陕西西安高新第一中学2026-2027学年第一学期高三年级第三次模考数学试题

西安高新第一中学2026-2027学年第一学期高三年级 第三次模拟考试数学试题参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.D 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.B 8.c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.AB 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.3 13.4,影 14. 6-3 11 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤 (1)证明：，E在半圆AB上，∴.EA1EB, 2 由圆柱的性质知，DA⊥平面ABE, F ·.·EBC平面ABE D .DA⊥EB, 又DA∩EA=A,EA,DAC平面DEA, .EB⊥平面DEA 又EBC平面CEB,:平面DEA⊥平面CEB: 过E作BC的平行线交DC于点F,则EF即为平面DEA与平面CEB的交线 (2)解：由勾股定理知，DE2=AD2+AE2=4+AE2,BE2=AB2-AE2=4-AE2, DE=6EB, 2 4+AB=多4-AE,解得AE=25 51 25 m∠EBA=脂=；=9，∠EBA=25 5 5 ∴sin∠E0A=sin2∠EBA=告，cos∠E0A=号， 故以O为原点，以OB为x轴，过O在平面ABE内作AB的垂线为y轴，过O作AD的平行线为z轴建立空 间直角坐标系， 则E(-号票0，B1,00.C1,02,D(-1,02), B=(←号急.D0=2,0,.B0=(-台2)， 由(1)知EB⊥平面DEA, 平面DBA的-个法向量为B正-(-号台0)， 故可取平面DEA的法向量为=（-2,1,0)， x=0 设平面DEC的一个法向量为7=(c,,),则 n●DC=0 0,即{8 5y+2z=0 n。EC=0 （5x- 令g=5,则x=0,2=2,元=(0,5,2)， 设平面DEA与平面DEC夹角为0，则cos0=cos(m,n)川=- 6xV29题 5 29 故平面DEA与平面DEC夹角的余弦值为V⑤ 29 15. 16. 解：(1)设第次取到白球为事件Ak(k=1,2,3),则取到黑球为事件Ak, 所以B=PAA)+P(AA)=Pa)小PA:A)+P(A)P4A)=号×着+号×音 = (2)X的可能取值为3,4,5,6，于是有： X=6表示3次操作均取到白球，PX=0)=多餐=号 X=5表示3次操作中有两次取到白球，一次取到黑球，PX=)=C×号=号 X=4表示3次操作中只有一次取到白球，另外两次均取到黑球 PX=0=G× 9 =35 X=3表示3次操作均取到黑球，故：PX=3)=号×名×号=若 4 X的分布列为： X 3 4 5 6 P 2 35 35 35 所以E(0)=3×希+4×品+5×号+6×号=8=兽 35 17.(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f(a)=axe"1=axter-1 h(x)=ax2e"-1,h'(x)=axe"(x+2), 因为a>0,x>0,所以h'(x)>0,h(x)在(0，+oo)上单调递增 又x→0+时h(x)→-1<0，x→十o时h(x)→+∞，故存在唯一xo∈(0，+o)使得h(x0)=0, 当x∈(0，xo)时f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(xo,+o∞)时f'(x)>0,f(x)单调递增， 因此f(z)有1个极值点。 (2)由(1)知g(a)=fxo)=a(x0-1)e0-lnx0, 由aae0=1得a=1 ，代入得 Zoexo 9(a)=0-1 -Inzo 令p(t)= 11 i-P -lnt(t>0), p'④=-t+2t-) t3 当0<t<1时'(t)>0,(t)单调递增；当t>1时p'(t)<0,p(t)单调递减， 故p()mx=p()=0,此时t=0=1,a=。 e 即go的最大值为0，此时a= 18. (1)抛物线C1:x2=4y的焦点为F(0,1),故椭圆C2的半焦距c=1,即a2-b2=1。 由对称性可知C与C,的公共点横坐标为上V店，代入C得=}将(V瓜代入精圆方程得， 96 4如+6=1 1。 结合a2b2+1,解得b2=8,a2=9,故C2的方程为？十。 (2)①设直线的方程为y=kx+1,联立x2=4y得x2-4-4=0,设A(c1,1),B(x2,2),则 x1+x2=4k,x1x2=-4,故： |AB=1+2+2=42+4 联立刘=k+1与十8 =1,消去y得(9+8k2)x2+16kx-64=0,设C(x3,3),D(x4,y4), 则： 16k 64 x3+x4= 9+82,24=9+8k2 48(1+k2) CD|=V1+2.V(c3+x4)2-4x3E4= 9+8k2 由AC=BD得AB=CD,即： 48(k2+1) 4(k2+1)= 9+8k2 即k=±V6 解得k2=3 4 ②点F在以线段MD为直径的圆上，理由如下： C在4处的切线方程为y=号：-，含y=0得u〔2,0。 MF=（-2,1.MD=e4-24,） MF.MD=-24-2)+4=4-214+ 2x1 代入M=4,=k4+1,结合韦达定理及x4满足的方程化简得MF·MD=0,即MF⊥MD ,故点F在以线段MD为直径的圆上。 19 解：(1)令n=1,则S-k.S=4a, 因为a2=2a1,所以S2=3S1=3a1, 所以27a-ka=32a3, 因为a1>0,所以k=-5; (2)此时s2+1-4Sg=402+1 又因为an+1=Sn+1-Sn,所以S+1-4S=4(Sn+1-Sn)3, 移项整理，得3Sn+1(Sn+1-2Sn)2=0, 因为an>0,所以Sn+1>0,所以Sn+1=2Sn, 即{Sn}是以1为首项，2为公比的等比数列，即Sn=2n-1, 当n22时，an=Sn-Sn-1=2m-2, 1,n=1 所以an= 2n-2,2≤n≤m (3)令3=，因为an>0,所以x>1, Sn 由题意得，S+1-kS=402+1=4(51-Sn)3, 即x3-k=4(x-1)3,所以k=-3x3+12x2-12x+4, 设f(x)=-3x3+12x2-12x+4-k,则f(x)=-3(3x-2)(x-2) (-0,3 2 导2) 2 (2,+0∞) f (x) - 0 0 f (x) 单调递减 极小值点 单调递增 极大值点 单调递减 因为x>1,f(x)有零点，故f(2)20,即1<k≤4. 当k=4时，由(2)得E(X)=X=2m-1 当1<k<4时，令k=1,解得x=1或z=3±5 2 因为f0=阳=4-0.0=f25)=1-k<0, 由零点存在性定理可知，f(x)=0共有三个零点， 不妨设为a,b,c(c<1<b<a), 所以此时5a1=a或5a=b,即Sn1=aSn或Sn+1=bSn, Sn Sn 设xea,b以.3 Sitl =Ti, S1=1, S2=x1S1, S3=X2S2=x1X2S1, Sm=Xm-1Sm-1=X1X2Xm-1S1, 因为从S1到Sm共m-1次递推，每次递推有两种递推公式，故总情况有2m1种， X的可能取值为am-1S1,am-2bS1,,bm-1S1,P(X=abm-1-iS1)= Cm-1 2m-1, Cinm-151+2 E(X)=2m7 Cabm-251+…+ 5 2m-1 Chm-mm-1 (a+b)m-1 2m-1 -S1= 2m-1, 因为方程3x3-12x2+12x-4+k=0(I)）可变形为3(x-a)(x-b)(x-c）=0, 展开得3x3-3(a+b+c)x2+3(ab+bc+ac)x-3abc=0(l). 比较()和()得a+b+c=4, 所以E(X)=4-cm- 2m-1, 因为f0)=4-k>0,f(32Y5)=1-k<0,在0,3，Y5)上单调递减， 所以c∈(0,3-5) 2 因为4-d)m随c的增大而减小，所以E)∈（计Y)m,2”。 综上所选，eY5),2。西安高新第一中学2026-2027学年第一学期高三年级 第三次模拟考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项 1.已知正项等比数列{an}中，a2a4=8,则log4a1十1og4a5=(0 中，只有一项是符合题 A26.1C4 D.3 目要求的. "32 2.下列函数中，是偶函数且在(0，十∞)上单调递增的是() A.f(z)=-22 B.f(z)=z3 C.f(x)=cosx D.f(z)=l0g2 x 3.在矩形ABCD中，AB=3,BC=6,设矩形所在平面内一点P满足AP=2PC,则BA·BP=0 Aa8sc号号 4.已知正数x,y满足32-4=9，则x+°的最小值为(0 A.8B.12C.2V2D.4+2V2 ex 2 5.设0<x<1,a= 2,则a,b,c的大小关系为0 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 6.设mim{x,y}表示实数x,y中的最小值，函数f(x)=min{2x2+4x+2,2-x},若函数 g(x)=[f(x)]2-af(x)+1有六个不同的零点，则a的取值范围是() A2》 () C.(2,+o) D.(0,2) 7.宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民族传统手工艺品之一，如图为一件三层六角宫灯，三层均为正六棱柱，其 中上下层正棱柱的底面周长均为60cm,高为6cm,中间一层的正棱柱高为l8cm.设计一个装该宫灯的可从中间打开的球形 盒子，则该盒子的表面积至少为() A.650mcm2 B.1300mcm2 C.1500mcm2 D.2600rcm2 8.将一枚质地均匀，各面分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体骰子连续抛掷3次，记第（亿=1,2,3）次正面向上的点数为a ,M=max{a1,a2,ag},m=min{a1,a2,a3},其中max、min分别表示最大值、最小值，记(a1,a2,ag)为一种抛掷 情况，则满足M≥4m的所有可能抛掷情况种数为() A.48 B.54 C.72 D.90 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.函数f(x)=2sin(wx+p)(w>0,lp<)的部分图象如图所示，其中点C(0,√2)在曲线y=f(x)上，若 AB=,则(O A.w=3 B.p= Cf(x+牙)是偶函数 D.曲线y=f(x)在点C处的切线斜率为V2 10.已知双曲线C:号-素=1(b>0)的左、右焦点分别为A,E2,点P在C上，cos∠FPE=青，设 PF引=PF2(入∈R),则下列说法正确的() A.若入=3，C的焦距为6 B.若入=3，△1PF2的面积为V35 C若入=素，C的渐近线方程为y=士2x D.若入=京，曲线P青2一P2=1表示一个等轴双曲线 11.高中阶段我们利用导数知识研究了三次函数，如三次函数的导函数是二次函数，三次函数都有对称中心等，现在我们研究四 次函数，已知函数f(x)=x4+mx3-号x(m∈R),直线与曲线y=f(x)相切于不同两点A(x1,f(x1)和 B(x2,f(x2),则下列说法正确的有(0 A.当m=-时，f(x)的单调递减区间为(-oo,1) B.m的值可以为0 C.若f(x)的导函数的图象关于点(x0,0)对称，则x1,x0,x2成等差数列 D.直线的斜率为2m3- 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.复数z=(1+)(1+),则以= 13.设集合A={xy=lg(4-1)},集合B={xz2+mx-5<0},若ACB,则实数m的取值范围是 14,在等腰直角三角形ABC中，B= P为其内部-点，满起∠AC-经，∠APB-,则∠PAB的正切值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演 15.(本小题13分)如图是一个半圆柱，DC,AB分别是上下底面圆的直径，O为AB的中点，且AB=AD=2,E是半 圆AB上任一点（不与A、B重合）， (1)证明：平面DEA⊥平面CEB,并在图中画出平面DEA与平面CEB的交线（不用证明）； (②)若点E满足DE= EB,求此时平面DEA与平面DEC夹角的余弦值 2 算步骤。 D B 16.(本小题15分)一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同 的球，按此规则连续操作3次， (1)求第2次操作取到的是白球的概率P: (2)记连续操作3次后箱子中白球的个数为X,求X的分布列和期望 17.(本小题15分)已知函数f(x)=a(x-1)e-lnx,其中a>0. (1)讨论函数f(x)极值点的个数： (2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最大值，并求出此时a的值. 18.(本小题17分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2: y2.x2 2+=1(a>b>0)的-个焦点，C与C2的公 共弦的长为2V6。 (1)求C2的方程： (2)过点F的直线与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且AC与BD同向。 ①若AC=BD,求直线的斜率 ②设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,判断点F与以线段MD为直径的圆的位置关系，并说明理由。 19.(本小题17分)数列{an}各项均为正数，且共有m项，其中a1=1,记Sn为数列{an}的前n项和，对于一切正整数 n<m,均有S%+1-k·S%=4a品+1 (1)当a2=2时，求k: (2)当k=4时，求{an}的通项公式： (3)当k>1时，从所有满足题意的数列{am}中随机抽取一个，记为bm},设随机变量X为{bm}的前m项和，求X的期望 E(X)的取值范围