第23章 解直角三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材华东师大版九年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1 2 3 4 5 6 个 8 10 11 12 B A A C B B A D C D A D 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.） 13.2 14.56 9 16.51.2 17.6或12 18.2 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19. 【答案】(1)1-/3 (2)0 【解析】(1)解：cos60°-3tan30°+sin45°·cos45° =号-3x3+2x2 32 2 啊+号 2 =1-3 (2)解：sin60°cos30°+sin230°-tan45o 22+2 _3+1-1 44 =1-1 =0 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.【答案】BC=2,∠A=30°，∠B=60° 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，b=2V3,c=4, ∴.BC=a=42-23=2 tan∠A=0= 2V3 b29V33, ∴.∠A=30, .∠B=90°-30°=60°， 21.【答案】12 【解析】解：连接AD, A .AB=AC,∠BAC=120° 0 ∴.∠B=∠C=30°， ,DE是AB的垂直平分线， ∴.AD=BD, .∠DAB=∠B=30°， 在Rt△BDE中，∠B=30°，DE=2, .BD=2DE=4, .∴.AD=BD=4 .∠ADC是△ABD的外角， ∴.∠ADC=∠B+∠DAB=60, 在△ADC中， ∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°， 在Rt△ADC中，∠C=30°， ∴.DC=2AD=8, BC=BD+DC=4+8=12 22.【答案】大坝高度为80米，AB=290米 【解析】解：分别过D,C两点作DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别为E,F,则DE的长就是大坝的高度. 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C AD 4:3 B 迎水坡的坡度为 DE4 AE 3 设DE=4k,AE=3k, 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：AE2+DE=AD2, 3k2+4k2=1002 解得：k=20, .∴.AE=3×20=60(米)，DE=4×20=80(米)， ∴大坝高度为80米 大坝横截面是梯形， ∴.DC‖AB .DE⊥AB,CF⊥AB, ∴.∠g=∠CFB=90°， ∴.四边形DEFC是平行四边形， ∴四边形DEFC是矩形 .EF=CD=30(米)，DE=CF=80(米)， 在直角三角形CFB中，：anB=Cg,tanB=2, FB' 80_2 .∴.FB=200(米)， ∴.AB=AE+EF+FB=60+30+200=290(米). 23.【答案】(1)24 (2)189/3 【解析】(1)解：，四边形DECF是菱形， .DE=CE=CF=DF,DE‖CF； 设DE=CE=x,则AE=AC-CE=9-X, DE CF ∴.△ADE一△ABC, 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 能即音9g x=9-x 解得x=6, ..DE=CE=CF=DF=6, ∴.菱形DECF的周长=DE+CE+CF+DF=24, (2)解：如图所示，过点E作EH⊥CF于点H,则∠CHE=90°， B .∠C=60°， .∠CEH=90°-∠C=30°， CH-CE-3, “EH=CE2-CH=33 六S老DecF=CF,EH=183 24.【答案】(1) 3+1 2 ,3 2 ()X,三号x,3,此时0=30或0=600 2 【解析】(1) tan0·sin6,cosθ tan0-1 1-tan0 _tan0.sin cos0 tan0-1 tan-1 sin =Cos0 ·sin0-cos0 sin0-cosθ cos0 =sin20-cos20 sin0-cos0 (sin0+cos)sin 0-cos0 sin0-cos0 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =sin 0+cos0 sin0+cos0=- -V3+1_3+1 2 2 (2),'sin0·cos0=C=m a21 .'(sin0+cos2=sin2 @+2sin @.cos+cos20= 3+1 2 =1+m ∴.m= 3+1-1=5 2 2 3)2x2-R3+11x+3=0. 2 2,cos0= ①当sin0= 2时，6=30， 2时，0=600 1 ②当sin0= 2,c0s0= 25.【答案】(1)点B到地面的距离BH的长为12m; (2)建筑物DC的高度约为27m. 【解析】(1)解：由题意得∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, ∴.BH=AB·sina=20×0.60=12m, 答：点B到地面的距离BH的长为12m; (2)解：过点B作BF⊥EC于点F,如图，则∠BFC=90°， ▣A 22 45N∠a H C A 根据题意，∠EBF=22°，∠DAC=45°，DE=2m, ,∠BFC=∠FCH=∠H=90°， ∴.四边形CHBF是矩形， 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.FC=BH=12m,FB=CH, .∠DAC=45°， tan∠DAC=DC=1, CA ..DC=CA. .∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, ∴.AH=AB·cosa=20×0.80=16m, .BF=CH=CA+AH=DC+16 m,EF=ED+DF=DE+DC-FC=DC-10m, :tan∠EBF=EE BE' .tan22°≈ DC-10 DC+161 0.4= DC-10 DC+16 解得DC≈27， 答：建筑物DC的高度约为27m. 26.【答案】EF≈23.8m 【解析】解：延长BD交EF于点G,则DG⊥EF, ,小明的眼睛到水平地面的距离为1.4m, ∴.FG=1.4m, ∴.EG=EF-FG=EF-1.4 在Rt△BEG中，tan∠EBG= EG BG ·.BG= EG tan 35' 在Rt△DEG中，tan∠EDG= EG DG ·DG=EG tan 48' .BD=12m,即BG-DG=12, ·EF-1.4 1 =12 tan35°tan48° 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.EF-1.4 11 0.701.121 12' ·EF-1.4×1.12-0.70 0.70×1.12 12 EF-14=12x070x1.12=224, 0.42 ∴.EF=23.8m, ∴.崇觉寺铁塔的高度EF约为23.8m. E D B A F 717 第23章 解直角三角形 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 2．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 5．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 8．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 10．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 11．在中，已知的度数之比是，，则（     ） A． B． C．1 D．2 12．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．在中，，，，则________． 14．如图，某市计划在某段两岸互相平行的河上修建一座桥，为预算成本，需知道河宽的长，现测得两点的距离为，，则河宽的长约为______m．（精确到，参考数据：，，） 15．阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 16．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 17．在中，，，，则的长度为_________． 18．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)． 20．在中，，b，c分别是，的对边，，．解这个直角三角形． 21．如图，在中，， ，是边的垂直平分线，交于点，交于点．若 ，求 的长． 22．如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 23．在中，，．菱形的三个顶点、、分别在边、、上． (1)求菱形的周长． (2)若，直接写出菱形的面积． 24．已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 25．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 26．崇觉寺铁塔，俗称济宁铁塔，坐落于济宁市博物馆老馆院内（古崇觉寺旧址）．始建于北宋崇宁四年，八角九层，是国内现存保存完整的宋代铁塔，为全国重点文物保护单位，历经近千年风雨巍然屹立，展现了我国古代工匠精湛的冶铸技艺．某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高，下面是他们的测量方案及报告： 课题 测量崇觉寺铁塔高度 测量工具 卷尺和测角仪等 测量说明 如图，崇觉寺铁塔的高度为，小明利用上述工具测量的高度，（1）在点A处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为；（2）向前走站在处；（3）在点C处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为．已知小明的眼睛到水平地面的距离为． 测量过程 图中点，，在同一水平直线上，点，，，，，均在同一平面内，于点A，于点C． 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求崇觉寺铁塔的高度． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 解直角三角形 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在中，若，则表示的（     ） A．正弦 B．正切 C．余弦 D．坡角 【答案】B 【分析】根据正切的定义求解可得． 【详解】解：∵在中，， ∴的对边为，邻边为． ∴，即表示的正切． 2．在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】为的邻边与斜边的比，斜边已知，需先求邻边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ， ． 3．如图，长春市组织的冰雪活动中，中学生小旺沿着倾斜角为的斜坡练习滑雪，从点滑行到点．若米，则小旺下降的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】根据正弦定义可知，两边同时乘以可得米，所以小旺下降的高度为米． 【详解】解：如下图所示， 在中，，，米， ， ， 米， 小旺下降的高度为米． 4．如图，梯子（长度不变）和地面所成的锐角为．关于的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是（   ） A．的值越大，梯子越缓 B．的值越小，梯子越陡 C．的值越大，梯子越陡 D．梯子的倾斜程度与的正切值无关 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题，以及掌握锐角三角函数值的变化规律． 锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小． 【详解】解：根据锐角三角函数的变化规律，知的值越大，越大，梯子越陡． A、的值越大，梯子越陡，原说法错误，不符合题意； B、的值越小，梯子越缓，原说法错误，不符合题意； C、的值越大，梯子越陡，说法正确，符合题意； D、梯子的倾斜程度与的正切值有关，原说法错误，不符合题意； 故选： C． 5．已知锐角满足，则锐角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，即可求解． 【详解】解：∵，为锐角， ∴， ∴． 6．如图，在中，，于点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，后根据三角函数的定义解答即可． 本题考查了余角的性质，三角函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据，得到， A. ，正确，不符合题意；     B. ，本选项错误，符合题意；     C. ，正确，不符合题意；     D. ，正确，不符合题意； 故选：B． 7．如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 8．如图，在中，，垂足为B，点D是的中点，连接，若，则的长为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用直角三角形斜边中线定理，直接计算中线长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， ∵点D是的中点，， ∴． 9．在中，A、B都是锐角，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C．是等边三角形 D．是直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记、、角的各种三角函数值是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值分别求出、，根据等边三角形的判定定理判断即可． 【详解】解： ，， ，， ∴． 是等边三角形． 故选项C说法正确，符合题意；选项A、B、D说法错误，不符合题意． 故选：C． 10．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 11．在中，已知的度数之比是，，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理与角度比求出的度数，判断为含角的直角三角形，再利用直角三角形性质和勾股定理计算的长度． 【详解】解∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 12．若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元令，将原方程转化为关于的一元二次方程，结合的范围分析的取值． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴原方程化为， 当时，∵， ∴，， ∴，方程无解； 当时，， ∴方程有两个不相等的实根， ∵两根之积为， ∴方程有一正一负两个实根， ∴正根为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，符合条件． 综上所述，． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．在中，，，，则________． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和定理求出的度数，再利用直角三角形的性质结合勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵，， ∴， 设，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半， ∴， ∵是直角三角形，由勾股定理得， 代入得 整理得，即， ∵三角形边长为正数， ∴，即． 14．如图，某市计划在某段两岸互相平行的河上修建一座桥，为预算成本，需知道河宽的长，现测得两点的距离为，，则河宽的长约为______m．（精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】在中，利用正切定义，用的长度乘以即可求出． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ∴（）． 15．阅读下面材料，，则，则，已知为锐角且，则___________． 【答案】 【分析】由题干给出的例子归纳得到，代入已知的值，结合即可求出结果． 【详解】解：由题干给出的例子可归纳得：任意锐角满足 ∵， ∴． 16．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【分析】在中，通过解直角三角形求解即可． 【详解】解：由题意得海里，，，， ∴， ∴在中，（海里） 即P处与B处的距离约是海里． 17．在中，，，，则的长度为_________． 【答案】或 【分析】过点作，交所在直线于点，根据设出和的长度，用勾股定理求出的长度，分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ①当点D在线段上时，如图所示： ， 设，， 在中，由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 同理可得：，， ∴； 综上，的长度为12或6． 18．如图，的顶点都在的方格纸的格点上，则的正切值为___________ 【答案】 2 【分析】作，连接，根据正切的定义进行求解即可. 【详解】解：作，连接，如图，则， 由网格特征可知，， 设小正方形的边长为1，则，， ∴. 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 20．在中，，b，c分别是，的对边，，．解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】先求出，再根据求出，即可求出． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ∴． 21．如图，在中，， ，是边的垂直平分线，交于点，交于点．若 ，求 的长． 【答案】12 【分析】先由等腰顶角求出底角；利用垂直平分线得到，转化角度；再利用所对直角边等于斜边一半求出线段、，相加得到． 【详解】解：连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， 是的外角， ， 在中， ， 在中，， ， ． 22．如图，大坝横截面是梯形，迎水坡的坡度为，背水坡的坡角的正切为，已知迎水坡，坝顶宽，求大坝的高度和坝底的长． 【答案】大坝高度为米，米 【分析】分别过两点作，垂足分别为，利用勾股定理和三角函数解答即可． 【详解】解：分别过两点作，垂足分别为，则的长就是大坝的高度． 迎水坡的坡度为， ， 设， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 解得：， （米），（米）， 大坝高度为米． 大坝横截面是梯形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， （米），（米）， 在直角三角形中，，， ， （米）， ∴（米）． 23．在中，，．菱形的三个顶点、、分别在边、、上． (1)求菱形的周长． (2)若，直接写出菱形的面积． 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）设，则，证明得到，解方程即可得到答案； （2）过点E作于点H，则，求出，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴菱形的周长； （2）解：如图所示，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．已知关于的方程的两根为和，为锐角．求： (1)的值； (2)的值； (3)方程的两根及此时的的值； 【答案】(1) (2) (3)，，此时或 【分析】（1）先对原式进行化简，再结合三角函数关系求解． （2）先对进行展开，再结合韦达定理求出的值． （3）先将的值代入原方程，再求解方程的两根，最后根据三角函数值求出的值． 【详解】（1） ． （2）， ， ． （3）， ，解得，， ①当，时，， ②当，时，． 25．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离的长为； (2)建筑物的高度约为． 【分析】利用中的正弦求解即可； 过点作于点，先判断四边形是矩形，求出，证明，得到，，最后在中，利用求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 答：点到地面的距离的长为； （2）解：过点作于点，如图，则， 根据题意，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：建筑物的高度约为． 26．崇觉寺铁塔，俗称济宁铁塔，坐落于济宁市博物馆老馆院内（古崇觉寺旧址）．始建于北宋崇宁四年，八角九层，是国内现存保存完整的宋代铁塔，为全国重点文物保护单位，历经近千年风雨巍然屹立，展现了我国古代工匠精湛的冶铸技艺．某校项目学习小组的同学在了解该塔之后，想利用所学知识测量塔高，下面是他们的测量方案及报告： 课题 测量崇觉寺铁塔高度 测量工具 卷尺和测角仪等 测量说明 如图，崇觉寺铁塔的高度为，小明利用上述工具测量的高度，（1）在点A处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为；（2）向前走站在处；（3）在点C处用测角仪测得铁塔顶端的仰角为．已知小明的眼睛到水平地面的距离为． 测量过程 图中点，，在同一水平直线上，点，，，，，均在同一平面内，于点A，于点C． 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求崇觉寺铁塔的高度． 【答案】 【分析】塔顶 到水平视线 所在直线的距离 ；在 与 中分别用 、 表示 、，由   建立方程求出 ，再加 即得塔高． 【详解】解：延长 交 于点 ，则 ， ∵ 小明的眼睛到水平地面的距离为 ， ∴ ， ∴ ． 在 中，， ∴ ， 在 中，， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 崇觉寺铁塔的高度 约为 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $