5.1.1 数据的收集知识清单-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

5.1.1 数据的收集　知识清单 人教B版（2019）　必修第二册　第五章 数据从哪儿来，怎么抽才算数 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 知道获取数据的基本途径，能区分间接获得与直接获得； ② 能说清总体、个体、样本、样本容量的含义，并指出具体问题中的这四者分别是什么； ③ 理解随机抽样的两个基本要求，掌握简单随机抽样的两种方法——抽签法和随机数表法； ④ 理解分层随机抽样的特点与适用范围，会按比例算出各层应抽取的个体数； ⑤ 能根据实际问题的特点，选择恰当的抽样方法。 重点 简单随机抽样与分层随机抽样的概念、步骤，以及三种方法的选择。 难点 随机数表法的编号与读数规则；分层抽样中各层入样数的计算。 二、数据从哪里来：获取数据的基本途径 统计学是一门利用数据帮助人们决策的科学，数据的收集是统计活动的基础。真实、有代表性的数据才能为正确决策提供依据，否则就可能做出错误的决策。所以收集数据的能力，是数据分析素养最基本的要求。 现代社会里，获取数据的途径很多。从互联网上可以获得大量的统计数据，比如在国家统计局的网站上通过数据查询，能得到各种权威的国家宏观数据；通过正式出版的统计报表和年鉴，也可以获得权威数据；还可以向专业人士请教，要他们手上现成的数据。这三条都不需要自己动手测量，属于间接获得。 自己动手的途径同样不少：通过社会调查了解人们对环境保护的看法，通过试验设计掌握种子的发芽率，通过每天的实时记录了解自己在各个学科上用了多少时间。这三条属于直接获得。 图 1　获取数据的基本途径 这六条途径可以分成两类，见图 1。无论走哪条路，拿到数据先要问两句：这数据是从哪儿来的？可不可信？第三节要讲的总体与样本，回答的就是后半个问题。 三、总体、个体、样本与样本容量 先看一个具体问题。某校有高中学生 900 人，校医务室想对全校高中学生的身高情况做一次调查，为了不影响正常教学活动，准备抽取 50 名学生作为调查对象。 这里，所考察对象的某一数值指标的全体——900 名学生的身高——称为总体；构成总体的每一个元素——每名学生的身高——称为个体；从总体中抽出的 50 名学生的身高组成样本；样本中包含的个体数量 50，称为样本容量。 图 2　总体、个体、样本与样本容量 有两处最容易含糊。第一，个体考察的是对象的数值指标，不是人或物本身：考察身高，总体就写「全体学生的身高」，写成「900 名学生」是把对象和指标混为一谈。第二，样本容量是一个数，不带单位，写「50 人」不规范——样本才是那 50 名学生的身高，样本容量是 50。 「随机抽取 50 人」这件事本身也值得留意：抽到谁、抽不到谁，全凭机会，不按成绩、不按身高挑。至于怎样才算「凭机会」，第五节专门讲。 四、普查与抽样调查 考察总体有两条路子。对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查，也称为全面调查；只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查。 调查方式 定义 适用条件 优点 缺点 普查 对总体中每个个体都进行考察 总体容量不大，或有特殊需要 资料全面、系统、精确 耗费大量人力、财力、物力 抽样调查 只抽取样本进行考察 成本太高、时间不允许、考察方法有破坏性 迅速、及时，节约人力物力财力 获得的信息不够全面、系统 什么情形下非得抽样？一是人数太多：了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，不可能挨个问一遍。二是考察本身带破坏性：要知道一批灯管能用多久，不能全都点到烧坏；医院验血也只抽 2.5 毫升，不会把全身的血抽干。买葡萄时摘一个尝尝甜不甜，也是在用抽样的思想。 也有必须普查的：旅客上飞机前的安检，一个都不能漏；订购集体活动的服装要了解班里每位同学的身高，人数不多，逐个量一遍最省事。选哪条路，看的是总体有多大、考察动不动手、有没有特殊需要，不是哪条路更「高级」。 五、随机抽样：每个个体机会均等 抽样谁都会，问题是：怎么抽，样本才能充分代表总体？ 1936 年美国总统选举前，一份颇有名气的杂志做了一次民意测验，调查兰顿和罗斯福谁将当选下一届总统。调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表——注意，1936 年电话和汽车只有少数富人拥有。收回的调查表显示兰顿非常受欢迎，杂志于是预测兰顿将在选举中获胜。实际结果正好相反，最后罗斯福当选：预测兰顿得 57%，实际只有 38%；预测罗斯福 43%，实际拿到 52%。 错在哪儿？不在统计方法，在抽样。穷人和中产阶级大量不在电话簿和车辆登记簿上，他们连被抽到的机会都没有。样本看上去不小，却系统性漏掉了一整块人。 由此可以定出随机抽样的两条基本要求：第一，抽样时要保证每一个个体都可能被抽到；第二，每一个个体被抽到的机会是均等的。满足这样条件的抽样就是随机抽样。 最常用的一种是简单随机抽样：从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体，也称为纯随机抽样。它是其他各种抽样形式的基础，通常在总体中个体之间差异程度较小、个体数目较少时采用。 说准确一点。设一个总体含有 个个体（ 为正整数），从中逐个抽取 个（）。如果抽取是放回的，且总体内各个个体被抽到的可能性都相等，这种抽样方法称为放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且总体内未进入样本的各个个体被抽到的可能性都相等，称为不放回简单随机抽样。两者统称简单随机抽样，通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本。 不放回简单随机抽样有四个特征：总体中个体数 有限；抽取的个体数 不超过 ；样本中的每个个体逐个不放回地抽取；每个个体入样的可能性都相等，都是 。 用一个具体例子体会「不放回」。一个布袋中有 6 个同样质地的小球，从中不放回地抽取 3 个作为样本。第一次抽，每个小球被抽到的可能性是 ；第二次抽时袋中剩 5 个，每个还剩的小球被抽到的可能性是 ；第三次是 。虽然每一次抽到的机会在变，但每个小球最终进入样本的可能性都一样，都是 。这正是「机会均等」的确切含义——不是每一次都一样，而是最终人人平等。 六、简单随机抽样方法一：抽签法 抽签法是最直观的一种：把总体中的 个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续不放回地抽取 次，就得到一个容量为 的样本。 完整步骤有五步： ① 给个体编号。编号不一定要另起一套，学生的学号、座位号，产品的出厂号都可以直接沿用； ② 制号签。写号码的纸条、小球，形状、大小、材质要完全一样，这是「机会均等」的物质保证； ③ 把号签放进一个不透明的容器，搅拌均匀； ④ 逐个不放回地抽取 个号签，记下上面的编号； ⑤ 找出这些编号对应的个体，就是样本。 「搅拌均匀」这一步最容易被小看。它的目的就是让每个号签被抽到的机会相等；搅拌不均匀，压在下面的号签难得出头，抽出来的样本就不具代表性。判断题常在这里设陷阱：确保样本代表性的关键是搅拌均匀，不是号签做得漂亮，也不是「逐一抽取」这个动作本身。 抽签法的优点是简单易行；总体个数不多时，让它处于「搅拌均匀」的状态比较容易，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性。缺点也明显：总体容量非常大时，做号签、搅拌、逐个抽，费时费力又不方便；号签一多也难拌匀。所以它只适用于个体数较少的总体。 七、简单随机抽样方法二：随机数表法 个体数目较多时用随机数表法。随机数表是这样编出来的：把 0～9 这 10 个数字，按照编码位数的要求（两位一组、五位一组，甚至十位一组），利用摇码器随机逐个摇出一定数目的号码，编成表以备查用。表中的每个数字都是摇出来的，没有人为安排。 用随机数表抽样的步骤： ① 给总体中的每个个体编号，编号的位数要相同——总体有 500 个个体就编 001～500，有 112 个就编 001～112，不足的高位补 0； ② 在随机数表中任意指定一个开始选取的位置； ③ 按一定规则读数：编号是几位就几位几位地读，并且事先定好读数方向（向左、向右、向上、向下都可以）； ④ 读到的号码不在编号范围内，或者前面已经读过，就跳过去不读； ⑤ 直到取满 个为止。 图 3　随机数表读数示意 照图 3 完整走一遍。总体编号 001～500，要抽 5 个，从第 2 行第 1 组开始向右，每次读 3 位：736 超出 500，跳过；025 入样，是第 1 个；814 跳过；609 跳过；133 入样，第 2 个；902 跳过；587 跳过；194 入样，第 3 个；356 入样，第 4 个；721 跳过；458 入样，第 5 个。取满，收工。选出的 5 个编号是 025、133、194、356、458。 两处细节不能马虎。025 的前导 0 不能省，省了就变成两位数，与「每次读 3 位」的规则不符；跳过时只管两条——不在编号范围内、已经读过，读出来的数像不像某个编号，无关紧要。 与抽签法相比，随机数表法的好处是不受总体容量限制，几千几万个个体也照读不误；代价是手边得有表，且读数容易看串行。两种方法都是简单随机抽样，都要求编号、都要求等可能。 八、分层随机抽样 再看一个情形。某高中高一新生共有 900 人，其中男生 500 人、女生 400 人。学校想了解高一新生对文史类课程的看法，以便开设有关选修课程，准备抽取 45 人进行访谈。 如果直接对这 900 人做简单随机抽样，会有什么毛病？且不谈费事，更要紧的是：男生和女生对文史类课程的看法很可能有明显差别，而简单随机抽样并不保证抽出的 45 人里男女的比例与总体一致。万一女生抽得偏少，得出的看法就带偏。所以较好的做法是按性别分层，按比例抽。 一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分，每一部分称为层；在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法，称为分层随机抽样，简称为分层抽样。 分层抽样分四步： ① 分层。把相似的个体归入一类，层与层互不交叉，遵循不重复、不遗漏的原则； ② 按比例确定每层抽取个体的个数； ③ 各层分别按简单随机抽样的方法抽取； ④ 把各层抽得的个体综合在一起，组成样本。 关键在一个「比」字。样本容量与总体容量之比称为抽样比，本例中为 ，也就是 。每一层都按这个比例抽：男生层抽出 人，女生层抽出 人，合起来 人。 图 4　分层随机抽样：按比例分配 这件事在图 4 中画了出来。上面那条总体按 5∶4 分成男女两段；下面两条分别代表两层，每层都切成 20 份，只取其中 1 份。取到的份数相同，份的大小不同，所以抽出的绝对人数不同——这正是按比例分配的含义。 为什么每层抽取的比例必须都等于抽样比？只有这样，每个个体被抽到的可能性才相等，与他在哪一层无关。倘若男生层按 抽、女生层按 抽，女生入样的机会就比男生大，抽样便失去了公平性。 分层抽样的前提是对总体的情况有一定的了解，能划出清楚的层界：层与层之间要有明显区别，层内个体间差异较小。它不是万能钥匙——划不出层的总体，还是回到简单随机抽样。 九、三种抽样方法的比较与选择 类别 特点 适用范围 相互联系 简单随机抽样 从总体中逐个抽取 总体中个体数较少，个体间差异较小 分层抽样在各层内抽样时采用它 分层随机抽样 分成几层，各层按比例抽取 总体由存在明显差异的几部分组成 每一层内部用简单随机抽样 两种方法的共同点有两条，也是底线：抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样。 图 5　抽样方法的选择 选择时先问一句：总体能分成有明显差别、互不重叠的几部分吗？能，就分层随机抽样；不能，再看个体数目——较少，用抽签法；较多，用随机数表法。 三个判断练手。① 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件检验质量：同一批产品，没有明显的层，用简单随机抽样（随机数表法实施）。② 一次数学竞赛中，某班有 10 人的成绩在 110 分以上、40 人在 90～110 分、10 人低于 90 分，从中抽取 12 人了解情况：三段差异明显，用分层随机抽样。③ 从 50 位顾客中抽取 10 位赠送优惠券：无层可分、人数不多，用简单随机抽样。 一个常见的误判是看到数字大就想到分层。从一箱 3000 个零件中抽取 5 个，数目确实悬殊，但零件之间没有明显差异，仍属简单随机抽样；只有当总体由差异明显的几部分组成时——比如甲厂生产的 100 个与乙厂生产的 200 个混在一起——才该分层。 把三种抽样方法里反复出现的几个式子集中列一下，做题时可以直接套用： ① 抽样比：样本容量与总体容量之比，记为 ； ② 分层随机抽样中，设某层含 个个体，该层应抽取的个体数为 ； ③ 简单随机抽样中，每个个体最终入样的可能性都是 ； ④ 分层随机抽样中，每一层抽取的比例都等于抽样比 ，所以层内每个个体入样的可能性也等于 ； ⑤ 分层抽样结束后，各层抽取数之和必等于样本容量 ，这一步要验算。 十、典型例题 例 1　指出总体、个体、样本与样本容量 为了了解某校学生的视力情况，在全校 1700 名学生中随机抽取了 150 名学生进行检查。请指出这个问题中的总体、个体、样本和样本容量。 解：这次考察的是视力情况，所以总体是这所学校 1700 名学生的视力情况；个体是每一名学生的视力情况；样本是被抽取的 150 名学生的视力情况；样本容量是 150。 提醒：总体和个体都要落到「视力情况」这个指标上，写成「1700 名学生」「每一名学生」是最常见的错误；样本容量只写数，不写「150 人」。 这里总体容量是 ，样本容量是 ，都是纯数字；总体、个体都要落到「视力情况」这个指标上，不能写成「1700 名学生」。 例 2　用抽签法写出抽样过程 某班有 40 名学生，要从中抽取 5 人作为班级代表，参加学校组织的座谈。请用抽签法写出抽取样本的过程。 解：第一步，将 40 名学生编号，号码为 1，2，…，40，也可以直接沿用座位号。第二步，把 40 个号码分别写在形状、大小、材质完全相同的纸片上，揉成团，制成号签。第三步，把号签放进一个不透明的盒子中，搅拌均匀。第四步，逐个不放回地抽取 5 个号签，记下上面的编号。第五步，与这 5 个编号对应的学生，就是要抽取的对象。 说明：本例总体只有 40 个个体，差异不大、数目不多，正适合抽签法。倘若班级有 4000 人，做 4000 个号签就难拌匀了，应改用随机数表法。 本例 40 人中抽 5 人，每个同学被抽到的可能性都是 ，即 ，与具体用抽签法还是随机数表法无关。 例 3　分层随机抽样：各层抽多少 某科研院所共有科研人员 800 人，其中具有高级职称的 160 人、中级职称的 320 人、初级职称的 240 人、无职称的 80 人。欲了解该院所科研人员的创新能力，决定抽取 100 名科研人员进行调查，应怎样进行抽样？ 解：职称不同，创新能力很可能有明显差别，总体可以分成有明显差别的四部分，采用分层随机抽样。 第一步，分层：按职称分成四层——高级、中级、初级、无职称。 第二步，确定抽样比：样本容量 100，总体容量 800，抽样比为 ，即 。 第三步，按比例确定各层抽取的人数：高级职称层 人，中级职称层 人，初级职称层 人，无职称层 人。 第四步，各层分别用简单随机抽样（抽签法或随机数表法）抽取，将四层合在一起，得到容量为 100 的样本。 验算：，四层人数之和正好等于样本容量。凡是分层抽样，做完都要做这一步验算。 十一、易错警示与改错提醒 易错点 错在哪里 正确做法 总体、个体写成了人 考察视力，却把总体写成「1700 名学生」、个体写成「每一名学生」 总体是「1700 名学生的视力情况」，个体是「每名学生的视力情况」 样本容量带上单位 写「样本容量是 150 人」 样本容量是 150；「150 名学生」说的是样本 把挑选当成随机 从班里挑个子最高的 5 人参加座谈，说是随机抽样 随机抽样要求每个个体机会均等，挑出来的不算 随机数表读数不看位数 编号 001～500，却一位一位地读，读出的数全不在范围内 编号几位就几位读；超范围与重复的都要跳过 分层每层抽一样多 两层人数相差一倍，却给每层各抽一半人数 每层按同一抽样比抽取，人数多的层抽得多 号签倒出来就抓 不搅拌均匀，随手抓一把，说「这就是随机的」 先搅拌均匀再逐个抽取，否则机会并不均等 改错要改到点上：① 总体、个体先说清考察的是哪个指标，再往指标上落；② 样本容量是个数，永远不带单位；③ 「随机」二字的分量在机会均等，凡是指名的、挑出来的，都不是随机抽样；④ 随机数表读数前先看编号是几位，读的过程中只盯「超范围」和「重复」两条；⑤ 分层抽样先算抽样比，再让每一层都乘这个比；数一层人数就以为每层一样多，是最常见的错。 十二、巩固练习 1. 为了了解一批 2000 袋牛奶的质量，从中抽取 50 袋进行检测。下列说法正确的是（　　） 　　A. 2000 袋牛奶是总体　B. 每袋牛奶是个体　C. 样本容量是 50 袋　D. 样本容量是 50 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（　　） 　　A. 了解全国中学生的视力情况　B. 检测一批炮弹的射程　C. 旅客上飞机前的安检　D. 了解某市一天的空气质量 3. 某校有学生 1200 人，随机抽查 100 人了解阅读习惯，则样本容量是　　　　。 4. 判断：简单随机抽样要求总体中个体数有限、逐个不放回地抽取、每个个体入样的可能性均等。（　　） 5. 一个袋中有 8 个同样质地的小球，不放回地逐个抽取 2 个，则每个小球入样的可能性是　　　　。 6. 抽签法中，确保样本具有代表性的关键是（　　） 　　A. 号签做得漂亮　B. 搅拌均匀　C. 逐一抽取　D. 抽取时不放回 7. 用抽签法从 40 名学生中抽取 5 人，请写出前两步。 8. 用随机数表法从编号 001～200 的个体中抽取 3 个，从随机数表第 1 行第 1 组「736」开始向右每次读 3 位，该行前三组依次为 736、025、814，则第一个入样的编号是　　　　。 9. 某校有高一学生 1000 人、高二学生 800 人、高三学生 700 人，用分层随机抽样抽取一个容量为 125 的样本，三个年级各应抽取多少人？ 10. 某单位共有职工 430 人，其中青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。现用分层随机抽样抽取 43 人，样本中老年职工有多少人？ 11. 甲、乙、丙三校分别有学生 3600 人、5400 人、 1800 人，计划用分层随机抽样抽取一个容量为 90 的样本，三校各应抽取多少人？ 12. 下列问题中最适合用分层随机抽样的是（　　） 　　A. 从 10 名同学中抽取 3 人参加座谈　B. 从一箱 3000 个零件中抽取 5 个检测　C. 某社区有 500 个家庭，其中高收入 125 户、中等收入 280 户、低收入 95 户，要抽取 100 户了解购买力　D. 从 1000 名工人中抽取 100 人调查上班路途用时 13. 判断：分层随机抽样中，各层抽取的比例可以不同，只要各层人数加起来等于样本容量即可。（　　） 14. 某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名参加学校组织的篮球赛。这是简单随机抽样吗？为什么？ 15. 抽签前为什么要「搅拌均匀」？搅拌不均匀会有什么后果？ 十三、参考答案 1. D。总体是 2000 袋牛奶的质量，个体是每袋牛奶的质量，样本是抽出的 50 袋牛奶的质量，样本容量是 50，不带单位。 2. C。安检一个都不能漏，且带有强制性；A 人数太多，B 带破坏性，D 都只能抽样了解。 3. 样本容量是 。 4. 对。这正是简单随机抽样的几个基本特征。 5. 8 个球中抽 2 个，每个小球入样的可能性为 ，即 。 6. B。搅拌均匀才能让每个号签被抽到的机会相等；逐一抽取、不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键。 7. 第一步，将 40 名学生编号为 1，2，…，40，可以沿用座位号；第二步，把 40 个号码写在形状、大小、材质完全相同的号签上，揉成团。 8. 025。736 超出 001～200 的范围，跳过；025 在范围内，第一个入样。 9. 抽样比为 ，即 。高一 人，高二 人，高三 人。 10. 设老年职工为 人，则 ，得 。抽样比为 ，即 ，样本中老年职工 人。 11. 抽样比为 ，即 。甲校 人，乙校 人，丙校 人。 12. C。总体由差异明显、互不重叠的三部分组成；A、B、D 中个体之间没有明显差异，用简单随机抽样即可。 13. 错。各层抽取的比例必须都等于抽样比，否则不同层里的个体入样机会不相等。 14. 不是。这 5 人是按身高挑出来的，每个同学被抽到的机会不相等，不符合随机抽样「机会均等」的要求。 15. 搅拌均匀的目的是让每个号签被抽到的机会相等。搅拌不均匀，有的号签总压在下面，被抽到的机会变小，抽出的样本就不具代表性。 十四、方法归纳 步骤 具体做法 ① 明确总体与个体 先说清考察的是哪个数值指标，总体、个体都往这个指标上落 ② 定普查还是抽样 总体容量不大或有特殊需要 → 普查；成本太高、时间不允许、考察有破坏性 → 抽样调查 ③ 选抽样方法 能分成有明显差别的几部分 → 分层随机抽样；不能分层且数目较少 → 抽签法；不能分层且数目较多 → 随机数表法 ④ 编号 编号位数要相同，不足的高位补 0；能用学号、座位号、出厂号就直接沿用 ⑤ 实施 抽签法先搅拌均匀，再逐个不放回地抽取；随机数表法先定位、定向、定读数位数，无效即跳 ⑥ 记录与验算 记下样本与样本容量；分层抽样要验算各层人数之和是否等于样本容量 十五、本节三句话 ① 数据有间接获得与直接获得两条路，拿到先问来源可不可信；总体、个体说的是考察对象的数值指标，样本容量只是一个数。 ② 随机抽样两条底线：每个个体都可能被抽到、机会均等；抽签法与随机数表法都守这两条，也都不受「挑」字影响。 ③ 总体能分层就按比例分层抽，每层比例都等于抽样比；不能分层再看数目多少，少用抽签法、多用随机数表法。 十六、本节边界 本节只解决「数据从哪儿来、怎么抽才有代表性」。收集来的数据怎样整理、怎样用数字特征去概括，留到后面解决，本节不作要求。 三种抽样方法都要求对总体的情况有一定了解：划不出层、又无从编号时怎么办，需要另用工具，本节不作要求。 学科网（北京）股份有限公司 $