5.5 一元一次方程的应用（第2课时） 课件 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第5章　一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用（第2课时） 图形与等积变形 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 形状变了，什么量不变 情境 把一根铁丝围成三角形，再改围成长方形，边数和形状改变了，但铁丝总长不变。把橡皮泥从立方体改做成球，形状改变，体积保持不变。 思路 等长、等面积、等体积都可能提供相等关系。先说明过程是否有损耗、拉伸或溢出，再选择不变量来列方程。 情境引入 水倒入另一种容器 观察 把同样一杯水倒入底面积更大的直壁容器，水面通常降低。底面积与水高可以变化，但在不洒出、不渗漏时，水的体积保持不变。 关系 直壁容器中，水体积容器底面积水高。可用“原底面积原水高新底面积新水高”建立方程。 情境引入 方形框的面积怎样算 问题 正方形雕像四周铺同样宽的花岗岩，形成方形框。总铺地面积既可以由瓷砖块数求得，也可以由框的尺寸求得。 关系 两种方法计算的必须是同一片区域。把方框分成四个不重叠的长方形，可以让未知边长只以一次形式出现。 新知讲授 等长变形适用什么条件 条件 铁丝围成图形后再改围，若没有剪去、重叠或伸长，图形周长都等于铁丝长。边长变了，不代表周长也变。 列式 设长方形宽为、长为，铁丝总长为，就有。求解后每条边长都应为正。 新知讲授 等积变形适用什么条件 条件 将一块材料从圆柱锻造成长方体，不计损耗时，材料总体积不变。材料表面积、长度、底面积通常会变化，不能混当不变量。 列式 圆柱体积为，长方体体积为长乘宽乘高。把两者相等，就能对一个未知尺寸建立一元一次方程。 新知讲授 面积相等与周长相等不同 反例 边长为的正方形面积为、周长为；长为、宽为的长方形面积也为，但周长为。 结论 等面积不保证等周长，等周长也不保证等面积。题目说“面积不变”时，只能用面积关系，不能擅自再设周长相等。 新知讲授 单位必须先统一 长度 若圆柱尺寸以毫米计，长方体三边也应先换成毫米；等体积方程两边都以立方毫米计，不能一边用厘米一边用毫米。 图示 图上的“直径”并不是半径。代入前，应把直径除以，得到半径。 新知讲授 把总面积分成不重叠的部分 方法 矩形框的四个角容易重复计数。可把方框分成四条旋转排列的长方形，每条包含一个角，四块既不重叠，也无遗漏。 表达 中间正方形边长为、框宽为时，每条长方形长、宽，方框面积为。 新知讲授 由块数换成总面积 关系 一块边长为的正方形砖面积为，块面积为。块数乘边长不是面积，必须先算每块砖的面积。 条件 当题目说明“接缝忽略不计”时，可以把砖的总面积等同于铺设区域面积。若存在切割损耗或缝隙，关系需要相应调整。 例题讲解 例 3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成边宽为米的正方形框（图中阴影部分）。铺这个框恰好用了块边长为米的正方形花岗岩，接缝忽略不计。雕像底面边长是多少米？ 答：花岗岩总面积为平方米。 一块面积平方米。 块总面积为平方米。 先把块数与每块面积相乘，得到同一面积单位。 例题讲解 例 3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成边宽为米的正方形框（图中阴影部分）。铺这个框恰好用了块边长为米的正方形花岗岩，接缝忽略不计。雕像底面边长是多少米？ 答：设底面边长为米，框面积为平方米。 把阴影分成四块不重叠的长方形。 每块长、宽，由面积相等列方程。 每个角只属于一块，避免四角重复计算。 例题讲解 例 3 某雕像的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成边宽为米的正方形框（图中阴影部分）。铺这个框恰好用了块边长为米的正方形花岗岩，接缝忽略不计。雕像底面边长是多少米？ 答：底面边长为米。 列，得。 所以；检验。 所求为中间雕像底面边长，不是外框边长。 例题讲解 例 4 用直径为的钢柱锻造一块长、宽、高分别为的长方体毛坯底板。至少应截取钢柱多少长？不计损耗，结果精确到。 答：圆柱半径为；截取圆柱体积等于长方体体积。 设截取长度为，圆柱体积为。 长方体体积为立方毫米。 直径先除以2；全部长度使用毫米。 例题讲解 例 4 用直径为的钢柱锻造一块长、宽、高分别为的长方体毛坯底板。至少应截取钢柱多少长？不计损耗，结果精确到。 答：。 列。 两边除以，得到。 先保留含的准确值，再按要求取近似值。 例题讲解 例 4 用直径为的钢柱锻造一块长、宽、高分别为的长方体毛坯底板。至少应截取钢柱多少长？不计损耗，结果精确到。 答：理论长度为；按整毫米截取并保证足量，取。 ，通常四舍五入到整数为。 原题要求“至少”，材料不足；按整毫米取值应向上取。 普通四舍五入得229；按“至少足量”的整毫米要求取230。 例题讲解 示例 一根长的铁丝改围成长方形，长比宽多。长和宽各多少？ 答：宽、长。 设宽，列。 解得，长为；周长厘米。 铁丝长对应周长，不对应面积。 例题讲解 示例 边长的正方形场地改成长的长方形，面积不变。长方形宽是多少米？ 答：米。 原面积为平方米。 设宽米，列，解得。 等面积时分别写出两个图形面积，不借用周长。 课堂练习 课内练习 1 指出下列过程中，哪些量发生变化，哪些量保持不变。 （1） 把一小杯水倒入另一只大杯中。 水的形状和水高可变，水体积不变。 不洒出、不渗漏时，水量保持。 （2） 用一根铁丝围成三角形，再改围成长方形。 形状和面积可变，周长保持。 同一根铁丝总长不变。 （3） 橡皮泥先做成立方体，再改做成球。 形状和表面积可变，体积不变。 未增减橡皮泥时总体积保持。 先声明过程没有损耗，再指出相等的具体量。 课堂练习 课内练习 2 如图，一个书架上下两层宽度相同，上层放厚为的书本，正好放满。下层准备放厚为的书，能放多少本？ 答：设下层能放本，列。 上层书总厚度为厘米。 下层书总厚度等于同一层宽度，故两乘积相等。 等宽关系连接两层，厚度乘本数才是总宽。 课堂练习 课内练习 2 如图，一个书架上下两层宽度相同，上层放厚为的书本，正好放满。下层准备放厚为的书，能放多少本？ 答：下层可放本。 。 每本厚度为原来的三分之一，所以同一宽度能放三倍本数。 数量与单本厚度在总宽不变时成相反方向变化。 课堂练习 作业题 1 磨得的面粉质量比小麦质量少。要得千克面粉，需要小麦多少千克？ 答：千克。 设小麦千克，列。 解得，检验。 这里质量有损耗，不能把小麦与面粉质量直接设相等。 课堂练习 作业题 2 把图示上底、下底、高的梯形空地，改成宽为的长方形运动场，面积不变。应将原梯形的上下底怎样调整？ 答：长方形长为。 梯形面积为平方米。 设长，列，得。 目标宽度保持30，先根据面积求目标长。 课堂练习 作业题 2 把图示上底、下底、高的梯形空地，改成宽为的长方形运动场，面积不变。应将原梯形的上下底怎样调整？ 答：上底缩短，下底延长，都调整为。 上底，下底。 调整后长方形面积平方米，与原梯形相等。 回答应说明哪一条边缩短、哪一条边延长。 课堂练习 作业题 3 A、B均为圆柱形容器，A底面积是B的倍，B壁高为。A中水高，倒入B后会溢出吗？ 答：不会；B中水高。 设B底面积为，水体积为。 设B水高，列，得。 先求水高，再与容器壁高比较，不能只凭容器外观。 课堂练习 作业题 5 按图示方法搭个三角形需根火柴棒，搭个需根。设共搭个，怎样表示所需根数？现有根能搭多少个这样的三角形？根呢？ 答：搭个三角形需根。 第一个需根，每增加一个与前一个共边，只增加根。 所以总根数为。 共用边不重复计数，每增加一个三角形增加两根。 课堂练习 作业题 5 按图示方法搭个三角形需根火柴棒，搭个需根。设共搭个，怎样表示所需根数？现有根能搭多少个这样的三角形？根呢？ 答：根能搭个；根最多搭个，余根。 ，解得。 若有根，；三角形个数取整数。 不是所有整数根数都能恰好用完；实际个数必须为整数。 新知讲授 容量条件要在求值后检查 水高 求得倒水后的水高为，仍要与容器内壁高度比较。小于壁高表示能容纳，大于壁高表示会溢出，等于壁高表示恰好装满。 前提 如果原先假定“不溢出”列式，但所得高度超过容器高，则模型前提不成立。应回到实际过程分析，而不是保留超出容器的水高作为最终状态。 方法归纳 从不变量到方程 先判断过程 ① 围图形看长度是否保持，材料改形看体积是否保持。 ② 有损耗、溢出、接缝等条件时按题意调整。 再建立等式 ① 把同一量分别用原状态和新状态表示。 ② 单位统一，解后检查正值、边界和容量。 课堂总结 图形与等积变形 不变量 总长、面积、体积等按过程选取 公式 周长、面积、体积公式准确使用 方程 原状态的量等于新状态的同一量 单位 长度统一后再计算面积或体积 检验 正值、容量、至少等实际条件 针对训练 训练 橡皮泥立方体不增不减改成球，不变量为：A.棱长　B.表面积　C.体积　D.高度。 答：C 材料没有增减，体积保持不变。 形状改变时，表面积和其他尺寸可以改变。 不变量由物理过程决定，不由看起来相似的尺寸决定。 针对训练 训练 一圆柱直径为、高，体积为____；若与体积的材料等体积，则方程为____，解得____。 答：；；。 半径为厘米，底面积为。 等体积后消去相同非零因数。 圆柱公式使用半径，直径先除以2。 针对训练 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 同一根铁丝改围不同图形，面积一定不变。 错误 不变量是周长，面积可能改变。 （2） 同一杯水倒入不同容器且不洒出，体积不变。 正确 水的总量保持。 （3） 等面积的两个图形周长一定相等。 错误 面积相等不能推出周长相等。 （4） 圆柱的直径与半径可以直接当同一个量代入。 错误 半径是直径的一半。 针对训练 训练 一根铁丝围成长方形，长为宽的倍。求长与宽。 答：宽，长。 设宽，列。 解得，长为。 四边总长为铁丝长度，不能漏乘2。 针对训练 训练 原直壁容器底面积、水高，将水全部倒入底面积的新直壁容器，求水高。 答：。 设新水高，由等体积列。 解得。 底面积变大，水高降低，方向可帮助检验。 针对训练 训练 长方形地面宽，用块边长的正方形砖恰好铺满，忽略接缝。求地面长。 答：。 砖总面积为平方米。 设地面长，列，得。 一块砖的面积是边长的平方，块数不是长度。 针对训练 训练 一块长、宽、高的金属块，不计损耗制成底面积的直棱柱，求高。 答：。 原体积立方厘米。 列，得。 形状不同也可比较同一体积，表面积不必相等。 针对训练 训练 一层书架能放厚的书本，改放厚的书，能放多少本？ 答：本。 书架宽为厘米。 列，得。 共同的总宽度可以不先算出，直接列两乘积相等。 针对训练 作业题 4 圆柱形容器内底面半径，水高。一根半径、长度超过容器高度的玻璃棒竖直插入水中，水不溢出。水面升高多少厘米？ 答：。 设升高，插棒后水占横截面积。 列，解得。 水体积不变，插棒后水只占环形截面，不能把棒体积算成水。 针对训练 训练 正方形花坛边长未知，四周铺宽的方形步道，步道面积为。求花坛边长及外框边长。 答：花坛边长，外框边长。 设花坛边长，步道分成四个的长方形。 列，得；外框边长。 边框两侧都增加宽度，外框边长为中间边长加2倍宽。 方法归纳 方法总结 找准保持不变的量 ① 同一根材料看总长，同一块材料看体积。 ② 等面积改形只设面积相等，不能附加周长相等。 ③ 结合损耗、接缝、溢出等条件解释模型。 正确使用图形公式 ① 直径先换半径，长度单位先统一。 ② 复合区域分割不重叠、不遗漏。 ③ 解后代入检验，并按至少、容量等实际要求判断。 $