第03讲 等式性质与不等式性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

第03讲 等式性质与不等式性质 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 比较大小 （重） 2 题型02 不等式性质的正误判断 （重） 5 题型03 求代数式的取值范围 重难 8 题型04 不等式的基本证明 重难 11 重难·创新演练 14 真题·实战演练 17 模拟·基础演练 考查重点：比较大小的基本方法与不等式性质的直接运用 考点聚焦：作差、作商、中间量三条路，先看两式结构 ▶ 题型01 比较大小 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）比较 与 的大小，结果是（　　） A．前者大 B．前者小 C．两者相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】展开后作差，二次项抵消。 【详解】， 所以前者小于后者，选 B． 2．（2026·山西太原·二模）若 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】作差通分，注意分母为正。 【详解】， 由 得 ，，故差为正， 即 ，选 B． 3．设 ，，，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用分子有理化，把根式差化为分式，再以分母大小搭桥。 【详解】； ； ； 因为 ， 所以 ，即 ，选 A． 4．（2025·河南郑州·三模）若 ，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 时，平方变小，取倒数变大。 【详解】由 得 ，且 ， 所以 ，选 A． 5．（2025·安徽合肥·二模）比较 与 的大小，结果是（　　） A． B． C．两者相等 D．无法确定 【答案】B 【分析】分子有理化后，比较分母的大小。 【详解】，， 因为 ，所以前者小于后者，选 B． 6．（2025·辽宁大连·一模）若 ，则下列各式中最大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 比较三者的位置关系。 【详解】由 得 ， 7．（2026·江西九江·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 判断 、 的大小，再逐项检验，注意取倒数要变号。 【详解】由 得 ，故 ，A、C 均错误； ，其中 ，，故 ，B 错误； 函数 在 上单调递增，由 得 ，D 正确． 故选 D． 8．（2026·浙江宁波·二模）设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．与 的取值有关 【答案】A 【分析】作差比较，通分后分子为 ，由 定号。 【详解】． 因为 ，，所以 ，，故差为正，即 ． 故选 A． 9．（2026·福建泉州·一模）若 ，则 ，，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取特值 定位，再由 、 定序。 【详解】取 ，则 ，，，． 因为 ，所以 ； 又 ，其中 ，，故 ，即 ； 而 ，故 ． 故选 A． 10．（2026·山东潍坊·二模）设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】两式均为正，平方后作差，比较 与 。 【详解】因为 ，所以 ，，可平方比较． ． 因为 ，所以上式小于 ，即 ，故 ． 故选 C． 11．（2026·湖北宜昌·三模）已知 ，，且 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．与 ， 的取值有关 【答案】A 【分析】作差后通分，分子化为 ，由 得严格大于。 【详解】． 因为 ，，所以 ；又 ，故 ． 于是差为正，即 ． 故选 A． 12．（2026·湖南株洲·一模）设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】两式都含因式 ，先提公因式再通分，差的符号由 决定。 【详解】作差：． 而 ． 又 ，故差为正，即 ． 故选 A． 故 最大，选 C． 考点聚焦：可加不可减、可乘正不可乘负 ▶ 题型02 不等式性质的正误判断 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】只有两边同加、同乘负数是不需要额外条件的。 【详解】A 由可加性成立；B 由可乘性（乘 ）成立； C 取 ， 不成立；D 取 ， 不成立．故选 AB． 2．（2026·湖南长沙·二模）若 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】负数比较大小，绝对值大的反而小。 【详解】由 得 ，， A 中取倒数得 ，正确；B 中 ，正确； C 中 ，错误；D 中 ，故 ，错误．故选 AB． 3．（2025·浙江杭州·三模）设 ，，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】 时乘除都要变号。 【详解】A 由 乘 得 ，正确； B 由 除以 得 ，正确； C 中 ，故 ，正确； D 中由 且 得 ，错误．故选 ABC． 4．（2025·四川成都·二模）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】同向可加、同向同正可乘都可用；D 举反例否定。 【详解】A 由同向同正可乘得 ，正确； 5．（2026·江苏扬州·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A、C 需 ， 同号或非负，可用反例否定；B 由可加性，D 由 单调性。 【详解】取 ，，则 但 ，A 错误； 由不等式可加性，两边同加 不等号方向不变，B 正确； 仍取 ，，则 ，C 错误； 函数 在 上单调递增，由 得 ，D 正确． 故选 BD． 6．（2026·河北保定·二模）若 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由 得 ，再注意乘除负数要变号。 【详解】因为 ，所以 ，，即 ，A 正确； 不等式 两边同乘负数 ，得 ，B 正确； 由 两边同乘负数 ，得 ，C 正确； 由 两边同乘负数 ，应得 ，D 错误． 故选 ABC． 7．（2026·山西临汾·三模）已知 ，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】B、D 因 、 的符号不确定而失效，需举反例；A、C 只需作差。 【详解】由 得 ，A 正确； 取 ，，，则 ，B 错误； 因为 ，所以 ，两边取倒数得 ，C 正确； 仍取 ，，则 ，D 错误． 故选 AC． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A、B、D 都由同向不等式相乘或“取倒数后相乘”得到；C 中两组差的相对大小无法确定。 【详解】A：由 ， 得 ，，故 ，正确； B：由 得 ，与 同向相乘得 ，正确； C：取 ，，，，则 ，，此时 ，错误； D：由 得 ，两边同乘正数 得 ，正确． 故选 ABD． B 由同向可加得 ，正确； C 中 ，由 B 知正确； D 取 ，，，，得 ，不满足“大于”，错误． 故选 ABC． 考点聚焦：待定系数法整体表示，避免同向不等式直接相减 ▶ 题型03 求代数式的取值范围 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求 ，再同向同正相乘。 【详解】由 得 ， 与 相乘得 ． 2．（2026·山东济南·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求 与 的范围后相加。 【详解】由 得 ；由 得 ， 相加得 ． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先取相反数，再同向相加。 【详解】由 得 ， 与 相加得 ． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】 与 的范围相乘。 【详解】由 得 ；由 得 ， 相乘得 ． 5．（2025·广东广州·三模）已知 ，，则 与 的取值范围分别是________． 【答案】， 【分析】加法同向相加，乘法同向同正相乘。 【详解】相加得 ； 6．（2026·广西桂林·一模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先由 的范围求 的范围，再用同向不等式相加。 【详解】由 得 ． 又 ，两式相加得 ． 故 的取值范围是 ． 7．（2026·贵州贵阳·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】把 表示成 ，用待定系数求出 ， 后再用同向相加。 【详解】设 ， 则 ，，解得 ，． 于是 ． 由 得 ；由 得 ． 两式相加得 ． 故取值范围是 ． 8．（2026·云南曲靖·二模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求 的范围，再与 的范围相乘（各端均为正，可直接相乘）。 【详解】由 得 ． 又 ，各端均为正数，同向相乘得 ． 故取值范围是 ． 9．（2026·甘肃兰州·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】待定系数把 拆成 ，再分别放缩相加。 【详解】设 ，则 ，，解得 ，． 于是 ． 由 得 ；由 得 ． 两式相加得 ． 故取值范围是 ． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知 ，，则 与 的取值范围分别是________． 【答案】， 【分析】各端均为正， 与 都可由 的范围与 （或 ）的范围同向相乘得到。 【详解】由 ，，各端为正，同向相乘得 ． 又 ，与 同向相乘得 ． 故 ，． 11．（2026·河北承德·三模）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，比较系数求出 、 后再用同向可加。 【详解】设 ， 则 ，，解得 ，． 于是 ． 由 得 ， 由 得 ， 两式相加得 ． 故选 A． 12．（2025·山西朔州·二模）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】仍用待定系数，注意系数为负时区间端点要翻转。 【详解】设 ，则 ，， 解得 ，． 由 得 ； 由 得 ． 两式相加得 ． 故选 A． 13．（2026·江西宜春·三模）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项用同向可加或乘负数变号处理。 【详解】A： 与 相加得 ，正确； B：由 得 ，与 相加得 ，正确； C：，与 相加得 ，正确； D： 可取负值， 最小为 ，故 D 错误． 故选 ABC． 考点聚焦：作差配方、作商比较、均值放缩三条主线 ▶ 题型04 不等式的基本证明 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差通分，注意分母均为正。 【详解】． 因为 ，所以 ，，， 故差为正，即 ． 2．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，比较 与 的大小． 【答案】 【分析】作差后通分，分子分解为 。 【详解】， 3．（2026·青海西宁·模拟预测）已知 ． (1) 求证：； (2) 若 ，求证：． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析 【分析】两问都用立方差公式，把差化为 ，由 定号。 【详解】(1) ． 因为 ，所以 ，故 ，即 ． (2) 由 (1) 得 ，又 ，故 ，得证． 4．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知 ，． (1) 比较 与 的大小； (2) 若 ，求 的最小值． 【答案】(1) ，当且仅当 时取等号；(2) 【分析】(1) 作差后通分，分子用立方和公式分解出 ；(2) 在 (1) 的基础上再用 。 【详解】(1) ． 因为 ，，所以 ，，，故差非负，即 ，当且仅当 时取等号． (2) 由 (1) 得 ， 当 时两个等号同时成立，故最小值为 ． 5．（2026·河北唐山·三模）已知 ，，求证：． (1) 比较 与 的大小； (2) 两边同乘 并说明变号． 【答案】由 两边乘负数变号 【分析】先比较倒数，再乘负数注意变号。 【详解】因为 ，所以 ． 又 ，两边同乘 得 ． 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知 ，求证：． (1) 作差并配方； (2) 说明平方和非负． 【答案】移项配方得 【分析】把右边移过来，凑成两个完全平方。 【详解】 ， 故 ． 7．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知 ，，求证：． (1) 作差并分组分解； (2) 判断符号并下结论． 【答案】作差分解为 【分析】作差后分组分解。 【详解】 ， 故原不等式成立． 8．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知 ，求证：． (1) 把 写成 ； (2) 用“乘 1 法”与基本不等式完成证明． 【答案】把 拆成 ，再用基本不等式 【分析】关键是 。 【详解】因为 ，所以 ，，且 ． 于是 ， 当且仅当 时取等号． 故原不等式成立． 而 ， 所以差为 ， 故 ，当且仅当 时取等号． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：整体代换、糖水不等式与跨章节比较 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把 写成 ，解出 、 再同向相加。 【详解】设 ，比较系数得 ，，解得 ，， 即 ． 由 ， 得 ， 相加得 ，选 A． 2．（2026·浙江温州·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】作差，分子为 。 【详解】， 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不能用 ， 的各自范围直接相加，应把 整体表示为 与 的组合。 【详解】设 ，则 ，，解得 ，． 于是 ． 由 得 ；由 得 ． 相加得 ，且两端均可取到，故取值范围为 ． 故选 A． 4．（2026·浙江温州·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A 比较分母大小，B 用 的单调性，C 交叉相乘后化为 ，D 作差。 【详解】A：因为 ，取倒数得 ，错误； B：，故 ，错误； C：各分母为正， 等价于 ，即 ，由 成立，正确； D：，故 ，错误． 故选 C． 所以 ，选 B． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，且 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差后分解为 。 【详解】． 6．（2026·全国·模拟预测）已知 ，且 ． (1) 求证： 且 ； (2) 求证：； (3) 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】(1) 反证法；(2) 由 且 ，用平方差定号；(3) 用 展开式表示 。 【详解】(1) 若 ，则由 得 ，，从而 ，与 矛盾，故 ； 若 ，则 ，从而 ，同样矛盾，故 ． (2) 由 得 ，又 ， 故 ，即 ． (3) 由 及 得 （因 ，），得证． 因为 ，，所以 ； 又 ，所以 ， 故差为正，即 ． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：性质判断题与范围问题的规范解法 1．（ 改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐项验证，乘方与取倒数都要看条件。 【详解】A 中 ，取倒数得 ，错误； B 中 ，正确； C、D 中 时 、，均错误．故选 B． 2．（改编）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】负数比较大小，绝对值大的反而小。 【详解】由 得 ，D 正确； A 中 ，取倒数得 ，错误； B 中 ，故 ，错误； C 中 ，故 ，错误．故选 D． 3．（改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同向同正可乘；减法、除法不能同向运算。 【详解】由 ， 得 ，B 正确； A 取 ，，， 得 ，错误； C 取 ，，， 得 不成立，错误； D 取 ，，， 得 ，错误．故选 B． 4．已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由 得 ，而 。 【详解】当 时，由 得 ； 5．（ 改编）设 ，比较 与 的大小，结果是（　　） A． B． C． D．与 ， 的取值有关 【答案】A 【分析】作差后通分，分子恰为 ，由 定号。 【详解】． 因为 ，所以 ，，故差为正， 即 ． 故选 A． 6．（ 改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、B 中 或 可能为 ；D 中分母可能异号；C 由可加性直接成立。 【详解】A：当 时不成立，错误； B：当 时两边相等，错误； C：由 及不等式可加性，两边同加 得 ，正确； D：取 ，，，则 无意义，错误． 故选 C． 7．（改编）已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用 在 上单调递增，两个方向互相推出。 【详解】若 ，由 在 上单调递增得 ，充分性成立； 若 ，同样由单调性得 ，必要性成立． 故“”是“”的充要条件，选 C． 8．（改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A、B、C 均可作差判断，D 用平方比较。 【详解】A：，即 ，错误； B：，正确； C：由 得 ，错误； D：，故 ，错误． 故选 B． 反之，若 ，则 ，又 ，所以 ． 故二者互为充要条件，选 C． 二、填空题 9．已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求 的范围再相加。 【详解】由 得 ， 与 相加得 ． 10．（改编）若 ，则 与 的大小关系是________． 【答案】 【分析】作差，分子为 。 【详解】， 11．（ 改编）已知 ，，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求 与 的范围，再同向相加。 【详解】由 得 ；由 得 ． 两式相加得 ． 故取值范围是 ． 12．（改编）已知 ，则 与 的大小关系是________． 【答案】 【分析】作差通分，差的符号由 决定。 【详解】． 因为 ，所以 ，，故差为正，即 ． 所以 ． 三、解答题 13．（ 改编）已知 ，，且 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】作差后分解，注意 。 【详解】． 14．（2021·全国甲卷·T18 改编）已知 ，，且 ． (1) 求证：； (2) 求证：． 【答案】(1) 证明见解析；(2) 证明见解析 【分析】两问都作差后分组分解，提出 或 。 【详解】(1) ． 因为 ，，，所以 ，，故差为正，即 ． (2) ． 因为 ，，故差为正，即 ． 因为 ，，所以 ； 又 ，所以 ， 故差大于 ，原不等式成立． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 等式性质与不等式性质 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 比较大小 （重） 2 题型02 不等式性质的正误判断 （重） 3 题型03 求代数式的取值范围 重难 4 题型04 不等式的基本证明 重难 5 重难·创新演练 6 真题·实战演练 7 模拟·基础演练 考点聚焦：作差、作商、中间量三条路，先看两式结构 ▶ 题型01 比较大小 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）比较 与 的大小，结果是（　　） A．前者大 B．前者小 C．两者相等 D．无法确定 2．（2026·山西太原·二模）若 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．设 ，，，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）若 ，则 ，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·二模）比较 与 的大小，结果是（　　） A． B． C．两者相等 D．无法确定 6．（2025·辽宁大连·一模）若 ，则下列各式中最大的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·江西九江·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·浙江宁波·二模）设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．与 的取值有关 9．（2026·福建泉州·一模）若 ，则 ，，， 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 10．（2026·山东潍坊·二模）设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 11．（2026·湖北宜昌·三模）已知 ，，且 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．与 ， 的取值有关 12．（2026·湖南株洲·一模）设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 考点聚焦：可加不可减、可乘正不可乘负 ▶ 题型02 不等式性质的正误判断 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·二模）若 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·三模）设 ，，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·二模）若 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·山西临汾·三模）已知 ，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：待定系数法整体表示，避免同向不等式直接相减 ▶ 题型03 求代数式的取值范围 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）已知 ，，则 的取值范围是________． 2．（2026·山东济南·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 ，，则 的取值范围是________． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 ，，则 的取值范围是________． 5．（2025·广东广州·三模）已知 ，，则 与 的取值范围分别是________． 6．（2026·广西桂林·一模）已知 ，，则 的取值范围是________． 7．（2026·贵州贵阳·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 8．（2026·云南曲靖·二模）已知 ，，则 的取值范围是________． 9．（2026·甘肃兰州·三模）已知 ，，则 的取值范围是________． 10．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知 ，，则 与 的取值范围分别是________． 11．（2026·河北承德·三模）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．（2025·山西朔州·二模）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 13．（2026·江西宜春·三模）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：作差配方、作商比较、均值放缩三条主线 ▶ 题型04 不等式的基本证明 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，求证：． 2．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，比较 与 的大小． 3．（2026·青海西宁·模拟预测）已知 ． (1) 求证：； (2) 若 ，求证：． 4．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知 ，． (1) 比较 与 的大小； (2) 若 ，求 的最小值． 5．（2026·河北唐山·三模）已知 ，，求证：． (1) 比较 与 的大小； (2) 两边同乘 并说明变号． 6．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知 ，求证：． (1) 作差并配方； (2) 说明平方和非负． 7．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知 ，，求证：． (1) 作差并分组分解； (2) 判断符号并下结论． 8．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知 ，求证：． (1) 把 写成 ； (2) 用“乘 1 法”与基本不等式完成证明． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：整体代换、糖水不等式与跨章节比较 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D．无法确定 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，且 ，求证：． 6．（2026·全国·模拟预测）已知 ，且 ． (1) 求证： 且 ； (2) 求证：； (3) 求证：． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：性质判断题与范围问题的规范解法 1．（改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（ 改编）若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（改编）设 ，比较 与 的大小，结果是（　　） A． B． C． D．与 ， 的取值有关 6．（改编）已知 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 7．（ 改编）已知 ，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（改编）若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知 ，，则 的取值范围是________． 10．（改编）若 ，则 与 的大小关系是________． 11．（ 改编）已知 ，，则 的取值范围是________． 12．（ 改编）已知 ，则 与 的大小关系是________． 三、解答题 13．（ 改编）已知 ，，且 ，求证：． 14．（ 改编）已知 ，，且 ． (1) 求证：； (2) 求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $