第04讲 基本不等式及其应用 专项训练-2027届高考数学一轮复习

第04讲 基本不等式及其应用 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 基本不等式的直接应用 （重） 2 题型02 成立条件与常见变形 重难 5 题型03 “1”的代换与配凑 重难 8 题型04 多元最值与实际应用 重难 10 题型05 不等式链与几何应用 重难 12 题型06 对勾函数与分式最值 重难 13 题型07 三元条件最值 重难 15 重难·创新演练 18 真题·实战演练 21 模拟·基础演练 考查重点：一正二定三相等的直接运用与常见变形 考点聚焦：一正二定三相等，先凑结构再套公式 ▶ 题型01 基本不等式的直接应用 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两项之积为定值 ，直接套基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ，选 B． 2．（2026·山西太原·二模）若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】和为定值，积有最大值。 【详解】因为 ，，所以 ， 当且仅当 时取等号，故最大值为 ，选 B． 3．（2026·江苏南京·一模）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】配凑成 。 【详解】因为 ，所以 ， ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ，选 C． 4．（2025·河南郑州·三模）函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】先看拐点 是否在定义域内，再用单调性。 【详解】函数在 上单调递减，在 上单调递增， 所以当 时取得最小值 ，选 B． 5．（2025·安徽合肥·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 乘以恒等于 的 。 【详解】． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，此时 ，，选 C． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用 表示 ，再用“和定积最大”解不等式。 【详解】设 （），则 ． 7．（2026·河北石家庄·三模）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先拆分 ，再用基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ． 当且仅当 ，即 时取等号． 故最小值为 ，选 C． 8．（2026·山西大同·二模）若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】凑成和为定值：，而 为定值。 【详解】因为 ，所以 ，． ． 当且仅当 ，即 时取等号． 故最大值为 ，选 B． 9．（2026·江苏常州·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】常量代换：把 写成 ，展开后出现 与 。 【详解】因为 ，所以 ． 由基本不等式 ，故 ，即 ． 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号． 故最小值为 ，选 B． 10．（2026·山东烟台·二模）函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】配凑成积为定值：。 【详解】因为 ，所以 ． ． 当且仅当 ，即 时取等号． 故最小值为 ，选 C． 11．（2026·河南洛阳·三模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，由 建立关于 的不等式。 【详解】设 ，则 ． 由 得 ，即 ， 分解得 ，故 ，即 ． 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，选 C． 12．（2026·湖北荆州·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开后统一用 表示，注意 与 同时出现，需化为关于 的单变量函数。 【详解】． 设 ，由 得 ，且 ． 故原式 ．函数 在 上单调递减， 所以当 （即 ）时取最小值 ． 故选 C． 由 得 ，即 ， 解得 或 （舍去）． 当 时 ，等号成立，故最小值为 ，选 C． 考点聚焦：等号成立条件与常见变形辨析 ▶ 题型02 成立条件与常见变形 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）若 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A、B 是基本不等式的两种写法，C 是“同号取倒数相加”，D 取特值否定。 【详解】A、B 均为基本不等式的等价形式，成立； C 中 ，成立； D 中取 ，左边 ，右边 ，不成立．故选 ABC． 2．（2026·湖南长沙·二模）若 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】和定积最大，再逐项用基本不等式或配方。 【详解】A 由 成立； B 中 ，成立； C 中 ，成立； D 中取 ，，得 ，故 D 错误．故选 ABC． 3．（2025·浙江杭州·三模）若 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最大值为 【答案】ABD 【分析】C 中最小值为 ，不是 ；其余逐项用基本不等式。 【详解】A 中 ，当 时取等，正确； B 中 ，当 时取等，正确； C 中 ，最小值为 ，错误； D 中 ，故 ，正确．故选 ABD． 4．（2025·四川成都·二模）关于函数 （），下列说法正确的是（　　） A．当 时取得最小值 B．在 上单调递减 C．在 上单调递增 D．当 时，最小值为 【答案】ABC 【分析】对勾函数的拐点是 ，D 要看区间端点。 【详解】A 中 ，当 时取等，正确； 5．（2026·湖北武汉·一模）若 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】C 中 是调和平均数，应不大于几何平均数，可用 检验。 【详解】A： 展开即得 ，正确； B： 展开即得 ，正确； C：取 ，左边 ，右边 ，等号成立，但取 ， 时左边 ，右边 ，左边小于右边，错误； D：，正确． 故选 ABD． 6．（2026·湖南衡阳·二模）若 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A 把最大值当成了最小值；B、C、D 分别用 、、平方后放缩。 【详解】由 得 ，A 错误； ，B 正确； ，C 正确； ，故 ，D 正确． 故选 BCD． 7．（2026·浙江绍兴·三模）关于函数 （），下列说法正确的是（　　） A．最小值为 B．当 时取得最小值 C．在 上单调递减 D．当 时， 的最小值为 【答案】ABC 【分析】令 ，则 ，用 的单调性与基本不等式判断。 【详解】令 ，则 ． A、B：由 得 ，当且仅当 ，即 时取等号，A、B 均正确； C： 时 随 增大而减小，故 在 上单调递减，C 正确； D：当 时 ，，即最大值为 （ 时取得），D 错误． 故选 ABC． 8．（2026·四川绵阳·二模）关于函数 （），下列说法正确的是（　　） A．值域为 B．在 上单调递减 C． 为奇函数 D．若 ，则 【答案】ABC 【分析】分 与 用基本不等式求最值，再结合单调性与奇偶性判断。 【详解】当 时 （ 取等）；当 时 ，（ 取等），故值域为 ，A 正确； 在 上单调递减，B 正确； ，且定义域关于原点对称，C 正确； 由 得 ，解得 或 ，D 错误． 故选 ABC． B、C 由对勾函数的单调性知拐点 左侧递减、右侧递增，均正确； D 中函数在 上单调递减，最小值为 ，不是 ，错误．故选 ABC． 考点聚焦：乘“1”展开与配凑定值 ▶ 题型03 “1”的代换与配凑 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）若 ，则 的最大值为________． 【答案】 【分析】先提负号化为正数，再用基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ， ， 当且仅当 时取等号，故最大值为 ． 2．（2026·山东济南·三模）已知 ，，且 ，则 的最大值为________． 【答案】 【分析】把 配成 后再用“和定积最大”。 【详解】因为 ，，所以 ， 即 ，当且仅当 时取等号，故最大值为 ． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】拆项化为 。 【详解】， 当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】乘“”后展开，凑 与 。 【详解】， 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，此时 ，． 5．（2025·广东广州·三模）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】用 表示 ，再用“和定积最大”解不等式。 【详解】设 （），则 ． 6．（2026·福建厦门·一模）若 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】配凑成 与 的形式，积为定值。 【详解】因为 ，所以 ． ． 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． 7．（2026·山东济南·三模）已知 ，，且 ，则 的最大值为________． 【答案】 【分析】把 写成 ，使两因式之和为定值 。 【详解】． 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号． 故 的最大值为 ． 8．（2026·江西赣州·二模）已知 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】分子配方为 ，再拆项用基本不等式。 【详解】因为 ，所以 ，且 ． ． 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ． 9．（2026·河北邯郸·一模）已知 ，则 的最大值为________． 【答案】 【分析】先提公因数 ，使 与 的和为定值。 【详解】因为 ，所以 ，． ． 当且仅当 ，即 时取等号，故最大值为 ． 10．（2026·广东珠海·三模）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】由 得 ，再用 建立不等式。 【详解】由 两边同除以 得 ，且 ． 由 得 ，即 ，故 ． 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ． 由 得 ，即 ， 解得 或 （舍去），当 时取等号，故最小值为 ． 考点聚焦：多元最值消元与实际建模 ▶ 题型04 多元最值与实际应用 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，，且 ．（1）求 的最小值；（2）求 的最小值． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第（1）问用 ；第（2）问通分后分母含 。 【详解】（1），当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 因为 ，所以 ，故 ， 从而 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 2．（2026·全国·模拟预测）某工厂建造一个容积为 立方米、深为 m 的长方体无盖水池，池底造价为 元/平方米，池壁造价为 元/平方米，求水池总造价的最小值． 【答案】 元 【分析】底面积为定值，设底面长 ，把总造价表示成 的函数，再用基本不等式。 【详解】水池底面积为 平方米，池底造价为 元． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 和为定值求积的最大值；(2) 展开后利用 化为 的式子。 【详解】(1) 由 及 得 ，当且仅当 时取等号，故最大值为 ． (2) ． 由 (1) 知 ，故 ，于是原式 ． 当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 4．（2026·全国·模拟预测）某工厂全年需生产某种零件 件，分若干批生产，每批生产 件（ 为正整数）．每批的生产准备费为 元，每件零件的年平均库存费为 元（库存量按每批产量的一半计算）． (1) 求全年总费用 （元）关于每批产量 的函数解析式； (2) 每批生产多少件时，全年总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1) （ 为正整数）；(2) 每批生产 件时费用最低，最低费用为 元 【分析】总费用由批数乘以每批准备费、加上平均库存量乘以单件库存费两部分构成，再用基本不等式求最值。 【详解】(1) 全年共分 批，生产准备费共 元； 平均库存量为 件，库存费共 元． 故 （ 为正整数）． (2) 由 得 ． 当且仅当 ，即 ， 时取等号，且 为整数． 故每批生产 件时全年总费用最低，最低费用为 元． 考点聚焦：均值不等式链的排序与几何最值 ▶ 题型05 不等式链与几何应用 一、单选题 1．（2026·福建南平·三模）若 ，，则下列不等式链正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】四个平均值从大到小依次是平方平均、算术平均、几何平均、调和平均。 【详解】由基本不等式可得 ， 各等号均在 时成立． 故选 A． 2．（2025·山东德州·二模）已知直角三角形的两条直角边之和为 ，则其斜边长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】斜边 ，由 求最小值。 【详解】设两直角边为 、，则 ． ， 故 ，当 时取等号． 故选 B． 3．（2026·河南商丘·三模）周长为 的矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长宽为 、，则 ，面积 。 【详解】设矩形的长、宽分别为 、，则 ． 面积 ， 当 时取等号． 故选 C． 二、多选题 4．（2025·湖北随州·三模）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】把各式的取值范围统一用 表示，再套基本不等式。 【详解】A：，正确； D： 可以小于 ，错误； B：，正确； C：，正确． 故选 ABC． 三、填空题 5．（2026·陕西汉中·二模）若 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】直接套基本不等式，检验等号条件。 【详解】由 得 ， 当 时取等号，故最小值为 ． 考点聚焦：配凑成 t+1/t 型，再判断等号能否取到 ▶ 题型06 对勾函数与分式最值 一、单选题 1．（2026·河北衡水·三模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接套基本不等式，等号在 处成立。 【详解】由 得 ， 当 时取等号，故最小值为 ． 故选 B． 2．（2025·河南鹤壁·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先凑出 ，把式子写成 。 【详解】， 当 即 时取等号． 故选 B． 二、多选题 3．（2026·湖北天门·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时最小值为 B．当 时最大值为 C．它是奇函数 D．它在 上单调递增 【答案】ABC 【分析】分正负两段用基本不等式，再用定义判断奇偶性与单调性。 【详解】当 时 ， 取等号，A 正确； 当 时 ，故 ，B 正确； ，为奇函数，C 正确； 在 上递减，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·贵州黔东南·二模）函数 的最小值为________． 【答案】 【分析】先拆项成 ，再套基本不等式。 【详解】， 当 时取等号，故最小值为 ． 四、解答题 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）求函数 在 上的最小值． (1) 判断 在 上的单调性； (2) 求最小值． 【答案】 【分析】等号在 处成立，落在给定区间内，可直接用基本不等式；也可用单调性说明。 【详解】(1) 设 ，则 ， 故 在 上单调递增． (2) 所以最小值为 ． 考点聚焦：三元问题先对称化，再用均值或柯西型放缩 ▶ 题型07 三元条件最值 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·三模）已知 ，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 放缩。 【详解】由 得 ， 当 时取等号． 故选 A． 2．（2025·江西新余·二模）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用 。 【详解】由 ， 当 时取等号． 故选 A． 二、多选题 3．（2026·安徽黄山·三模）已知 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】逐项套三元均值或柯西不等式。 【详解】A：，正确； B：，故 B 正确； C：，正确； D：，D 错误． 故选 ABC． 三、填空题 4．（2025·广西钦州·二模）已知 ，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】三元均值不等式，等号在 。 【详解】由 ， 当 时取等号，故最小值为 ． 四、解答题 5．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）已知 ，且 ，求证：． (1) 写出 的最小值； (2) 完成证明． 【答案】最小值为 ，故原式不小于 【分析】用“乘 1”把两个式子相乘，再用三元均值。 【详解】(1) ， 当 时取等号． (2) 又 ， 故 ． 设底面长为 m，则宽为 m，池壁面积为 平方米． 总造价 ． 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 故 ，即总造价的最小值为 元． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：常数代换、恒成立转化与对勾函数单调性 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乘“”后展开，凑 与 。 【详解】． 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 代入条件得 ，，此时 ，选 C． 2．（2026·浙江温州·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】恒成立转化为左边的最小值不小于 ，再按 的正负分类。 【详解】若 ，当 时 ；若 ，取 得 ，均不可能恒成立，故 ． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，用 把条件转成关于 的一元二次不等式。 【详解】设 ，则 ． 由 得 ，即 ， 分解得 ，结合 得 ． 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，选 C． 4．（2026·浙江温州·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对 的符号分类： 时左式无下界； 时最小值为 ，令其不小于 。 【详解】若 ，则当 时 ，不等式不可能恒成立； 若 ，则当 时 （ 时左式 ，最小值趋近 ，不满足）， 故需 ，解得 ． 当 时， 恒成立． 故 的取值范围是 ，选 A． 当 时，，当且仅当 时取等号， 故只需 ，解得 ，选 A． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，且 ，求证：． 【答案】见详解 【分析】通分后分子为 ，用 把分子化成只含 的式子。 【详解】． 6．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值； (3) 若不等式 恒成立，求 的最大值． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【分析】(1) 凑成 与 的和为定值；(2) 用“ 的代换”整体相乘；(3) 恒成立即 不超过左式的最小值。 【详解】(1) ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最大值为 ． (2) 由 得 ， 故 ，当且仅当 时取等号，最小值为 ． (3) 不等式恒成立等价于 ，故 的最大值为 ． 因为 ， 所以原式 ． 由 得 ，故 ， 从而原式 ，当且仅当 时取等号． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：条件最值与实际应用建模的规范解法 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T8 改编）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把 用 表示，再用“和定积最大”。 【详解】设 （），则 ． 由 得 ，令 ， 得 ，解得 ，即 ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 ，选 C． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·T12 改编）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把 写成 ，乘“”后展开。 【详解】， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 ，选 D． 3．（2023·全国乙卷·T11 改编）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两边同除以 得 ，再乘“”。 【详解】由 得 ． ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，此时 ，，选 B． 4．（2023·天津卷·T5 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通分后分母含 ，再由“和定积最大”得 的最大值。 【详解】． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·T8 改编）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘以 并除以 ，把所求式化为含 、 的式子。 【详解】． 又 ，故 ． 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号，最小值为 ，选 A． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·T12 改编）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】拆项为 ，使三项之积为常数，用三元基本不等式。 【详解】． 当且仅当 ，即 时取等号． 故最小值为 ，选 C． 7．（2023·全国乙卷·T11 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把条件式整体乘以 ，展开后用基本不等式。 【详解】． 由 得 ． 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号，最小值为 ，选 C． 8．（2023·天津卷·T5 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】注意 为定值，用“和定求倒数和的最小值”。 【详解】因为 ，所以 ，且 ，． ． 由 得原式 ． 当且仅当 时取等号，故最小值为 ，选 A． 由 得 ，故 ，从而原式 ， 当且仅当 时取等号，选 C． 二、填空题 9．（2022·上海卷·T9 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】乘 （等于 ）后展开。 【详解】， 10．（2022·上海卷·T9 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 【答案】 【分析】把所求式乘以 （其值为 ），展开后用基本不等式。 【详解】． 又 ，故 ． 当且仅当 ，即 ，结合 得 ， 时取等号． 故最小值为 ． 当且仅当 ，即 ， 时取等号． 三、解答题 11．（2021·全国甲卷·T17 改编）已知 ，，且 ．（1）求 的最大值；（2）求 的最小值． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】第（1）问用“和定积最大”；第（2）问乘“”后按 与 配对。 【详解】（1），当且仅当 时取等号，故最大值为 ． 因为 ，所以原式 ， 当且仅当 时取等号，结合 得 ，， 故最小值为 ． 12．（2024·全国·模拟预测）用栅栏围成一个面积为 平方米的矩形场地，场地的一边利用长为 m 的墙，墙不需要栅栏，求所用栅栏长度的最小值． 【答案】 m 【分析】设垂直于墙的边为 ，则平行于墙的边为 ，栅栏长为 。 【详解】设垂直于墙的边长为 m（），则平行于墙的边长为 m，所需栅栏长 ． 13．（2021·全国甲卷·T17 改编）已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) 【分析】(1) 和定积最大；(2) 用 。 【详解】(1) 由 得 ，当且仅当 时取等号，故最大值为 ． (2) ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 ． 14．（2024·全国·模拟预测）某工厂要建造一个容积为 的无盖长方体水箱，底面为正方形，设底面边长为 （）． (1) 求水箱的表面积 （单位：）关于 的解析式； (2) 当 为何值时 最小？最小值是多少？ 【答案】(1) （）；(2) 时 最小，最小值为 【分析】先由容积求高 ，表面积 一个底面 四个侧面，再拆项用三元基本不等式。 【详解】(1) 设水箱高为 ，由 得 ． 侧面积为 ，底面积为 ， 故 （）． (2) ． 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ． 故当 时表面积最小，最小值为 ． 因为 为定值，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 此时平行于墙的边长为 m，不超过墙长 m，符合题意， 故栅栏长度的最小值为 m． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式及其应用 目　　录 模拟·基础演练 2 题型01 基本不等式的直接应用 （重） 2 题型02 成立条件与常见变形 重难 3 题型03 “1”的代换与配凑 重难 4 题型04 多元最值与实际应用 重难 4 题型05 不等式链与几何应用 重难 5 题型06 对勾函数与分式最值 重难 6 题型07 三元条件最值 重难 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 8 模拟·基础演练 考查重点：一正二定三相等的直接运用与常见变形 考点聚焦：一正二定三相等，先凑结构再套公式 ▶ 题型01 基本不等式的直接应用 一、单选题 1．（2026·河北石家庄·三模）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·山西太原·二模）若 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·一模）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·河南郑州·三模）函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D．不存在 5．（2025·安徽合肥·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁大连·一模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·三模）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·山西大同·二模）若 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 9．（2026·江苏常州·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·山东烟台·二模）函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 11．（2026·河南洛阳·三模）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 12．（2026·湖北荆州·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 考点聚焦：等号成立条件与常见变形辨析 ▶ 题型02 成立条件与常见变形 一、多选题 1．（2026·湖北武汉·一模）若 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·二模）若 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·三模）若 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最大值为 4．（2025·四川成都·二模）关于函数 （），下列说法正确的是（　　） A．当 时取得最小值 B．在 上单调递减 C．在 上单调递增 D．当 时，最小值为 5．（2026·湖北武汉·一模）若 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·湖南衡阳·二模）若 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·浙江绍兴·三模）关于函数 （），下列说法正确的是（　　） A．最小值为 B．当 时取得最小值 C．在 上单调递减 D．当 时， 的最小值为 8．（2026·四川绵阳·二模）关于函数 （），下列说法正确的是（　　） A．值域为 B．在 上单调递减 C． 为奇函数 D．若 ，则 考点聚焦：乘“1”展开与配凑定值 ▶ 题型03 “1”的代换与配凑 一、填空题 1．（2026·福建厦门·一模）若 ，则 的最大值为________． 2．（2026·山东济南·三模）已知 ，，且 ，则 的最大值为________． 3．（2025·江西南昌·二模）已知 ，则 的最小值为________． 4．（2025·河北唐山·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 5．（2025·广东广州·三模）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 6．（2026·福建厦门·一模）若 ，则 的最小值为________． 7．（2026·山东济南·三模）已知 ，，且 ，则 的最大值为________． 8．（2026·江西赣州·二模）已知 ，则 的最小值为________． 9．（2026·河北邯郸·一模）已知 ，则 的最大值为________． 10．（2026·广东珠海·三模）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 考点聚焦：多元最值消元与实际建模 ▶ 题型04 多元最值与实际应用 一、解答题 1．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，，且 ．（1）求 的最小值；（2）求 的最小值． 2．（2026·全国·模拟预测）某工厂建造一个容积为 立方米、深为 m 的长方体无盖水池，池底造价为 元/平方米，池壁造价为 元/平方米，求水池总造价的最小值． 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 4．（2026·全国·模拟预测）某工厂全年需生产某种零件 件，分若干批生产，每批生产 件（ 为正整数）．每批的生产准备费为 元，每件零件的年平均库存费为 元（库存量按每批产量的一半计算）． (1) 求全年总费用 （元）关于每批产量 的函数解析式； (2) 每批生产多少件时，全年总费用最低？最低费用是多少元？ 考点聚焦：均值不等式链的排序与几何最值 ▶ 题型05 不等式链与几何应用 一、单选题 1．（2026·福建南平·三模）若 ，，则下列不等式链正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东德州·二模）已知直角三角形的两条直角边之和为 ，则其斜边长的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河南商丘·三模）周长为 的矩形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2025·湖北随州·三模）已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2026·陕西汉中·二模）若 ，则 的最小值为________． 考点聚焦：配凑成 t+1/t 型，再判断等号能否取到 ▶ 题型06 对勾函数与分式最值 一、单选题 1．（2026·河北衡水·三模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南鹤壁·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖北天门·三模）关于函数 ，下列说法正确的是（　　） A．当 时最小值为 B．当 时最大值为 C．它是奇函数 D．它在 上单调递增 三、填空题 4．（2025·贵州黔东南·二模）函数 的最小值为________． 四、解答题 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）求函数 在 上的最小值． (1) 判断 在 上的单调性； (2) 求最小值． 考点聚焦：三元问题先对称化，再用均值或柯西型放缩 ▶ 题型07 三元条件最值 一、单选题 1．（2026·湖南岳阳·三模）已知 ，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·江西新余·二模）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·安徽黄山·三模）已知 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2025·广西钦州·二模）已知 ，且 ，则 的最小值为________． 四、解答题 5．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）已知 ，且 ，求证：． (1) 写出 的最小值； (2) 完成证明． 重难·创新演练 一、单选题 设题创新：常数代换、恒成立转化与对勾函数单调性 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·浙江温州·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，且 ，求证：． 6．（2026·全国·模拟预测）已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值； (3) 若不等式 恒成立，求 的最大值． 真题·实战演练 一、单选题 高频考点：条件最值与实际应用建模的规范解法 1．（2024·新课标Ⅰ卷·T8 改编）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·T12 改编）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·T11 改编）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·天津卷·T5 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·T8 改编）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·T12 改编）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．（2023·全国乙卷·T11 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（2023·天津卷·T5 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2022·上海卷·T9 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 10．（2022·上海卷·T9 改编）已知 ，，且 ，则 的最小值为________． 三、解答题 11．（2021·全国甲卷·T17 改编）已知 ，，且 ．（1）求 的最大值；（2）求 的最小值． 12．（2024·全国·模拟预测）用栅栏围成一个面积为 平方米的矩形场地，场地的一边利用长为 m 的墙，墙不需要栅栏，求所用栅栏长度的最小值． 13．（2021·全国甲卷·T17 改编）已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 14．（2024·全国·模拟预测）某工厂要建造一个容积为 的无盖长方体水箱，底面为正方形，设底面边长为 （）． (1) 求水箱的表面积 （单位：）关于 的解析式； (2) 当 为何值时 最小？最小值是多少？ / 学科网（北京）股份有限公司 $