天津市新华中学2027届高三年级第一学期第一次阶段性练习反馈数学试题

答案和解析 1．D 2．B 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．C 10． 11． 12． 13．1，1013 14．； 15．①④ 16．【答案】解：（1）由余弦定理得，因为，所以． 2分 由已知条件， 应用正弦定理， 4分 即，所以． 5分 （2）因为，，所以， 7分 所以． 9分 （3）因为，而，故可缩小的范围为， 所以，又，所以，， 11分 所以，． 13分 因为，所以． 14分 17．【答案】（1） （2）（i）；1；（ii）． 【详解】（1）由图可知，，，所以，．将点代入 得，．又，所以，所以． 5分 （2）（i）将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 所以， 所以； 10分 （ii）因为，所以，， 所以，所以，所以， 故在上的值域为． 15分 18．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，可得，所以， 因为，，成等比数列，可得，即， 即，即，所以， 联立方程组，解得，，所以， 所以数列的通项公式为． 4分 （2）由（1）知：数列的通项公式为， 则， 所以，所以， 则，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列， 所以数列的前项和为． 9分 （3）由（1）知：，可得， 设，可得的前项和为 当，时，可得，则； 11分 当，时，， 可得 ， 14分 综上可得，数列的前项和． 15分 19．【答案】（1） （2）当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）的取值范围．（ii）略 【详解】（1）当时，，求导得，所以， 又，所以切点为， 所以切线方程为，即； 3分 （2）由，求导得， 4分 若，，所以在上单调递增； 5分 若，令，得，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 7分 综上所述：当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）（i）由题意知方程有两个不同的正实根，， 由（2）知，且，所以， 解得，所以的取值范围． 10分 （ii）由（i）得，所以，， 两边同时取自然对数，得，， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 即，所以， 令，只需证明，构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式成立， 于是原不等式成立． 15分 20．【答案】解：（1）证明：由，得， 要证，只要证， 1分 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以，即， 因此； 4分 （2）令，则， 5分 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 7分 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 由第（1）问知，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 10分 （3），， 令 ， ①当时，由，得，， 因此，满足题意， 11分 ②当时，由，得，， 因此，则在上单调递增， 12分 1°若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意， 13分 2°若，则，， 因此在存在唯一的零点，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不合题意， 15分 综上，的取值范围为； 16分 学科网（北京）股份有限公司 $ 新华中学2027届高三年级第一学期第一次阶段性练习反馈 数学学科 试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效． 第I卷 注意事项：1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9题，每题5分，共45分．在每题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的． 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为，则“为单调递增数列”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数，，则为如图的函数可能是（ ） A． B． C． D． 4．设等比数列的前项和为，若，，则（ ） A．8 B．10 C．14 D．18 5．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ） A． B． C．3 D．7 7．已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．在区间上一定有最大值 B．在区间上一定有最小值 C．在区间上不一定单调 D．在区间上一定单调 9．已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 第Ⅱ卷 注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11题，共105分． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10．已知是虚数单位，则_________． 11．在数列中，，，则_________． 12．设钝角三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则_________． 13．已知数列，满足，，其中是等差数列且，则_________，且_________． 14．在中，点，是线段上的两点，，，则_________，的取值范围是_________． 15．已知函数，若关于的方程有四个不同的根，它们从小到大依次记为，，，，给出下列四个结论： ①；②；③；④函数有8个零点；其中所有正确结论的序号是_________．（部分选对得2分，全部选对得5分，选错得0分） 三、解答题：本题共5小题，共75分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）在中，内角，，所对的边分别为，，，设，，满足条件和． （1）求角和； （2）若，求的面积； （3）求． 17．（本小题15分）已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象． （i）求的解析式及值； （ii）求在上的值域． 18．（本小题15分）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明数列是等比数列，并求数列的前项和； （3）记，求数列的前n项和． 19．（本小题15分）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若有两个正零点，，且；（i）求的取值范围；（ii）求证：． 20．（本小题16分）已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，证明：，； （3）若对恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $