第一章空间向量与立体几何单元测试-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,设=a,=b,=c,则=(　　). A.a+b+c B.a-b+c C.a+b-c D.-a+b+c 2.如图,M,N分别是四面体O-ABC的边OA,BC的中点,P是MN的中点.设=a,=b,=c,用a,b,c表示,则(　　). A.a+b+c B.a+b+c C.a+b+c D.a+b+c 3.若直线l的一个方向向量a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),则(　　). A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.A,C都有可能 4.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E是平面A'B'C'D'的中心,a=,b=,c==xa+yb+zc,则(　　). A.x=2,y=1,z= B.x=1,y=,z= C.x=,y=,z=1 D.x=,y=,z= 5.已知空间向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b,则x=(　　). A.-3 B.-1 C.1 D.3 6.在矩形ABCD中,AB=1,BC=,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角为(　　). A.30° B.45° C.60° D.120° 7.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　　). A. B. C.4 D.8 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　). A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.下列各组向量互相平行的是(　　). A.a=(1,2,1),b=(1,-2,3) B.a=(8,4,-6),b=(4,2,-3) C.a=(0,1,-1),b=(0,3,-3) D.a=(-3,2,0),b=(4,-3,3) 10.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是(　　). A.()2=3()2 B.·()=0 C.向量与向量的夹角是60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|| 11.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC法向量的是(　　). A.(1,1,1) B.(1,-1,1) C.(-,-,-) D.(,-) 12.已知正方体ABCD -A1B1C1D1,则(　　). A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且a·b=8,则x的值为　　　　　.  . 14.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,.若=-,则=　　　　　.  15.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则直线AD到平面PBC的距离为　　　　　.  16.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,∠BCD=90°,且AB=AD,则AC与平面BCD所成角的度数为　　　　　.  四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知空间内三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S; (2)若向量a与向量都垂直,且|a|=,求向量a的坐标. 18.(12分) 已知在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC的中点,PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点. (1)求证:AE∥平面PFQ; (2)求AE到平面PFQ的距离. 19.(12分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,N是AD1的中点,AM=2MB. (1)化简:; (2)设=a,=b,=c,若=xa+yb+zc,求x+y+z. 20.(12分)如图,已知P是矩形ABCD平面外一点,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点.求证: (1)共面; (2)EF⊥CD. 21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=. (1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD. 22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,PD=AD=AB,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小. 第一章　空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.B 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,=a,=b,=c,则+()=a-b+c. 2.D 如图,连接ON,在△OMN中,P是MN的中点,则由平行四边形法则得)=a+)=a+(b+c)=a+b+c. 3.B ∵直线l的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),∴a=2b,∴l⊥α. 4.A 如图,连接A'C',B'D',因为)=2a+(2b+3c)=2a+b+c,所以x=2,y=1,z=. 5.C 因为向量a=(3,1,1),b=(x,-3,0),且a⊥b, 所以a·b=3x+1×(-3)+1×0=0,解得x=1. 6.A 如图,以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),C(1,,0),故=(1,,-1),平面ABCD的一个法向量为 n=(0,0,1),所以cos<,n>==-.设PC与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|=,故θ=30°. 7.A 由题意,cos<a,b>=,则sin<a,b>=,所以平行四边形的面积为S=|a||b|sin<a,b>=3×3×. 8.B 以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示. 设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0), ∴=(0,1,-1),=(1,0,-). 设平面A1ED的一个法向量为n1=(1,y,z), 则解得y=2,z=2. ∴n1=(1,2,2). ∵平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1), ∴cos<n1,n2>=,即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为. 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.BC 若a与b平行,则存在实数λ使得a=λb,经过验证,只有B,C两组满足条件.故选BC. 10.AB 由向量的加法得到, ∵A1C2=3A1,∴=3,故A正确; ∵,AB1⊥A1C, ∴=0,故B正确; ∵△ACD1是等边三角形,∴∠AD1C=60°. 又A1B∥D1C, ∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°,但是向量与向量的夹角是120°,故C不正确; ∵AB⊥AA1, ∴=0,故||=0,因此D不正确.故选AB. 11.AC =(-1,1,0),=(-1,0,1),设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,则 得x=y=z.故选AC. 12.ABD 连接AD1,∵在正方体ABCD -A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1, ∴直线BC1与DA1所成的角为90°,故A正确; 连接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1⊂平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直线BC1与CA1所成的角为90°,故B正确; 连接A1C1,交B1D1于点O,连接BO.易证C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角. 设正方体的棱长为a,则OC1=a,BC1=a, ∴sin∠C1BO=,∴∠C1BO=30°,故C错误; ∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角.又∠C1BC=45°,∴直线BC1与平面ABCD所成的角为45°,故D正确. 故选ABD. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.8 a·b=(-3,2,5)·(1,x,-1)=-3+2x-5=8,解得x=8. 14. - ∵,∴D是AC的中点, ∴),且=-,即)·()=-,整理得=-1.由||=2,得||=. 在等腰三角形ABC中,cos∠ABC=. 由题意知,∴=()·=()·(-)==2××5=-. 15.如图,以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系. 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),=(2,0,-2),=(0,2,0). 设平面PBC的一个法向量为n=(a,b,c), 则令a=1,则c=1,∴n=(1,0,1). 又=(2,0,0),∴直线AD到平面PBC的距离d=. 16. 45° 取BD的中点O,连接AO,CO. 因为AB=AD,所以AO⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,所以AO⊥平面BCD. 因此,∠ACO即为AC与平面BCD所成的角. 因为∠BAD=90°,∠BCD=90°,所以AO=OC=BD.又AO⊥OC,所以∠ACO=45°. 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2), ∴cos<>=, ∴sin<>=, ∴以为邻边的平行四边形面积 S=||||sin<>=7. (2)设a=(x,y,z), 由题意,得 解得 即a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1). 18. (1)证明:如图,以A为原点,建立空间直角坐标系. 因为AP=2,AB=BC=AC=4,E,F分别是BC,AC的中点,Q是CE的中点, 所以A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0),Q(,0),P(0,0,2). 因为=(,0),=(,3,0), 所以=2,所以,又AE与FQ无交点,所以AE∥FQ. 又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ, 所以AE∥平面PFQ. (2)解:连接AQ.因为AE∥平面PFQ,所以点A到平面PFQ的距离就是AE到平面PFQ的距离. 设平面PFQ的一个法向量为n=(x,y,z),所以n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0. 又=(0,2,-2),所以n·=2y-2z=0,即y=z. 又=(,0),所以n·x+y=0,即x=-y. 令y=1,则x=-,z=1,所以平面PFQ的一个法向量为n=(-,1,1). 又=(-,-,0), 所以AE到平面PFQ的距离d=. 19.解:(1)∵在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,N是AD1的中点,∴. (2)∵AM=2MB, ∴)-=-a+b+c. ∵=xa+yb+zc,∴x=-,y=,z=, ∴x+y+z=. 20.解:如图,以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系Axyz. 设AB=2a,BC=2b,PA=2c,则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c). (1)证明:∵E为AB的中点,F为PC的中点, ∴E(a,0,0),F(a,b,c). ∵=(0,b,c),=(0,0,2c),=(0,2b,0), ∴,∴共面. (2)证明:∵=(-2a,0,0),=(0,b,c), ∴=(-2a,0,0)·(0,b,c)=0, ∴,∴CD⊥EF. 21 (1)证明:∵BC=1,AB=,AC=2, ∴AC2=AB2+BC2,∴AB⊥AC. 又PA⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD, ∴PA⊥BC. 又PA,AB⊂平面PAB,AB∩PA=A, ∴BC⊥平面PAB. ∵PA⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD, ∴AD⊥PA. 又AD⊥PB,且PA,PB⊂平面PAB,PB∩PA=P,∴AD⊥平面PAB.∴AD∥BC.又BC⊂平面PBC,AD在平面PBC外,∴AD∥平面PBC. (2)解:∵AD⊥DC,∴以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示. 令AD=t,则A(t,0,0),P(t,0,2),D(0,0,0),DC=,C(0,,0). ∴=(-t,,0),=(0,0,2),=(t,0,2),=(0,,0). 设平面ACP的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则∴z1=0. 不妨设x1=,则y1=t, ∴平面ACP的一个法向量为n1=(,t,0). 设平面CPD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 ∴y2=0, 不妨设z2=t,则x2=-2. ∴平面CPD的一个法向量为n2=(-2,0,t). ∵二面角A-CP-D的正弦值为, 又由图可知,二面角A-CP-D为锐角, ∴二面角A-CP-D的余弦值为. ∴|cos<n1,n2>|=. ∴t=,∴AD=. 22. (1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD, 由余弦定理得BD=AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. (2)解:如图,以D为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,不妨设AD=1,则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1),=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0). 设平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0),设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 则令y=1,则z=, ∴m=(0,1,). 所以|cos<n,m>|=,故平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小为60°. 学科网（北京）股份有限公司 $