5.5 一元一次方程的应用（第3课时）课件2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用（第3课时） 行程与人员调配 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 相遇问题先画时间线 情境 两车从两地相向出发，若一车早出发，它的总行驶时间更长。需要分别确定各车的出发时刻与相遇时刻，再用速度乘时间表示路程。 关系 相遇时，甲走的路程加乙走的路程等于两地距离。先行的一段路，也属于甲的总路程，不能因为乙尚未出发就被漏去。 情境引入 同一段时间与全部时间 例子 甲先行小时，乙出发后小时相遇。甲总共行驶小时，乙行驶小时，二者共同运动的时间才是小时。 两种写法 若甲速为、乙速为，全程可写成，也可写成，两式表示相同总路程。 情境引入 增调人员怎样保持总人数 情境 向甲、乙两地共调人。若往甲地人，往乙地就是人。两地原有人数再加新增人数，才是调整后的总人数。 关键 题目规定调整后人数的倍数或比例时，应比较调整后的量。不能把增加人数之比直接当成增加后总人数之比。 新知讲授 行程的三个基本量 公式 路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度。列方程前先确定题目所求及可表示的量。 单位 速度为千米/时，时间就应以小时计；速度为米/分，时间应以分钟计。把分钟直接当小时会使路程放大倍。 新知讲授 相向与同向的差别 相向 两车向彼此行进，间距减少量是两车路程之和。相遇时，这个减少量等于原有距离。 同向 一快一慢从同方向行进，快者比慢者多走的路程用于追及。环形跑道第一次追上时，快者通常比慢者多走一圈。 新知讲授 画图记录方向与起点 示意 先标出A、B与全程，再用箭头表示行进方向。把先行路程、共同运动期间各自的路程分开，图上每一段都要有对应意义。 列式 线段图的作用是识别相加还是相减。不能只凭关键词“相遇”就写速度和乘同一时间，因为两人的出发时刻可能不同。 新知讲授 用表格整理行程 列量 表格可列“速度、时间、路程”三列，每行对应一个人或一辆车。先填已知量，再用同一未知数表示速度差或倍数。 检查 每行第三列应等于前两列的乘积。最后按相遇、追及、总路程等关系连接各行，得到一个方程。 新知讲授 人员调配的表格 结构 对每个地点记录“原有、增加、增加后”三行。原有加增加等于增加后，增加人数之和为总支援人数。 比例 若甲最终人数是乙的倍，写“甲增加后乙增加后”。当总人数已知时，也可先按比例分配最终人数，再反推调入量。 新知讲授 内部转移与外部增加不同 内部转移 把甲地人调到乙地时，甲减少，乙增加，总人数不变。两地变化方向相反，不能两边都加。 外部支援 向两地增加总共人时，原总人数增加。要看清题意是从一处调到另一处，还是另调人员同时支援两处。 例题讲解 例 5 A、B两地相距千米，甲、乙两车分别从A、B出发，相向而行。甲先出发小时，乙出发小时后与甲相遇。甲每小时比乙少行千米。两车速度分别是多少？ 答：设乙速千米/时，甲速千米/时。 甲先行一小时的路程为千米。 后两小时甲、乙共同走过的路程为千米。 先行路程不能漏在总路程之外。 例题讲解 例 5 A、B两地相距千米，甲、乙两车分别从A、B出发，相向而行。甲先出发小时，乙出发小时后与甲相遇。甲每小时比乙少行千米。两车速度分别是多少？ 答：可列，也可列。 第一种按“先行一小时加共同两小时”划分。 第二种按“甲全部三小时加乙全部两小时”划分。 分段方式可以不同，但每一段都不能重计或漏计。 例题讲解 例 5 A、B两地相距千米，甲、乙两车分别从A、B出发，相向而行。甲先出发小时，乙出发小时后与甲相遇。甲每小时比乙少行千米。两车速度分别是多少？ 答：乙速千米/时，甲速千米/时。 由，得，。 甲速为千米/时。 未知数设为乙速，解出后要补求甲速。 例题讲解 例 5 A、B两地相距千米，甲、乙两车分别从A、B出发，相向而行。甲先出发小时，乙出发小时后与甲相遇。甲每小时比乙少行千米。两车速度分别是多少？ 答：检验成立，甲速、乙速千米/时。 甲行驶小时，路程千米；乙行驶小时，路程千米。 ，且，两条条件均符合。 检验使用全部时间，不只核对速度差。 例题讲解 例 6 学校组织植树活动，甲地有人、乙地有人。现调人支援，使甲地植树人数是乙地的倍。应调往甲、乙两地各多少人？ 项目 甲地 乙地 原有 23 17 调入 最终 答：设调往甲人，往乙为人。 甲最终人，乙最终人。 根据最终倍数列。 倍数比较的是最终人数，而不是调入人数。 例题讲解 例 6 学校组织植树活动，甲地有人、乙地有人。现调人支援，使甲地植树人数是乙地的倍。应调往甲、乙两地各多少人？ 答：往甲地人，往乙地人。 解，得，所以。 乙地调入人；最终人与人，满足2倍关系。 两个调入量应相加为20，且都为非负整数。 例题讲解 想一想 学校组织植树活动，甲地有人、乙地有人。现调人支援，使甲地植树人数是乙地的倍。应调往甲、乙两地各多少人？ 答：若设调往乙人，则，解得。 此时往甲为，最终甲、乙。 解得乙调入人，甲调入人，与原设法相同。 设元改变后，每个含的量都要重新解释。 例题讲解 示例 两地相距千米，甲、乙同时相向出发，小时相遇。甲比乙每小时快千米。求两车速度。 答：乙、甲千米/时。 设乙速，列。 解得，甲为。 同时出发且相遇，双方时间相同。 例题讲解 示例 甲班人、乙班人，从甲调若干人到乙，使两班人数相同。应调多少人？ 答：人。 设调人，列。 解得，两班最终都为人。 内部转移时一减一加，总人数保持不变。 课堂练习 课内练习 1 小明以千米/时的速度步行分钟，然后以一定速度跑步分钟，共前进千米。求跑步速度。 答：设跑速为千米/时，列。 分钟为小时，分钟为小时。 两段路程之和为6千米，分别用各段速度乘时间。 分钟先换小时，不能把两段时间合用一个速度。 课堂练习 课内练习 1 小明以千米/时的速度步行分钟，然后以一定速度跑步分钟，共前进千米。求跑步速度。 答：跑步速度为千米/时。 ，得。 解得；检验千米。 总路程减步行路程，余下才是跑步路程。 课堂练习 课内练习 2 火车站南、北两个入口需安排工作人员，一般南入口人、北入口人。春运期间需增调人至两个入口，使南、北入口人数比为。应调往南、北入口各多少人？ 答：设调往南人，列。 往北为人，最终北为。 最终南为；北是南的2倍。 比例1比2转化为北最终人数等于南最终人数的2倍。 课堂练习 课内练习 2 火车站南、北两个入口需安排工作人员，一般南入口人、北入口人。春运期间需增调人至两个入口，使南、北入口人数比为。应调往南、北入口各多少人？ 答：南入口调入人，北入口调入人。 解，得。 最终南人、北人，人数比；新增总数人。 同时核对增加总数与最终比例。 课堂练习 作业题 3 甲煤场存煤吨，乙煤场存煤吨。为了使甲煤场存煤量是乙煤场的倍，应从甲运多少吨煤到乙？ 答：设运吨，列。 甲剩余，乙变为。 运输不计损耗，两个煤场总量保持吨。 从甲到乙的同一批煤，甲减少多少，乙就增加多少。 课堂练习 作业题 3 甲煤场存煤吨，乙煤场存煤吨。为了使甲煤场存煤量是乙煤场的倍，应从甲运多少吨煤到乙？ 答：应运吨。 ，解得。 甲剩吨、乙吨，。 检验用调运后的储量，不再用原来432与96的比例。 新知讲授 工作总量可以看作一份 模型 不知道任务具体件数时，可以把整个任务记为。甲单独需天，则每天完成；乙单独需天，每天完成。 使用 合作天完成量为，再加剩余阶段的完成量等于。这里的单位是“份”，不是把天数直接相加当工作量。 课堂练习 示例 甲、乙相向行走，速度分别为和千米/时，两地相距千米。甲先出发1小时，乙出发后多少小时相遇？ 答：乙出发后小时相遇。 设乙行走小时，甲为小时。 列，解得。 改求时间时，分别用与表示两人的全部时间。 课堂练习 示例 甲处人、乙处人，从甲调人到乙后，甲是乙的2倍。小明列，错在哪里？ 答：甲应减少，正确方程为，解得。 错误方程把同一转移量在两处都当作增加。 正确根不是整数，说明若要求整人调配，则无法恰好达到2倍。 调配关系正确后，还须检查人数为整数，不能为符合情境而篡改根。 方法归纳 行程与调配的分析工具 行程先时间后路程 ① 画方向与出发时刻，列出各自全部时间。 ② 按速度乘时间逐段写路程，再找相遇或追及关系。 调配先原量后新量 ① 表格列原有、变化、最终，分清内部转移与新增。 ② 倍数或比例作用于题目指定时刻的量。 课堂总结 行程与人员调配 行程公式 路程等于速度乘时间 时间 先后出发分别计算；单位先统一 方向 相向相遇用路程和，同向追及用路程差 调配 最终量等于原有量加减变化量 检验 总量、差或倍数、实际整数条件 针对训练 训练 甲先出发分钟，乙出发后分钟相遇。甲、乙总行驶时间分别为：A.40、40分　B.60、40分　C.20、40分。 答：B 甲的20分钟先行时间与40分钟共同时间相加。 乙只有后40分钟。 两人的全部时间应分别从各自出发时刻计起。 针对训练 训练 速度千米/时，行驶分钟，路程为____千米；每分钟米，行驶小时，路程为____米。 答：；。 分钟为小时，。 小时为分钟，。 让时间单位与速度分母中的单位一致。 针对训练 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 相遇问题两人的路程一定相等。 错误 相向相遇只要求路程和等于全程。 （2） 快者第一次在环形跑道追上慢者时，多跑一圈。 正确 同起点同向时，路程差为一圈。 （3） 从甲调人到乙，甲乙都增加人。 错误 甲减，乙加。 （4） 总增调20人，往甲人，往乙就是人。 正确 两处调入人数之和为20。 针对训练 训练 甲、乙同时相向行走，小时走完千米，甲每小时比乙快千米。求两人速度。 答：乙、甲千米/时。 设乙速，列。 解得，甲为。 同时相向的路程和可写为速度和乘共同时间。 针对训练 训练 甲处人、乙处人，新增人，使甲乙最终人数比为。应分别新增多少人？ 答：甲增人，乙增人。 设甲增，列。 解得；最终人与人。 总人数为36，按1比2最终也可分成12与24。 针对训练 作业题 5 甲单独完成任务需天，乙需天。合作天后，乙单独完成剩余任务。乙单独工作多少天？ 答：天。 总任务看作1，合作完成。 设乙单独天，列，得。 工作总量看作1，效率是每天完成的份额。 针对训练 作业题 4 一块木料可做桌子张或椅子把。现有块，怎样分配能恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 答：做桌子块，做椅子块。 设做桌子用块，桌子张，椅子把。 列，解得。 配套关系作用于产品数量，不是木料块数。 针对训练 训练 甲有升、乙有升液体，从甲倒入乙后甲为乙的2倍，不计损耗。倒了多少升？ 答：升。 设倒升，列。 解得，最后为升与升。 同一转移量在两边一减一加。 针对训练 作业题 1 甲乙在米环形跑道上同起点同向同时跑步，甲速是乙的倍，分钟后甲第一次追上乙。求两人速度。 答：乙米/分，甲米/分。 设乙速米/分，列。 解得，甲为，路程差。 第一次追上表示多跑一圈，用路程差而不是路程和。 针对训练 作业题 2 收割机队每天收割公顷，完成一片麦地的后，效率提高到原来的，比预定提前1天完成。麦地共多少公顷？ 答：公顷。 新效率公顷/天。设总面积，剩余按原计划需天，实际需天。 列，解得。 提前的一天来自最后三分之一任务所省的时间。 方法归纳 方法总结 用图表防止行程漏段 ① 标方向、起点、出发时刻与相遇时刻。 ② 分别写出每人的总时间和路程。 ③ 同向追及比较路程差，相向相遇使用路程和。 用新状态建立调配关系 ① 总调入量或转移量先用一个未知数表示。 ② 列原有、变化、最终三行，比例比较最终量。 ③ 解后核对总量守恒、比例和整数条件。 $