第04讲 基本不等式及其应用 讲义-2027届高考数学一轮复习

第04讲 基本不等式及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考基本不等式的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 基本不等式知识结构图、三组易混辨析与配凑思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 基本不等式求最值 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 新课标Ⅱ卷 T9（5 分） “1”的代换 全国乙卷 T8（5 分） 天津卷 T5（5 分） 新高考Ⅰ卷 T6（5 分） 配凑与换元 新课标Ⅱ卷 T11（5 分） 浙江卷 T8（5 分） 全国乙卷 T10（5 分） 多元最值与恒成立 天津卷 T9（5 分） 新课标Ⅰ卷 T12（5 分） 上海卷 T11（5 分） 实际应用与创新 北京卷 T10（5 分） —— 全国甲卷 T15（5 分） 基本不等式在卷上有两张脸：一道求最值的小题，或者解答题里一步“因此……当且仅当”。 用它的前提是一正二定三相等，缺一个就会算出不存在的最值。不少答案错在等号根本取不到，却照样把那个数写成最小值。 “1”的代换是命题人最爱的包装：给一个定值条件，让你把所求式乘上它再展开，凑出积为定值的结构。 多元最值开始往配凑加换元走，2026 年几道模考题已经把双变量压到一元函数上处理，纯靠公式套的题在减少。 备考建议：解题时按“一正、二定、三相等”三步走：先确认各项为正，再通过拆项、配系数、乘“”凑出定值，最后联立条件解出取等情形；若等号取不到，立即改用对勾函数 的单调性。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个不等式、两类最值、三种手段、一条检验”。先看整体脉络： 图 1　基本不等式知识结构图 学习时抓住两条主线：凑定值（拆项、配系数、乘“”）与验等号（定义域是否允许取等）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 两个“”型不等式 对任意实数成立； 必须 ，，缺一不可 “积定”与“和定” 积为定值时和取最小值 ；和为定值时积取最大值 ，方向不能颠倒 基本不等式与单调性 等号能取到时用基本不等式；等号取不到（如 求 ）时必须用对勾函数单调性 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　基本不等式的内容与成立条件 一、基本不等式 若 ，，则 ，当且仅当 时取等号．其中 叫做算术平均， 叫做几何平均，所以基本不等式也称为均值不等式． 它的等价形式有三个：；；（， 同号）． 二、与平方和不等式的区别 对任意实数 ，，都有 ，当且仅当 时取等号．它不要求 ， 为正数，适用范围比基本不等式广． 由 两边同加 ，得 ，这是“平方和”与“和”互化的桥梁，在求 的最值时常用． 注意： 1．基本不等式要求 ，； 只要求 ， 为实数，两者不能混用。 2．等号成立的条件是 ，不是 ； 的等号同样在 时成立。 3． 要有意义，故 ；但基本不等式还要求 ，，不能只验证 。 【自主检测】若 ，求 的最小值． ▶ 知识点2　常见变形与“1”的代换 一、四个常用变形 1．；2．；3．（， 同号）；4．（，）． 第 4 条由 两边同乘 得到，它把“倒数和”与“和”直接联系起来，是分式型最值的常用放缩． 二、“1”的代换 若已知 （），求 的最小值，可把所求式乘以 ——它恒等于 ，不改变式子的值．展开后重新分组，凑出“积为定值”的两项，再用基本不等式． 反过来，若已知 ，求 的最小值，则把 乘以 ，展开后同样凑定值．两种方向的本质相同：用已知的“1”把目标式齐次化． 注意： 1．所乘的式子必须恒等于 ，否则式子的值被改变，结论失效。 2．展开后要按“积为定值”重新分组，系数的配比要算准，不能凭感觉拆项。 3．等号成立需与已知条件联立求解，并检验解是否满足“各项为正”。 【自主检测】已知 ，，且 ，求 的最小值． ▶ 知识点3　利用基本不等式求最值 一、两个基本结论 积定和最小：若 （ 为定值），，，则 ，当 时取最小值 ． 和定积最大：若 （ 为定值），，，则 ，当 时取最大值 ． 二、一正、二定、三相等 一正：各项均为正数，含负号时先提取负号化正；二定：和或积为定值，不是定值就先配凑；三相等：等号能够取到，最后必须写出取等条件． 三步缺一不可．只验证前两步而忽略第三步，是这类题失分的主要原因；一旦等号取不到，说明该点不在定义域内，应改用函数单调性求解． 注意： 1．各项为负时，先提负号化为正数，再对正数部分用基本不等式，最后把符号还原。 2．系数不匹配时先配凑，如 中把 整体看作一项，再用 。 3．等号取不到时不能用基本不等式，应转为对勾函数在给定区间上的单调性。 【自主检测】已知 ，，且 ，求 的最大值． ▶ 知识点4　多元与分式型最值 一、分式型：分离与配凑 形如 的式子，先拆项化为 ，再用基本不等式；形如 的式子，先取倒数化为 ，求倒数的最小值后再取倒数，注意不等号方向． 分母是一次式时，可令 等于分母（换元），把分子表示成 的多项式，这是“配凑分母”． 二、多元：消元与齐次化 条件是整式时，用条件解出一个变量代入目标式，化为一元问题；条件是分式时，两边同除以 或取倒数，化为“”的代换；若条件与目标都是齐次式，可直接用“和定积最大”整体处理． 注意： 1．换元后必须写出新变量的取值范围，否则等号条件可能落在范围之外。 2．取倒数前要确认分母为正，否则不等号方向会改变。 3．消元后不要丢掉原条件给出的隐含范围，如 推出的 的范围。 【自主检测】已知 ，，且 ，求 的最小值． ▶ 知识点5　实际应用与创新 一、对勾函数 函数 （，）的图象形如“对勾”，在 上单调递减，在 上单调递增，当 时取最小值 ． 若定义域限制使 取不到，最小值在区间端点处取得，必须用单调性． 二、应用题的四个步骤 设元（写清范围）→ 列式（建立函数或方程）→ 求最值（基本不等式或单调性）→ 检验（等号能否取到、结果是否符合实际）． 注意： 1．先看定义域，再决定用基本不等式还是用单调性，这是应用题的第一判断。 2．“至少”向上取整，“至多”向下取整，取整后要回代检验；单位要统一，答句不能只写数字。 【自主检测】已知 ，求 的最小值． ▶　题型破译　◀ 下面按“直接应用—常数代换—配凑换元—多元恒成立—实际应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 基本不等式的直接应用 例1-1（2025·湖南长沙·一模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）若 ，求 的最小值． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）若 ，，且 ，求 的最小值． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）求 （）的最大值． ▶ 题型2 “1”的代换求最值 例2-1（2025·湖北武汉·二模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【变式训练2-1】（2026·河南郑州·一模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【变式训练2-2】（2026·四川成都·二模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知 ，，且 ，求 的最小值． ▶ 题型3 配凑与换元求最值 例3-1（2026·山东青岛·三模）已知 ，求 的最大值． 【变式训练3-1】（2026·河北石家庄·二模）已知 ，求 的最小值． 【变式训练3-2】（2026·辽宁大连·一模）已知 ，求 的最小值． 【变式训练3-3】（2025·福建厦门·三模）已知 ，求 的最大值． ▶ 题型4 多元最值与恒成立 例4-1（2025·江苏南京·二模）已知 ，，且 ，若 对任意满足条件的 ， 恒成立，求实数 的最小值． 【变式训练4-1】（2026·湖南长沙·三模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·二模）已知 ，，且 ，求 的最大值． 【变式训练4-3】（2025·广西南宁·三模）已知 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． ▶ 题型5 实际应用与创新 例5-1（2025·北京·模拟预测）用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边利用长为 m 的墙，墙不需要篱笆，求菜园面积的最大值． 【变式训练5-1】（2026·天津·模拟预测）用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园（四边都用篱笆），求菜园面积的最大值． 【变式训练5-2】（2026·重庆·三模）某产品的年产量为 千件时，总费用 （万元）．求总费用的最小值及此时年产量． 【变式训练5-3】（2025·上海·模拟预测）已知 ，，且 ，求 的最小值． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T8 改编）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·T12 改编）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·T11 改编）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·天津卷·T5 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2022·上海卷·T9 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 三、解答题 6．（2021·全国甲卷·T17 改编）已知 ，，且 ．（1）求 的最大值；（2）求 的最小值． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P45 练习 改编）当 时， 的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 2．（人教A版必修第一册 P46 习题 2.2 改编）函数 （）的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P48 习题 2.2 改编）已知 ，，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式及其应用 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 近三年高考基本不等式的考点分布与命题趋势研判 02 思维建模·脉络梳理 基本不等式知识结构图、三组易混辨析与配凑思想 03 知识精讲·靶向突破 5 个核心知识点 + 5 道自主检测，逐点拆解 04 题型破译·方法提炼 5 大题型、5 道典型例题、15 道变式训练 05 真题溯源·考向感知 近五年高考真题 6 题，感知真实考法 06 课本典例·高考素材 教材例题高考化改编 3 题，回归本源 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026 年 2025 年 2024 年 基本不等式求最值 新课标Ⅰ卷 T6（5 分） 全国甲卷 T5（5 分） 新课标Ⅱ卷 T9（5 分） “1”的代换 全国乙卷 T8（5 分） 天津卷 T5（5 分） 新高考Ⅰ卷 T6（5 分） 配凑与换元 新课标Ⅱ卷 T11（5 分） 浙江卷 T8（5 分） 全国乙卷 T10（5 分） 多元最值与恒成立 天津卷 T9（5 分） 新课标Ⅰ卷 T12（5 分） 上海卷 T11（5 分） 实际应用与创新 北京卷 T10（5 分） —— 全国甲卷 T15（5 分） 基本不等式在卷上有两张脸：一道求最值的小题，或者解答题里一步“因此……当且仅当”。 用它的前提是一正二定三相等，缺一个就会算出不存在的最值。不少答案错在等号根本取不到，却照样把那个数写成最小值。 “1”的代换是命题人最爱的包装：给一个定值条件，让你把所求式乘上它再展开，凑出积为定值的结构。 多元最值开始往配凑加换元走，2026 年几道模考题已经把双变量压到一元函数上处理，纯靠公式套的题在减少。 备考建议：解题时按“一正、二定、三相等”三步走：先确认各项为正，再通过拆项、配系数、乘“”凑出定值，最后联立条件解出取等情形；若等号取不到，立即改用对勾函数 的单调性。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 本讲可以浓缩为“一个不等式、两类最值、三种手段、一条检验”。先看整体脉络： 图 1　基本不等式知识结构图 学习时抓住两条主线：凑定值（拆项、配系数、乘“”）与验等号（定义域是否允许取等）。三组易混点务必辨析清楚： 易混对象 正确认识 两个“”型不等式 对任意实数成立； 必须 ，，缺一不可 “积定”与“和定” 积为定值时和取最小值 ；和为定值时积取最大值 ，方向不能颠倒 基本不等式与单调性 等号能取到时用基本不等式；等号取不到（如 求 ）时必须用对勾函数单调性 ▶　知识解构　◀ ▶ 知识点1　基本不等式的内容与成立条件 一、基本不等式 若 ，，则 ，当且仅当 时取等号．其中 叫做算术平均， 叫做几何平均，所以基本不等式也称为均值不等式． 它的等价形式有三个：；；（， 同号）． 二、与平方和不等式的区别 对任意实数 ，，都有 ，当且仅当 时取等号．它不要求 ， 为正数，适用范围比基本不等式广． 由 两边同加 ，得 ，这是“平方和”与“和”互化的桥梁，在求 的最值时常用． 注意： 1．基本不等式要求 ，； 只要求 ， 为实数，两者不能混用。 2．等号成立的条件是 ，不是 ； 的等号同样在 时成立。 3． 要有意义，故 ；但基本不等式还要求 ，，不能只验证 。 【自主检测】若 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】两项之积为定值 ，直接套用基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ， 　　　当且仅当 ，即 时取等号， 　　　故最小值为 ． ▶ 知识点2　常见变形与“1”的代换 一、四个常用变形 1．；2．；3．（， 同号）；4．（，）． 第 4 条由 两边同乘 得到，它把“倒数和”与“和”直接联系起来，是分式型最值的常用放缩． 二、“1”的代换 若已知 （），求 的最小值，可把所求式乘以 ——它恒等于 ，不改变式子的值．展开后重新分组，凑出“积为定值”的两项，再用基本不等式． 反过来，若已知 ，求 的最小值，则把 乘以 ，展开后同样凑定值．两种方向的本质相同：用已知的“1”把目标式齐次化． 注意： 1．所乘的式子必须恒等于 ，否则式子的值被改变，结论失效。 2．展开后要按“积为定值”重新分组，系数的配比要算准，不能凭感觉拆项。 3．等号成立需与已知条件联立求解，并检验解是否满足“各项为正”。 【自主检测】已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】把 乘以恒等于 的 ，展开后凑定值。 【详解】． 　　　因为 ，，所以 ， 　　　故 ，当且仅当 ，即 时取等号． 　　　代入 得 ，，此时 ， 　　　所以 的最小值为 ． ▶ 知识点3　利用基本不等式求最值 一、两个基本结论 积定和最小：若 （ 为定值），，，则 ，当 时取最小值 ． 和定积最大：若 （ 为定值），，，则 ，当 时取最大值 ． 二、一正、二定、三相等 一正：各项均为正数，含负号时先提取负号化正；二定：和或积为定值，不是定值就先配凑；三相等：等号能够取到，最后必须写出取等条件． 三步缺一不可．只验证前两步而忽略第三步，是这类题失分的主要原因；一旦等号取不到，说明该点不在定义域内，应改用函数单调性求解． 注意： 1．各项为负时，先提负号化为正数，再对正数部分用基本不等式，最后把符号还原。 2．系数不匹配时先配凑，如 中把 整体看作一项，再用 。 3．等号取不到时不能用基本不等式，应转为对勾函数在给定区间上的单调性。 【自主检测】已知 ，，且 ，求 的最大值． 【答案】 【分析】和为定值，积有最大值；先把 配成 的形式。 【详解】因为 ，，所以 ， 　　　即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 　　　故 的最大值为 ． ▶ 知识点4　多元与分式型最值 一、分式型：分离与配凑 形如 的式子，先拆项化为 ，再用基本不等式；形如 的式子，先取倒数化为 ，求倒数的最小值后再取倒数，注意不等号方向． 分母是一次式时，可令 等于分母（换元），把分子表示成 的多项式，这是“配凑分母”的常用手法． 二、多元：消元与齐次化 条件是整式时，用条件解出一个变量代入目标式，化为一元问题；条件是分式时，两边同除以 或取倒数，化为“”的代换；若条件与目标都是齐次式，可直接用“和定积最大”整体处理． 注意： 1．换元后必须写出新变量的取值范围，否则等号条件可能落在范围之外。 2．取倒数前要确认分母为正，否则不等号方向会改变。 3．消元后不要丢掉原条件给出的隐含范围，如 推出的 的范围。 【自主检测】已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】用 表示 ，再用“和定积最大”把 放大，解关于 的不等式。 【详解】设 （），则 ． 　　　由 得 ，即 ， 　　　解得 （ 舍去），当 时 ，等号成立， 　　　故 的最小值为 ． ▶ 知识点5　实际应用与创新 一、对勾函数 函数 （，）的图象形如“对勾”，在 上单调递减，在 上单调递增，当 时取最小值 ． 若定义域限制使 取不到，最小值在区间端点处取得，必须用单调性． 二、应用题的四个步骤 设元（写清范围）→ 列式（建立函数或方程）→ 求最值（基本不等式或单调性）→ 检验（等号能否取到、结果是否符合实际）． 注意： 1．先看定义域，再决定用基本不等式还是用单调性，这是应用题的第一判断。 2．“至少”向上取整，“至多”向下取整，取整后要回代检验；单位要统一，答句不能只写数字。 【自主检测】已知 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】最小值点 不在定义域内，改用单调性。 【详解】因为 ，所以 在 上单调递增， 　　　故 时取最小值 ． ▶　题型破译　◀ 下面按“直接应用—常数代换—配凑换元—多元恒成立—实际应用”五条线索设置 5 个题型，每个题型配 1 道典型例题与 3 道变式训练，例题均标注来源，便于对照高考真实考法。 ▶ 题型1 基本不等式的直接应用 例1-1（2025·湖南长沙·一模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】先展开，把 与 都用 表示，再对 用基本不等式。 【详解】原式 ． 　　　因为 ，，，所以 ， 　　　故 ，从而原式 ， 　　　当且仅当 时取等号，所以最小值为 ． 【方法技巧】 1．先把式子展开、通分，化成只含“和”与“积”的形式，再决定用哪一个结论。 2．和定积最大：由 为定值直接得 的最大值，进而得 的最小值。 3．含分式的目标式，优先考虑通分或乘“”，把分散的项集中到 上。 【易错分析】 1．展开后直接对 用基本不等式，忽略了 这个定值条件。 2．把 的最大值误当成最小值，导致 的方向判断错误。 3．忘记验证 是否满足 。 【变式训练1-1】（2026·江苏南京·二模）若 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】两项之积为定值，直接套基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ， 　　　当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 【变式训练1-2】（2026·山东济南·三模）若 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】积为定值，和取最小值。 【详解】因为 ，，所以 ， 　　　当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 【变式训练1-3】（2025·浙江杭州·二模）求 （）的最大值． 【答案】 【分析】和为定值 ，积有最大值。 【详解】因为 ，所以 ，， 　　　， 　　　当且仅当 ，即 时取等号，故最大值为 ． ▶ 题型2 “1”的代换求最值 例2-1（2025·湖北武汉·二模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】把 乘以恒等于 的 ，展开后凑出积为定值的两项。 【详解】． 　　　因为 ，，所以 ， 　　　故 ，当且仅当 ，即 时取等号． 　　　代入 得 ，，此时 ， 　　　所以最小值为 ． 【方法技巧】 1．识别标志：条件是“倒数和为常数”，目标是“和”；或条件是“和为常数”，目标是“倒数和”。 2．操作口诀：把目标式乘以已知的那个“”，展开后按 与 配对。 3．系数配比：配对后两项之积应为常数，否则说明乘的“”选错了对象。 【易错分析】 1．只在目标式上乘常数，忘了乘上的式子必须恒等于 。 2．展开后配对错误，把 与 硬凑，导致积不是定值。 3．求出最小值后没有回代检验 ， 是否为正。 【变式训练2-1】（2026·河南郑州·一模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】乘“”后展开，凑 。 【详解】， 　　　当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 【变式训练2-2】（2026·四川成都·二模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】把所求式乘以 （等于 ）。 【详解】． 　　　因为 ，所以原式 ， 　　　当且仅当 ，即 ， 时取等号． 【变式训练2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】乘“”后展开，注意 与 的系数比。 【详解】． 　　　因为 ，所以原式 ， 　　　当且仅当 时取等号，此时 ，，均为正数． ▶ 题型3 配凑与换元求最值 例3-1（2026·山东青岛·三模）已知 ，求 的最大值． 【答案】 【分析】分子分母同除以 ，把分母化成 ，再求分母的最小值。 【详解】因为 ，分子分母同除以 得 ． 　　　因为 ，所以 ，且分母为正， 　　　故 ，当且仅当 时取等号，所以最大值为 ． 【方法技巧】 1．分式型先看“次数”：分子次数低于分母时取倒数，高于时拆项，相等时分离常数。 2．分母是一次式时换元 分母，把分子写成 的多项式，可避免繁琐的拆项。 3．取倒数后若分母有最小值 ，则原式有最大值 ，方向不要写反。 【易错分析】 1．取倒数后把“最大值”写成“最小值”，方向颠倒。 2．换元后没有写出 的范围，导致等号条件落在范围之外。 3．分母配凑时符号出错，如把 配成 后忘记变号。 【变式训练3-1】（2026·河北石家庄·二模）已知 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】配凑成 。 【详解】因为 ，所以 ， 　　　， 　　　当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． 【变式训练3-2】（2026·辽宁大连·一模）已知 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】先拆出 ，再配凑。 【详解】，因为 ， 　　　所以 ， 　　　故 ，当且仅当 ，即 时取等号． 【变式训练3-3】（2025·福建厦门·三模）已知 ，求 的最大值． 【答案】 【分析】配出和为定值的两项 与 。 【详解】因为 ，所以 ，， 　　　， 　　　故 ，当且仅当 ，即 时取等号． ▶ 题型4 多元最值与恒成立 例4-1（2025·江苏南京·二模）已知 ，，且 ，若 对任意满足条件的 ， 恒成立，求实数 的最小值． 【答案】 【分析】恒成立转化为“左边的最小值不小于 ”，用“”的代换求左边的最小值。 【详解】若 ，令 ，则 ，左边不可能恒大于 ；若 ，取 ，，左边 ，也不成立，故 ． 　　　， 　　　当且仅当 ，即 时取等号． 　　　由恒成立得 ，又 ，故 ，解得 ． 　　　当 时，取 ，，左边 ，等号成立， 　　　所以 的最小值为 ． 【方法技巧】 1．恒成立问题的通用转化： 恒成立等价于 的最小值 。 2．含参数时先带着参数求最值，得到关于参数的不等式，再解出参数范围。 3．多元问题优先消元或齐次化，把两个变量压缩成一个“和”或“积”。 【易错分析】 1．把“恒成立”误当成“存在”，把最小值问题做成了最大值问题。 2．求出 后没有验证 时等号确实能取到，答案缺少取等检验。 3．消元后忘记新变量的范围，导致最值点取不到。 【变式训练4-1】（2026·湖南长沙·三模）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】先求 的范围，再判断 在 上的单调性。 【详解】由 得 ，令 ，则 ． 　　　函数 在 上单调递减，故在 上单调递减， 　　　所以 ， 　　　当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 【变式训练4-2】（2026·江西南昌·二模）已知 ，，且 ，求 的最大值． 【答案】 【分析】把 配成 ，再用“和定积最大”。 【详解】因为 ，，所以 ， 　　　即 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号． 【变式训练4-3】（2025·广西南宁·三模）已知 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】恒成立即 的最大值。 【详解】由 得 ，当且仅当 时取等号， 　　　所以 的最大值为 ． 　　　要使 恒成立，只需 ，故 的最小值为 ，选 A． ▶ 题型5 实际应用与创新 例5-1（2025·北京·模拟预测）用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，菜园的一边利用长为 m 的墙，墙不需要篱笆，求菜园面积的最大值． 【答案】 平方米 【分析】设垂直于墙的边为 ，平行于墙的边为 ，则 ，面积 。 【详解】设垂直于墙的边长为 m，平行于墙的边长为 m，则 ，且 ． 　　　， 　　　当且仅当 ，即 ， 时取等号，此时 ，符合题意， 　　　故菜园面积的最大值为 平方米． 【方法技巧】 1．先画图设元，把“墙不需要篱笆”这类条件翻译成边数关系，再写约束范围。 2．面积型目标先配成“和为定值”的两项，用“和定积最大”；周长型目标先配成“积为定值”。 3．求出最值后必须检验取等时的边长是否满足约束（如不超过墙长）。 【易错分析】 1．把墙也算作篱笆，写成 ，多算了一边。 2．求出 ， 后没有检验 。 3．设元时漏写范围，导致取等点可能落在允许范围之外。 【变式训练5-1】（2026·天津·模拟预测）用长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园（四边都用篱笆），求菜园面积的最大值． 【答案】 平方米 【分析】周长为定值，正方形时面积最大。 【详解】设长为 m，宽为 m，则 ，面积 ． 　　　，当且仅当 时取等号， 　　　故最大面积为 平方米． 【变式训练5-2】（2026·重庆·三模）某产品的年产量为 千件时，总费用 （万元）．求总费用的最小值及此时年产量． 【答案】 万元， 千件 【分析】两项之积为定值 ，直接套基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ， 　　　当且仅当 ，即 ， 时取等号， 　　　故总费用的最小值为 万元，此时年产量为 千件． 【变式训练5-3】（2025·上海·模拟预测）已知 ，，且 ，求 的最小值． 【答案】 【分析】展开后把 用 表示，转化为关于 的函数。 【详解】原式 ． 　　　因为 ，所以 ， 　　　故原式 ．令 ，由 得 ． 　　　函数 在 上单调递减， 　　　所以 ， 　　　当且仅当 时取等号． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T8 改编）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 用 表示，再用“和定积最大”解关于 的不等式。 【详解】设 （），则 ． 　　　由 得 ， 　　　令 ，得 ，即 ，解得 ， 　　　所以 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，选 C． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·T12 改编）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 写成 ，乘“”后展开。 【详解】 　　　． 　　　因为 ，所以两项均为正，， 　　　故原式 ，当且仅当 ，即 时取等号，选 C． 3．（2023·全国乙卷·T11 改编）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两边同除以 得 ，再用“”的代换。 【详解】由 两边同除以 得 ． 　　　． 　　　因为 ，所以 ， 　　　当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，， 　　　故最小值为 ，选 B． 4．（2023·天津卷·T5 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后分母含 ，再用“和定积最大”。 【详解】． 　　　因为 ，所以 ，故 ， 　　　从而 ，当且仅当 时取等号，故最小值为 ，选 C． 二、填空题 5．（2022·上海卷·T9 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】乘 （等于 ）后展开。 【详解】， 　　　由 得原式 ， 　　　当且仅当 ，即 ， 时取等号． 三、解答题 6．（2021·全国甲卷·T17 改编）已知 ，，且 ．（1）求 的最大值；（2）求 的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】第（1）问用“和定积最大”；第（2）问乘“”后展开，按 与 配对。 【详解】（1）因为 ，，所以 ， 　　　当且仅当 时取等号，故 的最大值为 ． 　　　（2）． 　　　因为 ，所以原式 ， 　　　当且仅当 ，即 时取等号， 　　　结合 得 ，， 　　　故 的最小值为 ． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．（人教A版必修第一册 P45 练习 改编）当 时， 的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】两项之积为定值 ，直接套基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ， 　　　当且仅当 时取等号，故最小值为 ，选 B． 2．（人教A版必修第一册 P46 习题 2.2 改编）函数 （）的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对勾函数的拐点在 ，拐点左侧递减、右侧递增。 【详解】任取 ，则 　　　． 　　　因为 ，且 ，所以 ， 　　　故 ，即函数在 上单调递减，选 A． 二、解答题 3．（人教A版必修第一册 P48 习题 2.2 改编）已知 ，，求证：． 【答案】见详解 【分析】展开后凑成 ，再用基本不等式。 【详解】． 　　　因为 ，，所以 ， 　　　故原式 ，当且仅当 时取等号． / 学科网（北京）股份有限公司 $