5.5 一元一次方程的应用（第1课时）课件2026-2027学年浙教版数学七年级上册

第5章　一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用（第1课时） 找等量关系列方程 数学新教材浙教版　七年级上册 情境引入 亚运会项目中的数量关系 问题 杭州第19届亚运会共开设个大项目，其中奥运项目的数量比非奥运项目的倍多个。怎样求奥运项目数量？ 设想 若设非奥运项目有个，奥运项目有个。两类项目合计个，因此有。 情境引入 直接计算与方程计算 直接计算 从总数中先减去多的个，剩余个对应非奥运项目的倍。非奥运项目为个，奥运项目为个。 方程计算 解，得到。再求。方程让未知数与已知数按同样的数量关系参与运算。 情境引入 一条等量关系对应一个方程 观察 “总量等于各部分之和”“总价等于单价乘数量”“总路程等于速度乘时间”都是熟悉的相等关系。列方程要把它们与题目中的具体量对应起来。 目标 用一个未知数表示主要未知量，再把其他量写成含它的式子。关键是找到题中明确或隐含的相等关系，而不是先猜一个运算符号。 新知讲授 设元时说清量和单位 完整写法 “设学生票为张”比“设”更清楚。字母表示哪一种数量，决定其他式子怎样列，也决定最后需要检验什么条件。 取值条件 票数、人数应是非负整数；长度、速度等应与实际情境相符。解出方程后，不符合实际条件的数不能直接作为答案。 新知讲授 相等关系先用文字表达 示范 两类门票问题可先写“全价票张数学生票张数总票数”和“两类票款之和总收入”。这两条关系分别用于表示数量和列方程。 选择 若已用总票数表示另一类票数，就可用总收入建立方程。不要把两个金额或两个人数中不同单位的量直接相加。 新知讲授 运用方程的一般过程 步骤一、二 审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如）。 步骤三、四 列方程：根据相等关系列出方程。解方程：求出未知数的值。各步相互联系，方程中的每一项都应能回到情境解释。 新知讲授 最后一步是检验并作答 教材过程 检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 两个层面 把根代回方程检查运算，再把结果代回原问题检查总量、差或倍数。若问题求两个量，答句中应给出两个量，不能只报告设为的一个。 例题讲解 例 1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票每张元，学生享受半价优惠。某场演出共售出张票，收入元。这场演出共售出学生票多少张？ 答：设学生票为张，则全价票为张，学生票单价为元。 学生票收入为元，全价票收入为元。 按两类收入之和列式：。 总票数先表示另一类票数，总收入再用来列方程。 例题讲解 例 1 每年9月5日为“中华慈善日”，某文艺团体开展募捐义演，全价票每张元，学生享受半价优惠。某场演出共售出张票，收入元。这场演出共售出学生票多少张？ 答：学生票张。 解得，所以。 全价票张，检验，票数和为。 解出学生票后，同时核对票数和收入两条原始条件。 例题讲解 例 2 某工程队承包全长米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花个月完成。甲班组比乙班组平均每月多施工米。两个班组平均每月各施工多少米？ 答：设乙每月施工米，甲为米。 两组施工长度分别为和。 根据总长度相加，列。 同时施工个月，两组的施工时间相同。 例题讲解 例 2 某工程队承包全长米的隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从隧道两端同时施工，花个月完成。甲班组比乙班组平均每月多施工米。两个班组平均每月各施工多少米？ 答：乙每月米，甲每月米。 解，得，甲为。 检验，且月施工量相差米。 问两个量时，解出后还要计算另一个量。 新知讲授 总量、单量与时间 关系 生产总量每天产量天数。工程施工总长度每月施工长度月数。乘积中的两个量和单位必须一一对应。 错因 若甲比乙早开始工作，二者天数未必相同。应画出时间顺序，再分别写总量，不能把“共同工作的天数”当成每人的全部工作天数。 例题讲解 示例 成人票元、儿童票元，共卖出张，收入元。儿童票卖出多少张？ 答：儿童票张。 设儿童票张，则。 得，解得；成人票张。 票数与金额使用不同等量关系，相互核对。 例题讲解 示例 甲每小时比乙多加工件，两组同时加工小时，共完成件。两组每小时各完成多少件？ 答：乙件，甲件。 设乙每小时件，列。 解得，再求。 “每小时多”先用来表示效率，再乘共同时间。 新知讲授 连续整数的表示 连续整数 设中间整数为，三个连续整数可写为。连续奇数之间相差，可写为。 选择 用中间数设元，左右两项的增减常可抵消，方程较简便。解出后仍要核对是否真为整数、奇数以及排列顺序。 课堂练习 课内练习 1 三个连续奇数的和为，求这三个数。 答：。 设中间数为，列。 解得，所以三个数为；和为。 相邻奇数差，不要写成差的连续整数。 课堂练习 课内练习 2 甲每天生产某种零件个，甲生产天后，乙也加入生产，再经过天，两人共生产这种零件个。乙每天生产多少个？ 答：甲生产天，乙生产天；设乙每天个，列。 甲的先生产天与后生产天应相加。 乙只参加后天，不能也按天计。 先到后到的问题，先把每人的完整工作时间写清。 课堂练习 课内练习 2 甲每天生产某种零件个，甲生产天后，乙也加入生产，再经过天，两人共生产这种零件个。乙每天生产多少个？ 答：乙每天生产个。 ，所以，。 检验。 检验总量时，仍使用甲8天、乙5天。 课堂练习 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 三个连续奇数可表示为。 错误 相邻奇数差。 （2） 单价相同，总价等于单价乘总数量。 正确 可用分配律解释两种写法一致。 （3） 解出方程的根，就一定是实际问题的答案。 错误 还要检验整数、正负、范围等实际条件。 （4） 甲比乙多，设乙为，甲为。 正确 比较基准是乙。 课堂练习 示例 门票共张，成人票元、儿童票元，总收入元。若改设成人票为张，怎样列方程？ 答：，成人票张，儿童票张。 设元改变后，另一类票数也要重新表示。 解得，所以。 设元不同可以得到不同方程，但实际结果应相同。 新知讲授 方程中的每一项应有意义 核对 在中，两项都是元，右边也是元；与都是票数。各项的量纲一致，方程才有实际意义。 辨析 式子把单价、票数和金额混加，没有数量关系依据。不要因为式子里“出现了全部数字”就认为它正确。 课堂练习 示例 某次计算得到一种门票为张，另一种为张，票数和为。这个结果能否作为答案？ 答：不能。 虽然票数和满足一条条件，负票数不符合实际。 应重新检查设元、列式与运算，不能只改成正数后作答。 检验原条件和实际取值，两个层面都不可少。 新知讲授 表格帮助整理重复结构 列的意义 同类商品或不同生产组，可以列“单价或效率—数量或时间—总价或总量”三列。表格中同一列使用相同单位。 落到方程 先填已知量，再用与含的式子填未知量。最后根据总量、差或倍数列等式，表格本身不能代替等量关系。 课堂练习 作业题 1 有三个数从小到大排列，后一个比前一个大，三个数的和为。求这三个数。 答：。 设中间数为，列。 解得，三个数为。 根据题目给出的间隔设数，而不是一律套连续整数。 课堂练习 作业题 2 某动车组有个座位，其中商务座个，二等座数量比一等座的倍少个。一、二等座分别有多少个？ 答：一等座个，二等座个。 设一等座个，列。 解得，二等座。 先扣除或计入商务座，三部分总数必须完整。 课堂练习 作业题 4 从图示某个月的月历表中取一个方框。（1）已知方框围成的个日期之和为，求这个日期。（2）这个方框围成的个日期之和可能为吗？ 答：四个日期为。 设左上日期为，四数为。 列，得，四个数在图中能构成方框。 同一行相邻日期差1，同一列下一周差7。 课堂练习 作业题 4 从图示某个月的月历表中取一个方框。（1）已知方框围成的个日期之和为，求这个日期。（2）这个方框围成的个日期之和可能为吗？ 答：不可能。 若和为，则，得。 图中在星期六一列，已在下一行，不能与构成方框的上面一行。 方程有整数根，还要检查日期是否在月历上满足方框条件。 方法归纳 找等量关系的顺序 先表示未知量 ① 设元带名称和单位，其他量依题意表示。 ② 连续数用固定间隔，早晚工作写清各自时间。 再建立等式 ① 优先寻找总量等于各部分之和。 ② 每一项单位一致，解后代回原始条件检验。 课堂总结 找相等关系列方程 审题 识别数量、单位、总量、差与倍数 设元 用一个字母表示适当未知量 列式 把其余量写成含未知数的代数式 求解 依据相等关系列方程并求根 检验 代回条件，检查实际范围并作答 针对训练 训练 两数的和为，较大数比较小数的倍少。设较小数为，正确方程是哪一个？A.　B.　C.。 答：A 较大数为。 两数相加为。 先把比较关系写成另一数量的表达式。 针对训练 训练 三个连续偶数中最小的为，其余两个为____、____；若和为，方程为____。 答：、；。 相邻偶数差。 解得，三个数为。 表示连续数时保留同一设元与同一间隔。 针对训练 辨析 判断下列说法是否正确，并说明理由。 （1） 两种票共张，设一类张，另一类为张。 正确 两类数量之和为总票数。 （2） 设人数为时，允许答案为人。 错误 人数应为整数。 （3） 生产总量相同，天数不同可以直接说效率相同。 错误 效率还取决于所用时间。 （4） 检验可以用算出的数量核对原题总量。 正确 这是检查实际条件的一种方式。 针对训练 训练 甲、乙两箱书共本，甲比乙多本。两箱各有多少本？ 答：甲本，乙本。 设乙本，列。 解得，甲为；和与差均符合条件。 把较少量设为，较多量直接加差。 针对训练 训练 两类票价分别元、元，共售张，收入元。元票售出多少张？ 答：张。 设低价票张，列。 解得，所以。 单价乘本类张数，再将两类收入相加。 针对训练 训练 甲每天完成件，先工作天，乙加入后再工作天，共完成件。乙每天完成多少件？ 答：件。 甲共工作天，乙工作天。 列，解得。 总量分别用各自完整时间计算。 针对训练 作业题 3 观众中为成年男性、为成年女性，其余为儿童人。求总人数和成年男性比女性多的人数。 答：共人，男性比女性多人。 儿童占，设总数，列，得。 差为。 各部分比例应以同一个总人数为基准。 针对训练 作业题 5 编写一个实际问题，使所列方程为，并求解。 答：例：甲食品每千克15元、乙食品每千克45元，甲比乙多买2千克，共花180元。求两种食品各买多少千克？ 设乙买千克，甲买千克，解得千克。 甲买千克、乙买千克；费用元。 所列方程的根为分数，使用质量这样的数量可符合实际。 针对训练 训练 班级买故事书和科普书共本，故事书每本元，科普书每本元，共花元。两类书各多少本？ 答：故事书本，科普书本。 设故事书本，列。 解得，科普书为；核对。 用总本数表示另一类数量，再按总费用列方程。 针对训练 训练 两组同时加工天，共完成个零件，甲每天比乙多个。两组每天各完成多少个？ 答：乙每天个，甲每天个。 设乙每天个，列。 解得；总量。 先表示每天的量，再乘相同的工作天数。 方法归纳 方法总结 从相等关系建立方程 ① 先用文字说清总量、差、倍数等关系。 ② 设一个未知量，把其他未知量统一表示。 ③ 每一项都能解释含义和单位后再列等号。 从原问题检验答案 ① 把根代回方程检验运算。 ② 回到题意检查总量、单位、整数和正负。 ③ 问题问几个量，就完整回答几个量。 $