第三章 勾股定理 单元测试 2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册

第三章 勾股定理 一、选择题。 1.下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    ) A. ：：：： B. ：：：： C. D. ：：：： 2.下列各组数中，是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是，宽都是，一只蚂蚁沿台阶从点出发到点，其爬行的最短线路的长度是(    ) A. B. C. D. 4.下列三角形中，是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 5.如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为(    ) A. B. C. D. 6.在中，，，所对的边分别为，，，且三边满足，则下列结论正确的是(    ) A. 是直角三角形，且为直角 B. 是直角三角形，且为直角 C. 是直角三角形，且为直角 D. 不是直角三角形 7.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点和点之间的距离，由此可推断是否为直角这样做的依据是(    ) A. 勾股定理 B. 如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 C. 三角形内角和定理 D. 直角三角形的两锐角互余 8.如图，在一块四边形空地中植草皮，测得，，，，且若每平方米草皮需要元，则需要投入(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9.如图是第届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”如图所示的“弦图”是由个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形已知大正方形的边长为，的长为，则小正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别是上的动点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题。 11.已知直角三角形的两边的长分别是和，则第三边长的平方是          ． 12.如图，每个小正方形的边长是，，，是小正方形的顶点，则的度数为          ． 13.如图，，，，则           ． 14.如图是某超市购物车的侧面简化示意图测得支架，，两轮中心的距离，则点到的距离为          ． 15.如图，长方形纸片中，，点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以，，为顶点的三角形是直角三角形时，的长为          ． 四、解答题。 16.如图所示，已知在中，，，，于点，求的长． 17.如图：在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 18.在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面尺，如图所示如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面求水池的深度和芦苇的长度注：米尺 19.为了绿化环境，我县某中学有一块空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 求出该空地的面积． 20.如图，笔直的公路上、两点相距，、为两村庄，于点，于点，已知，，现在要在公路的段上建一个土特产品收购站，使得、两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、因为：：：：，所以设，，， 则，故为直角三角形； B、因为：：：：，所以设，则，， 故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形． C、因为，，则，故为直角三角形； D、符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形； 故选：． 根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为度进行判定即可． 此题考查了解直角三角形的相关知识，根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理结合解方程是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：，不是勾股数，故选项A不符合题意； B.，，，不是整数，不是勾股数，故选项B不符合题意； C.，，，不是整数，不是勾股数，故选项B不符合题意； D.，是勾股数，故选项D符合题意； 故选：． 根据勾股数的定义分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解：、，，，能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，，，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：． 根据勾股定理的逆定理即可解答． 本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】解：， ， ， 是直角三角形，且为直角， 故选：． 利用勾股定理的逆定理判定即可． 本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】解：根据题意可知，，，， ， ． 故选D． 10.【答案】  【解析】过点作于，在上截取，证明，则，可得，由得到的最小值是的长，由勾股定理得到，根据等积法求出的长即可． 【详解】解：过作于，在上截取， 的平分线交于点， ， 在和中， ， ， ， 的最小值是的长． ， ， ， ， ． 的最小值为． 故选：． 11.【答案】或  12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】或  【解析】解：时，如图，， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ； 时，如图， 由翻折的性质， 、、在同一直线上， ，， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， 即， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 分情况讨论：时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；时，，判断出、、在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，，然后求出，设，表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理的应用，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 16.【答案】解：，，，，则根据三角形的面积公式得：，则，故，．  【解析】略 17.【答案】解：， 为直角三角形， 又，， 根据勾股定理得：， 又，， ，， ， 为直角三角形，， 则． 故四边形的面积是．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解；由题意知，在中，，，，， 故， 从而解得，， 因此水池深尺，芦苇长尺，  【解析】此题是一道古代问题，体现了我们的祖先对勾股定理的理解，也体现了我国古代数学的辉煌成就．找到题中的直角三角形，根据勾股定理解答即可． 19.【答案】解：连接 ，  ，  米，  ，  ，  ，  是直角三角形， ， 四边形的面积是： 平方米， 即这块四边形空地的面积是平方米．   【解析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据勾股定理，可以得到 的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以得到 的形状，然后即可得到四边形 的面积． 20.【答案】解：使得，两村到站的距离相等． ， 于，于， ， ，， ， 设，则． ，， ， 解得：， ， 收购站应建在离点处．  【解析】本题主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解即可． 根据使得，两村到站的距离相等，可得，设，则，再分别在和中利用勾股定理，建立关于的方程，求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $