第五章 二次函数 素养检测-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

第五章 《二次函数》素养检测 (满分：100分 时间：90分钟) 班级： 学号： 姓名： 分数： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1.(2026春·宝安区校级月考)下列函数中，一定是关于x的二次函数的是 ( A.y=ax2+bx+c B.y=2x-3 5 C.y=x2- D.y=3x2+x-2 2.函数y=ax十1与y=ax2十bx十1(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 3.已知关于x的二次函数y=x2十(b一3)x一b的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是( A.b<3 B.b>3 C.b≤0 D.b<0 4.(2025秋·越秀区校级月考)在函数y=2x2十4x一5的图象上有三点，A1（一2，y1),A2(一1，y2), A(1,y3),则下列各式中，正确的是 A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2 5.将抛物线y=x2一4x十3平移，使它平移后的顶点为（一2,4），则需将该抛物线 A.先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度 B.先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度 C.先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度 D.先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度 6.(2025秋·惠城区校级月考)抛物线的对称轴为直线x=3,其所对应的二次函数的最大值为一5，且 与y=22的图象开口大小相同，则这条抛物线表达式为 Ay=-x+3)+5 B.y=- (-3)-5 C.y=2(x+3》+5 D.y=2(x-3)2-5 7.(2025秋·宝安区校级月考)如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m。 那么水位下降1m时，水面的宽度为 A.√6m B.2√6m C.(6-4)m D.(2√6-4)m 第五章《二次函数》素养检测第1页（共8页） 8.(2025秋·广州校级期中)如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx十b交于A(一3，y1),B(1,y2) 两点，则关于x的不等式ax2十c>kx+b的解集是 A.x<-3或x>1 B.x>-3或x<1 C.-3<x<1 D.-1<x<1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9.如果函数y=(m一3)xm-1十3x一1是二次函数，那么m的值为 10.二次函数y=x2一2x十6的最小值是 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=a,x2一2ax(a>0)和直线y2=kx(k>0)交于点O和点 A.如果点A的横坐标是3，那么关于x的不等式kx>ax2-2ax的解集是 4 m M 5m (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.若二次函数y=x2十bx十c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程x2十bx十c=0的一个根为 x1=3,则另一个根为 13.如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度OP是子m,出手后实心球沿一段抛物线运行，到 达最高点时，水平距离是5m,高度是4m。若实心球落地点为M,则OM= m。 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14.(6分)已知二次函数y=x2+4x一6，将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+的形式，并写出二 次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。 第五章《二次函数》素养检测第2页（共8页） 15.(6分)已知函数y=x2十2mx十m一1(m为常数)，求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个 公共点。 第五章《二次函数》素养检测第3页（共8页） 16.(6分)如图，用一段长40m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园ABCD,设菜园的一边 AB长为xm,菜园的面积为Sm,当x为何值时，围成的菜园的面积最大？最大面积是多少？ 墙 A D 菜园 第五章《二次函数》素养检测第4页（共8页） 17.(9分)动画电影《疯狂动物城2》全球公映，某文创公司在影片热映期间推出一款成本价为每卷3元 的角色贴纸投放市场，售价范围为4元至7元，经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量y(卷) 与每卷售价x(元)满足函数关系y=一100x十1400。 (1)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达1800元？ (2)当每卷贴纸售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 第五章《二次函数》素养检测第5页（共8页） 18.(10分)跳绳是一项促进学生体质健康发展的运动，可以发展学生的速度耐力、协调性、灵敏性等身 体素质。如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作抛物线，抛物线表达式的二次项系数为 一0.1，已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6m,距地面均为1m,以甲所在的地面的O点为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系。 (1)求抛物线的函数表达式； (2)身高为1.63的小梦也想参加这个活动，她在距离甲1米的地方跳绳，请问她在跳绳时，头顶会 碰到绳子吗？如果会碰到，她至少需要向乙移动多少米才不会碰到绳子（假定当绳甩到最高处 时，学生双脚处于落地状态)？ 个y/m m 6 第五章《二次函数》素养检测第6页（共8页） 19.(12分)如图，抛物线y=一x2十bx十c与直线y=x+2相交于A(一2,0)，B(3,m)两点，与x轴相交 于另一点C。 (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D, 交直线AB于点E,当PE=2ED时，求P点坐标； (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 E 第五章《二次函数》素养检测第7页（共8页） 20.(12分)(2025·南山区三模)项目式学习 【问题情境】 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1s充电1k”。如图1，是一个新能源超级充 电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究。 【研究步骤】 如图2是该超级充电站的截面图，OA是安装充电桩的墙面，AB是充电站顶部的膜结构棚顶，可近 似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图2 所示的平面直角坐标系。已知OA=2.5m,点B为AB所在抛物线的最高点，其坐标为(4,3.5)。 (1)求AB所在抛物线的函数表达式； 【问题解决】 如图2，点C是AB上干粉灭火器的安装点，CD是长度为41cm的干粉灭火器装置，点D为干粉喷 射点。已知干粉喷射点D距离地面3时，对地面的保护半径为2。对空间的保护截面可近似地 看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域。安装点C可根据需要在AB所在抛物线上滑动， 从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同。 (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为3时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点(1,1)？请说明理由； (3)若灭火器喷射时，对空间的保护截面与墙OA的交点为(0,1.09)，请直接写出点D的横坐标。 D 0 图1 图2 x/m 第五章《二次函数》素养检测第8页（共8页）数学九年级上册(BS) (2)如答图，根据题意，知CB∥PO∥NA, AN=CB=1.6 m,AO=18 m,PO=16 m, C O BF A E 答图 BO=OA-AB=18-13.5=4.5(m), .△NAE∽△POE,△CBFO△POF, 是》8熙票 AE1.6BF_1.6 ∴18十AE-i64.5+BF=16, 解得AE=2,BF=0.5, 2-0.5=1.5>0, .小军影子的长度变短了，变短了1.5m。 第五章《二次函数》素养检测 1.D2.C3.C4.C5.C6.B7.B8.C 9.-110.511.0<<312.=-113. 14.解：y=x2+4x十4-6-4=(x2+4x+4)-10 =(x+2)2-10, ,a=1>0, .二次函数图象的开口向上，对称轴是直线x=一2，顶点坐 标是（一2，一10）。 15.证明：根据二次函数与一元二次方程的关系， 函数y=x2十2mx十m一1的图象与x轴有两个公共点相当 于一元二次方程x2+2m.x+m一1=0有两个不相等的实 数根， 此方程中△=(2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=4(m 2+3>0, .不论m取何值，一元二次方程x+2mx十m-1=0总有 两个不相等的实数根， 即不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点。 16.解：.AB=CD=xm, .BC=(40-2x)m, 根据题意，得S=x(40-2x)=-2x2十40x, S=-2x2+40x=-2(x一10)2+200， .当x=10时，S有最大值，S最大=200， 即当x=10时，围成的菜园的面积最大，最大面积是 200m。 17.解：(1)由题意得(x-3)(-100x+1400)=1800, 解得x1=5,x2=12 4≤x≤7，.x=5。 答：公司将该贴纸每卷售价定为5元时，每天销售该贴纸的 利润可达1800元。 (2)设每天获利w元， 则由题意得，=(x一3)（一100x十1400）=一100x2+ 1700x-4200, .对称轴为直线x=8.5; 又，-100<0，开口向下，且4≤x≤7， ∴由函数的性质可知，当x=7时，心取得最大值， 此时，umax=2800。 答：当每卷贴纸售价为7元时，每天获利最大，最大利润为 2800元. 18.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=一0.1x2十bx十c, 由题意可知，点(0,1)和(6,1)都在该抛物线上， (c=1, b=0.6, (-0.1X62+6b+c=1, 解得 c=1, .抛物线的函数表达式为y=一0.1x2+0.6x+1。 (2).y=-0.1x2+0.6x+1=-0.1(x-3)2+1.9, .当x=1时，y=-0.1(1-3)2+1.9=1.5,1.5<1.63, 小梦头顶会碰到绳子。 令1.63=-0.1x2+0.6x+1,解得x=3±33@ 10 ÷始至少粥要向乙移动3-30面-1=(2-30)(m) 10 才不会碰到绳子。 19.解：(1)把B(3,m)代入y=x十2得：m=3+2=5, .B(3,5), 把A(-2,0),B(3,5)代人y=一x2+bx+c得： 1-4-2b+c=0, ,1b=2, 解得 -9+3b+c=5, c=8, 抛物线的解析式为y=一x2+2x十8， (2)设P(t,一t十2t十8)，则E(t,t十2)，D(t,0), .PE=2DE, .-2+2+8-(t+2)=2(t+2), 解得t=1或t=一2（此时P不在直线AB上方，舍去）； .P的坐标为(1,9)； (3)M的坐标为(l+区，山+，区)或(- 2 1,)或(1+37,1+37)或1-，√7 2 -1-37). 2 20.解：(1)由题意，AB所在抛物线的顶点坐标为(4,3.5)， .设AB所在抛物线的表达式为y=a(x一4)2+3.5， 将点A(0,2.5)代入，得2.5=a(0-4)2+3.5, 解得a=一6'， 1 AB所在抛物线的表达式为y=一16（x-4)+3.5, 即y=-6r+号x+2.5. (2)不能覆盖着火点(1,1)，理由如下， 由题意，得yo=3,c=3十0.41=3.41， 对于y=-后-4+3.5， 1 令y=3.41,则3.41=-16（x-4)2+3.5, 解得x=5.2(5.2>4舍去)或x=2.8, .点C(2.8,3.41),.点D(2.8,3), 设点D所在抛物线的表达式为y=b(x-2.8)2十3， ,对地面的保护半径为2m, .此抛物线与x轴的两个交点为(2.8一2,0)和(2.8十2， 0),即(0.8,0)和(4.8,0)， 将(0.8,0)代入得0=b(0.8-2.8)2+3,解得b=- 3 4 抛物线的表达式为y=一号(x一28)+3， 令x=1,则y=-是1-2.8)2+3=0.57<1， .点(1,1)在抛物线与x轴形成的区域的外侧， .不能覆盖着火点(1,1)。 (3)点D的横坐标为4+44 13 第六章《概率的进一步认识》素养检测 1.B2.C3.B4.A5.B6.A7.B8.A 9.04510.09511.日12.号13.日 14.解：设袋子中红球的个数为x, 由题意，得无=0.25， 解得x=5, ∴.估计袋子中红球的个数为5。 15.(1)0.380(2)195(答案不唯一) (3)随着转动次数的增加，频率逐渐稳定在0.40附近。 (4)0.40 16.解：(1)BD (2)根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下： S S2 53 S Si (S1,S2) (S1,S3) (S1,S4) S2 (S2,S1) (S2,S) (S2,S4) S (S3,S) (Sa,S2) (S3,S4) (S4,S1) (S4,S2) (S4,S3) 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光 的结果有8种，所以P(能使灯泡发光)一立=？· 82 17.解：号 (2)从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随 机抽取一张，画树状图如答图： 4 参考咨案 开始 AB C DABCD A BCD AB C D 答图 共有16种等可能的结果，其中抽取到两张内容一致的卡片 的结果有4种， 所以两次抽取到的卡片内容一致的概率为音一子， 18.解：(1)：箱中装有2张“喜洋洋”卡片和1张“乐融融”卡片 (卡片除图案外完全相同)， 第一次抽取时，抽到“喜洋洋”卡片的概率=千2一了。 22 (2)依题意，设用A,C分别表示“喜洋洋”“乐融融”，列表 如下： A A 0 A (A,A) (A,A) (C,A) A (A,A) (A,A) (C,A) C (A,C) (A,C) (C,C) 由表格得，一共有9种等可能的情况，其中，两次抽到相同 图案的卡片的情况有5种， 两次抽到相同的卡片，商场送全运会吉祥物一个， “参与者赢得吉祥物的概率为日。 19.解：(D号 (2)列表如图： 、学生A ① ② ③ ④ ⑤ 学生B ① 相邻 不相邻 不相邻 不相邻 ② 相邻 相邻 不相邻 不相邻 ③ 不相邻 相邻 相邻 不相邻 ④ 不相邻 不相邻 相邻 相邻 ⑤ 不相邻 不相邻 不相邻 相邻 根据表格可得，共有20种等可能的情况，其中学生A和学 生B入座后相邻的情况有8种， 故学生A和学生B入座后相邻的概率一20=行· 8 2 20.解：(1)画树状图如答图： 开始 和2 5 6 > 答图