3.4 向量在立体几何中的应用同步练(能力提升)—2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

3.4 向量在立体几何中的应用 1.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为，则能使的是( ) A.， B.， C.， D.， 2.已知直线l过点，平行于向量，平面经过直线l和点，则平面的一个法向量n的坐标为( ) A. B. C. D. 3.“曲池”是《九章算术》中记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，平面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，则异面直线与所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 4.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离等于( ) A. B. C. D. 5.已知，.若，，且平面ABC，则实数x，y，z分别为( ) A.，，4 B.，，4 C.，，4 D.4，， 6.已知四棱锥，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，，E，F，G分别为棱PA，AB，PD的中点，则点G到平面CEF的距离为( ) A. B. C. D. 7.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E，F分别为CD，PC的中点，则直线PE与平面ABF所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 8.在直三棱柱中，，，E为的中点，则与AE所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. （多选）9.在长方体中，，，，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( ) A. B.异面直线与夹角的余弦值为 C.平面的一个法向量为 D.二面角的平面角的余弦值为 （多选）10.已知，则下列说法正确的是( ) A.若a，b分别是直线，的方向向量，则直线，所成角的余弦值是 B.若a，b分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成角的余弦值是 C.若a，b分别是平面，的法向量，则平面，所成角的余弦值是 D.若a，b分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则直线l与平面所成角的正弦值是 （多选）11.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，D，E分别为棱BC，的中点，则( ) A.平面 B. C.异面直线AC与DE所成角的余弦值为 D.平面与平面ABC的夹角的正切值为 12.在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，可得平面的点法式方程为.若已知平面的点法式方程为，则点到平面的距离为___________. 13.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面.P为线段BC上一动点，当_________时，直线DP与平面所成角的正弦值为. 14.已知正方体的棱长为2，BC棱上一点P满足，则直线PA与平面所成角的正弦值为___________. 15.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且. （1）求证：平面ADF. （2）在线段EC上是否存在一点G（不含端点），使得平面GBD与平面ADF的夹角为？若存在，指出点G的位置；若不存在，请说明理由. 答案以及解析 1.答案：D 解析：由题意，得若使，则要使，即.对于A，，不符合题意.对于B，，不符合题意.对于C，，不符合题意.对于D，，符合题意.故选D. 2.答案：A 解析：由题意可得，.设经过直线l和点A的平面的法向量为，则令，则，，所以，结合选项.故选A. 3.答案：A 解析：如图，设上底面圆心为，下底面圆心为O，连接，OC，OB，，，由底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的2倍，，可知，以O为原点，分别以OC，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，则，，所以.故选A. 4.答案：A 解析：以点为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， ，，，，. 平面，平面，平面. 设平面的法向量为，则 取，可得，，. ，直线FC到平面的距离.故选A. 5.答案：B 解析：，，解得..平面，，，即解得故选B. 6.答案：B 解析：依题意，如图建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，. 设平面CEF的法向量为，所以取，所以点G到平面CEF的距离.故选B. 7.答案：C 解析：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，.因为F，E分别为PC，CD的中点，所以，，所以，，.设平面ABF的法向量为，则设，则，，所以平面ABF的法向量为.设直线PE与平面ABF所成角为，.故选C. 8.答案：B 解析：以为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示.因为，所以，，，，所以，，所以，故与AE所成角的余弦值为.故选B. 9.答案：ACD 解析：由题意可得，，，，，则，，故A正确； ， 所以异面直线与夹角的余弦值为，故B不正确； 设平面的一个法向量为，则所以取，得，故C正确； 易知平面的一个法向量为， 则， 易知二面角的平面角为锐角，故其余弦值为，故D正确. 故选ACD. 10.答案：ACD 解析：因为a，b分别是直线，的方向向量，且，记直线，所成的角为，则，故A正确；因为a，b分别是直线l的方向向量与平面的法向量，且，设直线l与平面所成的角为，则有，故B错误，D正确；因为a，b分别是平面，的法向量，且，设平面，所成的角为，则不大于，，故C正确.故选ACD. 11.答案：ABD 解析：选项A：连接交于F，连接DF， 由题意可知F为的中点，又D为BC的中点，故.又平面，平面，故平面，故A正确；选项B：由题意为等边三角形，D为BC的中点，故.又棱柱为直三棱柱，所以.又，平面，平面，故平面.又平面，故，故B正确；选项C：如图建立空间直角坐标系，则，，.因为，所以，所以，，设异面直线AC与DE所成角为，则，故C错误；选项D：由题意易得平面ABC的一个法向量为，，，，设平面的法向量为，则即设，则，，故.设平面与平面ABC的夹角为，则，故，故，故D正确，故选ABD. 12.答案：2 解析：已知平面的点法式方程为，可得平面的法向量，平面上一点，已知，则，可得. 根据向量的模的计算公式，可得. 所以根据点到平面的距离公式，可得点P到平面的距离，可得. 13.答案：1 解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则，，，，，所以，. 设平面的法向量，所以 所以 取，可得平面的一个法向量，设，，所以，所以解得或（舍去），所以. 因为，所以. 14.答案： 解析：以D为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，得，. 设，，，则.因为，所以，解得，所以.设平面的法向量为，则令，得，，所以，则，所以直线PA与平面所成角的正弦值为.故答案为. 15.答案：（1）证明见解析 （2）存在，点G为线段EC上靠近点E的三等分点 解析：（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，则 ，. ，平面ADF，平面ADF. （2）存在，点G为线段EC上靠近点E的三等分点.理由如下： 设（），则点G的坐标为，. 设平面GBD的法向量为，则 令，则，，则. 平面GBD与平面ADF的夹角为，且平面ADF的法向量为， . ，， 为线段EC上靠近点E的三等分点. 学科网（北京）股份有限公司 $