第四章 微专题6 探究自然数被3整除的规律（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年七年级上册数学高效课堂教学课件（人教版·新教材）

宝典训练 配套教学课件 新课标 深圳天骄文化传播有限公司 1 第四章　整式的加减 微专题6　探究自然数被3整除的规律 2 第四章　整式的加减 3 第四章　整式的加减 4 第四章　整式的加减 5 第四章　整式的加减 6 第四章　整式的加减 7 第四章　整式的加减 8 第四章　整式的加减 9 973 379 第四章　整式的加减 10 第四章　整式的加减 11 ②④ 第四章　整式的加减 12 0或3或6或9 100a＋10b＋c 第四章　整式的加减 13 第四章　整式的加减 14 【类型】探究自然数被3整除的规律 1．阅读材料并解答下列问题： 在小学，我们知道像12，27，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说明其中的道理吗？先看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为 eq \x\to(ab)，于是 eq \x\to(ab)＝10a＋b＝9a＋(a＋b).显然9a能被3整除，因此，如果a＋b可以被3整除，那么9a＋(a＋b)就能被3整除，即 eq \x\to(ab)能被3整除． (1)请你用类似的方法表示任意一个三位数 eq \x\to(abc)； (2)猜想一个三位数 eq \x\to(abc)满足什么条件时能被9整除？并说明理由； (3)直接写出一个四位数 eq \x\to(abcd)满足什么条件时，它可以被4整除？ 解：(1) eq \x\to(abc)＝100a＋10b＋c. (2)当一个三位数 eq \x\to(abc)满足a＋b＋c可以被9整除，则该三位数就能被9整除．理由如下： eq \x\to(abc)＝100a＋10b＋c＝90a＋9(a＋b)＋(a＋b＋c)，显然，90a和9(a＋b)能被9整除， 因此，如果a＋b＋c可以被9整除，那么90a＋9(a＋b)＋(a＋b＋c)就能被9整除，即 eq \x\to(abc)能被9整除． (3)当10c＋d能被4整除时， eq \x\to(abcd)能被4整除． 2．在课堂中，同学们学习了自然数被3整除的规律．在学习后，同学们继续展开关于整除问题的思考，在查阅资料后，同学们发现了自然数被7整除的规律： 一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数(包括0)，那么，原来的这个数就一定能被7整除． 例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，因为7可以被7整除，所以133是7的倍数；又例如，判断6 140是否7的倍数的过程如下： 614－0×2＝614，61－4×2＝53，因为53不可以被7整除，所以6 140不是7的倍数． 其余类似地进行推理． (1)基于以上阅读材料，仿照上述判断过程，判断6 055是否可以被7整除(要求写出判断过程)； (2)以三位数 eq \x\to(abc)为例，说明“若 eq \x\to(ab)－2c是7的倍数，则 eq \x\to(abc)能被7整除”． 解：(1)605－5×2＝595，59－5×2＝49， 因为49能被7整除，所以6 055能被7整除， (2)因为 eq \x\to(ab)－2c是7的倍数，所以设 eq \x\to(ab)－2c＝7k(k为整数)， 即10a＋b－2c＝7k(k为整数)， 因为 eq \x\to(abc)＝100a＋10b＋c＝10(10a＋b－2c)＋21c＝10×7k＋21c＝7(10k＋3c)， 因为k，c为整数，所以7(10k＋3c)能被7整除， 所以 eq \x\to(abc)能被7整除． 3.若一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别为x，y，z，则这个三位数可记为 eq \x\to(xyz)，易得 eq \x\to(xyz)＝100x＋10y＋z. (1)如果要用数字3，7，9组成一个三位数(各数位上的数不同)，那么组成的数中最大的三位数是______，最小的三位数是______； (2)若一个三位数各数位上的数由a，b，c三个数字组成，且a＞b＞c＞0，那么，请说明所组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 解：(2)因为一个三位数各数位上的数由a，b，c三个数字组成，且a＞b＞c＞0， 所以组成的最大三位数为100a＋10b＋c，最小三位数为100c＋10b＋a， 所以组成的最大三位数与最小三位数之差为(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝100a＋10b＋c－100c－10b－a＝99a－99c＝99(a－c)， 所以组成的最大三位数与最小三位数之差可以被99整除． 4．综合与实践 我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，你能说出其中的道理吗？ 理解问题 (1)下列各数中，能被3整除的有____；(填序号) ①25，②225，③1 025，④2 025. (2)小明发现他的学号是一个四位数，它能被3整除．如果学号的千位数字是4，百位数字是7，个位数字是1，那么十位数字是______________； 拟定计划 (3)设 eq \x\to(abc)是一个三位数，a，b，c分别表示该数百位、十位和个位上的数字， eq \x\to(abc)可以用含a，b，c的式子表示为__________________； 实施计划 (4)请证明三位数 eq \x\to(abc)各数位上的数字之和能被3整除，则这个数能被3整除． 解： eq \x\to(abc)＝100a＋10b＋c＝(99＋1)a＋(9＋1)b＋c＝(99a＋9b)＋(a＋b＋c)＝9(11a＋b)＋(a＋b＋c)， 因为9(11a＋b)能被3整除， 所以只要a＋b＋c能被3整除，这个三位数就能被3整除． $