确； 5．（2026·湖南衡阳·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是偶函数 B． 在 上单调递减 C． 的值域为 D． 的图象关于原点对称 【答案】ABC 【分析】分类去掉绝对值： 时 ，据此判断单调性与值域。 【详解】，为偶函数，A 正确、D 错误； 当 时 ，底数小于 ，故递减，B 正确； 由 得 ，且 可取任意非负数，值域为 ，C 正确． 故选 ABC． 6．（2026·安徽滁州·三模）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．图象恒过点 B．当 时， 在 上单调递增 C．当 时， D． 的值域为 【答案】ABD 【分析】指数函数的定点、单调性由底数与 的大小关系决定，值域恒为正。 【详解】，图象恒过 ，A 正确； 时递增，B 正确； 时递减，由 得 ，C 错误； 值域为 ，D 正确． 故选 ABD． 7．（2025·浙江湖州·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 在 上单调递减 C． 的值域为 D． 的图象关于点 对称 【答案】AC 【分析】先分离常数 ，再由 的单调性反推值域与单调性。 【详解】，故为奇函数，A 正确； 由 ， 递增，故 在 上递增，B 错误； 由 得 ，解得 ，值域为 ，C 正确； 奇函数图象关于原点对称，D 错误． 故选 AC． 8．（2025·四川南充·二模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A． 的图象经过点 B． 的值域为 C． 在 上单调递增 D． 的图象可由 的图象向右平移 个单位、再向下平移 个单位得到 【答案】BCD 【分析】把 看成 平移后的结果，平移不改变单调性与值域的“形状”。 【详解】，A 错误； 由 得 ，且可取遍 ，B 正确； 递增，平移不改变单调性，C 正确； 由平移法则（左加右减、上加下减）知 D 正确． 故选 BCD． 递增， 也递增，故 在 上递增，B 正确； 当 时 ，值域为 ，C 错误； ，D 正确．故选 ABD． 考点聚焦：换元后新元范围与值域 ▶ 题型03 指数型函数的值域与不等式 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）计算 ________． 【答案】 【分析】负指数化倒数，再开立方。 【详解】． 2．（2026·山东济南·三模）函数 的值域是________． 【答案】 【分析】先求内层的最小值，再由外层递减定出上界。 【详解】令 ，则 ． 外层递减，所以 ，值域为 ． 3．（2025·江西南昌·二模）若 ，则 ________． 【答案】 【分析】先算 与 ，再相加。 【详解】，， 所以 ． 4．（2025·河北唐山·一模）若函数 （，）在 上的最大值与最小值之和为 ，则 ________． 【答案】 【分析】无论增减，区间端点恰好是最大、最小，和为 。 【详解】 在 上单调，最大值与最小值分别为 与 （顺序与 的范围有关）， 由 得 ，且 符合题意，故 ． 5．（2025·广东广州·三模）不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】两边化为以 为底的幂，再用单调性去底。 【详解】原不等式即 ，由 递增得 ， 6．（2026·福建莆田·一模）计算 ________． 【答案】 【分析】注意 ，减去它等于加上 。 【详解】，，． 故原式 ． 7．（2026·山东聊城·三模）函数 的值域是________． 【答案】 【分析】先求指数的取值范围，再用 的单调性得值域。 【详解】，且 在 上递增， 故 ，值域为 ． 8．（2025·江西宜春·二模）若函数 是偶函数，则实数 ________． 【答案】 【分析】偶函数即 对一切 成立，比较对应项系数。 【详解】由 得 对任意 成立， 即 对任意 成立，故 ． 9．（2025·河北衡水·一模）不等式 的解集是________． 【答案】 【分析】令 化为关于 的二次不等式，解出 的范围再还原。 【详解】令 ，原不等式化为 ，即 ，得 ． 故 ，即 ，解集为 ． 10．（2025·广东珠海·三模）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________． 【答案】 【分析】去绝对值后 在 递减、在 递增，用区间包含关系定 。 【详解】当 时 递增；当 时 递减． 要使 在 上递增，需 ，即 ． 故取值范围为 ． 即 ，解得 或 ． 故解集为 ． 考点聚焦：复合函数同增异减与奇偶性 ▶ 题型04 指数型复合函数的综合 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）求函数 的单调区间及最小值． 【答案】单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值为 【分析】外层底数大于 ，单调性与内层一致，最小值由内层最小值决定。 【详解】令 ，则 在 上递减，在 上递增，且 ． 外层 关于 递增，由“同增异减”， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 当 时 取最小值 ，此时 取最小值 ． 2．（2026·全国·模拟预测）解不等式 ． 【答案】 【分析】令 ，先解关于 的二次不等式，再回代。 【详解】令 ，原不等式化为 ，解得 ． 3．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数 ． (1) 求 的单调区间； (2) 求 的最小值及取得最小值时 的值； (3) 解不等式 ． 【答案】(1) 递减区间 ，递增区间 ；(2) 最小值为 ，此时 ；(3) 【分析】令 化为二次函数 ，由 关于 递增把单调性“翻译”回去。 【详解】令 ，则 ． (1) 关于 递增，而 在 上递减、在 上递增，故 在 上递减，在 上递增． (2) 当 ，即 时， 取得最小值 ． (3) ，即 ，故 ，解集为 ． 4．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 解不等式 ； (2) 解关于 的不等式 ． 【答案】(1) ；(2) 当 时解集为 ，当 时解集为 【分析】(1) 化为同底 ；(2) 底数含参，必须按 与 分类，注意不等号方向。 【详解】(1) ，解得 ，解集为 ． (2) 当 时， 递增，故 ，得 ； 当 时， 递减，故 ，得 ． 综上：当 时解集为 ；当 时解集为 ． 考点聚焦：先看定义域，再用 f(-x) 与 f(x) 比较 ▶ 题型05 指数型函数的奇偶性与单调性 一、单选题 1．（2026·吉林白山·三模）函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】定义域为 ，计算 与 的关系。 【详解】定义域为 ． ， 故 为奇函数． 故选 A． 2．（2025·黑龙江伊春·二模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】底数 ，外层递增，故增区间由内层 的增区间决定。 【详解】令 ，则 在 上递增． 在 上递增， 故 的单调递增区间为 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·辽宁朝阳·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．图象恒过点 D．当 时在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】按指数函数的基本性质逐项判断。 【详解】定义域为 ，值域为 ，图象恒过 ，A、B、C 正确； 当 时 在 上单调递减，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·甘肃酒泉·二模）函数 的最小值为________． 【答案】 【分析】令 ，化为二次函数求最值，注意 的范围。 【详解】令 ，则 ， ， 当 即 时取等号，故最小值为 ． 四、解答题 5．（2026·青海海东·模拟预测）已知函数 ，讨论 的单调性． (1) 写出内层函数的单调区间； (2) 分 与 两种情况讨论． 【答案】 时增区间 、减区间 ； 时相反 【分析】复合函数单调性遵循“同增异减”。 【详解】(1) 内层 ， 在 上递减，在 上递增． (2) 当 时，外层 递增，故 在 上递增，在 上递减； 当 时，外层递减，故 在 上递减，在 上递增． 考点聚焦：先定定点，再按增长率列指数式 ▶ 题型06 指数模型与图象平移 一、单选题 1．（2026·山东泰安·三模）某种细胞每小时分裂一次，由 个分裂成 个，则 小时后细胞个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每小时翻倍， 小时后为 个。 【详解】 小时后细胞个数为 ． 故选 B． 2．（2025·河北秦皇岛·二模）函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令指数为零，求出定点。 【详解】令 得 ，此时 ， 故图象恒过 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·湖北荆州·三模）关于函数 与 的图象，下列说法正确的是（　　） A．两者关于 轴对称 B．两者都过点 C．当 时两者在 上单调性相反 D．两者的值域相同 【答案】ABCD 【分析】利用 与对称性逐项判断。 【详解】把 换成 即得另一个函数，两图象关于 轴对称，A 正确； 时两者都为 ，B 正确； 时 递增、 递减，C 正确； 两者的值域都是 ，D 正确． 故选 ABCD． 三、填空题 4．（2025·安徽滁州·二模）函数 的图象恒过定点________． 【答案】 【分析】令指数为零求出横坐标，再算纵坐标。 【详解】令 得 ，此时 ， 故定点为 ． 四、解答题 5．（2026·河南周口·模拟预测）某放射性物质的质量按半衰期衰减，半衰期为 年，初始质量为 ． (1) 写出 年后剩余质量 与 的关系式； (2) 求质量变为 所需的时间． 【答案】(1) ；(2) 年 【分析】每过一个半衰期质量减半，用指数式表示。 【详解】(1) ． (2) 由 得 ， 故 ，即 年． 考点聚焦：同底看单调、同指看底数，都不同则插入 0 或 1 搭桥 ▶ 题型07 指数式比较大小 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别与 、 比较，三个数刚好落在三个不同区间。 【详解】； ；， 故 ． 故选 A． 2．（2025·河南新乡·二模）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先比同底的两式，再比同指数的两式。 【详解】 与 同底：，指数 ，故 ； 与 同指数：，故 ， 所以 ． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·湖北荆州·三模）下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】底数大于 时单调递增，底数小于 时单调递减，不同底则与 比较。 【详解】A：底 ，，故 ，错误； B：底 ，，故 ，正确； C：，正确； D： 不成立，错误． 故选 BC． 三、填空题 4．（2025·江西上饶·二模）设 ，，则 ________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】两边同取常用对数，把指数式化成乘积比较。 【详解】，， 因为 ，所以 ． 四、解答题 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知 ，，，比较 、、 的大小． (1) 比较同底数的 与 ； (2) 把 化为底数大于 的形式，再与 比较． 【答案】 【分析】先把 化成底数大于 的形式，再分两组比较。 【详解】 与 同底：，，故 ． ， 而 ，故 ． 综上 ． 由 得 ， 因为 递增，所以 ，即解集为 ． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：换元后的根的分布、含绝对值的内层与奇偶性综合 1．（2026·江苏南通·模拟预测）若方程 有实数解，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令 ，转化为二次方程有正根，按判别式与根的正负讨论。 【详解】令 ，方程化为 ，需该方程有正根，由 得 或 ． 当 时，两根之和为 ，两根之积为 ，故两根均为正，符合题意； 当 时： 时两根异号，必有正根； 时积非负、和为负，两根均非正，不合题意． 所以 的取值范围是 ，选 B． 2．（2026·浙江温州·三模）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】外层递增，只需内层 在 上递增。 【详解】外层递增，只需 在 上递增，而它在 上递增，故 ，选 A． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）若关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】换元 后，原方程有两解等价于二次方程有两个不同的正根，用判别式与韦达定理控制。 【详解】令 ，方程化为 ，需有两个不同的正根． 故 ，两根之和 ，两根之积 ， 联立得 ，故选 A． 4．（2026·浙江台州·三模）若 ， 是方程 的两个根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元后两根之积对应 ，不必分别求出 。 【详解】令 ，方程化为 ，解得 或 ，即 或 ． 故 ，选 C． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）．（1）判断 的奇偶性；（2）讨论 在 上的单调性． （2）． 【答案】（1）奇函数；（2） 时在 上递增， 时在 上递减 【分析】奇偶性用定义验证；单调性先分离常数，再按底数分类。 【详解】（1）定义域为 ，且 ，所以 是奇函数． 6．（2026·全国·模拟预测）已知函数 （，）． (1) 判断并证明 的奇偶性； (2) 讨论 在 上的单调性； (3) 当 时，解不等式 ． 【答案】(1) 奇函数，证明见解析；(2) 当 时在 上单调递增，当 时在 上单调递减；(3) 【分析】分离常数 是讨论单调性的关键；第 (3) 问用奇偶性把两项并到同一侧。 【详解】(1) 定义域为 ，关于原点对称，且 ，故 为奇函数． (2) ．当 时 递增， 递减，故 递增；当 时 递减，故 递减． (3) ， 递增且为奇函数，故 ，得 ，即 ，解集为 ． 当 时， 递增， 递减，故 递增；当 时， 递减， 递增，故 递减． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：底数分类、同增异减与换元法求值域的规范解法 1．（2023·新课标Ⅰ卷·T4 改编）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】外层递增，只需内层 在 上递减。 【详解】外层 递增，故需 在 上递减． 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 ， 需 落在对称轴左侧，即 ，得 ，选 D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·T6 改编）下列函数中，是奇函数且在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先筛奇偶性，再看单调性。 【详解】A 中 非奇非偶，且单调递减，错误； B 中 为奇函数，且两个增函数 与 之和递增，正确； C 中 是偶函数，错误； D 中 非奇非偶，且单调递减，错误．故选 B． 3．（2019·全国Ⅰ卷·T3 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先按与 的大小分组，再比较同组的两个数。 【详解】，而 、 都小于 ，故 最大； 比较 与 ：，， 由 得 ，所以 ，选 B． 4．（2020·北京卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】外层递增，递减区间即内层 的递减区间。 【详解】外层 递增，故 的单调递减区间就是 的单调递减区间． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·T4 改编）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】外层递增，故只需内层 在 上递减，用对称轴位置定 。 【详解】 在 上递增，故 递减等价于 在 上递减． 的对称轴为 ，需 ，即 ，故选 A． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·T6 改编）下列函数中，是奇函数且在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先筛奇偶性，再判断正半轴上的单调性，两条件缺一不可。 【详解】 非奇非偶，A 错； 是奇函数，但在 上递减，B 错； 满足 ，为奇函数，且 与 在 上均递增，故递增，C 正确； 是奇函数，但在 上递减，D 错． 故选 C． 7．（2019·全国Ⅰ卷·T3 改编）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 作分界先定 的范围，再用 的递减性比较 。 【详解】； 递减，而 ，故 ，即 ； 又 ． 所以 ，故选 A． 8．（2020·北京卷·T6 改编）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】外层 递增，故 的减区间就是内层 的减区间。 【详解】 在 上递增，故 的递减区间即 的递减区间． 在 上递减，其余区间上递增，故所求为 ，选 A． 在 上递减，所以 的单调递减区间为 ，选 A． 二、填空题 9．（2022·上海卷·T5 改编）若 ，则 ________． 【答案】 【分析】用立方和公式，或把已知式三次方后整理。 【详解】由 得 ， 10．（2022·上海卷·T5 改编）已知 ，，则 ________． 【答案】 【分析】把 拆成 ，整体代入。 【详解】． 即 ， 所以 ，解得 ． 三、解答题 11．（2022·全国乙卷·T18 改编）解不等式 ． 【答案】 【分析】令 ，先解二次不等式，再回代。 【详解】令 ，原不等式化为 ，解得 ． 由 得 ， 因为 递增，所以 ，即解集为 ． 12．（2021·全国乙卷·T18 改编）已知函数 ，求 在 上的值域． 【答案】 【分析】令 ，先定 的范围，再配方求最值。 【详解】令 ，由 得 ， 13．（2022·全国乙卷·T18 改编）解下列关于 的不等式． (1) ； (2) （，）． 【答案】(1) ；(2) 【分析】两问都换元 为指数式，第 (2) 问因式分解后要按 与 的大小分类。 【详解】(1) 令 ，得 ，即 ，故 ，解集为 ． (2) 令 ，不等式化为 ，即 ． 当 时 ，故 ，即 ； 当 时 ，故 ，由 递减得 ． 综上解集为 ． 14．（2021·全国乙卷·T18 改编）已知函数 ． (1) 求 的值域； (2) 求 在 上的值域； (3) 若 对任意 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】分离常数后由 的范围推值域；闭区间上利用单调性取端点值。 【详解】(1) ，由 得 ，故 ，从而 ，值域为 ． (2) 在 上递增，故在 上的值域为 ． ，，故值域为 ． (3) 在 上递增，最小值为 ，故 ，即取值范围为 ． 则 ． 当 （即 ）时取最小值 ； 当 （即 ）时取最大值 ， 所以 在 上的值域为 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $